校园生活作文-外地人在北京办理护照

广东省广州市2020届高三下学期第一次调研数学（理）试卷

一、选择题 ：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1
．设椭圆
E
的两焦点分别为
F
1
,F
2
,
以
F
1
为圆心
,
F
1
F
2
为半径的圆与
E
交于
P,Q
两点
.
若
PF
1
F
2
为直角三
角形
,
则
E
的离心率为

2
51
A．
21
B．
2
C．
2
D．
21

2
．以下有关线性回归分析的说法不正确的是

A
．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心
(x,y)

B
．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使

(ybxa)
iii1
n
2
最小的
a,b
的值

C
．相关系数
r
越小，表明两个变量相关性越弱

R
2
1
D．
ˆ
)

(yy
ii
n< br>2

(yy)
i
i1
i1
n
2
越接近1，表明回归的效果越好

xy1,

3
．设
x,y
满足约束条件

xy1,
若目标函数
zax3y
仅在点

1,0

处取得最小值，则
a
的取值范围

2xy2,

为（

）

A．

6,3

B．

6,3

C．

0,3

D．

6,0


x
2
y
2
4
．已知
F
1
,F
2
是双曲线
E:
2

2
1

a0,b0

的左、右焦点，若点
F
1
关于双曲线渐近线的对称点
P
ab
满足
OPF2
POF
2
（
O
为坐标原点），则
E
的离 心率为（

）

A．
5
B．
2
C．
3
D．
2

5
．在
ABC
中，三 内角
A
、
B
、
C
对应的边分别为
a
、b
、
c
，且
acosBbcosA2cosC
，
c 1
，
则角
C

（

）

2


5


A．
6
B．
3
C．
3
D．
6

6
．已知i
是虚数单位，复数
z
满足

1i

z2 i
，则
z
的虚部是（

）

A．1 B．
i
C．
1
D．
i

7
．已知集合
A
＝

x|xZ,且
A
．
2
C．4 D．5


3

Z

，则集 合
A
中的元素个数为
(

)
2x

B
．
3
x
2
y
28
．已知双曲线
C:
2

2
1(a0,b0)< br>，点
P

x
0
,y
0

是直线bxay4a0
上任意一点，若圆
ab
．


x x
0



yy
0

1
与 双曲线
C
的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（

）
A．
22

1,2

B．

1,4

C．

2,

D．

4,


9
．已知直线
l:yk(x 4)
与圆
(x2)
2
y
2
4
相交于
A
、
B
两点
,
M
是线段
AB
的中点,
则点
M
到直
线
3x4y60
的距离的最大值为

A．5 B．4 C．3 D．2
x


(x2)< br>
xe

3,(xln2)
10
．已知函数
f (x)

，当
x[m,)
时，
f(x)
的取值范围 为
(,e2]
，
32x,(xln2)


则实 数
m
的取值范围是（

）

1e

,

2
A．


1e

,1< br>

B．
(,1]
C．

2

D．
[ln2,1]

11
．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若
输 入的
a
，
b
分别为
14
，
18
，则输出的
a
等于（

）
.

A．2 B．4 C．6 D．8
的图像的对称轴可能为（

）
12
．函数
A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。




1

sin

x

sin
2x


6

___________ . 
6

4
,则

13．已知
cos85
o
sin25
o
cos30
o

o
cos25
14．_____________.
15．若函数
f

x

lnxax

a2

x
2
x
在
1
2
处取得极大值，则实数
a
的取值范围是_____． 2
16．在

ABC中，若cos
2
A＋cos
2B＋cos
2
C＜1，sinB＝
2
，则(tan
2
A ﹣2)sin2C的最小值为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
tanC
 2
222
A,B,Ca,b,c
3acb
△ABC
tanB17．（12分）的内角的对边分别为，且．证明：；若
cosA
2
53
9
，且
△ABC
的面积为
6
，求
c
．
x
2
y
2
6
18
．（
12
分）已知椭圆< br>2

2
1(ab0)
的离心率为，以椭圆的
2
个焦点与
1
个短轴端点为顶点
ab
3
的三角形的面积为
22
。求椭圆的方程；如图，斜率为
k
的直线
l
过椭圆的右焦点
F
，且与椭圆交与
A,B
两点，以线段
AB
为直径的圆截直线
x1
所得的弦的长度为
5
，求直线
l
的方程。


19．（12分）已知等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
nN
*
,2S
2
,S3
,4S
4

成等差数列，且

1

1

a
n
a
2
2a
3
a
4

b
{a}
b(n2)log
2
，求数列

n

的前
n
项和
T
n
.
16
.求数列
n
的通项公式；若
n
a
n

a< br>n
0
32a
3
32a
11
a
7
2

b

b2b
n
0
，

20．（12分）已知数列为等差数列，，且满足，数列
n
满足
n1
b7
a
7
．求数列

b
n

的通项公 式；若
c
n
nb
n
，求数列

c
n
的前n项和
S
n
．
f(x)
xlnx
, (a0)
a
。当
a1
时，求函数
yf(x)
在
x1
处的切线方程；求函21．（12分）已知函数


a,2a< br>
上的最小值；证明：
x

0,

，都有数
f(x)
在
22．（10分）已知函数
lnx
12
e
x
ex
．
，其中
a
，
b
均为正 实数，且
f

x

x11x
，
g

x

xa
2
xb
2
ab2
．求不等式
f

x

1
的解集；当
xR时，求证
f

x

g

x

．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．A
2．C
3．A
4．B
5．B
6．A
7．C
8．D
9．B
10．C
11．A
12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
7
13．
8

1
14．
2

15．
(,2)

16．
265


三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．（1
）见解析（
2
）
c
【解析】

【分析】

（
1
）先根据余弦定理得
cosC
2
或
c3

a
，再根据正弦定理化边为角，最后化弦为切，解得结 果，（
2
）先根据
b
余弦定理得
b
【详解】
< br>3
3
c
或者
bc
，再根据
△ABC
的面积 解得结果
.
2
3

a
2
b
2c
2
解：（
1
）根据余弦定理，得
cosC
，
2ab
把
3a
2
c
2
b
2< br>代入可得
cosC
根据正弦定理，得
cosC
a
，< br>
b
sinA
，

sinB
故有
cos CsinBsinAsin

BC

，

又因 为
sin

BC

sinBcosCcosBsinC
，

所以
2sinBcosCcosBsinC
，

又有题意中
c
2
3a
2
b
2
，得
C ,B
都不是直角，

故两边同除以
cosBcosC
，得
t anC
2
．

tanB
b
2
c
2
a
2
（
2
）根据余弦定理得
cosA
，

2bc
2b
2
c
2
53
，所以
2 b
2

cosA
bcc
2
0
，

3bc
3

3

3
3
bc0
即
2b3c

，故或者
bc

bc
．


3
2
3


又有
sinA 1cos
2
A
6
，

9
故
△AB C
的面积为
16
bcsinAbc
．

218
情况
1
：当
b
63
2
2
3
，得
c2
．

c
时，
c
2
1826
6 3
2
2
3
，得
c3

c
c
时，
1836
3
情况
2
：当
b
【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换、解三角形等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力.属中档题.
x
2
y
2
18
．（
1
）（
2）
yx2
或
yx2
.
1
；
62
【解析】

【分析】

（< br>1
）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合
a
2
＝
b
2
+c
2
，即可求椭圆
C
的方程；

（
2
）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出
x
1
x
2
及
x
1
x
2
，结合弦的长度为
5
， 即可求

斜率
k
的值，从而求得直线方程。

【详解】

x
2
y
2
6
解：（
1
）由椭圆
2

2
1

ab0
的离心率为，

ab
3
得
c
63
a
，
ba
.
33
x
2
y
2
12
2
由
S2 cb
1
．

a22
得
a6
，

b2
，所以椭圆方程为

62
23
（
2
）解：设直线
l
AB
:yk

x2

，
A

x
1
,y
1

，
B
x
2
,y
2

，
AB
中点
M

x
0
,y
0

．

联立方程


yk

x2

22

x3y6 0
得
13k

2

x
2
12k2
x12k
2
60
，

2
261k
12k
2
12k
2
6
.
AB1k
2
xx
．

x
1
x
2
,x
1
x
2

22
12
2
13k13k
13k

6k
2
所以
x
0

，

2
13k
3k
2
1
6k
2
1
点
M
到直线
x1
的距离为
dx
0
1 
．

13k
2
13k
2
由以线段
AB
为直径的圆截直线
x1
所得的弦的长度为
5
得

5


AB

2
d



2


2


2
2< br>
61k
2
，所以

13k
2




3k
2
1

2

5

2



，



2


13k


2




2
解得
k1
，所以直线
l
的方 程为
yx2
或
yx2
．

【点睛】
< br>本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，
整理出
x
1
x
2
及
x
1
x< br>2
，代入弦长公式
AB1k
2
计算，

，考查学生的计算能力，属于中档题．
n
32n3
1

19
．
(1)
a
n




(2)
T
n


42(n1)(n2)

2


x
1
x
2

4x
1
x
2
列方程求解，还考查了圆的弦长
2
【解析】

【分析】

（
1
）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比q
，代入
a
2
2a
3
a
4
1
中，求出
q
，即可求得数
16

列
{a
n
}
的通项公式；

1
（
2
）把数列{a
n
}
的通项公式代入
b
n
中化简，代入求得，再利 用裂项相消求得
T
n
。

b
n
【详解】

（
1
）设等比数列
{a
n
}
的公比为
q< br>，

由
2S
2
,S
3
,4S
4< br>成等差数列知，
2S
3
所以
2a
4
a
3
，即
q
又
a
2
2a
3
a
4

2S
2
4S
4
，

1
.
2
11
1
23
，所以
a
1
q2a
1
qa
1
q
，所以
a
1
，

2
1616
n

1

所以等差数列
{a
n
}
的通项公式
a
n




.

2

（
2
）由（
1
）知
b(n2)log
n
所以
1
()n
2
2
n(n2)

，

111

11





< br>b
n
n(n2)2

nn2


1
所以数列

的前
n

项和：


b
n

T
n

1


1

11

11

1

11



1
1
L

 



2


3

2 4

35

n1n1

nn2


1

111

1

2

2n1n2


32n3


42(n1)(n2)
所以数列

【点睛】


1

32n3
T
n

的前项和< br>
n
42(n1)(n2)
b

n

本 题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：
分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题。
20
．（
I
）
b
n
2
【解析】

【分析】

2
（
I
）由等差数列的性质可得：
32 a
3
32a
11
a
7
322a
7
0
，解得
a
7
．利用等比数列的通项公式即
n1
n；

（Ⅱ）
S
n
(n1)•21
.
可得出．

n1
（Ⅱ）
c
n
n b
n
n
•2
，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

【详解】

2
（
I
）由等差数列的性质可得：
32 a
3
32a
11
a
7
322a
7
0
，

解得
a
7
64
．

数 列

b
n

满足
b
n1
2b
n
0
，

可得：数列

b
n

是等比数列，公比为
2
．

6
∵
b
7
a
7
64
．∴
b
1
•264
，解得
b< br>1
1
．

n1
∴
b
n
2
．

n1
（ Ⅱ）若
c
n
nb
n
n
•2
，

∴数列

c
n

的前
n
项和
S
n
12232L

n1

?2
2n2< br>n?2
n1
，

2S
n
222
2
32
3
L

n1

?2
n1
n?2
n
，

∴
S
n
122 L2
n
2n1
2
n
1
n?2n?2
n
，

21
n
可得
S
n

n1

?21
．

【点睛】

本题考查了 等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21
．
(1)
yx1
；
(2)
答案见解析；
(3)
证明见解析
.
【解析】

试题分析：

(1)
利用导函数研究函数的切线方程可得切线方程为
yx1

(2)
分类讨论可得：当
a
1
11

1

时，
f

x

min
f

a

lna
；当
a2a
，
f

x
< br>min
f


；当
eae
ee
< br>a
1
时，
f

x

min
f< br>
2a

2ln

2a


2e
(3)
构造新函数
g

x

xlnx
， 结合
(1)
的结论和不等式的特点研究函数的最值即可证得题中的结论
.
试题解析：

（
1
）
a1
时，
f

x

xlnx,f


x

ln x1

切线斜率
kf


1

1< br>，切点为

1,0

，切线方程为
yx1

（
2
）
f


x


①当
a
lnx11
，令
f


x

0x

ae
1
时，
f


x

0
，
f

x

在

a,2a

上单调递增，

e
f

x

min
f

a

lna
；

②当
111

1


1

 a2a
，即
a
时，

f

x
在

a,

上单调递减，在

,2a

上单调递增，
e2ee

e


e

1

1

f

x

min
f< br>

；

ae

e

③当a
1
时，
f


x

0
，
f

x

在

a,2a

上单 调递减，

2e
f

x

min
f< br>
2a

2ln

2a


（< br>3
）要证的不等式两边同乘以
x
，则等价于证明
xlnx
x 2


e
x
e
令
g

x

xlnx
，则由（
1
）知
f

x

min
f



e

e


1

1
x21x



x
，则，当
0x1
时，



x
0
，


x

递增；


xx
eee
1
当
x1
时，


x

0
，


x

递增减；



x

max



1< br>


e
x2
所以
f

x
min



x

max
，且最值 不同时取到，即
xlnx
x


ee
12
x 

0,

，都有
lnx
x

。< br>
eex
令


x


点睛：导数 是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在
历届高考 中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，
对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联
系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极
值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22
．（
1
）

,

（
2< br>）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）把
f

x

用分段函数来表示，分类讨论，求得
f

x

1
的解集．

（Ⅱ）当
x∈R
时，先求得< br>f

x

的最大值为
2
，再求得
g

x

）的最小值，根据
g

x

的最小 值减去
f

x

的最大值大于或等于零，可得
f

x

g

x

成立．

【详解】


1

2




2,x1

1
，不等式
f

x< br>
1
无解；（Ⅰ）由题意，

f

x
< br>

2x,1＜x＜1
，（
1
）当
x1
时，

f

x

2＜
（
2
）

2,x1

当
1＜x＜1
时，

f

x

2x1
，解得
x
所以
f< br>
x

1
的解集为

,

．

（Ⅱ）当
xR
时，

f

x

x11xx1

1x

2
；

11
，所以
x＜1
．（
3
）当
x1
时 ，

f

x

21
恒成立，
22
1

2


g

x
xa
2
xb
2
xa
2
xb
2
a
2
b
2
．



ab


ab

而
a
2
b
2

ab

2ab

ab

2

2
，



2

2

22
2
2

当且仅当
ab1
时，等号成立，即
a
2
b
2
2
，因此，当
xR
时，

f

x
2abg

x

，
22
所以，当< br>xR
时，

f

x

g

x

．

【点睛】

本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．