【附加15套高考模拟试卷】新疆乌鲁木齐一中2019-2020下学期高三数学(文科)第一次月考考试试卷含答案
识别假币-国庆假日
新疆乌鲁木齐一中2019-2020下学期高三数学(文科)第一次月考考试试卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目
要求的。
xy10,
1
.设变量
x
,y
满足约束条件
x2y0,
若目标函数
zaxy
取得最大值时的最优解不唯一,则实
2xy40.
数
a
的值为
A.
1
B.
2
C.
1
或
2
D.
1
或
2
2
.已知数列
a
n
满足
1
a
n
7
1
1
<
br>1
1
*
b
11
,,记,则数列b
n
的最
n
nN
a5
2
a
1
a
2
a
n
a
n
n
大项是(
)
A.
b
8
B.
b
7
C.
b
6
D.
b
5
x10
y1
3
.若
x,y
满足约束条件
xy
0
,则的取值范围是(
)
x
xy
40
1
0,
A.
2
1
,1
2
C.
0,2
B.
D.
1,2
,是双曲线上一点,点到
坐标原点的距离
4
.设双曲线
等于双曲线焦距的一半,且
A. B. C.
D.
的左、右焦点分别为
,则双曲线的离心率是(
)
5
.如图画出的是某几何体的三视图,网格纸上小正方形的边长为
1
,则该几何体的体积为(
)
A
.
25
3
23
D.
3
B
.
26
3
22
C.
3
x
2<
br>y
2
6
.已知椭圆
2
2
1(ab0
)
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
,点
P
在椭圆上,
O
为坐标原点,若
ab
|OP|
1
|F
1
F
2
|
,且
|PF
1
||PF
2|a
2
,则该椭圆的离心率为(
)
2
1
3
2
3
A.
4
B.
2
C.
2
D.
2
7
.已知△ABC
是边长为
a
的正三角形,且
AM
AB,A
N
AC(
,
R,
1)
.
设函数
f(
)BNCM
,当函数
f(
)
的最大值为
2
时,
a
(
)
A.
42
42
B.
3
C.
43
43
D.
3
8
.
如图,网格纸上小正
方形的边长为
1
,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为
(
)
A.
362
B.
364
C.
482
D.
484
9
.在
ABC
中,三内角A
、
B
、
C
对应的边分别为
a
、
b<
br>、
c
,且
acosBbcosA2cosC
,
c1,
则角
C
(
)
2
5
A.
6
B.
3
C.
3
D.
6
10
.第24
届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的
.
如
图,会标是由四个
全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形
.
设直角三角
形的一个锐角为
,且
tan
2
,若
在大正方
形内随机取一点,则该点取自小正方形区域的概率为(
)
A
.
1
4
B
.
1
5
23
C.
5
D.
5
11
.
等边
ABC
的边长为
1
,
D,E
是边
BC
的两个三等分点,则
ADAE
等于(
)
uuu
ruuur
3
1
3
13
A.
18
B.
4
C.
3
D.
2
x,x
a
12
.设函数
f
x
3
,其中
a2
,则满足
f
x
f<
br>
x1
3
的
x
取值范围是(
)
x3x,xa
A.
1,
B.
3,
C.
2,
D.
0,
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.四面体
ABCD中,
ABCD4
,
BCACADBD5
,则四面体外接球的
表面积为________.
uuuruuuruuur
uuuruuur
14.在
ABC
中,
AB5,AC4,
且
ABAC12
,
设
P
是平面
ABC
上的一点,则
PA(PBPC)
的<
br>最小值是__________.
15.已知等差数列
a
n
的前n项和为
S
n
,若
a
1
1
,<
br>S
3
a
5
,
a
m
2019
,则
m
________
ABC
2
,点
P<
br>在底面
ABC
的射影为
AC
的中16.三棱锥
PABC中,底面
ABC
满足
BABC
,
19
点,且该三棱锥
的体积为
6
,当其外接球的表面积最小时,
P
到底面
ABC
的距离为____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
t
x4
2
17
.(
12
分)已知直线
l
的参数方程为
(
t
为参数)
,以坐标原点为极点,
x
轴的非负半轴为
y
2
t
2
极轴建立极坐标系,圆
C
的极坐标方程为
ρ4c
osθ
,直线
l
与圆
C
交于
A
,
B
两点.
1
求圆
C
的直角坐标方程及弦AB
的长;
2
动点P在圆C上
(
不与A,B重合
)
,试求
VABP
的面积的最大值.
18.(1
2分)已知抛物线
G:y
2
2px
p0
过
点
M
1,2
,
A,B
是抛物线
G<
br>上异于点
M
的不同两点,
且以线段
AB
为直径的圆恒过点M
.当点
A
与坐标原点
O
重合时,求直线
MB
的方程;求证:直线
AB
恒
过定点,并求出这个定点的坐标.
x2tcos
ytsin
19.
(12分)已知直线
l
的参数方程为
(t为参数),以坐标原点O为极点
,
x
轴的正半
轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
2
sin
2cos
0
.写出曲线C的直角坐标方程;
若直线
l
与曲线C交于A,B两点,且
AB2
,求直线
l
倾斜角
的值.
20.(12分)已知
ABC
的直角顶点
A
在
y
轴上,点
B(1,0)
,
D
为斜边
BC
的中点,且
AD
平行于
x
轴.
求点
C
的轨迹方程;设点
C
的轨迹为曲线
,直线
BC
与
的另一个交点为
E
.以
CE
为直径的圆交
y
轴
于
M
、
N
,记此圆的圆心为
P
,<
br>MPN
,求
的最大值.
21.(12分)1995
年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”,为提升学生的文化素养,
养成多读书、读
好书的文化生活习惯,某中学开展图书源流活动,让图书发挥它的最大价值,该校某班图
书角有文学名著
类图书5本,学科辅导书类图书3本,其它类图书2本,共10本不同的图书,该班班委
会从图书角的1
0本不同的图书中随机挑选3本不同的图书参加学校的图书漂流活动。求选出的三本图书
来自于两个不同
类别的概率:设随机变量表示选出的3本图书中,文学名著类本数与学科辅导类本数差
的绝对值,求随机
变量的分布列和数学期望。
1
A
2,0
B
2,0
22.(10分)在平面直角坐标系中,动点
M
分别与两
个定点,的连线的斜率之积为
2
.
求动点
M
的轨迹
C
的方程;设过点
1,0
的直线与轨迹
C
交于
P
,
Q
两点,判断直线
x
5
2
与
以线段
PQ
为直径的圆的位置关系,并说明理由.
参考答案
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.C
2.B
3.C
4.D
5.A
6.D
7.D
8.A
9.B
10.B
11.A
12.A
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.
33
65
14.
8
.
15.1010
16.
19
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.
(1)
22
.
(2)
22
.
【解析】
3
222
分
析:
(1)
先根据
xy,x
cos
<
br>,y
sin
将圆
C
的极坐标方程化为直角坐标
方程,再将直线
l
的参数方程代入圆
C
方程,利用韦达定理以及参
数几何意义求弦
AB
的长;
(2)
先根据加减消元法得直
线
l
的普通方程,再根据点到直线距离公式得点
P
到直线
l
的距离最大
值,最后根据三角形面积公式求最
大值
.
2
详解:(
1
)
由
4cos
得
4
cos
所以
xy4x0
,所以圆
C
的直角坐标方程
为
x2
y
2
4
22
2
将直线
l
的参数方程代入圆
C:
x2
y
2
4
,并整理得
t
2
22t0
,<
br>
解得
t
1
0,t
2
22
所以直线
l
被圆
C
截得的弦长为
t
1
t
2
22
.
(
2
)直线
l
的普通方程为
xy40
.
2
x22cos
圆
C
的参数方程为
(
为参数),
y2sin
可设圆
C
上的动点
P
22cos
,2sin
,
则点
P
到直线
l
的距离
d
22cos
2sin
4
2
2cos
2
4
当
cos
1
时,
d
取最大值,且
d
的最大
值为
22
4
所以
S
ABP
1
2222222
2
即
ABP
的面积的最大值为
222
.
点睛:直线的参数方程的标准形式的应用
xx
0
t
cos
.(t
是参数,
t
可正、可负、可为
0)
过点
M
0
(x
0
,
y
0
)
,倾
斜角为
α
的直线
l
的参数方程是
yytsin
0
若
M
1
,
M
2
是
l
上的两点,其对应参数分别为
t
1
,
t
2
,则
(1)M
1
,
M
2
两点的坐标分别是
(
x
0
+
t
1
cos
α
,
y
0
+
t
1
sin
α)
,
(x
0
+
t
2
cos
α
,
y
0
+
t
2
sin α).
(2)
|M
1
M
2
|
=
|t
1
-
t2
|.
(3)
若线段
M
1
M
2
的中
点
M
所对应的参数为
t
,则
t
=
(4)若M
0
为线段M
1
M
2
的中点,则t
1
+t
2
=0.
18
.(
I
)
x2y50
;
(
II
)答案见解析
.
【解析】
t
1
t
2
t
1
t
2
. ,中点
M
到定点
M
0
的距离
|MM
0
|
=
|t|
=
2
2
【分析】
(Ⅰ)
首先求得抛物线的方程,然后求得
AO
的斜率,最后利用直线垂直的充分必
要条件可得直线
MB
的方
程;
(Ⅱ)
联立直线方程与抛物
线方程,结合韦达定理得到系数之间的关系,然后结合直线方程的形式即可证得
直线恒过定点
.
【详解】
2
2
(
I
)因为
M
1,2
在抛物线
G:y2px
p0
<
br>上,所以
2
2p1
,
2
所以
p2
,抛物线
G:y4x
.
当点A
与点
O
重合时,易知
k
AM
2
,
因为以线段
AB
为直径的圆恒过点
M
,所以
AMMB
.
所以
k
BM
所以
MB:y2
1<
br>.
2
1
x1
,
即直线
MB
的方程为
x2y50
.
2
(
II
)显然
直线
AB
与
x
轴不平行,设直线
AB
方程为
xm
yn
.
xmyn,
2
,消去
x
得y4my4n0
.
2
y4x
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)<
br>,因为直线
AB
与抛物线交于两点,
所以
=16m
2
16n0,y
1
y
2
4m,y
1
y<
br>2
4n
①
因为以线段
AB
为直径的圆恒过点
M
,所以
AMMB
.
因为
A,B
是抛物线上异于
M
的不同两点
,
所以
x
1
,x
2
1<
br>,
k
MA
k
MB
1
.
k
M
A
=
y
1
2y
1
2y2y
2
2<
br>44
2
k
MB
=
2
2
x
1
1
y
1
y
1
2
,<
br>同理得
x
2
1
y
2
y
2
2.
11
44
44
=1
,
即
(y1
2)(y
2
2)160
,
y
1
y<
br>2
2(y
1
+y
2
)200
.
y
1
2y
2
2
所以
将
①代入得,
4n8m200
,即
n=2m5
.
代入直线方程得
xmy2m5m(y2)5
.
所以直线
AB
恒过定点
(5,2)
.
【点睛】
(1)
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的
关系;
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的
焦点,可直接使用公式
|AB|=x
1
+x
2
+p,若不过焦点,则
必须用一般弦长公式.
22
19
.(
1
)
xy2x2y0
;(
2
)
0
或
4
【解析】
【分析】
(<
br>1
)把
x
cos
,y
s
in
代入曲线
C
的方程,化简求得曲线
C
的直角坐标方程
;(
2
)设出直线
l
的
方程,根据
AB2
列方程
,解方程求得直线
l
的斜率,由此求得倾斜角
.
【详解】
22
(
1
)把
x
cos
,y<
br>
sin
代入曲线
C
的方程得
xy2x2y
0
.
(
2
)易知直线
l
的斜率存在,
可设直线<
br>l
的方程为
kxy2k0
ktan
<
br>,设圆心
C
1,1
到直线
l
的距离为<
br>d
,由直角三角形可
知
222d,d1
,所以
【点睛】
2
k12k
k
2
1
1
,解得<
br>k0
或
k1
,所以
0
或
π
.
4
本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程,考查直线和圆相
交的弦长公式,属于中档题.
20
.
(1)
y
2
4x(x0)
.
(2)
2
.
3
【解析】
分析:
(1)
设点
C
的坐标为
x,y
,表示点
D,A
坐标,再根据
ABAC
列方程解得点
C
的轨迹方程;
(2)
设直线
CE
的方程为
xm
y1
,与抛物线方程联立,根据韦达定理以及中点坐标公式得圆心坐标,解得
半径,再根据垂
径定理得
cos
值
.
2
PQ
r1
1
2m2
2
,最后根据函数值域得
cos
<
br>2
最小值,即
的最大
详解:(
1
)设点
C
的坐标为
x,y
,则
BC
的中点
D<
br>的坐标为
x1y
y
,
,点
A
的坐标为
0,
.
22
2
uuuv
v
y
y
uuu
AB
1,
,AC
x,
,
2
2
uuuvuuuv
y
2
由
ABAC
,得<
br>ABACx0
,即
y
2
4x
,
4
经检验,当点
C
运动至原点时,
A
与
C
重合,不
合题意舍去
.
所以,轨迹
的方程为
y4x
x0
.
2
(
2
)依题意,可知直线
CE不与
x
轴重合,设直线
CE
的方程为
xmy1
,点
C
、
E
的坐标分别为
x
1
,y
1
、
x
2
,y
2
<
br>,圆心
P
的坐标为
x
0
,y
0
.
y
2
4x
2
由
,可得
y4my40
,∴
y
1
y
2
4m
,
y
1
y
2
4
.
xmy1
∴
x
1
x
2
m
y
1
y
2
24m2
,∴
x
0
2
x
1
x
2
2m
2
1
.
2
∴圆
P
的半径
r
111
CE
x1
x
2
2
4m
2
42m
2
2
.
222
过圆心
P
作
PQMN
于点
Q
,则
M
PQ
在
RtPQM
中,
cos
2
.
2
PQ
r
x
0
2m
2
1
1
,
1
r2m
2
22m<
br>2
2
当
m
2
0
,即
CE
垂直于
x
轴时,
cos
所以,
的最大值为
2
取得最小值为
1
,取得最大值为,
2
23
2
.
3
点睛:求轨迹方程,一般有以下
方法,一是定义法,动点满足圆或圆锥曲线定义;二是直接法,化简条件
即得;三是转移法,除所求动点
外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者关系是关键;四是交轨法或参数
法,如何消去参数是解题关键,
且需注意消参过程中的等价性.
21
.(
I
)
【解析】
【分析】
(
I
)利用古典概型求解出三本书来自于同一个类别或三
个不同类别的概率,再利用对立事件概率求解出
来自于两个不同类别的概率;(
II
)
确定所有可能的取值,依次计算出每种取值所对应的概率,从而可得
到分布列;利用数学期望的计算公式
求解得到结果
.
【详解】
(
I
)设选出的三本书来自于两个不同类别为事件
则:
(
II
)见解析
(
II
)随机变量的所有可能的取值为:,,,
;
;
的分布列如下:
;
【点睛】
本题考查古典概型求解概率、随机变量的分布列与数学期望
的求解问题,关键是能够根据古典概型求解出
随机变量每个可能的取值所对应的概率,属于基础题. <
br>x
2
y
2
22
.(
1
)
1
x2或y0
;
(
2
)相离
.
42
【解析】
【分析】
(
1
)根据直接法求轨迹方程,(
2
)
先用坐标表示以线段
PQ
为直径的圆方程,再根据圆心到直线
x
距离与半
径大小进行判断
.
【详解】
(
1
)设动点
M<
br>的坐标为
x,y
,
因为
k
MA
5
2
yy
x2
,
k
MB
x2
,
x2x2
yy1
x
2
y
2
,整理得
1
.
<
br>x2x22
42
所以
k
MA
k
MB
x<
br>2
y
2
所以动点
M
的轨迹
C
的方程
1
x2或y0
.
42
(
2
)过点
1,0
的直线为
x
轴
时,显然不合题意.
所以可设过点
1,0
的直线
方程为
xmy1
,
设直线
xmy1
与轨迹
C
的交点坐标为
P
<
br>
x
1
,y
1
,
Q
x
2
,y
2
,
xmy1,
22
由
x
2
y
2
得
m2
y2my30
.
1,
2
4
因为
2m
12m20
,
2
2
2m3
yy
=
,.
12
m
2
2m
2
2
4
注意到
x
1
x
2
=
m
y
1
y
2
2
2
.
m2
由韦达定理得
y
1
y
2
=
所以
PQ
的中点坐标为
N
m
2
,
.
22
m2m2
因为
PQ1m
2
y
1
y
2
2
2m12
2
1m
2
4m
2
6
2
1m
2
.
22
m2m2
m2
525m
2
6
5
点
N
到直线
x
的距离为
d
2
.
2
2m22m2
2
因为
d
2
PQ
4
2
9m
4
20m
2
12
4m
2
2
2
0
,即
d
PQ
,
2
所以直线
x
【点睛】
5
与以线段
PQ
为直径的圆相离.
2
本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系,考查基本分析求解能力,属中档题.
高考模拟数学试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的
四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
1.已知
i
是虚数单位,则
2i
=
1i
C.
1i
A.
1i
B.
1i
D.
1i
2.设集合
A
xx
2
2x30
,
Bxx
2
1
,则AB
等于
1,3
A.
1
B.
1,3
C.
1,1,3
D.
3.
条件
p:2x4
,条件
q:(x2)(xa)0
;若p是q的充
分而不必要条件,则
a
的取值范围是
A.
(4,)
B.
(,4)
C.
(,4]
D.
[4,)
4.已知两个不同的平面
,
<
br>和两条不重合的直线
a,b
,则下列四个命题正确的是
A.若
ab,b
,则
a
B.若<
br>a
,b
,
a
,b
,则
C.若
,
b
,
ab
,则
a
D.若
,
a
,a<
br>
,
a
,则
a
5.执行如图所示的程序框图,输出的S值为
A.2 B.4
C.8 D.16
k<3
否
输出S
结束
是
开始
k=0,S=1
k=k+1
S=S×
2
k
rrr
6.若
|ab||ab|2|a|
,则向量
ab与
a
的夹角为
2
5
B. C. D.
633
6
7
.函数
f(x)Asin(
x
)(A0,
0,|
|)
的部分图象如图示,则
2
将
yf(x)
的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为
6
A.
A.
ysin2x
B.
ycos2x
2
)
D.
ysin(2x)
36
11
x,x[0,
)
22
,定义
f(x)f(f(x))
,其中
f(x)
f(x)
,则
f(
1
)
等于 8.已知
f(x)
nn1
1
2014
1
5
2(1x),x
[,1]
2
1234
A. B.
C. D.
5555
C.
ysin(2x
9.已知
F
1
,F
2
分别是椭圆的左,右焦点,现以
F2
为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点
M,N
,
若过
F
1
的直线
MF
1
是圆
F
2
的切线,则
椭圆的离心率为
A.
31
B.
23
C.
23
D.
22
10.设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]=2, [
5
]=1
),对于给定的n
N
*
,定义
4
C
x
n
n(n1)
L
(n
x
1)
3
,
x
1,
,则当
x
,3
时,函数
C
8
x
的
值域是
x(x1)
L
(x
x
1)
2
B.
A.
16
,28
3
16
28
,56
C.
4,
28,56
3
3
D.
4,
16
28
,28<
br>
33
二、填空题:本大题共7小题,每小题
4分,共28分。
11.如图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为 .
12.在等差数列
a
n
中,
a
9
等于 .
13.二项式
(x
1
a
1
2
6
,则数列
a
n
的前11项和S
11
2
1
9
)
的展开式中常数项为
A
,则
A
= .
x
14.从0,1,2,3,4,5这6个数字中任
意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数,
这样的四位数有 个.
15.已知正数
x,y
满足
xy
19
10
,则
xy
的最大值为 .
xy
uuuruuuruuuruuur
0OPOA1
16.向量
OA(
1,0),OB(1,1)
,
O
为坐标原点,动点
P(x,y)
满
足
,则点
Q(xy,y)
构成
uuuruuur
0OPOB2
图形的面积为 .
17.若
a
1
xsinxa
2
x
对任意的
x[0,
2
]
都成立,则
a
2
a
1
的
最小值为 .
三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18
.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
2cos(BC
)14cosBcosC
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若
a27<
br>,△ABC的面积为
23
,求
bc
.
19.(本小题满分
14分)已知等差数列
{a
n
}
的公差不为零,其前n项和为
Sn
,若
S
5
=70,且
a
2
,a
7<
br>,a
22
成
等比数列,
(Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(Ⅱ)设数列
1
13
的前n项和为
T
n,求证:
T
n
.
68
S
n
E
20..
(本小题满分15分)C如图,将边长为2的正方形ABCD沿对角
线BD折成一个直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=
a
,
(Ⅰ)若
a22
,求证:AB∥平面CDE;
(Ⅱ)求实数
a
的值,使得二面角A-EC-D的大小为60°.
C
A D
B
x
2
y
2
21.(本小题满分15分) 如图,已知圆
G:
xy2x22y0
,经过椭圆
2
2
1(ab0)<
br>的
ab
22
右焦点F及上顶点B,过圆外一点
(m,0)(ma)<
br>倾斜角为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部,
求m的取值范围.
5
的直线
l
交椭圆于C,D两点,
6
y
B
C
O
F
D x
22.(本小题满分14分)已
知函数
f(x)xx1,g(x)axxb
(
xR
),其中<
br>a,bR
.
(Ⅰ)若曲线
yf(x)
与
yg(x)<
br>在点
(1,1)
处相交且有相同的切线,求
a,b
的值;
(
Ⅱ)设
F(x)f(x)g(x)
,若对于任意的
a[2,2]
,函
数
yF
x
在区间
[1,1]
上的值恒为负
数,
求
b
的取值范围.
4232
数学(理科)评分标准
一、选择题(每小题5分,共50分)
题
号
答
案
二、填空题(每小题4分,共28分)
11.12 12.132
13.-84 14.96 15.8 16.2
17.
1
三、解答题(共72分)
18.解:(Ⅰ)∵
2cos(BC
)14cosBcosC
,∴
2(cosBcosCsinBsinC)14cos
BcosC
A C B D C B D B A
1 2 3 4 5 6 7
8 9
0
D
1
2
1
.
------------4分
2
2
∵
0BC
,可得
BC
.∴
A
.
-------------7分
33
2
12
(Ⅱ)
由(Ⅰ)得
A
.∵S
△ABC
=
23
∴
bcsin
23
,解得bc=8.① ------------10分
323
可得
2cos(BC)1
,∴
cos(BC)
由余弦定理
abc2bccosA
,得
bcbc28
,
----------- 12分
即
(bc)bc28
.②
将①代入②,可得
bc6
. -----------
14分
2
22222
5a
1
10d70
S
5
70
19.解:(Ⅰ)由题知
2
,即
, ------------2分
2
aaa
(a6d)(ad)(a21d)
222
11
1
7
解得
a
1
6,d4
或
a
1
14
,d0
(舍去),
------------4分
所以数列的通项公式为
a
n
4n2
.
------------4分
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
S
n
2n4n
------------7分
则
11111
()
------------8分
S
n
2n(n2)2nn2
111(1)(1)
232435n1n1nn222
n1n2
则
T
n
=
3111
()
------------10分
84n1n2
111311133
()0
可知
()
,即
T
n
------------11分
4n1n284n1n288
由
<
br>由
T
n1
T
n
1111
()0<
br>可知
{T
n
}
是递增数列,则
T
n
T1
------------13分
4n1n36
3
------------14分
8
可证得:
T
n
1
6
20.解:(Ⅰ)如图建立空间指教坐标系,则
A(
0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,
2
),D(0,2,0),E(0,0,22
),
uuuruuuruuur
AB
2,0,0<
br>
,DE0,2,22,DC1,1,2
------------2分
uur
设平面
CDE
的一
个法向量为
n
1
x,y,z
,
则有
2y22z0,xy2z0
,
uur
取
z2
时,
n
1
0,2,2
------------4分
uuuruur
ABn
1
0
,又
AB
不在平面
CDE
内,所以
AB
平面<
br>CDE
; ------------7分
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则
A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,<
br>2
),D(0,2,0),E(0,0,
a
),
uuuruuur<
br>DE
0,2,a
,DC1,1,2
,
uur
n
设平面
CDE
的一个法向量为
2
<
br>
x,y,z
,
uur
则有
2yaz0,
xy2z0
,取
z2
时,
n
2
a22,a,2
------------9分
uur又平面
AEC
的一个法向量为
n
3
1,
1,0
,
------------10分
uuruur
n
2
n
3
1
因为二面角
AECD
的大小为
60
,
uuruur
,
n
2
n
3
2
即
a
2
2xa20
,解得
a22
------------14分
又
a0
,所以
a22
.
------------15分
注:几何解法相应给分.
22
21.
解:(Ⅰ)∵圆G:
xy2x2y0
经过点F、B.
∴F(2,0),B(0,
2
),
∴
c2
,
b
2
2
.
------------3分
x
2
y
2
1
.
------------5分 ∴
a6
.故椭圆的方程为
62
(Ⅱ)设直线
l
的方程为
y
3
(xm)(m6)
.
3
x
2
y
2
1<
br>
62
22
由
消去
y
得
2x2mx(m6)0
.
y
3
(xm)
3
m
2
6
设
C(x
1
,y
1
)<
br>,
D(x
2
,y
2
)
,则
x
1x
2
m
,
x
1
x
2
,
------------7分
2
331mm
2
(x
1
m)][(x
2
m)]x
1
x
2
(x
1
x
2
)
∴
y
1
y
2
[<
br>.
33333
∵
FC(x
1
2,y
1
)
,
FD(x
2
2,y
2
)
,
4(m6)m
2
(x
1
x
2
)4
∴
FCFD
=
(x
1
2)(x
2
2)y<
br>1
y
2
x
1
x
2
333
=
2m(m3)
.
3
------------10分
∵点F在圆G的外部,
即
uuuruuur
∴
FCFD0
,
2m(m3)
0
,解得
m0
或
m3
.
------------12分
3
6
,
6m23
.
22
由△=
4m8(m6)0
,解得
23m23.又
m
∴
3m23
.
------------15
分
22.解:(Ⅰ)
f'(x)4x
2x
,切线斜率
kf'(1)6
,
------------2分
3
g'(1)6
3a2
6
44
由题知
,即
,解得
a,b
. ------------5分
33
g(1)1
ab11
(Ⅱ)由题知对任意的
a[2,2]
,在
x[1,1]
上
F(x)xax2xb10
恒成立,
432
432
即
xax2x1b
恒成立.
------------7分
432
设
h(x)xax2x1
,
则
h(x)
max
b
h'(x)4x
3
3ax
2
4xx(4x
2
3ax4)
,
22令
y4x3ax4
,则对任意的
a[2,2]
,恒有
9a640
,则恒有
4x3ax40
2
当
x[1,0]
时,
h'(x)x(4x3ax4)0
,函数
h(
x)
单调递减,
2
当
x(0,1]
时,
h'(x)x(4x3ax4)0
,函数
h(x)
单调递增。
------------12分
2
h(x)
max
max{h(1)
,h(1)}max{a2,2a}
=4,
所以
b4
,即
b4
------------14分
高考模拟数学试卷
一、 填空题
1、函数
f(x)sinxcosx
的最小正周期为
。
2、已知复数
z(2i)(13i)
,其中
i
是虚数单位
,则复数
z
在复平面上对应的点位
于第 象限。
3、
右图是一个算法流程图,如果输入
x
的值是
1
,则输出
S
的
值是 。
4
4、某工厂为了了解一批产品的净重(单位:克)情况,从中随机抽测了100件产品的净重,
所得
数据均在区间[96,106]中,其中频率分布直方图如图所示,则在抽测的100件产品中,净
重在区[100,104]
上的产品件数是 。
若红球,得2分,摸出黑球,得1分,则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 。
6、如图,在平面四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点,若
BE
BA
BD
(
,
R
),则
7、已知平面α,β,直线
m
,
n
,给出下列命题:
①若
m
,
n
,mn
,则
<
br>
,
②若
,
m
,
n
,则
m||n
,
③若
m
,n
,mn
,则
,
④若
,
m
,n
,则
mn
.
其中是真命题的是 。(填写所有真命题的序号)。
8、如图,在
ABC
中,D是BC上的一点。已知
B
60
,0
A
E
O
B
第6题图
C
D
A
B
第8题图
D
C
AD2,AC10,DC2
,则AB=
。
2
0)
,若射线FA与抛物9、在平面直角坐标系xoy中,已知
抛物线C:
x4y
的焦点为F,定点
A
(22,
线C相交于点M,
与抛物线C的准线相交于点N,则FM:MN= 。
10、记等差数列
a<
br>n
的前n项和为
S
n
,已知
a
1
2
,且数列
则
a
13
= 。
11、已知知
函数
f(x)
S
也为等差数列,
n<
br>x1
2
,
xR
,则不等式
f(x2x)f(3x4
)
的解集是 。
|x|1
22
12、在平面直
角坐标系
xoy
中,已知⊙C:
x(y1)5
,A为⊙C与x负半轴的
交点,过A作⊙C
的弦AB,记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为 。
13、已知
,
均为锐角,且
cos(
)
sin
,则
tan
的最大
值是 。
sin
x
2
2x
,x0
1
100]
时,关于
x
的方程
f(x)x的所有解的和14、已知函数
f(x)
,当
x
[0,5
f(x1)1,x0
为 。
二、解答题
15、在
ABC
中,角A、B、C的对边分别为a,b,c
.已知
cosC
rur
uuuruuur
9
rur
BB
x
P
y
(1)若
CBCA
,求<
br>
ABC
的面积;(2)设向量
x(2sin,3)
,
y
(cosB,cos)
,且
,求
222
3
.
5
sin(BA)
的值。
16、如图,在四棱锥P—ABCD中,
ADC
D
(1)求证:
BC
平面
PAC
;
(2)若
M为线段PA的中点,且过
C,D,M
三点的平面与PB交于点N,求PN:PB的值。
P
1
AB
,
AB||DC
,
ADCD
,
PC平面ABCD
.
2
17.右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是矩形ABCD,上部是圆AB,该圆弧所在
的圆心为O,为
了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在
圆弧AB上,G,
H在弦AB上)。过O作
OP
交AB 于M,交EF于N
,交圆弧AB于P,已知
OP
10,
MP
6.5
AB
,
2
(单位:m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:
m
)
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设
POF
(rad)
,将S表示成
的函数;
(ii)设
MNx(m)
,将S表示成
x
的函数;
(2)试问通风窗的高度MN为多少时?通风窗EFGH的面积S最大?
A
E
H
N
M
O
P
F
G
B
D
第17题图
C
2
x
2
y
2
1
18、如图,在平面直角坐标系
xoy
中,椭圆E:
2
2
1(ab0)
的离心率为,直线l:
yx
2
ab
2
与椭圆E相交于A,B两点,
AB25
,C,D是椭圆E上异于A,B两点,且直
线AC,BD相交于点
M,直线AD,BC相交于点N.
(1)求
a,b
的值;(2)求证:直线MN的斜率为定值。
19、已知函数
f(x)1lnx
B
(第18题图)
D
N
O
x
y
M
C
A
k(x2)
,其中
k
为常数.
x
(1)若
k
0
,求曲线
yf(x)
在点
(1,
f
(1))
处
的切线方程.
(2)若
k5
,求证:
f(x)
有且仅有两个零点;
(
3)若
k
为整数,且当
x2
时,
f(x)0
恒成立,求
k
的最大值。
20.给定一个数列
a
n
,在这个数列中,任取
m
(m3,mN)
项,并且不改变它们在数
列
a
n
中的先
后次序,得到
的数列
a
n
的一个
m
阶子数列。
已
知数列
a
n
的通项公式为
a
n
个3子阶数列。
(1) 求
a
的值;
(2) 等差数列
b<
br>1
,b
2
,L,b
m
是
a
n
的一个
m
(m3,mN)
阶子数列,且
b
1
1
(nN
,a为常数)
,等差数列
a
2
,
a
3
,
a
6
是数列
a
n
的一
na
1
k
(k为常数,
kN
,k2)
,求证:
mk1
(3) 等比数
列
c
1
,c
2
,L
求证:
c
1
c
1
L
数学附加题
21、选做题
A,选修4-1;几何证明选讲
如图,过点A的圆与BC切于点D,且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线,
求证:
EF||BC
A
,c
m
是
a
n
的一个
m
(m3,mN
)
阶子数列,
c
m
2
1
2
m1
B.选修4-2:矩阵与变换
E
B
D
F
C
(第21A题图)
1
30
0
1
已知矩阵
A
3
,A的
逆矩阵
A
2
a
<
br>b
1
(1) 求a,b的值; (2)求A的特征值。
C.选修4-4:坐标系与参数方程
x2
xs
(
s
为参数
)
在平面直角坐标系xoy中
,已知曲线C:
,直线l:
2
ys
y4
线C与直线l交于A,B两点,求线段AB的长度。
D.选修4-5:不行等式选讲
已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证:(1+x)(1+y)(1+z)≥8
1
t
10
(t为参数)
.设曲
3t
10
22、甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束
。除第五局甲队获胜的
概率是
12
外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比
赛结果相互独立.
23
(1)分别求甲队以3:0,3:1,3:2获胜的概率;
(2)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为32,则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分的分布列及数学期望。
23、(本小题满分10分)
已知
m,nN
,定义
(1) 记
(2)记
f
n
(m)
n(n1)(n2)
L
(nm1)
m!
a
m
f
6
(m)
,求
a
1
a
2
La
12
的值;
b
m
(1)
m
mf
n
(m)
,求
b
1
b
2
Lb
n
所有可能值的集合。
数学
参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
7
1.
2.一 3.-2 4.55 5.
8
3261
6. 7.③④ 8.
9. 10.50
433
11.(1,2)
12. 2 13.
15.(本小题满分14分)
3
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知cosC=.
5
9
(1)若CBCA=,求△ABC的面积;
2
BB
(2)设向量x=(2sin,3),y=(cosB,cos),且x∥y,求sin(B-A)
的值.
22
→→
99
解:(1)由CB·CA=,得abcosC=.
22
3915
又因为cosC=,所以ab==.
………………… 2分
52cosC2
4
又C为△ABC的内角,所以sinC=.
………………… 4分
5
1
所以△ABC的面积S=absinC=3.
………………… 6分
2
BB
(2)因为xy,所以2sincos=3cosB,
即sinB=3cosB. ……………… 8分
22
因为cosB≠0,所以tanB=3.
π
因为B为三角形的内角,所以B=.
………………… 10分
3
所以A+C=
2π2π
,所以A=-C.
33
2
14.10000
4
ππ
所以sin(B-A)=sin(-A)=sin(C-)
33
131
4
3
3
=sinC-cosC=×-×
222
5
2
5
=
4-33
.
…………………… 14分
10
16
.(本小题满分
14
分)
1
如图,在四棱锥P—ABCD中, AD=CD=AB,
AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.
2
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与PB交于点N,求PN:PB的值.
证明:(1)连结AC.不妨设AD=1.
1
因为AD=CD=AB,所以CD=1,AB=2.
2
因为ADC=90,所以AC=2,CAB=45.
A
C
B
M
P
D
BC
2
=AB
2
.
在△ABC中,由余弦定理得BC=2,所以AC
2
+
(第16题图)
所以BCAC.
…………………… 3分
因为PC平面ABCD,BC平面ABCD,所以BCPC.
…………………… 5分
因为PC平面PAC,AC平面PAC,PC∩AC=C,
所以BC平面PAC.
…………………… 7分
(2)如图,因为AB∥DC,CD平面CDMN,AB平面CDMN,
所以AB∥平面CDMN. …………………… 9分
因为AB平面PAB,
平面PAB∩平面CDMN=MN,
所以AB∥MN.
…………………… 12分
在△PAB中,因为M为线段PA的中点,
所以N为线段PB的中点,
1
即PN:PB的值为. ……………………
14分
2
17
.(本小题满分
14
分)
右图为
某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形ABCD,上部是圆弧AB,该圆弧所在圆的圆心
为O.为
了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上,
G,H在弦AB上).过O作OPAB,交AB于M,交EF于N,交圆弧AB于P.已知OP=10,MP=
6.5(单位:m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:m
2
).
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠POF=θ
(rad),将S表示成θ的函数;
(ii)设MN=x (m),将S表示成x的函数;
(2)试问通风窗的高度MN为多少时,通风窗EFGH的面积S最大?
解:(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5.
D
(第17题图)
C
A
E
H
M
O
P
N
F
G
B
D
A
C
(第16题图)
B
M
P
N
(i)
在Rt△ONF中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ.
在矩形EFGH中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5,
故S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7).
7
即所求函数关系是S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ
0
,其中cosθ
0
=.
20
………… 4分
(ii)因为MN=x,OM=3.5,所以ON=x+3.5.
在Rt△
ONF中,NF=OF
2
-ON
2
=100-(x+3.5)
2=
351
-7x-x
2
.
4
在矩形EFGH中,EF
=2NF=351-28x-4x
2
,FG=MN=x,
故S=EF×FG=x351-28x-4x
2
.
即所求函数关系是S=x351-28x-4x
2
,0<x<6.5.
………… 8分
(2)方法一:选择(i)中的函数模型:
令f(θ)=sinθ(20cosθ-7),
则f ′(θ)=cosθ(20cosθ-
7)+sinθ(-20sinθ)=40cos
2
θ-7cosθ-20.………… 10分
45
由f ′(θ)=40cos
2
θ-7cosθ-20=0,解得cos
θ=
,或cosθ=-.
58
4
因为0<θ<θ
0
,所以cosθ>cosθ
0
,所以cosθ=.
5
4
设cosα=,且α为锐角,
5
则当θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0
,f(θ)是增函数;当θ∈(α,θ
0
)时,f ′(θ)<0 ,f(θ)是减函数,
4
所以当θ=α,即cosθ=时,f(θ)取到最大值,此时S有最大值.
5
即MN=10cosθ-3.5=4.5m时,通风窗的面积最大. ………… 14分
方法二:选择(ii)中的函数模型:
因为S=x
2
(351-28x-4x
2
)
,令f(x)=x
2
(351-28x-4x
2
),
则f
′(x)=-2x(2x-9)(4x+39). ……… 10分
9913
因为当0<x<时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当<x<时,f
′(x)<0,f(x)单调递减,
222
9
所以当x=时,f(x)取到最大值,此时S有最大值.
2
即MN=x=4.5m时,通风窗的面积最大. ………… 14分
18
.(本小题满分
16
分)
x
2
y<
br>2
21
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:
2
+
2<
br>=1(a>b>0) 的离心率为,直线l:y=x与椭
ab22
圆E相交于A,B两点
,AB=25.C,D是椭圆E上异于A,B的任意两点,且直线AC,BD相交于点
M,直线AD,B
C相交于点N.
(1)求a,b的值;
D
N
y
M
C
A
(2)求证:直线MN的斜率为定值.
c211
解:(1)因为e==,所以c
2
=a
2
,即a
2
-b
2
=a
2
,所以a
2
=2
b
2
.…… 2分
a222
x
2
y
2
故
椭圆方程为
2
+
2
=1.
2bb
由题意,不妨设点A在第一象限,点B在第三象限.
1
y=x,
2
233
由
x
2
y
2
解得A(b,b).
33
2
+
2
=1,
2bb
41
又AB=25,所以OA=5,即b
2
+b
2
=5,解得b
2
=3.
33
故a=6,b=3. ………………
5分
(2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为
x
2
y
2
+=1,从而A(2,1),B(-2,-1).
63
①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k
1
,k
2
,C(x
0
,y
0
),显然k
1
≠k
2
.
x
0
2
x
0
2
3(1
-)-12-
1
62
y
0
-1y
0
+1y
0
2
-1
从而k
1
·k
CB
=·=
2
===-.
2
x
0
-2x
0
+2x
0
-4x
0
2
-4x<
br>0
2
-4
1
所以k
CB
=-.
…………………… 8分
2k
1
1
同理k
DB
=-.
2k
2
1
于是直线AD的方程为y-1=k
2
(x-2),
直线BC的方程为y+1=-(x+2).
2k
1
4k
1
k
2
-4k
1
-2
x=,
1
y+1=
-(x+2),
2k
1
k
2
+1
2k
1
由
解得
-2k
1
k
2
-4k
2
+1
y-1=k
2
(x-2),
y=.
2k
1
k
2
+1
4k
1
k
2
-4k
1
-2-2k
1
k
2
-4k
2
+1
从而点N的坐标为(,).
2k
1
k
2
+12k
1
k
2
+1
4k
1
k
2
-4k
2
-2-2k
1
k
2
-4k
1
+1
用k
2
代k
1
,k
1
代k
2
得点M的坐标为(,).
2k
1
k
2
+12k
1
k
2
+1
………… 11分
-2k
1
k
2
-4k
2
+1-2k
1
k
2
-4k
1<
br>+1
-
2k
1
k
2
+12k
1
k<
br>2
+1
4(k
1
-k
2
)
所以k
M
N
= ==-1.
4k
1
k
2
-4k
1
-24k
1
k
2
-4k
2
-2
4(k
2<
br>-k
1
)
-
2k
1
k
2
+12k<
br>1
k
2
+1
即直线MN的斜率为定值-1.
……… 14分
②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,
根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,
故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).
仍然设DA的斜率为k
2
,由①知k
DB
=-
1
.
2k
2
2
1
此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们
交点M(2,-1-).
k
2
2k
2
2
BC:y=-1,
AD:y-1=k
2
(x-2),它们交点N(2-,-1),
k
2
从而k
MN
=-1也成立.
由①②可知,直线MN的斜率为定值-1. ………… 16分
x
2
y
2
方法二:由(1)知,椭圆E的方程为
+=1,从而A(2,1),B(-2,-1).
63
①当CA,CB,DA,DB斜率都存
在时,设直线CA,DA的斜率分别为k
1
,k
2
.
显然k
1
≠k
2
.
直线AC的方程y-1=k
1
(x-2),即y=k
1
x+(1-2k
1
).
k
1
x+(1-2k
1
),
y=
由
x
2
y
2
得(1+2k
1
2
)x
2
+4k
1
(1-2k
1
)x+2(4k
1
2-4k
1
-2)=0.
+=1
63
2(
4k
1
2
-4k
1
-2)
4k
1
2
-4k
1
-2
设点C的坐标为(x
1
,y
1
),
则2·x
1
=,从而x=.
1
1+2k
1
2
2
k
1
2
+1
4k
1
2
-4k
1
-
2-2k
1
2
-4k
1
+1
所以C(,).
2k
1
2
+12k
1
2
+1
又B(-2,-1), <
br>-2k
1
2
-4k
1
+1
+1
2k
1
2
+1
1
所以k
BC
==-. ………………
8分
2k
1
4k
1
2
-4k
1
-2+2
2k
1
2
+1
1
所以直线BC的方程为y+1=-
(x+2).
2k
1
又直线AD的方程为y-1=k
2
(x-2).
4
k
1
k
2
-4k
1
-2
x=,
1
y+1=-(x+2),
2k
1
k
2
+12k
1
由
解得
-2k
1
k
2<
br>-4k
2
+1
y-1=k
2
(x-2),
y=.
2k
1
k
2
+1
4k
1
k
2
-4k
1
-2-2k
1
k
2
-4k
2
+1
从而点N的坐标为(,).
2
k
1
k
2
+12k
1
k
2
+1
4
k
1
k
2
-4k
2
-2-2k
1
k
2
-4k
1
+1
用k
2
代k
1
,k1
代k
2
得点M的坐标为(,).
2k
1
k
2
+12k
1
k
2
+1
……… 11分
-2k<
br>1
k
2
-4k
2
+1-2k
1
k
2
-4k
1
+1
-
2k
1
k
2
+1
2k
1
k
2
+1
4(k
1
-k
2
)
所以k
MN
= ==-1.
4k
1
k
2
-4k
1
-24k
1
k
2
-4k
2
-2
4(k
2
-k
1
)
-
2k
1
k<
br>2
+12k
1
k
2
+1
即直线MN的斜率为定值-1
. ……………… 14分
②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,
根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,
故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).
仍然设DA的斜率为k
2<
br>,则由①知k
DB
=-
1
.
2k
2
21
此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).
k<
br>2
2k
2
2
BC:y=-1,AD:y-1=k
2
(
x-2),它们交点N(2-,-1),
k
2
从而k
MN
=-1也成立.
由①②可知,直线MN的斜率为定值-1. ……………… 16分
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=1+lnx-
k(x-2)
,其中k为常数.
x
(1)若k=0,求曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程;
(2)若k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点;
(3)若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.
(参考数据ln8=2.08,ln9=2.20,ln10=2.30)
解:(1)当k=0时,f(x)=1+lnx.
1
因为f (x)=,从而f
(1)=1.
x
又f (1)=1,
所以曲线y=f(x)在点
(1,f(1))处的切线方程y-1=x-1,
即x-y=0.
……… 3分
(2)当k=5时,f(x)=lnx+
因为f
(x)=
10
-4.
x
x-10
,从而
x
2
当x∈(0,10),f
′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(10,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=10时,f(x)有极小值. ……………… 5分
因f(10)=ln10-3<0,f(1)=6>0,所以f(x)在(1,10)之间有一个零点.
10
因为f(e
4
)=4+
4
-4>0,所以f(x)在(
10,e
4
)之间有一个零点.
e
从而f(x)有两个不同的零点.
…………… 8分
(3)方法一:由题意知,1+lnx-
k(x-2)
>0对x∈
(2,+∞)恒成立,
x
x+xlnx
即k<对x∈(2,+∞)恒成立.
x-2
令h(x)=
x+xlnxx-2lnx-4
,则h(x)=.
x-2(x-2)
2
x-2
.
x
设v(x)=x-2ln
x-4,则v(x)=
当x∈(2,+∞)时,v(x)>0,所以v(x)在(2
,+∞)为增函数.
因为v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0,
所以
存在x
0
∈(8,9),v(x
0
)=0,即x
0
-2ln
x
0
-4=0.
当x∈(2,x
0
)时,h(x)<0,h(
x)单调递减,当x∈(x
0
,+∞)时,h(x)>0,h(x)单调递增.
所
以当x=x
0
时,h(x)的最小值h(x
0
)=
x
0+x
0
lnx
0
.
x
0
-2
x0
-4
x
0
因为lnx
0
=,所以h(x
0<
br>)=∈(4,4.5).
22
故所求的整数k的最大值为4. ……………
16分
方法二:由题意知,1+lnx-
f(x)=1+lnx-
k(x-2)>0对x∈(2,+∞)恒成立.
x
k(x-2)x-2k
,f
(x)=
2
.
xx
①当2k≤2,即k≤1时,f(x)>0对x∈(2,+∞)恒成立,
所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.
而f(2)=1+ln2>0成立,所以满足要求.
②当2k>2,即k>1时,
当x∈(2,2k)时,f ′(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(2k,+∞),f
′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=2k时,f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k-k.
从而f(x)>0在x∈(2,+∞)恒成立,等价于2+ln2k-k>0.
令g(k)=2+ln2k-k,则g(k)=
1-k
<0,从而g(k)
在(1,+∞)为减函数.
k
因为g(4)=ln8-2>0,g(5)=ln10-3<0
,
所以使2+ln2k-k<0成立的最大正整数k=4.
综合①②,知所求的整数k的最大值为4. ……… 16分
20
.(本小题满分
16
分)
给定一个数列{a
n
},在这个数列里,任取m(m≥3,m∈N
*
)项,并且不改变它们在数列{a<
br>n
}中的先后次
序,得到的数列称为数列{a
n
}的一个m阶子数列.
已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=
子数列.
(
1
)求
a
的值;
1
(2)等差数列b
1
,b
2
,…,b
m
是{a
n
}的一个m
(m≥3,m∈N
*
) 阶子数列,且b
1
= (k为常数,
k
k∈N*,k≥2),求证:m≤k+1;
(3)等比数列c
1,c
2
,…,c
m
是{a
n
}的一个m
(m≥3,m∈N
*
) 阶子数列,
求证:c
1
+c
2<
br>+…+c
m
≤2-
-
.
2
m1
1
(n∈N*,a为常数),等差数列a
2
,a
3
,a
6
是数
列{a
n
}的一个3阶
n+a
1
解:(1)因为a
2
,a
3
,a
6
成等差数列,所以a
2
-a3
=a
3
-a
6
.
又因为a
2
=
111
,a
3
=,
a
6
=,
2+a3+a6+a
1111
代入得-=-,解得a=0. …………… 3分
2+a3+a3+a6+a
(2)设等差数列b
1
,b
2
,
…,b
m
的公差为d.
11
因为b
1
=,所以b
2
≤,
k
k+1
从而d=b
2
-b
1
≤
111
-=-. ……………… 6分
k+1
k
k(k+1
)
m-1
1
所以b
m
=b
1
+(m-1)d≤-.
k
k(k+1)
m-1
1
又因为b
m
>0,所以-
>0.
k
k(k+1)
即m-1<k+1.
所以m<k+2.
又因为m,k∈N
*
,所以m≤k+1. …………… 9分
1
(3)设c
1
= (t∈N
*
),等比数列c
1
,c
2
,…,c
m
的公比为q.
t
1c
2
t
因为c
2
≤,所以q=
≤
.
c1
t+1t+1
1
t
n-1
从而c
n
=c
1
(1≤n≤m,n∈N
*
).
t
t+1
11t
1
1
t
2
1t
m-1
所以c
1
+c
2
+…+c
m
≤+
++…+
tt
<
br>t+1
t
t+1
t
t+1
t+1
t
m
=[1-]
t
t+1
-
q
n1
≤
t+1
t
m-1
=-. ………… 13分
t
t+1
设函数f(x)=x-(m≥3,m∈N
-
,
x
m11
1
*
).
当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=x-
因为
当t∈N
*
,所以1<
即
c
1
+c
2
+…+c
m
≤2-
-
为单调增函数.
x
m1
t+1t+1
1
≤2.
所以f()≤2-
m
-
1
.
tt
2
1
-
1
2
m
. ………
16分
数学附加题
参考答案
A.选修4—1:几何证明选讲
如图,过
点A的圆与BC切于点D,且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线,
求证:E
F∥BC.
A
证明:如图,连接ED.
因为圆与BC切于D,所以∠BDE=∠BAD.…………………… 4分
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠DAC.
F
D
C
B
(第21A题图)
所以EF∥BC.
…………………… 10分
又∠DAC=∠DEF,所以∠BDE=∠DEF.
B.选修4-2:矩阵与变换
E
A
1
0
30
-
.
, A的逆矩阵A
1
=
3
已知矩阵A=
2a
b 1
(1)求a,b的值;
(2)求A的特征值.
1
0
1 0
30
=
2
=
10
.
3
解:(1)因为A A=
2
a
01
b
1
3
+ab a
-
1
a=1,
所以
2
+ab=0.
3
2
解得a=1,b=-.
…………………… 5分
3
(2)由(1)得A=
30
21
,
则A的特征多项式f(λ)=
λ-30
=(λ-3)( λ-1).
-2 λ-1
令f(λ)=0,解得A的特征值λ
1
=1,λ
2
=3.
………………… 10分
C.选修4-4:坐标系与参数方程
x=2+
x=s,
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:
(s为参数),直线
l:
y=s
y=4+
2
1
t,10
(t为参数).设
3
t
10
C与l交于A,B两点,求线段
AB的长度.
x=s,
解:由
消去s得曲线C的普通方程为y
=x
2
;
2
y=s
x=2+
由
y=4+
1
t,
10
消去t得直线l的普通方程为
y=3x-2.…………… 5分
3
t
10
y=x
2<
br>,
联立直线方程与曲线C的方程,即
y=3x-2,
解得交点的坐标分别为(1,1),(2,4).
所以线段AB的长度为(2-1)
2
+(4-1)
2
=10.
…………… 10分
D.选修4-5:不等式选讲
已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证:(1+x)( 1+y)( 1+z)≥8.
证明:因为x为正数,所以1+x≥2x.
同理 1+y≥2y,
1+z≥2z.
所以(1+x)( 1+y)( 1+z)≥2x·2y·2z=8xyz.
因为xyz=1, 所以(1+x)( 1+y)( 1+z)≥8. …… 10分
22.(本小题满分10分)
甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,
比赛随即结束.除第五局甲队获胜的
12
概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各
局比赛结果相互独立.
23
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率; (2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分的分布列及数学期望.
解:(1)记甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜分别为事件A,B,C.
2
3
8
由题意得P(A)=
=,
3
27
2
2
2
128
P(
B)=C··=,
3
3
3327
2
2
2
1
2
14
P(C)=
C··=. …………… 5分
4
3
3<
br>
227
(2)的可能取值为0,1,2,3.
P(=3)=P(A)+P(B)=
164
; P(=2)=P(C)=,
2727
2
2
2
1
2
141
P(=1)=C··=, P(=0)=1-P(1≤≤3)=.
4<
br>
3
3
2279
所以的分布列为:
P
0
1
9
1
4
27
2
4
27
3
16
27
1441620
从而E()=0×+1×+2×+3×=.
9272
7279
答:甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率分别为
20
.
…………………… 10分
9
23.(本小题满分10分)
884
,,.
甲队得分的数学期望为
272727
已知m,n∈N
*
,定义
f
n
(m)=
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
.
m!
(1)记a
m
=f
6
(m),求a
1
+a
2
+…+a
12
的值;
(2)记b
m
=(-1)
m
mf
n
(m),求b
1
+b
2
+…+b
2n
所有可能值的集合.
0,m≥n+1,
解:(1)由题意知,fn
(m)=
m
C,1≤m≤n.
n
0,m≥7,
所以a
m
=
m
………………… 2分
C,1≤m≤6.
6
126
所以a
1
+a
2
+…+a
12
=C+C+…+C=63.
………………… 4分
666
0, m≥2,
(2)当n=1时, b
m
=(-1)
m
mf
1
(m)=
则b<
br>1
+b
2
=-1.………… 6分
-1,m=1.
0,m≥n+1,
m
当n≥2时,b
m
=
m
mC,1≤m≤n.
(-1)
n
(n-1)!m-1
mn!
又mC
n
=m·=n·=nC,
n-1
m!(n-
m)!(m-1)!(n-m)!
n-1
0123
所以b
1
+b2
+…+b
2n
=n[-C+C-C+C+…+(-1)
n
C]
=0.
n-1n-1n-1n-1
n-1
所以b
1
+b
2
+…+b
2n
的取值构成的集合为{-1,0}. ………… 10分
高考模拟数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、
选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题
目要求的.
2
1.已知集合
A{x|xx20}
,则
C<
br>R
A
( )
A.
(1,2)
B.
[1,2]
C.
(2,1)
D.
[2,1]
2.已知复数
z
i
(
i是虚数单位),则
z
( )
1i
2
1
C. D.
2
2
2
A.
1
B.
1
2
3.已知
a3
,
blog
3
1
,
clog
2
3
,则
a
,
b
,
c
的大小关系是( )
2
A.
acb
B.
cab
C.
abc
D.
cba
4.下图给出的是计算
1111
值的程序框图,其中判断框内可填入的条件是(
)
2462018
A.
i2016?
B.
i2018?
C.
i2016?
D.
i2018?
x
5.已知
f(x)axlog
2
(41)
是偶函数,则
a
( )
A.
1
B.
1
C.
2
D.
2
6.已知
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,若
(ab)(sinAsinB)(c
b)sinC
,则
A
( )
A.
5
2
B. C. D.
63
63
7.七巧板是我
们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角
形、一块中三
角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼
成的正方形
,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )
3311
B. C.
D.
16848
1
8.已知
sin(
)
,则
sin2
( )
43
7711
A.
B.
C.
D.
9999
A.
9.函数
f
(x)ln(x1)x
的大致图象为( )
A. B. C.
D.
10.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形,则该几何体的体积为( )
A.
32
B.
16
6432
C. D.
3
33
x
2
y
2
1
的两个焦点,若
C
上存在点
M
满足
F
1
MF
2
120
o
,则
m
的取值11.设
F
1
、
F
2
是椭圆
C
:
m2
范围是( )
1
2
1
C.
(0,]U[4,)
D.
(0,1]U[4,)
2
A.
(0,]U[8,)
B.
(0,1]U[8,)
2
12.已知函数
f(x)(1
2x)(xaxb)
(a,bR)
的图象关于点
(1,0)
对称,则
f(x)
在
[1,1]
上的最大
值为( )
A.
3
B.
333
C.
23
D.
22
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
x0
13 已知实数
x
,
y
满足<
br>
y0
,则
(x1)
2
y
2
的最大值
为 .
xy10
uuuruuur
14.在平行四边形
ABCD
中,
AB1
,
AD2
,
则
ACBD
.
15.已知圆
M
与直线<
br>xy0
及
xy40
都相切,圆心在直线
yx2
上,则圆
M
的标准方程
为 .
16.已知
f
(x)sin
xcos
x
(
)
,若函数
f(x)
图象的任何一条对称轴与
x
轴交点的横坐标都不
属于区间
(
,2
)
,则
的取值范围
是 .(结果用区间表示)
2
3
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
3n
2
5n
17.已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
2
(Ⅰ)求
{a
n
}
的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
3
,求数列
{b
n
}
的前n
项和.
a
n
a
n1
18.在四棱锥
S
ABCD
中,底面
ABCD
为矩形,平面
SAB
平面
AB
CD
,平面
SAD
平面
ABCD
,
且
SA2A
D3AB
.
(Ⅰ)证明:
SA
平面
ABCD
;
(Ⅱ)若
E
为
SC
的中点,三棱锥
EBCD
的体积为
8
,求
四棱锥
SABCD
外接球的表面积.
9
根据一周内平均每天学习数学的时间
t
,将学生对于数学的喜好程度分为三个等级:
学习时间(分钟天)
喜好等级
t20
一般
20t50
爱好
t50
痴迷
220.已知抛物线
C
:
y2px(0p1)
上的点
P(m
,1)
到其焦点
F
的距离为
5
.
4
(Ⅰ)求
C
的方程;
(Ⅱ)已知直线
l
不过点
P
且与
C
相交于
A
,
B
两点,且直线PA
与直线
PB
的斜率之积为
1
,证明:
l
过
定点.
2
21.已知曲线
yf(x)x1alnx(aR)与
x
轴有唯一公共点
A
.
(Ⅰ)求实数
a
的取值范围;
(Ⅱ)曲线
yf(x)
在
点
A
处的切线斜率为
a
2
a7
.若两个不相等的正实数
x
1
,
x
2
满足
f(x
1
)f
(x
2
)
,求证:
x
1
x
2
1
.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
(
t
为参数).
(Ⅰ)若
a
1
,求直线
l
被曲线
C
截得的线段的长度;
(Ⅱ)若<
br>a11
,在曲线
C
上求一点
M
,使得点
M
到直线
l
的距离最小,并求出最小距离.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数
f(x)3xa
.
(Ⅰ)当
a4
时,求不等式
f(x)3
的解集;
(Ⅱ
)设函数
g(x)x1
.当
xR
时,
f(x)g(x)1
恒成立,求实数
a
的取值范围.
数学(文科)
参考答案
x3cos
xt1
(
为参数),
直线
l
的参数方程为
y2sin
y2ta1
一、选择题
1-5 ACBDA 6-10
BCBAD 11、12:AD
二、填空题
22
13.
2
14.
3
15.
x(y2)2
16.
[,]
37
48
三、解答题
17.(Ⅰ)解:
a
1
S
1
4
.
当
n2
时,
a
n
S
n
S
n1
3n
2
5n3(n1)
2
5(n1)
. <
br>22
又
a
1
4
符合
n2
时
a<
br>n
的形式,所以
{a
n
}
的通项公式为
a
n
3n1
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
b
n
3
11
.
(3n1)(3n4)
3n13n4
数列
{b
n
}
的前
n
项和为
11111111
b
1
b
2
b
n
()()()()
477103n23n13n13n4
11
.
43n
4
18.(Ⅰ)证明:由底面
ABCD
为矩形,得
BCAB
.
又平面
SAB
平面
ABCD
,平面
SABI
平面
ABCDAB
,
BC
平面
ABCD
,
所以
BC
平面
SAB
.所以
BCSA
.
同理可得
CDSA
.
又
BCICDC
,
BC
平面
ABCD
,
CD
平面
ABCD
,
所以
SA
平面
ABCD
.
(Ⅱ)解:设
SA
6a
,则
AB2a
,
AD3a
.
1
V
EBCD
S
BCD
h
3
111
(BCCD)(SA)
322
11
(2a3a)(3a)3a
3
.
32
882
又
V
EBCD
,所以
3a
3
.解得
a
.
993
四棱锥
SABCD<
br>的外接球是以
AB
、
AD
、
AS
为棱的长方体的外接
球,设半径为
R
.
则
2RAB
2
AD
2AS
2
7a
147
,即
R
.
33
196
.
9
所以,四棱锥
SABCD<
br>的外接球的表面积为
4
R
2
<
br>22
(Ⅱ)
X
甲
X
乙
;
S
甲S
乙
;
X
甲
50.1150.2250.3<
br>350.2450.15550.0527.5
;
S
甲
2
1
[(527.5)
2
(400.1)
(
1527.5)
2
(400.2)(2527.5)
2
(40
0.3)
40
(3527.5)
2
(400.2)(4
527.5)
2
(400.15)(5527.5)
2
(40
0.05)]
178.75
.
随机选出
2
人有以下
28
种可能:
(A
1
,A
2
)
,
(A
1
,B
1
)
,
(A
1
,B
2
)
,
(A
1
,B<
br>3
)
,
(A
1
,B
4
)
,
(A
1
,B
5
)
,
(A
1
,B
6
)
,
(A
2
,B
1
)
,
(A<
br>2
,B
2
)
,
(A
2
,B
3
)
,
(A
2
,B
4
)
,
(A
2
,B
5
)
,
(A
2
,B
6
),
(B
1
,B
2
)
,
(B
1
,B
3
)
,
(B
1
,B
4
)
,
(B
1
,B
5
)
,
(B
1
,B<
br>6
)
,
(B
2
,B
3
)
,
(B
2
,B
4
)
,
(B
2
,B
5
)
,
(B
2
,B
6
)
,
(B<
br>3
,B
4
)
,
(B
3
,B
5
)
,
(B
3
,B
6
)
,
(B
4
,B
5
)
,
(B
4
,B
6
),
(B
5
,B
6
)
,
(A
1
,B
1
)
,
(A
1
,B
2
)
,
(A
1
,B
3
)
,
(A
1
,B<
br>4
)
,
(A
1
,B
5
)
,
(A
1
,B
6
)
,
(A
2
,B
1
)
,
(A
2
,B
2
)
,
(A<
br>2
,B
3
)
,
(A
2
,B
4
)
,
(A
2
,B
5
)
,
(A
2
,B
6
)
.
20.解:(Ⅰ)由题意,得
2pm1
,即
m
1
.
2p
由抛物线的定义,得
PFm(
p1p
)
.
22p2
由题意,
1p5
1
.解得
p
,或
p2
(舍去).
2p24
2
2
所以
C
的方程为
yx
.
(Ⅱ)证法一:设直线
PA
的斜率为
k
(显然
k0
),则直线
PA
的方程为
y1k(x1)
,则
ykx1
k
.
ykx1k
222
由
2
消去
y
并整理得
kx[2k(1k)1]x(1k)0
. <
br>
yx
(1k)
2
(1k)
2
设
A(
x
1
,y
1
)
,由韦达定理,得
1x
1
,即
x
1
.
k
2
k
2
(1k)
2
(1k)
2
1
1
y1
kx
1
1kk1kA(,1)
. .所以
1
k
2
k
2
k
k
由题意,直线
PB
的斜率为
1
.
k
1
(1)
2
k
,1
1
)
,即
B((k
2
1)
2
,k1)
. 同理可得
B(
11
()
2
kk
(1
k)
2
2
(k1)
若直线
l
的斜率不存在,则.解得
k1
,或
k1
.
2
k
当
k1<
br>时,直线
PA
与直线
PB
的斜率均为
1
,
A
,
B
两点重合,与题意不符;
当
k1
时,直线
PA
与直线
PB
的斜率均为
1
,
A
,
B
两点重合,与题意不符.
所以,直线
l
的斜率必存在.
直线<
br>l
的方程为
y(k1)
kk
2
[x(k1)]yx1
. ,即
22
(k1)(k1)
所以直线
l过定点
(0,1)
.
证法二:由(1),得
P(1,1)
.
若
l
的斜率不存在,则
l
与
x
轴垂直.
2
设
A(x
1
,y
1
)
,则
B(x
1
,y
1
)
,
y
1
x
1
.
则
k
PA
k
PB
1x
1
y
1<
br>1y
1
1
1y
1
2
1
.
x
1
1x
1
1
(x
1
1)
2
(x
1
1)
2
1x
1<
br>(
x
1
10
,否则,
x
1
1
,则
A(1,1)
,或
B(1,1)
,直线
l
过点
P
,与题设条件矛盾)
由题意,
1
1
,所以
x
1
0
.这时
A
,
B
两点重合,与题意不符.
1x
1
所以
l
的斜率必存在.
设
l
的
斜率为
k
,显然
k0
,设
l
:
ykxt,
由直线
l
不过点
P(1,1)
,所以
kt1
.
y
2
x
222
由
消去
y<
br>并整理得
kx(2kt1)xt0
.
ykxt
由判别式
14kt0
,得
kt
1
.
4
t
2
12kt
设
A(x
1
,y
1
)<
br>,
B(x
2
,y
2
)
,则
x
1x
2
①,
x
1
x
2
2
②,
k
k
2
则
k
PA
k
PB
y
1
1y
2
1kx
1
t1k
x
2
t1
k
2
x
1
x
2
k
(t1)(x
1
x
2
)(t1)
2
.
x
1
1x
2
1x
1
1x<
br>2
1
x
1
x
2
(x
1
x2
)1
k
2
x
1
x
2
k(t1
)(x
1
x
2
)(t1)
2
由题意,
1<
br>.
x
1
x
2
(x
1
x
2)1
22
故
(k1)x
1
x
2
(kt
k1)(x
1
x
2
)t2t0
③
1t
2
ktk
2
0
将①②代入③式并化简整理得,即
1tk
tk0
.
2
k
即
(1t)(1t)k(t1)0<
br>,即
(1t)(1tk)0
.
又
kt1
,即<
br>1tk0
,所以
1t0
,即
t1
.
所以
l
:
ykx1
.显然
l
过定点
(0,1
)
.
证法三:由(1),得
P(1,1)
.
设
l
:
xnyt
,由直线
l
不过点
P(1,1)
,所以<
br>nt1
.
y
2
x
2
由
消去
x
并整理得
ynyt0
.
xny
t
由题意,判别式
n
2
4t0
.
设
A
(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则
y
1
y
2
n
①,
y
1
y
2
t
②
则
k
PA
k<
br>PB
y
1
1y
2
1y
1
1
y
2
1
1
2
2
. <
br>x
1
1x
2
1y
1
1y
2
1y
1
y
2
(y
1
y
2
)1
由题意,
y
1
y
2
(y
1
y
2)11
,即
y
1
y
2
(y
1
y
2
)0
③
将①②代入③式得
tn0
,即
tn
.
所以
l
:
xn(y1)
.显然
l
过定点
(0,1).
21.(Ⅰ)解:函数
f(x)
的定义域为
(0,)
.
f(1)0
.
由题意,函数
f(x)
有唯一零点
1.
f'(x)2x
(1)若
a0
,则
a0
.
显然
f'(x)0
恒成立,所以
f(x)
在
(0,)
上是增函数.
又
f(1)0
,所以
a0
符合题意.
a
.
x
2x
2
a
(2)若
a0,
f'(x)
.
f'(x)0x
x
aa
;f'(x)00x
.
22
所以
f(x)
在
(0,
aa
)
上是减函数,在
(,)
上是增函数.
22
a
aaa
)
1ln
.
2
22
2
aa
)0
(若
f()0
,则
f(x)0
恒
成立,
f(x)
无零点,不符合题意)
22
所以
f(x)
min
f(
由题意,必有
f(
①若
f(
令
g(a
)
a
aaa
)0
,则
1ln0
.
2<
br>222
1a
aaa11a
a11
1ln(a0)
,则<
br>g'(a)ln
ln
.
222222
2
a<
br>222
2
g'(a)00a2
;
g'(a)0a2.
所以函数
g(a)
在
(0,2)
上是增函数,在
(
2,)
上是减函数.
所以
g(a)
max
g(2)0.所以
g(a)0
,当且仅当
a2
时取等号.
所以,
f(
a
)0a0
,且
a2
. 2
a
1
1
,e
a
}
,则
f
(b)b
2
1alnb1alnb
1a()0
;
取正数
bmin{
2
a
取正数
ca1
,显然
c2a
令
h(x)lnxx
,则
h'(x)
a
2
.而
f(c)c1alnx
,
2
11
1
.当
x1
时,显然
h'(x)10
.
xx
所以
h(x)
在
[1,)
上是减函数.
所以,当
x1
时,
h(x)lnxxh(1)10
,所以lnxx
.
22
因为
c1
,所以
f(c)c
1alncc1acc(ca)1
c110
.
又
f
(x)
在
(0,
aa
)
上是减函数,在
(,)
上是增函数,
22
aa
)
、
(,)
上各有一个零点.
22
则由零点存在性定理,
f(x)
在
(0,
可见,
0a2
,或
a2
不符合题意.
注:
a0
时,若
利用
limf(x)
,
f(
x00
aaa
)0
,
limf(x)
,
)
、
(,)
说明<
br>f(x)
在
(0,
x
222
上各有一个零点.
②若
f(
aa
)0
,显然
1
,即a2
.符合题意.
22
综上,实数
a
的取值范围为
{a|a0,或a2}
.
2
(Ⅱ)由题意,
f'(1)2aa
a7
.所以
a
2
9
,即
a3
.
由(Ⅰ)的结论,得
a3
.
f(x)x
2
13
lnx
,
f(x)
在
(0,)
上是增函数.
f(x)00x1
;
f(x)0x1
.
由
f(x
1
)f(x
2
)
,不妨设
x
1
x
2
,则
0x
1
1x
2
.
22<
br>从而有
f(x
1
)f(x
2
)
,即
(
x
1
13lnx
1
)x
2
13lnx
2
.
22
所以
x
1
x
2
3lnx1
x
2
20
2x
1
x
2
3l
nx
1
x
2
2
.
令
p(t)2t3lnt
2
,显然
p(t)
在
(0,)
上是增函数,且
p(1
)0
.
所以
p(t)00t1
.
从而由
2x
1
x
2
3lnx
1
x
2
20
,得
x
1
x
2
1
.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
x
2
y
2
1
. 解:(1)曲线
C
的
普通方程为
94
当
a1
时,直线
l
的普通方程为
y2x
.
x
y2x
<
br>由
x
2
y
2
.解得
1
y
4
9
3
x
10
或
6
y
10
3
10
,
6
10
直线
l
被曲线
C
截得的线段的长度为
(2
3
2
6
2
)(2)32
.
1010
(2)解法一:a11
时,直线
l
的普通方程为
2xy100
. 由点到直线的距离公式,椭圆
x3cos
上的点
M(3cos
,2sin
)
到直线
l
:2xy100
的距离为
y2sin
d
6cos
2sin
10
5
210(
31
cos
sin
)10<
br>1010
5
,
210cos(
<
br>
0
)10
5
其中
0
满足
co
s
0
31
,
sin
0
<
br>.
1010
由三角函数性质知,当
0
0
时,
d
取最小值
2522
.
此时,
3c
os
3cos(
0
)
91010
,2sin
2sin(
0
)
.
1
05
因此,当点
M
位于
(
91010
,)
时,点
M
到
l
的距离取最小值
2522
.
105解法二:当
a11
时,直线
l
的普通方程为
2xy10
0
.
x
2
y
2
1
相切的直线
m的方程为
2xyt0
. 设与
l
平行,且与椭圆
94
2xyt0
由
x
2
y
2
消去
y
并整理得
40x
2
36tx9t
2360
.
1
4
9
22
由判别式
(36t)440(9t36)0
,解得
t21
0
.
所以,直线
m
的方程为
2xy2100
,或<
br>2xy2100
.
要使两平行直线
l
与
m
间
的距离最小,则直线
m
的方程为
2xy2100
.
这时,<
br>l
与
m
间的距离
d
10210
2522.
5
910
2xy2100
x
2
10
2
此时点
M
的坐标为方程组
x
的解.
y
1
<
br>y
10
4
9
5
因此,当
点
M
位于
(
91010
,)
时,点
M
到
直线
l
的距离取最小值
2522
.
105
23.选修4-5:不等式选讲
解:(1)当
a4
时,
f(x)3x4
.
由
3x43
,解得
17
x
.
33
所以,不等式
f(x)3
的解集为
{x|
17
x}
.
33
a
3
(2)
f(x)g(x)3xa
x1
3(x)x1
2x
aa
xx1
33
x
aa
x1
(当且仅当
x
时取等号)
3
3
a
a
(x)(x1)
(当且仅当
(x)(x1)0
时
取等号)
3
3
a
1
.
3
a
a
时,
f(x)g(x)
有最小值
1
.
3
3
综上,当
x
故由题意得
a
11
,解得
a
6
,或
a0
.
3
所以,实数
a
的取值范围为
(,6)U(0,)
.
高考模拟数学试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12
个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.设集合
A
x|
2
1
,B
y|ylog
2
x,0x4
,则
AIB
( )
x1
A.
B.
(1,2]
C.
,1
D.
2,3
2.“
Z
11
(其中是虚数单位)是纯虚数.”是“
2k
”的(
)条件
sin
cos
i26
A.充分不必要
B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3.等差数列
a
n
的前
n
项和是
S
n
,且
a
3
1,a
5
4
,则
S
13
( )
A.39 B.91 C.48
D. 51
4.我们知道:“平面中到定点等于定长的点轨迹是圆”拓展至空间:“空间中到定点的距
离等于定长的点
的轨迹是球”,类似可得:已知
A
1,0,0
,B
1,0,0
,则点集
P
x,y
,z
|PAPB1
在空间中的轨
迹描述正确的是( )
A.以
A,B
为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面
B.以
A,B
为焦点的椭球体
C.
以
A,B
为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面
D.以上都不对
5.余江人热情好客,凡逢喜事,一定要摆上酒宴,请亲朋好友、同事高邻来
助兴庆贺.欢度佳节,迎亲嫁
女,乔迁新居,学业有成,仕途风顺,添丁加口,朋友相聚,都要以酒示意
,借酒表达内心的欢喜.而凡
有酒宴,一定要划拳,划拳是余江酒文化的特色.余江人划拳注重礼节,形
式多样;讲究规矩,蕴含着浓
厚的传统文化和淳朴的民俗特色.在礼节上,讲究“尊老尚贤敬远客”一般
是东道主自己或委托桌上一位
酒量好的划拳高手来“做关”,——就是依次陪桌上会划拳的划一年数十二
拳(也有半年数六拳).十二拳
之后晚辈还要敬长辈一杯酒.
再一次家族宴上,小明先陪他的
叔叔猜拳12下,最后他还要敬他叔叔一杯,规则如下:前两拳只有小明
猜叔赢叔叔,叔叔才会喝下这杯
敬酒,且小明也要陪喝,如果第一拳小明没猜到,则小明喝下第一杯酒,
继续猜第二拳,没猜到继续喝第
二杯,但第三拳不管谁赢双方同饮自己杯中酒,假设小明每拳赢叔叔的概
率为
1<
br>,问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少( )
3
(猜拳只是一种娱乐,喝酒千万不要过量!)
A.
4824
B. C. D.
927927
6.函数
f
x
Asin
x
A0,
0,0
的图象如图所示,则下列有关
f
x
性质的描述正
确的是( )
A.
2
3
B
.
x
7
12
k
,kZ
为其所有
对称轴
C.
12
<
br>k
2
,
7
12
k
2
,kZ
为其减区间
D.
f
x
向左移
12
可变为偶函数
7.
若
1
a
1
b
0
,则下列结论正确的是(
)
ba
A.
a
2
b
2
B.
1
1
1
ba
2
2
C.
a
b
2
D.
ae
b
be
a
8.
已知有下面程序,若程序执行后输出的结果是11880,则在程序后面的“_____”处应填(
A.
i9
B.
i8
C.
i10
D.
i8
9. 已知
x,y
满足
xy4
zx
2
6xy<
br>2
8y25
x
2
y
2
16
,则的取值范围是( )
)
A.
<
br>121
121
,81
B.
,73
C.
65,73
D.
65,81
22
10. 如图
是某几何体挖去一部分后得到的三视图,其中主视图和左视图相同都是一个等腰梯形及它的内切
圆,俯视
图中有两个边长分别为2和8的正方形且图中的圆与主视图圆大小相等并且圆心为两个正方形的
中心.问
该几何体的体积是( )
A.
1682642
420
32
33632
1684
B. C. D.
3
333
2
x
2
y
2
1
的公切线
PQ
(
P
是
PQ
与抛物线的切点,未必是
PQ
与双曲线的11.已知抛物线
x2py<
br>和
2
切点)与抛物线的准线交于
Q,F
0,
,若
2PQ3PF
,则抛物线的方程是 ( )
P
2
22
22
A.
x4y
B.
x23y
C.
x6y
D.
x22y
12.
f
x
x
2017x2016Lx1x1Lx2016x2017
,在不等式
e
2017x
ax1
xR
恒成立的
条件下等式
f
2018a
f
2017
b
恒成立,求
b
的取值集合(
)
A.
b|2016b2018
B.
2016,2018
C.
2018
D.
2017
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
r
rr
r13.已知向量
a1,ab1
,则
b
min
.
14.数列
a
n
的前
n
项和是<
br>S
n
,
a
1
1,2S
n
a
n
1
nN
,则
a
n
.
15.
a
0
x
2n
axax
L
ax
dxx
x1
,则
a
1
a
2
La
n
.
012n
n
16.直线
l
与函数
ycosx
x
,
图象相切于点
A
,且<
br>l
P
CP,C
,0
,
P
为图
象的极值点,
2
22
uuur
uuur
l
与
x
轴交点为
B
,过切点
A
作
ADx
轴,垂足为
D
,则
BABD
.
三、解答题
(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 在
ABC
中,角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,并且
b2
.
(1)若角
A,B,C
成等差数列,求
ABC
外接圆的半径; <
br>(2)若三边
a,b,c
成等差数列,求
ABC
内切圆半径的最大值
.
18. 如图半圆柱
OO
1
的底面半径和高都是1,面
ABB<
br>1
A
1
是它的轴截面(过上下底面圆心连线
OO
1
的
平
面),
Q,P
分别是上下底面半圆周上一点.
(1)证明:三
棱锥
QABP
体积
V
QABP
1
,并指出<
br>P
和
Q
满足什么条件时有
APBQ
3
(2)求二面角
PABQ
平面角的取值范围,并说明理由.
19. 鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、
国家
AAAAA
级旅游景区——龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格的花卉公园,
园内汇集了3000
余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中
六大经典园林风格,
景观设计唯美新颖.玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错
落有致,交相呼应又
自成一体,是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成试运行以来,每天
游人如织,郁金香、向日
葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.
某学
校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议,特别在赏花旺季对进园游客进行取样
调查
,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:(表一)
年龄 频数 频率
10
①
25
20
10
10
5
3
2
100
0.1
②
0.25
0.2
0.1
0.1
0.05
0.03
0.02
1.00
男
5
③
12
10
6
3
1
1
0
45
女
5
④
13
10
4
7
4
2
2
55
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
合计
(1)完成表格一中的空位①-④,并在答题卡中
补全频率分布直方图,并估计当日接待游客中30岁以下
人数.
(2)完成表格二,并问你能
否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关?
(3)按分层抽样
(分50岁以上与50以下两层)抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领
取龙虎山内
部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上(含)的
人数为<
br>
,求
的分布列
(表二)
男生
女生
合计
50岁以上
50岁以下
合计
P(K
2
k)
0.15
2.072
2
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
k
n(ad
bc)
2
(参考公式:
k
,其中
nabcd
.)
(ab)(cd)(ac)(bd)
ruuur
uuuruuuruuur<
br>uuu
20. 已知
A
1,0
,B
1,0
,APABAC,
APAC4
(1)求
P
的轨迹
E
22
(2)过轨迹
E
上任意一点
P
作圆
O:xy3
的切线
l
1<
br>,l
2
,设直线
OP,l
1
,l
2
的斜率分
别是
k
0
,k
1
,k
2
,
试问在三个斜率
都存在且不为0的条件下,
21. 已知函数
f
x
2
lnx
1
11
是否是定值,
请说明理由,并加以证明.
k
0
k
1
k
2
ax
2lnak
xa
(1)若
k0
,证明
f
x
0
;
(2)若
f
x
0
,求
k
的取值范围;并证明此时
f
x
的极值存在且与
a
无关.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
2
2
2.曲线
C:
2
cos
80
曲线
E:
xt2
(
t
是参数)
ykt1
(1)求曲线
C
的普通方程,并指出它是什么曲线.
(2)当
k
变化时指出曲线
E
是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线
E
截曲线
C
所得弦长的最小值.
23.
f
<
br>x
=xaxa
2
,
a
1,3
(1)若
a1
,解不等式
f
x<
br>
4
(2)若对
xR,a
1,3<
br>
,使得不等式
mf
x
成立,求
m<
br>的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5 B B B
C A 6-10 D D A A B 11、12: B A
二、填空题
1
n1
2
4
n1
13. 1 14.
a
n
15.
n2
21
16.
n2
23n2
4
三、解答题 17.(1)由角
A,B,C
成等差数列及
ABC
得
B
3
,
设
ABC
外接圆的半径为<
br>R
由正弦定理
2R
2
sin
3
,R<
br>123
3
3
2
(2)由三边
a,b,c
成等差数列得
2bac
,所以
abc6
,
设<
br>ABC
内切圆半径为
r
,面积为
s
,则
s
所以
r
11
abcracsinB
22
acsinB
6
方法一:∵
ac42
∴
ac4
ac
2ac4
acb
cosB
2ac2ac
222
2
122ac661
1
1
(
ac
取等号)
2acac42
∴
B(0,]<
br>所以
sinB
3
3
(
B
时
取等号)
2
3
∴
r
acsinB
6
4
3
2
3
(
ac,B
时取等,
即三角形为正三角形时)
63
3
方法二:
cosB
acb
2ac
222
ac
2ac4
122ac6
1
2acac
2ac
2
2
1236
6
sinB1cosB
2
1
1
2
ac
ac
ac
ac2
39
ac
ac
2
6
r
acsinB
6
3ac9
3
ac4
1a
3
acb
∵
,∴
1c3
b2
abc
bca
∴
aca
4a
a2
4(3,4]
∴
r(0,
2
3
]
3
∴
r
3
3
18.(1)
证明:
V
QABP
1
(由条件及圆柱性质)即平面
A
1
B
1
Q
到<
br>ABP
s
ABP
h
,其中
h
是
Q
到平面
ABP
的距离,
3
的距离且为定值1
由半圆性质
APB90
所以
AP
2
BP
2
4
所以由均值不等式
s
ABP
1AP
2
BP
2
APBP1
24
11
V
QABP
s
ABP
h
33
要有
APBQ
因为
AP
BP
等价于要有
AP
面
BPQ
所以需要
QPAP
即可!
注:1、不用均值不等式证明老师斟酌给分,若
数形结合证明,只要说清楚了就给满分2、(
QPAP
等
价说法:
QPPB
B
1
,
QP
面
ABP
都可以!)
(2)
如图以
O
为原点、
OA
为
x轴、
OO
1
为
Z
轴建坐标系作
QN
垂直于平面
ABP
于
N
,
记
AON
,
0,
A
1,0,0
B
1,0,0
Q
cos
,sin
,0
平面
PAB
法向量可取
n
0,0,1
设平面
ABQ
的法向量
m
x,y,z
<
br>
r
r
uuuruuur
AQ
cos
1,sin
,1
BA
2,0,0
r
r
uuu
mBA0
r
r
uuu
mBQ0
得
x
cos
1
ysin
z0
r
可令
m
0,1,sin
<
br>
2x0
0
0
<
br>1
sin
2
rr
0
0,
cosm,n
sin
2
1
sin
1
2
sin
所以二面角<
br>PABQ
平面角范围
,
<
br>
4
2
19.(1)完成表(一);完成频率分布直方图
30岁以下频率
0.10.150.250.5
以频率作为概率,估计当日接待游客中30岁以下人数:
120000.56000
(表一)
年龄 频数 频率
10 0.1
男
5
女
5
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
合计
①
25
20
10
10
5
3
2
100
②
0.25
0.2
0.1
0.1
0.05
0.03
0.02
1.00
③
12
10
6
3
1
1
0
45
④
13
10
4
7
4
2
2
55
(2)完成表格
男生
女生
合计
50岁以上
5
15
20
2
50岁以下
40
40
80
合计
45
55
100
100
5404015
400
2
4.045.024
20805545
99
所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关
(
3)由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:
100.22
人,50岁以下人数8
人取值可能0,1,2
0112
C
2
C
8
2
2
8
C
2
C
8
C
2
C
8
0116
P
0
P
1
P
<
br>
2
222
C
10
45C
10
45C
10
45
P
0 1 2
28
45
16
45
1
45
20.(1)方法一:
uuuruuuruuur<
br>如图因为
APABAC
所以四边形
ACPB
是平行四边形
uuuruuur
所以
BPAC
,
uuuruuuruuuru
uur
由
APAC4
得
APBP4
所以
P
的轨迹是以
A,B
为焦点的椭圆易知
2a4
c1
x
2
y
2
1
所以方程为
43
方法二:
uuuruuuruuur
uuuru
uuruuuruuur
设
P
x,y
由
AP
ABAC
得
ACAPABBP
x1,y
uuuruuur
再
APAC4
得
x1
移项
2
y
2
2
x1
2
y
2
4
x1
y
2
4
x1
y
2
2
x
2
y
2
1
平方化简得:
43<
br>(从
x1
2
y
2
x1
2
y
2
4
发现是椭圆方程也可以直接得<
br>2a4
c1
,分档批阅老师自
己把握)
(2)设
P
x
0
,y
0
,过
P
的斜率为
K
的直线为
yy
0
k
xx0
,由直线与圆
O
相切可得
ykx
0
k1
2
3
即:<
br>x
0
2
3k
2
2x
0
y
0ky
0
2
30
由已知可知
k
1
,k
2
是方程(关于
K
)
x
0
2
3k
2
2x
0
y
0
ky
0
2
3
0
的两个根,
所以由韦达定理:
2x
0y
0
kk
12
x
2
3
0
2
y3
kk
012
x
0
2
3
两式相除:
k<
br>1
k
2
2x
0
y
0
2
k
1
k
2
y
0
3
x
02
y
0
2
3
1
所以
y
0
2
3x
0
2
又因为
43
4
代入上式可得:
1
11
8
k
1
k
2
8
y
0
即:
为
一个定值.
k
1
k
2
3x
0
k
0
k
1
k
2
3
2a2xa
xx
2
x
2
21.(1)若
k0,f
x
当
x
0,
a
a
,f
x
0,f
x
单调递减;当
x[,),f
<
br>
x
0,f
x
单调递增
2
2
a
a
2ln22lna2
1ln2
0
,得证
22
所以
f
x
min
f
aaxa
a
2lnak0
,变形得到
2lnk
,
xxaxxx2tlnt1
令
=t
t0
,得到
k
2
at
(1)若
f
x
2lnx
g
t
2
ttlnt
1
2tlnt1
,gt
,令
k
t
ttlnt1,k
t
ln
t
,可得
k
t
在
(0,1]
单增,<
br>
23
tt
在
[1,)
单减,所以
k
t
0,g
t
0
,
g
t
在
0,
单减,
当
t,g
t
0
所以
g
t
0
,∴
k0
(注:若令
a
2
,得到
2tlnttk
t
t0
)
x
2
令
g
t
2tlntt,g
t
2t
2
1lnt
,
t1
1
<
br>g
t
2
1
2
,所以在
(0,1]
单减,在
[1,)
单增,所以
g
t
g
1
0
,
t
t
即
g
t
在
0,
单增,当
t0,g
t
0
所以
g
t
0,∴
k0
下面再证明
f
x
的极值存在且与
a
无关:
①
k0,f
x
与
a
无关.
2a2xa
,f
x
极小值
=f
xx
2x
2
a
a
2ln22lna2
1ln2
22
2akkx
2
2axa
2
k
xx
1
xx
2
②
k0,f
x
2
xxaax
2
ax
2<
br>(其中
x
1
a11k
k
0,x
2
a11k
k
0
)所以
x
x0
且
f
x
在
x
处取极小值 1
2
f
x
2
2lnx
2
xxx
aa
2lnak
2
2ln
2
k
2
x
2
aax
2
a
因为
x<
br>2
a11k
k
,∴
x
1
2
1k
ka
是关于
k
的函数(
与
a
无关),
所以
f
x
2
2ln
22.
x
2
a
x
k
2
也是关于
k
(与a
无关).
ax
2
a
(1)∵
x
cos
2
x1
y2
9
y
sin
圆心(1,0)半径为3的圆
(2)消去参数
y1k
x2
E
是一条恒过定点<
br>C
2,0
的直线(但不包括
x2
),当直线<
br>E
与圆心连
线垂直时弦长最小,设圆心到直线
E
的距离为
d<
br>,则
d=2
,所以弦
AB
min
27
23.(1)
当
a1,f
x
x11
xx1x14
x1
1x1
x1
或或
x1x14
1xx14
<
br>1xx14
得
{x|x2
或
x2}
(2)∵
xR,a
1,3
使得不等式
mf
x
f
x
=xaa
2
xxaa
2
xaa
2
∴
a
1,3
maa
2
<
br>令
g
a
aa
2
,a
<
br>1,3
,g
a
[0,12)
∴由①得
m12
高考模拟数学试卷
数学理试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再<
br>选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A,B相互独立,那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
kn-k
P
n
(k)
=
C
k
n
p(1-p)(k=0,1,2,…,n)
台体的体积公式
1
V=
h(S
1
S
1
S
2
S
2
)
3
其中S
1
,S
2
分别表示台体的上、下底面积,
h表示台体的高
柱体的体积公式
VSh
其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高
锥体的体积公式
1
VSh
3
其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高
球的表面积公式
S=4πR
2
球的体积公式
4
3
V
π
R
3
其中R表示球的半径
选择题部
分(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每
小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.
已知
i
是虚数单位,复数z满足:
( ▲ )
A.
(12i)z(1i)
2
,则
z
的值是
42
23
4223
i
B.
i
C.
i
D.
i
55
55
55
55
2.设集合M=
{x1x2}
,N=
{xxa}
,若
M(C
R
N)
M
,则
a
的取值范围
是 ( ▲ )
A.(−
,1) B.(−∞,1] C.[1,+∞)
D.(2,+∞)
3.设
x
为非零实数,则p:
x
1
2
是q:
x1
成立的 ( ▲ )
x
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ▲ )
A.2
B.-2 C.3 D.-3
5. 李先生居住在城镇的A处,准备开车到
单位B处上班,途中(不绕行)共要经过6个交叉路口,假
设每个交叉路口发生堵车事件
的概率均为
是( ▲ )
1
,则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数
<
br>的期望值
E
6
1
5
1
A. B.1 C.
6
D.
6
6
6
6
6.如果函数
ycos(ax)
的图象关于直线
x
对称,则正实数
a
的最小值是( ▲ )
66
4
A.
a
113
B.
a
C.
a
D.
a1
424
7.已知函数
yf(x)
在
R
上为偶函数,当x0
时,
数
t
的取值范围是( ▲ )
f(x)log<
br>3
(x1)
,若
f(t)f(2t)
,则 实
A.
(,1)
B.
(1,)
C .
(,2)
D.
(2,)
2
3
x
2
y
2
8.
已知双曲线C的方程是:,若双曲线的离心率
e2
,则实数m 的
1(
m0
)
2mm
2
m
取值范围是( ▲ )
A. 1
C
.
m0或m1
D.
m0
或1
ABAC4
,
BC
值是( ▲ )
A.5 B.
10.正四面体ABCD,线段AB
平面
,E,F分别是线段AD和BC的中点,当正四面体绕以AB为
轴旋转时,则
线段AB与EF在平面
上的射影所成角余弦值的范围是( ▲ )
A.
[0,
非选择题部分(共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
3
,M、N分别是BC边上的三等分点,则
AMAN
的
21
C. 6 D. 8
4
222
1
1
] B.[,1]
C.[,1] D.[,]
222
2
2
2
1
1
1
1
一、设
1
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
, 则
a
2
a
4
的值是
x
x
x
x
x
▲ .
4234
ya0
二、设变量x,y满足约束
条件
x5y100
,且目标函数
z2x5y
的最小值<
br>
xy80
是
10
,则
a
的值是
▲ .
13.某几何体的三视图(单位:cm)如右图所示,则此几何体的体积等于 ▲
cm
3
.
14.在数列
a
n
中,,
则该数列的前2014项的和是 ▲ .
a
1
3
,(a
n1
2)(a
n
2)2
(
nN*)
15.若实数x,y满足:
3x4y12
,则
x
2
y
2
2x
的最小值是 ▲ .
16.
将编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片,放入四个不同的盒子中,每个盒子至少放入一张卡片,
则
编号为3与6的卡片恰在同一个盒子中的不同放法共有 ▲ .
e
x
1
x0
17.已知函数
f(x)
2
,若关于
x
的方程
f(x)xa
有三个不同的实根,则实数<
br>a
的取
x2x
x0
值范围是 ▲ _ .
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分)
设
△ABC
的三内角
A,B,C
所对的边长分别为
a,b,c
,且
a3
,A=
60,
bc32
.
(Ⅰ)求三角形ABC的面积;
(Ⅱ)求
sinBsinC
的值及
△ABC
中内角B,C的大小.
19.(本小题满分14分)
在数列
{a
n
}中,
a
1
255
,
111
(n
N
*
)
,
1a
n1
1a
n
256
(Ⅰ)求数列
(Ⅱ)设
b
k
a
n
的通项公式
ka
2
k
(
kN
*
),记数列
b
k
的前k
项和为
B
k
,求
B
k
的最大值.
20.(本小题满分15分)
0
如图,
ABC
在
平面
内,
ACB90
,AB=2BC=2,P为平面
外一个动点,且PC=
3
,
PBC60
(Ⅰ)问当PA的长为多少时,
ACPB
(Ⅱ)当
PAB
的面
积取得最大值时,求直线PC与平面PAB所成角的
正弦值
21.(本小题满分15分)
x
2
设椭圆C
1
:
y
2
1
的右焦点为F,P为椭圆上的一个动点.
5
(Ⅰ)求线段PF的中点M的轨迹C
2
的方程;
(Ⅱ)过点
F的直线l与椭圆C
1
相交于点A、D,与曲线C
2
顺次相交于点B、C,当
ABFCFB
时,求直线l的方程.
22.(本小题满分14分)
已知函数
f(
x)e
x
2x
,
g(x)x
2
m
(
mR
)
(Ⅰ)对于函数
yf(x)
中的任意实数x,在
y
g(x)
上总存在实数
x
0
,使得
g(x
0
)f
(x)
成立,求实
数
m
的取值范围
(Ⅱ)设函数
h(x)
af(x)g(x)
,当
a
在区间
[1,2]
内变化时,
(1)求函数
yh
(x)
x[0,ln2]
的取值范围;
x[0,3]
有零点,求实数m的最大值.
(2)若函数
yh(x)
2014年浙江省高考模拟冲刺卷(提优卷)
数学(理科)二
参考答案
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题
目要求的.
1. 【答案解析】A.
由已知得
(
12i)z2i
,两边同乘
(12i)
化简得
z
2.【答
案解析】B.
因为
(C
R
N)
={x|x
3.【答案解析】B.
若p
成立,q不一定成立,如取
x0.5
,反之成立,故p是q的必要不充分条件,故选B
4.【答案解析】C.
该程序运行后输出的值是3,故选C
5.
【答案解析】B.
服从二项分布B
(6,)
,
E
6
6. 【答案解析】A.
由
42
i
,故选A
55
a
},若
M(C<
br>R
H)M
,则
a
(−∞,1],故选B
1
6
1
1
,故选B
6
4
1
小值是,故选A
4
ax
k
k1
,当
x
时,
a
(kZ)
,因为
a0
,所以当
k1
时,正数
a
取得最
24
2
7. 【答案解析】B.
由于函数
yf(x)
的图象关于y轴对称,且在
x0
上为增函数,所以当
f(t)f(2t)
时,
t2t
,由此解得
t1
,故选B
8. 【答案解析】D.
22
2mm0
2mm0
m01m2
,或
m0m
0
,所以
m0
或1
22
3mm
(3mm)
22
2
m
2mm
9. 【答案解析】C
设BC的
中点为O,由
2
22
ABAC4
,即
(AOOB)(AO
OC)AOOB4
,因为
2
25
1
9
22
A
O
BC3
,
OM
所以
OB
,由此可得:,而
AMAN
=
AOOM
,由已知,
4
2
4
所以
AOOM
=
22
251
6
,所以
AMAN
=6,故选C
44
10.【答案解析】 B. <
br>如图,取AC中点为G,结合已知得GF
AB,则线段AB、EF在平面
上的射影所成角等于GF
与EF在平面
上的射影所成角,在正四面体中,AB<
br>
CD,又GE
CD,所以GE
GF,所以
EF<
br>2
GE
2
GF
2
,当四面体绕AB转动时,因为GF
平面
,GE与GF的垂直性保持不变,显然,
当CD与平面
垂直时,GE在平面上的射影长最短为0,此时EF在平面
上的射影
E1
F
1
的长取得最小
值
2
1
1
,当C
D与平面
平行时,GE在平面上的射影长最长为,
E
1
F
1
取得最大值,所以射影
E
1
F
1
长
2
2
2
2
11
,],而GF在平面
上的射影长为定值,所以A
B与EF在平面
上的射影所
2
22
2
,1].故选B
2
的取值范围是 [
成角余弦值的范围是[
三、【答案解析】40.
由题意
C
4
(2)C
4
(2)40
四、
【答案解析】2.
作出平面区域,由题设画图分析可知,当
2244
x5a10
时,
z2x5y
取得最小值
10
,由此可得
ya
a2
.
13.【答案解析】
32
.
3
1
2
32
42
33
由题意,该几何体为一个四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高为2,体积为
14.【答案解析】7049.
由
(a
n1
2)
(a
n
2)2
(
nN*
).可得:
(a
n<
br>2)(a
n1
2)2
(
nN*,n2
),以上两
式相
除,得
a
n1
2
1
,
(a
n
1
2)(a
n1
2)
nN*,n2
,所以 ,数列
a
n
是一个周期数列,周期为
a
n1
2
2
,
a
1
3
,所以
a
2
=4
,所以
S
2014
1007(a
1
a
2
)
1007(34)7049
a
1
2
2,由于
a<
br>2
2
15.【答案解析】8.
由于
x
2
y
2
2x
=
[(x1)
2
y
2
]1
,而点(-1,0)到直线
3x4y120
的距离为
d
(1)312
5
3
,所以
(x1)
2<
br>y
2
的最小值为3,所以
x
2
y
2
2
x
的最小值为
3
2
18
16.
【答案解析】240.
24
将3和6“捆绑”看成一张卡片,这样可看成5张卡片
放入四个盒子中,共有不同的放法:
C
5
A
4
240
种放
法.
17.【答案解析】
(,0)(0,)
.
x
如图,直线y=x-a与函数
yf(x)e1
的图象在
x0
处有一个
切点,切点坐标为(0,0),
9
4
1
4
此时
a0
;直线
yxa
与函数
yx
2
2x
的图象在x0
处有
1
13
(
3
,3
)
两个切点,切点坐标分别是
,
和,此时相应
的
a
,
24
4
24
9
a
,观察图象可知,方程
f(x)xa
有三个不同的实根时,实
4
数
a
的取值范围是
(,0)(0,)
18.(本小题满分14分)
【答案解析】(Ⅰ)由余弦定理
bca2bcc
os
222
9
4
1
4
3
得
bc
3
,由此可得
S
ABC
13333
bcsinA
.
2224
(Ⅱ)因为A=
3bcbc
;由正弦定理:,又
bc32
,所以
sinBsinCsinBsinC
3
sin3
6
6
;因为
BC120
,所以
si
n(120C)sinC
,由此得
2
2
sinBsinC
sin(C30
)
2
2
,在
△ABC中,由此可求得A=
105
,
C15
或A=
15
,
C105
.
19.(本小题满分14分)
【答案解析】(Ⅰ)
设
c
n
a
n
1
,则数列
1
1
,公差也是
1
,所以
是一个等差数列,其
首项为
256
256
c
n
111n
2
56
,所以
a
n
(n1)
1
,
c
n
256256256
n
k
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
当
n256
时,
a
n
0
,由
2256
得
k8
,所以
数列
b
k
的前8项和
B
8
(或前7项和
B
7
最大,因为a
8
0
)最大,
1238
1238
B
8256(
2
3
8
)(123
8)
,令
T
8
2
3
8
,由错位相减
2222
2222
1
1<
br>
法可求得
T
8
25
,所以
B<
br>8
=
256[25
]36
=466.即前7项或前
8项和最大,其最大
2
2
值为466.
23.(本小题满分15分)
【答案解析】(Ⅰ)因为
ACB90
,所
以
0
77
ACBC
,当
ACPC
时,
AC平
面PBC
,而
PB平面PBC
,所以
ACPB
时,此时,
PAAC
2
PC
2
336
,即当PA=
6时,
ACPB
(Ⅱ)在
PBC
中,因为PC=
3
,
PBC60
BC=1,所以
BCPC
,
PB2
.当
PAB
的面积取得最大值时,
PBA90
,(如图)在
RtPBA
中,因为
BPBA2
,由此可求得
BD=
2
,又在
RtBCD
中,BC=1,所以CD=1,过C作
CEBD
,E为
垂足,
由于
PA平面BCD
,所以,
平面BCD平面PBA
,由两个平面互相垂
直的性质可知:
CE平面PBA
,所以
CPE
就是直线PC与平面PAB
所成角,在
RtBCD
中,可求得
CE
2
,在
2
6
RtPEC
中,
sinCPE
CE
2
3
6
,所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值是.
6
PC26
24.(本小题满分15分)
【答案解析】(Ⅰ)设点M(x,
y),而F(2,0),故P点的坐标为(2x-2,2y),代入椭圆方程得:
4(x1)
(2x2)
2
2
,即线段PF的中点M的轨迹C的方程为:
4y
2
1
2
(2y)1
5
5
xm
y2
(m
2
5)y
2
4my10
,
(Ⅱ)设直线l的方程为:
xmy2
,解方程组
x
2
2
y1
5
4m25m
2
1
1
16m4(m5)20m20
, 当
m0
时,则
y
A
,解方程组
2(m
2
5)
222
2
xmy2
2
4(m
2
5)
y
2
8my10
4(x1)
2
4y
1
5
8m45m
2
1
264m4(4m20)80m80
,
y
c
,由题设
ABFCFB
,可得
2
2(4m20)
222
4m
25m
2
18m45m
2
1
2
AFFC
,有
y
A
y
C
,所以=
,即
6m5
m1
22
2(m5)2(4m20)
(
m0
),由此解得:
m
5
1155
,故符合题设条件的其中一条直线的斜率k
;当
m0
31
m5
155155
,
故所求直线l的方程是
y(x2)
.
55
时,同理可求得另一条直线
方程的斜率
k
25.(本小题满分14分)
x
【答案解析】(Ⅰ)原命
题
[g(x)]
min
[f(x)]
min
,
先求函数
yf(x)
的最小值,令
f
(x)e20
,
得
xln2
.当
xln2
时,
f
(x)0
;当
xln2
时,
f
(x)0
,故当
xln2
时,
yf(x)
取得
极(最)小值,其最小值为
22ln2
;而函数
yg(x)
的最小值为m,故当
m22
ln2
时,结论成
立
(Ⅱ)(1):由
h(x)a(e
x
2x)x
2
m
,可得
h
(x)a(
e
x
2)2x
,把
yh
(x)
这个函数看
成
是关于
a
的一次函数,(1)当
x[0,ln2]
时,
e
x
20
,因为
a[1,2]
,故
h
(x)
的值在区间
[2(e
x
2)2x,(e
x
2)2x]
上变化,令
M(x)2(e
x
2)2x
,
x[0,ln2]
,则
M
(x)2e
x
20<
br>,
M(x)
在
x[0,ln2]
为增函数,故
h
(x)
在
x[0,ln2]
最小值为
M(0)2
,<
br>又令
N(x)(e2)2x
,同样可求得
N(x)
在
x
[0,ln2]
的最大值
N(0)1
,所以函数
x
yh
(x)
在
x[0,ln2]
的值域为[-2,-1]
(
Ⅱ)(2)当
x[0,ln2]
时,
N(x)(e2)2x
的最大值
N(0)1
,故对任意
a[1,2]
,
h(x)
在<
br>x
x[0,ln2]
均为单调递减函数,所以函数
h(x)
max<
br>h(0)am
当
x[ln2,3]
时,因为
ex
20
,
a[1,2]
,故
h
(x)
的值在区间
[(e2)2x,2(e2)2x]
上变化,
xx
此时,对于函数
M(x)
,存在
x
0
[ln2,3]
,
M(x)
在
x[ln2,x
0
]
单调递减,在
x
[x
0
,3]
单调递增,所
以,
h(x)
在
x
[ln2,3]
的最大值为
h(3)a(e6)9m
,因为
a[1
,2]
,
3
h(3)h(0)a(e
3
7)90
,所以
h(3)h(0)
,故
h(x)
的最大值是
h(3)a(
e
3
6)9m
,又因为
a[1,2]
,故当函数
y
h(x)
有零点时,实数m的最大值是
m2(e
3
6)9
2e
3
21
.
题号:03
“数学史与不等式选讲”模块(10分)
222
解(Ⅰ)由于
abc
1
,所以
(a1)(b2)(c3)
(abc14)
(2a4b6c)
152(a2b3c)
,由柯西不等式
(a2b
3c)
2
(149)(abc)14
,当且仅当
abc
时,
123
(a2b3c)
取得最大值
14
,又
因为
abc1
,由此可得:当
a
222
149
,
b,c
时,
(a1)(b2)(c3)
取得最大值
1521
4
141414
bcacab1
<
br>bcac
acab
abbc
(Ⅱ)因
a,b,c
是正实数,故
abc2
c
ca
ab
b
(cab)1
,又因
abbccaa
2
b<
br>2
c
2
,所以
3(abbcca)(abc)
2
1
所以
题号:04
“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)
解(Ⅰ)当切线
l
垂
直于
x
轴时,由题设可求得
A(
bcacab
3(abbc
ca)
.
abc
2
(或
A
(,)
,
B(,)
,
,)
,
777777
B
(
1212
,故
k
OA
k
OB
1
,所以
OAOB
;
,)
)
77
ykxm
22
3x4y120
当切线
l
与
x<
br>轴不垂直时,设直线AB的方程为:
ykxm
,解方程组
4m
2
12
x
1
x
2
34k
2
222
(34k)x8kmx4m120
,设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则
,
8km
x
1
x
2
34k
2
y
1
y
2
(kx
1
m)(kx
2
m)k2
x
1
x
2
mk(x
1
x
2)m
2
,所以
12
4m
2
128km
2
22
x
1
x
2
y
1
y
2(1k)()mk()m
xy
ykxm
(*),因为直线与圆
相切,
34k
2
34k
2
7
2
所以
m
1k
2
12
12
2
(1k
2
)
,代入方程(*)化简得
x
1
x
2
y
1y
2
0
,即
m
7
7
即
kOA
k
OB
1
,所以
OAOB
.
综上,证得
OAOB
成立
(Ⅱ)
以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 椭圆C在极坐标系下的方程是
cos
2
sin
2
2
43<
br>1
2
,因为
OAOB
,故可设
A(
1<
br>,
),B(
2
,
2
)
,所以
cos
2
(
)sin
2
(
)
117
11
11cos
sin
22
。即为定值,
()
22
22
4312
4343
OAOB
OAOB
2
<
/p>
其大小为
7
.
12
高考模拟数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题
目要求的.)
1.已知集合
A{1,16,4x}
,
B{1
,x}
,若
BA
,则
x
( )
A.
0
B.
4
C.
0
或
4
D.
0
或
4
2.已知向量
a(1,2)
,
b
(1,0)
,
c
(3,4)
,若
为实数,
(b+
a)c
,则
的值为( )
2
A.
3
11
B.
11
3
C.
13
2
D.
5
3.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )
A.
yx
3
B.
yln(x)
C.
yxe
x
D.
yx
2
x
4.已知向量
m
、
n
满足
|m|2
,
|n|3
,
|mn|17
,则
|mn|
(
A.
7
B.3
C.
11
D.
13
5.按照下图的程序图计算,若开始输入的值为3,则最后输出的结果是( )
A.6 B. 21 C.5050 D.231
6.已知三条不重合的直线
m,n,l
和两个不重合的平面
,
,下列命题正确的是(
A.若
mn
,
n
,则<
br>m
B.若
,
I
m
,且
nm
,则
n
C.若
ln
,
mn
,则
lm
D.若
l
,
m
,且
lm
,则
7.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )
)
)
A.
2+
1+51+25
B.
2+
22
C.
2+1+5
D.
2+
2
2+5
2
22
8.曲线
yx1
在点
(1,2)
处的切线为
l
,则直
线
l
上的任意点P与圆
xy4x30
上的任意点Q
之间的最
近距离是( )
A.
4525
1
B.
1
C.
51
D.2
55
9.实数x,y满足,若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为( )
3
(A).2 (B).3 (C).
2
(D).4
10.已知函数
f(x)
的图象如图所示,则函数
yf(1
x)
的大致图象是( )
y
O
1
x
yf(x)
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A B C D <
br>11.已知定义在
R
上的函数
f(x)
满足①
f(x)f(
2x)0
,②
f(x)f(2x)0
,③在
[1,1]
上
2
x
x
≤
0
2
1xx[1,0]
表达式为
f(x)
,则函数
f(x)
与函数
g(x)
logxx
0
的图像在区间
[3,3]
1
1x
x(0,1]
2
上的交点个数为( )
A.5
B.6 C.7 D.8
x1
12.已知函数
f(x)sin,xR
,将函数
yf(x)
图象上所有点的横坐标缩短
为原来的倍(纵坐不变),
22
得到函数
g(x)
的图象,则关于
f
(x)g(x)
有下列命题,其中真命题的个数是
①函数
yf(x)g(x)
是奇函数;
②函数
yf(x)g(x)
不是周期函数;
③函数
yf(x)g(x)
的图像关于点(π,0)中心对称;
④函数
yf(x)g(x)
的最大值为
3
.
3
A.1 B.2
C.3 D.4
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填写在题中的横线上)
13.
已知三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
底面是边长为
6
的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为
12
,则该三
棱柱的体积为_________.
14.设
(
1
x
2
)
3
的展开式的常数项为
a
,则直线
yax
与曲线
yx
2
围成图形的面积为 .
x
22
15.△A
BC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若
acb,且b3ccosA
,则b
= .
16.已知
f(n)1
1115
L(nN
*
,n4)
,经计算得
f(4)2
,
f(8)
,<
br>f(16)3
,
23n2
f(32)
7
L
,观察
上述结果,可归纳出的一般结论为 .
2
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤) <
br>17.在△
ABC
中,三个内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
,且
2bco
sC2ac
.
(1)求角
B
;
(2)若△
ABC
的面积
S
33
,
ac4
,求
b
的值.
4
18.由某种设备的使用年限
x
i<
br>(年)与所支出的维修费
y
i
(万元)的数据资料算得如下结果,
55
5
x
i1
5
2
i
90
,
xy
i
i1
i
112
,
x
i
20
,
y
i
25
.
i1i
1
(1)求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程
ybxa
;
(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
②当使用年限为8年时,试估计支出的维修费是多少.
^^^
(附:在线性回归方程
ybxa
中,)
b
^^^
^
xynxy
ii
i1
n
n
x
i1
2
i
nx
2
,
aybx
,其中
x
,
y<
br>为样本平均值.)
^^
19.如图所示,正方形AA
1
D
1
D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB的中点,
(1).求证D
1
E⊥A
1
D;
(2).在线段AB上是否存在点M,使二面角D
1
-MC-
D的大小为
6
?,若存在,求出AM的长,若不存在,说
明理由
20.已知函数
f(x)alnxax3(aR)
。
(Ⅰ)若a1
,求函数
f(x)
的单调区间并比较
f(x)
与
f(1)
的大小关系
(Ⅱ)若函数
yf(x)
的图象在点
<
br>2,f(2)
处的切线的倾斜角为
45
o
,对于任意的t
1,2
,函数
m
g(x)x<
br>3
x
2
f
(x)
在区间
t,3
上总不是单调函数,求
m
的取值范围;
2
(Ⅲ)求证:
21.已知定点
A(2,0)
,
B(2,0)
,满足<
br>MA,MB
的斜率乘积为定值
(1)求曲线
C
的方程; <
br>(2)过点
A
的动直线
l
与曲线
C
的交点为
P
,与过点
B
垂直于
x
轴的直线交于点
D
,又已知
点
F(1,0)
,
试判断以
BD
为直径的圆与直线
PF的位置关系,并证明.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
ln2ln3ln4ln
n1
(n2,nN
*
)
。
234nn
3
的动点
M
的轨迹为曲线
C
.
4
如图,
ABC
是的内接三角形,PA是圆O的切线,切点为A,
PB交AC于点E,交圆O于点D,PA=PE,
ABC45
0
,PD=1,DB
=8.
(1)求
ABP
的面积;
(2)求弦AC的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
3
x1
t
2
(t
为参数),以坐标原点为极点,
x
轴的正半轴为极轴建立极已知直线
l
的参数方程为
y31
t
2
坐标系,圆
C
的极坐标方程为
<
br>4sin(
(1)求圆
C
的直角坐标方程;
(2)若
P(x,y)
是直线
l
与圆面
≤
4si
n(
24.
(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知实数
a0,b0
,且
a
2
b
2
(1)求实数m的最小值;
(2)若2|x1||x|ab
对任意的
a,b
恒成立,求实数x的取值范围.
6
)
.
6
)
的公共点,求
3xy
的取值范围.
9
,若
abm
恒成立.
2
13.
33
14.
17.(1)
B
9n3
(nN
)
15.3
16.
f(2
n1
)
2
2
7
.
<
br>3
;(2)
b
ˆ
1.2x0.2
;18.(1)
y
(2)变量
x
与
y
之间是正相关,
9.8
万元
.
19.(1)证明过程详见解析;(2)
AM2
3
.
3<
br>【答案】(I)
f(x)
的单调增区间为
[1,
;减区间为.
)
f(1)
(0,1]
,
f(x)
(II)
37
<m<9
.
3
(III)证明见解析.
高考模拟数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
注意事项:
1.
答案第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2. 每小题选
出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,
再选涂其他答案,
不能答在试题卷上.
3. 考试结束、监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式: <
br>1
VSh
3
,其中
S
是锥体的底面积,
h
是锥体的高. 锥体的体积公式:
球的表面积公式:
S4πR
,其中
R是球的半径.
如果事件
A,B
互斥,那么
P(AB)P(A)P(B)
.
一、选择题:(本大题共 10 小题;每小题 5 分,满分 50
分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。请将答案填入答题卷中。)
1
.已知集合
Axx3,B
1,2,3,4
,则(
2
R
A)∩B = ( )
A.{1,2,3,4}
B.{2,3,4} C.{3,4} D.{4}
2.复数
(1a
i)(2i)
的实部和虚部相等,则实数
a
等于( )
A.
1
B.
11
C.
D.
1
32
3.已知数列
{a
n
}
是等
比数列,且
a
1
a
3
3,a
2
a
4
4
,则公比
q
的值是 ( )
A.
2
B.-2
C.
2
D.
2
2
4.下列命题错误的是( )
2
A.命题的逆否命题为“若
x1
,则
x3x20
”
“
若
x3x20,则x1”
B.若
pq
为假命题,则
p
,
q
均为假命题
C.对于命题
P:
存在
xR
,使得
xx10
,则<
br>p
为任意
xR
,均有
2
x
2
x10
“x2”是“x3x20”
D.的充分不必要条件
2
,x0,
x3
5. 已知函数
f
(x)
2
若
f(a)f(4)
,则实数
a
=
( )
x0,
x,
(A)4 (B)
1或
1
(C)
1
或4
4
6.给出右边的程序框图,那么输出的数是 ( )
A.2450
B.2550
C.5050 D.4900
7.函数
ysi
nxsin(
A.图象关于点(
B.图象关于点(
C.图象关
于点(
( )
(D)1,
1
或
3
x)
具有性质( )
3
,0)对称,最大值为2
,0)对称,最大值为2
,0)对称,最大值为1
6
3
D.图象关于直线x=
3
对称,最大值为1
8、已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸
(单位:cm),可得这个几何体的体积是
A、
9.若直线<
br>2axby20(a,bR)
平分圆
xy2x4y60
,则
A.1 B.5 C.
D.
3
22
42
10.已知函数
y
f(x)(xR)
满足
f
x
f
x1
,且
x[1,1]
时,
f(x)x
,则
yf(x)
与
2
22
1
3
111
cm
B、
cm
3
C、
cm
3
D、
cm
3
23612
21
的最小值是
( )
ab
ylog
5
x
的图象的交点个数为(
)
A. 3 B. 4 C. 5
D. 6
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3.本卷共12小题,共100分。
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.)
11.
某单位有27名老年人,54名中年人,81名青年人. 为了调查他们的身体情况,用分层抽样的方法从
他们中抽取了n个人进行体检,其中有6名老年人,那么n=_________.
x
y3
12、设实数
x,y
满足线性约束条件
xy
1
,则目标函数
z2xy
的最大值为_________
y
0
13.已知
|a|2,|b|2,a与b的夹角为45
,要使
ba与a垂直
,
则
= . <
br>x
2
y
2
1的焦点为顶点,
一条渐近线为y=2x的双曲
线的方程 .
14.以椭圆
420
15.如图,从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD,
AB是圆O的直径,若PA=4,PC=5,CD=3,则
P
C
A
O
B
D
∠CBD= 。
16.已知直线
l,m,平面
,
,
,给出下列命题:
①
l
,l
,
m,则lm;
②
,
,m
,则m
;
<
br>③
,
,则
;
④
lm,l
,m
,则
.
其中正确的命题的序号是 。
三、解答题(本题共6道大题,满分76分)
17、(本小题满分12分)
在
ABC
中,
b4,A
(1)求BC边的长度;
3
,
面积
s23
sin
2
(
(2)求值:
A
)cos2B
44
CC
cottan
22
18.(本小题满分12分)
某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部
介于13
秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分
成五组:每一组
13,14)
;
第二组
14,15)
……第五组
0.38
0.32
频率<
br>组距
17,18
.下图是按上述分组方法得到的频率分布直
方图.
(I)若成绩大于或等于14秒且小于16秒
认为良好,求该班在这次百米测试中
成绩良好的人数;
(II)设
m
、
n
表示该班某两位同学的百米
测试成绩,且已知<
br>m,n
13,14)
17,18
.
求事件“
mn1
”的概率.
19.(本小题满分12分)
0.1
6
0.08
0.06
O
1314
15
16
19题图
17
18
秒
如图,
四棱锥PABCD
中,
ABC
D为菱形,PA平面ABCD,
BCD60
,
BC1,
E为CD的中点
,
PC与平面ABCD成角60.
(1)求证:平面EPB
平面PBA;
(2)求二面角
BPDA
的平面角正切值的大小.
P
D
A
E
C
B
20.(本小题满分12分)
已知函数
f(x)x2xx4,g(x)axx8.
(I)求函数
f(x)
的极值;
(II)若对任意的
x[0,)都有f(x)g(x),求实数a
的取值范围。
21.(本小题满分14分)
已知数列
a
n
,a
1
2,a
n
2a
n1
2
⑴求证:{
n
322
n2
a
n
}
为等差数列;
n
2
⑵求<
br>
a
n
的前n项和
S
n
;
22.(本小题满分14分)
已知椭圆的中心在原点,焦点
在
x
轴上,一个顶点为
B(0,1)
,且其右焦点到直线
xy220
的距离为
3
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 是否存在斜率为
k(k0)
,且过定点
Q(0,
3
)
的直线
l
,使
l
与椭圆交于两个不同
2
的点
M、N
,且
|BM||BN|
?若存在,求出直线
l
的方
程;若不存在,请说明理由.
参 考 答 案
一、选择题:
1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 6、A 7、C
8、C 9、D 10、B
二、填空题:
11、36
12、6 13、2
y
2
x
2
1
15、
30
0
16、 ①②④
14、
164
三、解答题:
17.解:(1)解:在
ABC
中
S
1
bcsinA
2
13
234c
22
c2
LLLL
2分
ab
2
c
2
2bccosA
164224
1
23
LLLL
4分
2
ab
sinAsinB
234
3
sinB
2
sinB1
0B
B
2
C
6
LLLL
6分
si
n
2
(
(2)
A
)cos2B
s
in
2
cos
311
3
44
(1)sin
C
LLLL
12分 =
CC
CC
421
6
cossin
cottan
2
2
22
CC<
br>sincos
22
18、解:(1)由直方图知,成绩在
14,16
内的人数为:
500.16500.3827
(人)
所以该班成绩良好的人数为27人.
LLLL
4分
(2)由直方图知,成绩在
13,14
的人数为
500.063
人,设为
x
、
y
、
z
;
LLLL
5分
成绩在
17,18
的人数为
500.084人,设为
A
、
B
、
C
、
D
.
LLLL
6分
若
m,n
13,14)
时,有
xy,xz,yz
3种情况;若
m,n
17,18
<
br>时,有
AB,AC,AD,BC,BD,CD
6种情况;
若
m,n<
br>分别在
13,14
和
17,18
<
br>内时,
x
y
z
A
xA
yA
zA
B
xB
yB
zB
C
xC
yC
zC
D
xD
yD
zD
共有12种情况.
所以基本事件总数为21种
LLLL
9分
事件“
mn1
”所包含的基本事件个数有12种.
LLLL
11分
∴P(
mn1
)=
124
L
217
LLL
12分
19.解:(1)
E为CD的中点
,
BC1,
ABCD为菱形,
CE
1
又
BCD60
,
BEC90
2
BEAB
,又
PA平面ABCD
PABE<
br>,
PA
面PAB,
AB
面PAB,
PAIABA
BE面PAB
面PBE面PAB
BE面PBE
LLLL
4分
(2)过B点作BF
AD于F,过F作FM
PD于M,联结BM
Q
BF
AD BF
PA
BF
面PAD
BM为面PAD的斜线,MF为BM在面PAD的射影,
BM
PD
BMF为二面角B-PD-A的平面角
LLLL
8分
PC与面ABCD成角
60
,
PCA=
60
PA=3
BF=
00
3
30
3
MF=
tanBMF
2
3
210
30
3
LLLL
12分 所以二面角B-PD-A平面角正切值为
2
20.解:(I)
f
(x)3x4x1,
…………1分
令
f
(x)0,
解得:
x
1
1或x
2
.
…………2分
当
x
变化时,
f
(x),f(x)
的变化情况如下:
1
3
当x1时,f(x)
取得极大值为-4;
1112
当x时,f(x)取得极小值为.
…………6分
327
(II)设
F(x)f(x)g(x)x(2a)x4
32
F(x)0在[0,)恒成立F(x)
min
0,x[0,)
若
2a0,显然F(x)
min
40,
…………8分
若
2a0,F
(x)3x(42a)x
令
F
(x)0,解得x0,x
2
2a4
…………10分
3
当
0x
2a4
3
时,F
(x)0.
当
x
2a4
3
时,F
(x)0.
当x[0,),F(x)
2a4
min
(
3
) 0,
即
(
2a4
3
2a4
2
3< br>)(2a)(
3
)40,
解不等式得:
a5,2a5
当
x0时,F(x)4
满足题意。
综上所述
a的取值范围为(,5]
21.解:⑴∵
a
n
1
2,a
n
2a
n1
2
n2
∴
a
n
2
n
2a
n1
2
n
1
a
n
a
n1
2
n
2
n1
1
∴
{
a
n
2
n
}
为等差数列,首项为a
1
2
1
1
,公差d=1
⑵由⑴得
a
n
2
n
1(n1)1n
∴
a
n
n2
n
∴S
n
=1·2
1
+2·2
2
+3·2
3
+…+(n-1)·2
n
-
1
+n·2
n
2S
n
=1 ·2
2
+2·2
3
+3·2
3
+…+(n-1)·2
n
+n·2
n+1
两式相减得:-S
n
=2< br>1
+2
2
+2
3
+…+2
n
-n·2
n+1
=
2(12
n
)
12
n2
n1
∴S
n
=2-2
n+1
+n·2
n+1
=(n-1)·2
n+1
+2
2
y
2
22.解:(Ⅰ)设椭圆的方 程为
x
a
2
b
2
1,(ab0)
,
由已知得
b1
.
设右焦点为
(c,0)
,由题意得
c22
2
3,c2.
…………12分
…………6分
…………8分
…………14分
…………2分
a
2
b
2
c
2
3
. …………3分
2
x
椭圆的方程为
y
2
1
.
…………4分
3
(Ⅱ)直线
l
的方程
ykx
3
,
2
代入椭圆方程,得
(13k)x9kx
15
0.
……………5分
22
4
设点
M(x
1
,y1
),N(x
2
,y
2
),
则
x<
br>1
x
2
9k
13k
2
.
设
M
、
N
的中点为
P
,
则点
P
的坐标为
(
9k3
26k
2
,
26k
2
)
.
Q|BM||BN|,
点
B
在
线段
MN
的中垂线上.
3
k
BP
1
k
2
6
9
k
2
1
k
.
26k
2
化简,得
k
2
3
2
.
由
0
得,
k
2
12
5
.
Q
2
3
12
5
.k
6
3
.
所以,存在直线
l
满足题意,直线
l
的方程为
6
3
xy
3
2
0
或
6
3
xy<
br>3
2
0
………………6分
…………………8分
…………………10分
…………………12分
………………14分
高考模拟数学试卷
本试
卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22~24题为选考题,其它
题为必
考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。
注意事项:
1.答题前,
考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考
证号,并将条形码
粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂
其他答案的标号;非选择题答
案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清
楚。
3.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合
题目要求的.)
1,2,3
,B
x|(x2)(x3)0,xZ
,则
AB
=( )
1.已知集合
A
1
B
.
1,0,1,2,3
C
.
1,2
D
.
0,1,2,3
A
.
2.已知
z
是复数,
z2
1i
,则
z<
br>等于( )
2i
A
.
1i
B
.
2i
C
.
12i
D
.
3i
3.在等差数列
{a
n
}<
br>中,
a
3
a
5
2a
10
4
,
则此数列的前13项的和等于( )
A
.26
B
.16 C.13
D
.8
开始
4.已知向量a
(2,1)
,a
g
b
1
0
,|a+b|
52
,则|b|
( )
输入N
A
.
5
B
.
10
C
.5
D
.25
S1,i1
3
5.已知
sin(x)<
br>,则
sin2x
( )
45
77916
B
.
C
.
D
.
A<
br>.
25252525
6.执行如图所示的程序框图,输入
N
的值为2017,
则输出
S
的值是( )
ii1
iN
否
输出S
结束
是
S
(i1)S(2i1)
i
A
.2014
B
.2015
C
.2016
D
.2017
7.同时具有下列性质“①对任意
xR,f(x
)f(x)
恒成立;②图象关于直线
x
3
对称;③
在
[
,]
上是增函数” 的函数可以是( )
6
3
x
A
.
f(x)sin()
B
.
f(x)sin(2x)
266
C
.
f(x)cos(2x)
D
.
f(x)cos(2x)
36
8.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积是( )
A
.
426
B
.
46
D
.
42
C
.
422
正视图 侧视图 俯视图
4xy90,
9.已知实数
x
、
y
满足
xy10
,则
x3y
的最大值是( )
y3
A
.
15
2
B
.
5
C
.
2
D
.
1
10.已知
S,A,B,C
是球
O
表面上的点,
SA平面ABC<
br>,
ABBC
,
SAAB1
,
BC2
,则球<
br>O
的表面积等于( )
4
B
.2
C
.
3
D
.4
3<
br>x
2
y
2
2
11.已知双曲线
2
2
1(a0,b0)
与抛物线
y8x
有一个公共的焦点
F<
br>,且两曲线的一个交点为
ab
A
.
P
,若
|PF|<
br>=5,则双曲线的渐近线方程为( )
A
.
y3x
B
.
y2x
C
.
y
3
x
3
D
.
y
2
x
2
12.已知定义在<
br>R
上的奇函数
f(x)
,满足
f(x4)f(x)
,且
在区间
[0,2]
上是增函数,若方程
f(x)m(m0)
在区间
8,8
上有四个不同的根
x
1
,x
2,x
3
,x
4
,则
x
1
x
2
x
3
x
4
( )
A
.4
B
.8
C
.-4
D
.-8
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.如右图,在一个长为
,宽为2的矩形
OABC
内,曲线 <
br>ysinx(0≤x≤
)
与
x
轴围成如图所示的阴影部分
,向矩形
OABC
内随机投一点(该点落在矩形
OABC
内任何一点是等可
能的),则所投的点落在阴影部分的概率是 .
14.若<
br>(x
a
6
)(a0)
的展开式中
x
3
的
系数为
A
,常数项为
B
,若
B4A
,则
a
的值是 .
x
412
,
cosC
,
a
1
,则
b
.
513
15.
AB
C
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,若
cosA
16.已知
M
为椭圆上的一点,椭圆的两个焦点为
F
1
、
F
2
,且椭圆的长轴长为10,焦距为6,点
I
为
MF<
br>1
F
2
的内心,延长线段
MI
交线段
F
1<
br>F
2
于
N
,则
MI
的值为___________.
IN
三、解答题:(本大题共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,且
a
2
=6,<
br>S
4
28
,数列
b
n
满足<
br>(Ⅰ)求
S
n
的表达式;
(Ⅱ)求数列
b
n
的通项公式.
18.(本小题满分12分)
某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下表:
若用样本估计总计,以上表频率为概率,且每天的销售量相互独立:
(I)求5天中该种商品恰好有2天的日销售量为
1.5
吨的概率;
(II
)已知每吨该商品的销售利润为2千元,
表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元),求
的
分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
o
如图,在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,
ACB90,
AA
1
BC2AC2
,
D
在线段
A
1
A
上。
2b
i
i1
n
i
2
a
n
日销售量(吨)
天 数
1 1.5 2
10 25 15
C
1
(Ⅰ)若D为AA
1
中点,求证:平面B
1
CD
平面B
1
C
1
D;
(Ⅱ)若二面角B
1
—DC—C
1
的大小为60°,求AD的长.
B
1
A
1
D
C
A
B
20.(本小题满分12分)
已知圆
C:
(x3)
2
y
2
16
,点
A(3,0
)
,
Q
是圆上一动点,线段
AQ
的垂直平分线交线段
CQ<
br>于
点
M
,设点
M
的轨迹为
E
。
(Ⅰ)求
E
的方程;
(Ⅱ)在直线
x4
上任取一点P(4,t),(t0)
,
D
、
F
分别为曲线
E与
x
轴的左、右两交点,若直
线
DP
与曲线
E
相交于异于
D
的点
N
,证明:对任意的
t(t0)
,NPF
为钝角三角形。
21.(本小题满分l2分)
已知函数
f(x)lnxa(x1)
,
aR
.
(I)讨论函数
f(x)
的单调性;
(Ⅱ)当
x1
时,
f(x)
≤
请考生在第22,23,
24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清题号。
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,∠
BAC
的
平分线与
BC
和外接圆分别相交于
D
和
E
,延长
A
C
交过
D
,
E
,
C
三点的圆于
点
F
。
(Ⅰ)求证:
EF
2
ED•EA
;
(Ⅱ)若
AE6,EF3
,求
AF•AC
的值.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
lnx
恒成立,求
a
的取值范围.
x1
A
C<
br>D
B
F
E
1
x1t
2
2
已知直线
C
1
(t为参数),曲线
C<
br>2
sin
8cos
.
y
3
t
2
(Ⅰ)求直线
C
1
的普通方程与曲线
C
2
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设
P(1,0)
直线
C
1
与曲线
C
2
交于
A,B
两点,求
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
11
的值.
|PA||PB|
已知函数f(x)
=|2x+1|+|2x-3|+
a
。
(Ⅰ)当
a
=0时,解不等式
f(x)6
;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥
a
2
对一切实数x恒成立时,求实数
a
的取值范围。
一、选择题
1
B
二、填空题
13.
1
2
A
3
C
4
C
5
B
6
C
7
B
8
A
9
D
10
D
11
A
12
D
14.
2
15.
16.
47
5
3
三、解答题
17、解:(I)由正弦定理知a=2RsinA,b=2
RsinB,c=2RsinC,∴
化简得:sin(A+B)=2sin(B+C)…………………4
分
∴sinC=2sinA,∴
(II)∵
cosA2cosC2sinCsi
nA
…2分
cosBsinB
sinC
2
.…………………6分
sinA
sinC
2c2a
,又
abc5b53a
①……………………………………8分
sinA
33
在
ADC,BDC
中,由余弦定理得:
b
2
a
2
6acosADC,a
2
a
2
6ac
osBDC
22
相加得
b
2
a
2
3
②,………………………………………………………………………………10分
由①②解得
a1
或
11
4
112213时,
c,b
,不合题意,舍去。∴b=2…….…12分
444
当
a1
时,
c2,b2
,当
a
18、解:(Ⅰ)销
售量1.5吨的频率为0.5,依题意,随机选取一天,销售量为1.5吨的概率P=0.5,设5
天中
该种商品有天的销售量为1.5吨,则~B(5,0.5),…………………………3分
P(X2)
C
5
0.5
2
(10.5)
3
0.3125
……………………………………………………………6分
(II)
的可能
取值4,5,6,7,8…………………………………………………..…..……7分
2
P
(
4)0.2
2
0.04
;
P(
5)20.20.50.2
;
P(
6)0.5
2
20.20.30.37
;
P(
7)20.50.30.3
;
P
∴
4
0.04
5
0.2
6
0.37
7
0.3
8
0.09
P(
8)0.3
2
0.09
的分布列为
……………………………………………10分
E
6.2
(千元)……………………12分
19.(Ⅰ)∵
A
1
C
1
B
1
ACB90
o,∴
B
1
C
1
A
1
C
1
,
A
1
C
1
B
1
E
又由直
三棱柱性质知
B
1
C
1
CC
1
,∴
B<
br>1
C
1
平面ACC
1
A
1
.∴<
br>B
1
C
1
CD
………………..……..2分
D
由D为中点可知,
DCDC
1
2
,∴DC
2
DC
1
2
CC
1
2
,即<
br>CDDC
1
又
B
1
C
1
IDC
1
C
1
,所以
CD
平面B
1
C
1
D,又
CD
平面B
1
CD,
A
C
B
故平面
B
1
CD
平面
B
1
C
1
D
…………………………………………………………..…..……6分
(Ⅱ)解法一:由(1)知B
1
C
1
平面ACC
1
A
1
,如图,在平面ACC
1
A
1
内过
C
1
作C
1
ECD
交CD于E,连EB
1
,由三垂线定理可知
B
1
EC
1
为二面角
A
1
oB
1
—DC—C
1
的平面角,∴
B
1
EC<
br>1
60.
…8分
C
1
B
1
E
D
C
A
B
23
CE
由B
1
C
1
=2知,
1
,设
ADx(0x2)
,则
DCx
2
1.
<
br>3
∵
DCC
1
的面积为1,∴
123
x
2
11
,解得
x2
,即
AD2.
…….……12分
23
(II)解法二:如图,以C为原点,CA、CB、CC
1<
br>所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.
uuuruuur
设AD=a<
br>(0a2)
,则D点坐标为(1,0,a),
CD(1,0,a),CB
1
(0,2,2)
,……7分
ur
设平面B
1
CD的法向量为
m(x,y,z)
.
uruuur
ur
mCB
1
0
xaz0
,
令
z1,
得
m
(a,1,1)
…9分
则由
uruuur
2y2
z0
mCD0
A
1
z
C
1
B
1
D
C
A
x
B
y
r
又平面C
1
DC的法向量为
n(0,1,0)
,
…………10分
则由
cos60
mn
|m||n|
1
,得
a2
,故
AD2.
……………12分
a
2
2
2
1
20.解:(Ⅰ)由题意
得
MCMAMCMQCQ423
……………………….……2分
∴轨迹
E
是以
A
,
C
为焦点,长轴长为4的椭圆
x
2
既轨迹
E
的方程为
y
2
1
………………………………………………………….……4分
4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
D
(-2,0),
F
(2,0),
P
(4,t)(t
0),设
N
(x
N
,y
N
)
则直线
DP
的方程为
y
t
(x2)
…………………………………………
…………………5分
6
t
y(x2)
2222<
br>由
得
(9t)x4tx4t360
…………………………
………….….6分
6
x
2
4y
2
4
4t
2
2t
2
18
∵直线DP
与椭圆相交于异于
D
的点
N
∴
2x
N
,x
N
9t
2
9t
2
由
y
N
t6t
………………8分
(x
N
2)
得
y
N
69t
2
uuur
uuuruuuruuur
4t
2
6t8t
2
6t
2
2t
2
∴
FN(,),FP(2,t)
∴
FN•FP
0
……10分
9t
2
9t
2
9t
2
9t
2
9t
2
又
N
,
F
,<
br>P
三点不共线,∴
NFP
为钝角∴
NFP
为钝角三角形…
………………12分
21. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)
f(x)
的定义域为
(0,),
f
'
(x)
'
1ax
,……………………………………1分
x
若
a0,
则
f(x)
0,
f(x)
在
(0,)
上单调递增,…………………………….…
……3分
若
a0,
则由
f(x)0
得
x
1
1
'
,当
x(0,)
时,
f(x)0,
当
a
a
111
x(,)
时,
f
'
(x)0
,<
br>f(x)
在
(0,)
上单调递增,在
(,)
单调递减.
aaa
'
综上所述:当
a0
时,
f(x)
在(0,)
上单调递增,
当
a0
时,
f(x)
在
(0,)
上单调递增,在
(,)
单调递减.……….….5分
1
a
1
a
lnxxlnxa(x
2
1)
(Ⅱ
)
f(x)
,
x1x1
令
g(x)xlnxa(x1)(x1)
,
2
g
(x)lnx12ax
,令
F(x)g
(x)lnx12ax
,则
F
(x)
1
2ax
,……………6分
x
(1)若a0,
F
(x)
0
,
g
(x)在
1,
递增,
g
(x)g
(1)1-2a0
g(x)在<
br>
1,
递增,g(x)g(1)0
,
lnx
0
,不符合题意.…………………………………………………………8分 <
br>x1
111
(2)
若0a,当x(1,),F
(x
)0,g
(x)在(1,)递增
,
22a2a
从而
f(x)
从而g
(x)g
(1)1-2a>0
,
g(x)
在
[1,
1
]
单调递增,则
g(x)
g(1)0
2a
lnx
从而
f(x)
.………………
…………………………………...……10分
0
,不符合题意.
x1
1
(3)若a,F
(x)0在
1,
恒成立
,
2
g
(x)在
1,
递减,g
(x)g
(1)1-2a0
, 从而g(x)在
1,
递减,g(x)g(1)0,f(x
)
lnx
0
,
x1
综上所述,
a<
br>的取值范围是
[)
……………………………………………………...……12分
22、(Ⅰ)如图,连接
∠BAC∴∠BAD=∠DAC
在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE∴∠EAF=∠EFD
又∠AEF=∠FED∴
ΔAEF∽ΔFED∴
CE,DF ,∵AE平分
1
2
A
C
D
B
F
E
分
EFA
E
2
∴
EFED•EA
………….…5
EDEF
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
EFED•EA
,
QEF3,AE6
ED
399
,
ADACgAFADgAE627
…
……………………..……10分
222
23、解:(Ⅰ)把直线
C
1化成普通方程得
3x4y10
,………………………………..2分
把曲
线
C
2
:
2
2cos(
)
化成
2
cos
<
br>sin
4
2
∴其普通方程为
xy
xy0
……………………………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)将直线<
br>C
1
的参数方程代入曲线
C
2
的普通方程整理得
t<
br>2
1811
t0
…7分
54
1
QP
(1,)
在圆
C
2
外,则
A,B
两点的参数
t<
br>1
,t
2
同号。…
2
11|PA||PB|<
br>|t
1
t
2
|
112
…………………………………
…………10分
|PA||PB||PA||PB||t
1
t2
|55
24、解:(Ⅰ)当a=0时,
f(x)6
等价于
13
3
1
x
x
x
或
2
…………………………………………………3分
22
或
2
4x26
46
4x26
解得
x1,x2,所以,不等式的解集是
(,1][2,)
┈………………………┈5分 <
br>(Ⅱ)
Qf(x)|2x1||2x3|a|(2x1)(2x3)|a
4a
,……………….7分
要使不等式f(x)≥
a
2
恒成立,
只需
4aa
2
117117
a
22
所以,
a
的取值范围是:
[
117117
,]
…………………………………………………..…10分
22
高考模拟数学试卷
(考试时间:120分钟
试卷满分:150分)
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12
小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.设全集U=R,
集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(C
U
A)UB=
A.(2,3]
B.(-∞,1]U(2,+∞)
C.[1,2)
D.(-∞,0)U[1,+∞)
ii
-(a,b∈R),则a+b的值是
2+i2-i
222
A.0 B.-i
C.- D.
555
2.已知i是虚数单位,若a+bi=
3
.已知条件p:a<0,条件q:
a
>a,则
p
是
q
的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如
图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,P为BD
1
的中点,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是
2
A.①④ B.②③ C.②④
D.①②
x
2
y
2
x
2
y
2
5
.双曲线
2
-
2
=1
(a>0,b>0)与椭圆
+=1的焦点相同,若过右焦点F且倾斜角为60°的
ab259
直线与双曲线的右支有两个不同
交点,则此双曲线实半轴长的取值范围是
A.(2,4) B.(2,4]
C.[2,4) D.(2,+∞)
6.若数列{
a
n
}满
足
1
a
n-1
-
11
=d (n∈N﹡,d为常数),则称
数列{
a
n
}为调和数列.已知数列{}为
a
n
x
n
调和数列,且x
1
+x
2
+…+x
20
=200
,则x
5
+x
16
=
A.10
B.20 C.30 D.40
x
≥0,
22
7.已知实数x,y满足约束条件
3x+4y≥4,
则
x+y
+2x的最小值是
y≥0,
A.
224
B.
2
-1 C.
D.1
525
8.已知函数f(x)=sin(2x+
)
,其中0<
2π,若f(x)≤|f(
且f(
<
立,
)|对x∈R恒成
6
)>f(π),则
等于
2
5
A. B.
6
6
7
11
C.
D.
66
9.程序框图如图所示,该程序运行后输出的S的
值是
A.2 B.-
C.-3
D.
1
2
1
3
10.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当
三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取5次球时停止取球的概率为
A.
11.过抛物线
y=4x
焦点F的直线交其于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3
,则
△AOB的面积为
A.
2
1422
525
B. C. D.
8181
8581
232
B.
2
C. D.2
2
22
12.如下图,在三棱锥P-AB
C中,PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=3,PB=2,PC=2,设M是底面三
角形ABC内
一动点,定义:f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别表示三棱锥M-PAB,M-PBC,M
-PAC的体积,若f(M)=(1,x,4y),且
正实数a的最小值是
A.2-
2
B.
1
a
+
y
x
≥8恒成立,则
22-1
2
C.
9-42
D.
6-42
4
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上。)
13.(
2
6
+x)
(1-x)
的展开式中x的系数是______
____________.
x
14.已知等比数列{
a
n
}为递增数列,a
1
=-2,且3(
a
n
+
an+2
)=10
a
n+1
,
则公比q=______________.
15.如右图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,
P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向
uuur
uuur
uuur<
br>量
AC
=λ
DE
+μ
AP
,则λ+μ的最小值为_____________.
16.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=
[0,2)
log
1
(x+1)x∈
3,则关于x的函数F(x)=
[2,+∞)
1-x-4
,x∈
f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为_____.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。)
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A、B、C所对的边为a,b,C,已知
sin
(1)求cosC的值;
(2)若△ABC的面积为
18.(本小题满分12分)
某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,下表是在某单位得到的数据(人数):
(1)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关?
(2)进一步调查:
①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述
发言,求事件“男士和女士各至少有1人发言”的
概率;
②从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座
谈,设参加调查的女士人数为,求的分布列和数学期望.
附:
男
女
合计
赞同
5
11
16
反对 合计
6
3
9
11
14
25
10
C
=.
4
2
315
13
2
22
,且
sinA
+
sinB
=
sinC
,求a,
b及c的值.
4
16
19.(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,
AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE
=2,G是BC的中点.
(1)求证:BD⊥EG:
(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
x
2
y
2
已知椭圆
C:
2
+
2
=1
(a>b>0)的左右焦点分别为F
1,F
2
,点B(0,
3
)为短轴的一个端点,
ab
∠O
F
2
B=60°.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,过右焦点F
2
,且斜率k(k≠0)的直线l
与椭圆C相交于D,E两点,A为椭圆的右顶点,
直线AE,AD分别交直线x=3于点M,N,线
段MN的中点为P,记直线PF
2
的斜率为
k
.试
问k·
k
是否为定值?若为定值,求出该定值;
若不为定值,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=lnax-
x-a
(a≠0).
x
(1)求此函数的单调区间及最值;
e
n
111
(2)求证:对于任意正整数n,均有1++…+≥
ln
(e为自然对数的底数).
n!
23n
【选做题】
请考生在第22、23、
24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答题时用2B铅笔
在答题卡上把所选题目
的题号涂黑。
22.(本小题满分10分)【选修4—1:几何证明选讲】
如图,A,B,C,D四点在同一圆上,BC与AD的延长
点F在BA的延长线上.
线交于点E,