财神有道-赠言格式

云南省多校联考高考数学模拟试卷（理科
）



一、选择题（本题共
12
个小题，每小题
5
分，共
60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）

1
．设
P
、
Q
是两个集合，定义集合
P
﹣
Q=
{
x
|
x
∈
P
且
x
∉
Q
} 为
P
、
Q
的
“
差集
”
，已知
P=
{
x
|
1
﹣＜
0
}，
Q=
{x
||
x
﹣
2
|＜
1
}，那么
P﹣
Q
等于（ ）

A
．{
x
|
0< br>＜
x
＜
1
}
B
．{
x
|
0
＜
x
≤
1
}
C
．{
x
|1
≤
x
＜
2
}
D
．{
x
|
2
≤
x
＜
3
}

2
．已知（a
﹣
i
）
2
=
﹣
2i
，其中
i
是虚数单位，
a
是实数，则|
ai
|
=
（ ）

A
．
2 B
．
1 C
．﹣
1 D
．﹣
2

；②在[﹣，]上是增函
3
．同时具有性质：① 图象的相邻两条对称轴间的距离是
数的一个函数为（ ）

A
．
y=sin
（+）
B
．
y=cos
（
2x
+）
C
．
y=sin
（
2x
﹣）
D
．
y=cos
（﹣）


4
．若向量
=
（
1
，﹣
2
），
=
（
2
，
1
），
=
（﹣
4
，﹣
2
），则下列说法中正确的 个数是（ ）
①⊥；②向量与向量的夹角为
90°
；③对同一平面内的任意向量，都 存在一对实数
k
1
，
k
2
，使得
=k
1< br>+
k
2
．

A
．
3 B
．
2 C
．
1 D
．
0

f
（
log
2
3
）的值为（ ）

D
．

5
．已知函数
f
（
x
）
=
A
．
B
．
C
．
6
．直线
l< br>：
y=k
（
x
+）与曲线
C
：
x
2
﹣
y
2
=1
（
x
＜
0
）相交于< br>P
，
Q
两点，则直线
l
的倾斜角
的取值范围是（ ）

A
．（

，）∪（，）
B
．（，）
C
．（
0
，）∪（，
π
）
D
．[
0
，
π
）

7
．执行如图所示的程序框图，若输入的
a，
b
分别为
36
，
28
，则输出的
a=
（ ）


A
．
4 B
．
8 C
．
12 D
．
20

8
．某几何 体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积
为（ ）


A
．
B
．
C
． +
4
+
D
．
π
+
8
+

9
．图所示的阴影部分由坐标轴、直线
x=1
及曲线
y=e
x﹣
lne
围成，现向矩形区域
OABC
内
随机投掷一点，则该点 落在非阴影区域的概率是（ ）


A
．
B
．
C
．
1
﹣
D
．
1
﹣

10．设△
ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若（
a
+< br>b
+
c
）（
b
+
c
﹣
a
）
=3bc
，
且
sinA=2sinBcosC
，那么△
AB C
的外接圆面积与内切圆面积的比值为（ ）

A
．
4 B
．
2 C
．
D
．
1

11
． 已知
A
是抛物线
M
：
y
2
=2px
（p
＞
0
）与圆
C
在第一象限的公共点，其中圆心
C（
0
，
4
），
点
A
到
M
的焦 点
F
的距离与
C
的半径相等，
M
上一动点到其准线与到点< br>C
的距离之和的
最小值等于
C
的直径，
O
为坐标原点 ，则直线
OA
被圆
C
所截得的弦长为（ ）

A
．
2 B
．
2 C
．
D
．

12
．已知函数
f
（
x
）
=x
2
﹣
tcosx
．若其导函数
f′
（
x
）在
R
上单调递增，则实数
t
的取值范
围为（ ）

A
．[﹣
1
，﹣]
B
．[﹣，]
C
．[﹣
1
，
1
]



二、填 空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分）

13
．若（
1
﹣
2x
）
2017
=a0
+
a
1
x
+
…a
2017
x
2017
（
x
∈
R
），则
14
．已知等差数列{
a
n
}满足：
a
1
+
a
5
=4< br>，则数列{
2
++
…
+的值为 ．

D
．[﹣
1
，]


}的前
5
项之积为 （用数字作答）

15
．设实数
x
，
y
满足约束条件若目标函数
z=ax
+
by< br>（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的最大值为
2
，记
m
为+的最小值，则
y=sin
（
m x
+）的最小正周期为 ．

16
．
A
，
B，
C
三点均在球心
O
的球面上，已知三棱锥
O
﹣
ABC
中，且
AB=BC=1
，∠
ABC=120°
，
若 球
O
的体积为


三、解答题（共
70
分）

，则三棱锥
O
﹣
ABC
的体积是 ．

17．（
12
分）已知函数
f
（
x
）
=
零 点按从小到大的顺序构成数列{
a
n
}（
n
∈
N*
）

（Ⅰ）求数列{
a
n
}的通项公式；

（Ⅱ） 设
b
n
=
，函数
y=f
（
x
）﹣在（0
，+∞）上的
，求数列{
b
n
}的前
n
项和
S
n
．

18
．（
12
分）拖延症总是表 现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一
个社会实践调查小组，在对该校学生进行< br>“
是否有明显拖延症
”
的调查中，随机发放了
110
份问卷． 对收回的
100
份有效问卷进行统计，得到如下
2
×
2
列联 表：


有明显拖
延症

无明显拖
延症

25

10

35

合计

男

女

总计

35

30

65

60

40

100

（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从
40
份女 生问卷中抽取了
8
份问卷，现
从这
8
份问卷中再随机抽取
3
份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为
X
，试求随机变
量
X的分布列和数学期望；

（
2
）若在犯错误的概率不超过
P的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界
值表，最精确的
P
的值应为 多少？请说明理由

附：独立性检验统计量
K
2
=
P
（
K
2
≥
k
0
）

k
0

0.25

1.323

0.15

2.072

0.10

2.706

，
n=a
+
b
+
c
+
d

0.05

3.841

0.025

5.024

19
．（
12
分）如图，在多面体
A BCDE
中，
DB
⊥平面
ABC
，
AE
⊥平面ABC
，且△
ABC
是的

边长为
4
的等 边三角形，
AE=2
，
CD
与平面
ABDE
所成角的余弦值 为
一点．

（Ⅰ）若
F
是线段
CD
的中点，证明： 平面
CDE
⊥面
DBC
；

（Ⅱ）求二面角
B﹣
EC
﹣
D
的平面角的正弦值．

，
F
是线段
CD
上

20
．（
12
分）已知椭圆
C
： +
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心率为
+
1

，
P
是椭圆
C
上任意一
点，且点
P
到椭圆
C
的一个焦点的最大距离等于
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
< br>（Ⅱ）若过点
M
（
2
，
0
）的直线与椭圆
C
相交于不同两点
A
，
B
，设
N
为椭圆上一点，是< br>否存在整数
t
，使得
t•=
+（其中
O
为坐标原点） ？若存在，试求整数
t
的所有取值；
若不存在，请说明理由．

21
．（
12
分）设函数
f
（
x
）
=e
x
﹣
ax
2
﹣
ex
+
b
，其中
e
为自然对数的底数．

（Ⅰ）若曲线
f
（
x
）在
y
轴上的截距为﹣
1
，且在点
x=1
处的切线垂直于直线< br>y=x
，求实
数
a
，
b
的值；

（ Ⅱ）记
f
（
x
）的导函数为
g
（
x
），< br>g
（
x
）在区间[
0
，
1
]上的最小值为< br>h
（
a
），求
h
（
a
）
的最大值．



[选修
4-4
：坐标系与参数方程]
22
．（
10
分）在平面直角坐标系
xOy
中，以坐标原点O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．已知曲线
C的极坐标方程
ρ=2
1
）的直线
l
与曲线
C
交 于
M
，
N
两点

（Ⅰ）写出直线
l
的参数 方程的标准形式，并求曲线
C
的直角坐标方程；

（Ⅱ）求


[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．已知函数
f
（
x
）
=
|
x
﹣
a
| +|
x
﹣
2
|，
x
∈
R

（Ⅰ） 若关于
x
的不等式
f
（
x
）≤
a
在
R
上有解，求实数
a
的最小值
M
；


（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数
m
，
n
，
p
满足m
+
2n
+
3p=M
，求++的最小值．
sin
（
θ
+）．倾斜角为，且经过定点
P
（
0
，
+的 值．

2017
年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题（本题共
12
个小题，每小题
5
分，共
60
分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）

1
．设
P
、
Q
是两个 集合，定义集合
P
﹣
Q=
{
x
|
x
∈P
且
x
∉
Q
}为
P
、
Q
的< br>“
差集
”
，已知
P=
{
x
|
1﹣＜
0
}，
Q=
{
x
||
x
﹣
2
|＜
1
}，那么
P
﹣
Q
等于（ ）

A
．{
x
|
0
＜
x
＜
1
}
B
．{
x
|
0
＜
x
≤
1}
C
．{
x
|
1
≤
x
＜
2
}
D
．{
x
|
2
≤
x
＜
3
}

【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．

【分析】首先分别对
P
，
Q
两个集合进行化简，然后按照
P
﹣
Q=
{
x
|
x
∈
P
，且
x∉
Q
}，求出
P
﹣
Q
即可．

【解答 】解：∵
化简得：
P=
{
x
|
0
＜
x＜
2
}

而
Q=
{
x
||
x
﹣
2
|＜
1
}

化简得：
Q=
{
x
|
1
＜
x
＜
3
}

∵ 定义集合
P
﹣
Q=
{
x
|
x
∈
P
，且
x
∉
Q
}，

∴
P
﹣
Q=
{
x
|
0
＜
x
≤
1
}
故选
B

【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式 的解法，考查对集合知识的
熟练掌握，属于基础题．



2
．已知（
a
﹣
i
）
2
=
﹣
2i
，其中
i
是虚数单位，
a
是实数，则|
ai
|
=< br>（ ）

A
．
2 B
．
1 C
．﹣
1 D
．﹣
2


【考点】复数求模．

【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．

【解答】解：（
a
﹣
i
）
2
=
﹣
2i
，其中i
是虚数单位，
a
是实数，

∴
a
2
﹣
1
﹣
2ai=
﹣
2i
，∴
a
2
﹣
1=0
，﹣
2a=
﹣
2
，∴
a=1
．< br>
则|
ai
|
=
|
i
|
=1
．

故选：
B
．

【点评】本题考查了复数的运算法则、 复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算
能力，属于基础题．

3
．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是
数的一个函数为（ ）

A
．
y=sin
（+）
B
．
y=cos
（
2x
+）
C
．
y=sin
（
2x
﹣）
D
．
y=cos
（﹣）

；②在[﹣，]上是增函
【考点】三角函数的周期性及其求法．

【分析】由 题意求出函数周期，可知满足条件的函数是选项
B
或
C
，再由在[﹣
上是增函数进一步判断只有
C
符合．

【解答】解：由图象的相邻两条对称轴 间的距离是
由
x
∈[﹣
由
x
∈[﹣
意．

故选：
C
．

【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查< br>y=Asin
（
ωx
+
φ
）型函数的图象和性质，
是 基础题．




4
．若向量
=
（
1
，﹣
2
），
=
（
2
，
1
），
=
（﹣
4
，﹣
2
），则下列说法中正确的个数是（ ）
，]
，可知

，
T=π
，选项
B
、C
满足．
，
，
]，得
2x
]，得
2x
﹣
∈[
0
，
π
]，函数
y=cos
（
2x
+
∈[，
）为减函数，不合题意．

）为增函数，符合合题]，函数
y=sin
（
2x
﹣
①⊥；②向量与向量的夹角为
90°< br>；③对同一平面内的任意向量，都存在一对实数
k
1
，
k
2< br>，使得
=k
1
+
k
2
．

A
．
3 B
．
2 C
．
1 D
．
0

【考点】向量在几何中的应用．

【分析】运用向 量垂直的条件：数量积为
0
，计算即可判断①②；由向量共线定理，可得，
共线，由平 面向量基本定理，即可判断③．

【解答】解：向量
=
（
1
，﹣
2
），
=
（
2
，
1
），
=< br>（﹣
4
，﹣
2
），

由
•=1
×< br>2
+（﹣
2
）×
1=0
，可得⊥，故①正确；
由
•=1
×（﹣
4
）+（﹣
2
）×（﹣
2）
=0
，可得⊥，故②正确；

由
=
﹣
2
可得，共线，由平面向量基本定理，

可 得对同一平面内的任意向量，不都存在一对实数
k
1
，
k
2
，使得
=k
1
+
k
2
．

故③错误．

综上可得，正确的个数为
2
．

故选：
B
．

【点评】本题考查向量的数量积的性质，主要是向量垂 直的条件：数量积为
0
，考查平面

向量基本定理的运用以及向量共线的 坐标表示，考查运算能力，属于基础题．



5
．已知函数
f
（
x
）
=
A
．
B
．
C
．
D
．

f
（
log
2
3
）的值为（ ）

【考点】分段函数的应用．

【分析】根据
log
2
3的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于
3
时代
入
f
（
x
）的解析式求值．

【解答】解：由
f
（
x
）
=
，

∵
log
2
3
＜
3
，∴
f
（
lo g
2
3
）
=f
（
log
2
3
+< br>1
）
=f
（
log
2
6
），
由
log
2
6
＜
3
，∴
f
（
log
2
6
）
=f
（
log
2
6
+
1
）
=f
（
log
2
12
），

∵
log
2
12
＞
3
，∴
f
（< br>log
2
3
）
=f
（
log
2
12
）
=
故选：
C
．

【点评】本题考查了对数的运算 性质，考查了分段函数的函数值的求法，关键是注意适用
范围，是基础题．



6
．直线
l
：
y=k
（
x
+） 与曲线
C
：
x
2
﹣
y
2
=1
（< br>x
＜
0
）相交于
P
，
Q
两点，则直线
l
的倾斜角
=
．

的取值范围是（ ）

A
．（

，）∪（，）
B
．（，）
C
．（
0
，）∪（，
π
）
D
．[
0
，
π
）

【考点】直线与双曲线的位置关系．

【分析】首先根据题 意直线
l
：
y=k
（
x
+）与曲线
x
2< br>﹣
y
2
=1
（
x
＜
0
）相交于A
、
B
两点，
进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．< br>
【解答】解：曲线
x
2
﹣
y
2
=1
（
x
＜
0
）的渐近线方程为：
y=
±
x

直线
l
：
y=k
（
x
+）与相交于
A、
B
两点

所以：直线的斜率
k
＞
1
或
k
＜﹣
1

α
∈（，）

，

，）∪（，）

由于直线的斜率存在：倾斜角
a
≠
故直线< br>l
的倾斜角的取值范围是（
故选：
A
．

【点评】本题考查的知识要点：直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系．


7
．执行如图所示的程序框图，若输入的
a
，
b
分别为
36
，
28
，则输出的
a=
（ ）


A
．
4 B
．
8 C
．
12 D
．
20

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序框 图，依次写出每次循环得到的
a
，
b
的值，当
a=4
，b=4
时，不满
足条件
a
≠
b
，退出循环，输出
a
的值．

【解答】解：第一次循环，
a=36
，
b=2 8
，
a
＞
b
，
a=8
；

第二次 循环，
a=8
，
b=28
，
a
＜
b
，b=20
；

第三次循环，
a=8
，
b=20
，
a
＜
b
，
b=12
；

第四次循环，< br>a=8
，
b=12
，
a
＜
b
，
b= 4
，

第五次循环，
a=8
，
b=4
，
a
＞
b
，
a=4
，

第六次循环，
a=4< br>，
b=4
，
a=b
，不满足条件
a
≠
b，

退出循环，输出
a=4
，

故选：
A
．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依 次写出每次循环得到的
a
，
b
的值
是解题的关键，属于基本知识的考 查．



8
．某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边 三角形，则这个几何体的表面积
为（ ）


A
．
B
．
C
． +
4
+
D
．
π
+
8
+

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．

【分析 】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，
进而可得答案．

【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何
体 ，

其表面积由半圆锥的曲面，底面及四棱锥的底面，前，后，右侧面组成，

∵其侧视图是一个等边三角形，

∴半圆锥的底面半径为
1
，高为< br>故半圆锥的底面面积为：
四棱锥的底面面积为：
4
，

前后侧面均为腰长为
2
的等腰直角三角形，面积均为：
2
，

右侧面是腰为
2
，底为
2
的等腰三角形，面积为：
，

，

，故圆锥的母线长为：
2
，

，曲侧面面积为：
π
，

故组合体的表面积为：
π
+
8
+
故选：
D

【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，圆锥的体积和表面积，简单几何体的
三视图 ，难度中档．



9
．图所示的阴影部分由坐标轴、直线
x=1
及曲线
y=e
x
﹣
lne
围成，现向矩形区域
OABC
内
随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（ ）


A
．
B
．
C
．
1
﹣
D
．
1
﹣

【考点】定积分；几何概型．

【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．

【解答】解：由题意 ，阴影部分的面积为
∵矩形区域
OABC
的面积为
e
﹣
1< br>，

∴该点落在阴影部分的概率是
故选
D
．

【点评】本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题．



=1
﹣．

（
e
x
﹣
1
）
dx=
（
e
x
﹣
x
）|
=e
﹣
2
，

10
．设△
ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b，
c
，若（
a
+
b
+
c
）（
b
+
c
﹣
a
）
=3bc
，
且
si nA=2sinBcosC
，那么△
ABC
的外接圆面积与内切圆面积的比值为（ ）

A
．
4 B
．
2 C
．
D
．
1

【考点】余弦定理．

【分析】（
a+
b
+
c
）（
b
+
c
﹣
a< br>）
=3bc
，（
b
+
c
）
2
﹣a
2
=3bc
，化为：
b
2
+
c
2< br>﹣
a
2
=bc
．再利用余弦
定理可得
A=
．
sinA=2sinBcosC
，利用正弦定理与余弦定理可得：
b=c
．因 此△
ABC
是等边
三角形．即可得出．

【解答】解：∵（
a
+
b
+
c
）（
b
+
c
﹣
a
）
=3bc
，∴（
b
+
c
）
2
﹣
a
2
=3bc
，化为：
b
2
+
c2
﹣
a
2
=bc
．

∴
cosA==
，

．

，化为：
b=c
．

A
∈（
0
，
π
），∴
A=
∵
sinA=2sinBcosC
，∴
a=2 b
×
∴△
ABC
是等边三角形．

那么△
ABC< br>的外接圆面积与内切圆面积的比值
=
故选：
A
．

=4
．


【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的性 质，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．



11
．已知
A
是抛物线
M
：
y
2
=2px
（< br>p
＞
0
）与圆
C
在第一象限的公共点，其中圆心
C< br>（
0
，
4
），
点
A
到
M
的 焦点
F
的距离与
C
的半径相等，
M
上一动点到其准线与到点
C
的距离之和的
最小值等于
C
的直径，
O
为坐标原 点，则直线
OA
被圆
C
所截得的弦长为（ ）

A
．
2 B
．
2 C
．
D
．

【考点】直线与抛物线的位置关系．

【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定 义可得
A
，
C
，
F
三点共线时取得最小值，
且有< br>A
为
CF
的中点，设出
A
，
C
，
F
的坐标，代入抛物线的方程可得
p
，由抛物线的定义
可得
a
，求得
C
到直线
OA
的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．

【解答】解：圆
C
：
x2
+（
y
﹣
4
）
2=a2
的圆心
C
（
0
，
4
） ，半径为
a
，则|
AC
|+|
AF
|
=2a
，

由抛物线
M
上一动点到其准线与到点
C
的距离之和的 最小值为
2a
，

由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C
的距离之和的最小值为
2a
，

可得
A
，< br>C
，
F
三点共线时取得最小值，且有
A
为
CF
的中点，

由
C
（
0
，
4
），
F
（，
0
），可得
A
（，
2
），

代入抛物线的方程可得，
4=2p•
，解得
p=2
即有
a=
+
=
，
A
（，
2
），

x
的距离为
d==
，

=
，

，

可得
C
到直线
OA
：
y=2
可得直线
OA
被圆
C
所截得的弦长为
2
直线
OA< br>被圆
C
所截得的弦长为
故选
D

，

【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查
弦长公式和点 到直线的距离公式的运用，属于中档题．



12
．已知函数f
（
x
）
=x
2
﹣
tcosx
．若其 导函数
f′
（
x
）在
R
上单调递增，则实数
t的取值范
围为（ ）

A
．[﹣
1
，﹣]
B
．[﹣，]
C
．[﹣
1
，
1
]

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】求导数
f′
（x
）
=x
+
tsinx
，并设
g
（
x
）
=f′
（
x
），并求出
g′
（
x
）
=1
+
tcosx
，由
f′
（
x
）< br>在
R
上单调递增即可得出
tcosx
≥﹣
1
恒成立， 这样即可求出
t
的取值范围．

【解答】解：
f′
（
x
）
=x
+
tsinx
，设
g
（
x）
=f′
（
x
）；

∵
f′
（
x
）在
R
上单调递增；

∴
g′
（
x
）
=1
+
tcosx
≥0
恒成立；

∴
tcosx
≥﹣
1
恒成立；

∵
cosx
∈[﹣
1
，
1
]；

∴；

D
．[﹣
1
，]

∴﹣
1
≤
t
≤
1
；

∴实数
t
的取值范围为[﹣
1
，
1
]．

故选：
C
．

【点评】考查基本初等函数的求导公式，函数的单调性和函数导数符号的关系．

二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分）

13
．若（
1
﹣
2x< br>）
2017
=a
0
+
a
1
x
+…a
2017
x
2017
（
x
∈
R
） ，则
【考点】二项式定理的应用．

【分析】由（
1
﹣
2x
）
2017
=a
0
+
a
1
x
+< br>…a
2017
x
2017
（
x
∈
R
），令
x=0
，可得
1=a
0
．令
x=
，可得0=1
+++
…
+，即可得出．

++
…
+的值为 ﹣
1
．

【解答】解：由（< br>1
﹣
2x
）
2017
=a
0
+
a< br>1
x
+
…a
2017
x
2017
（
x
∈
R
），

令
x=0
，可得
1=a
0
．

令
x=
，可得
0=1
+++
…
+，

∴++
…
+
=
﹣
1
，

故答案为：﹣
1
．

【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程的 应用，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．



14
．已知等差数列{
a
n
}满足：
a
1
+
a
5
=4
，则数列{
2
答）

【考点】数列的求和．

【分析】根据等差数列的性质可得
a
1+
a
5
=a
2
+
a
4
=2a
3
=4
，即可求出前
5
项和，再根据指数幂
的运算性质即可求出答案 ．

【解答】解：∵等差数列{
a
n
}满足：
a
1
+
a
5
=4
，

∴
a
1
+
a
5
=a
2
+
a
4
=2a
3< br>=4
，

∴
a
1
+
a
5
+
a
2
+
a
4
+
a
3
=4
+
4
+
2=10
，

∴数列{
2
}的前< br>5
项之积为
2=2
10
=1024
，

}的前
5
项之积为
1024
（用数字作
故答案为：
1024

【点评】本题考查了等差数列的性质和指数幂的运算性质，属于中档题



15
．设实数
x
，
y
满足约束条件若目标函数
z= ax
+
by
（
a
＞
0
，
b
＞0
）的最大值

为
2
，记
m
为+的最小值 ，则
y=sin
（
mx
+
【考点】简单线性规划．

）的最小正周期为
π
．

【分析】首先根据线性规划问题和基本 不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的最小
正周期，求出结果．

【解答】解：设
x
、
y
的线性约束条件，如图所示：
解得
A
（
1
，
1
）目标函数
z=ax
+
by
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的最大值为
2
，

即：
a
+
b=2
，

所以： +
=
则
y=sin
（
2x
+
故答案为：
π
．

≥
2
，

）的最小正周期为
π
，


【点评】本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的最小正周期，属于基础题型．



16
．
A
，B
，
C
三点均在球心
O
的球面上，已知三棱锥
O
﹣
ABC
中，且
AB=BC=1
，∠
ABC=120°
，
若球
O
的体积为，则三棱锥
O
﹣
ABC
的体积是 ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．

【分析】由已知条 件可求出
AC
，求出△
ABC
的面积，设球半径为
R
，由球 的体积可解得
R
，
再设△
ABC
的外接圆的圆心为
G
，进一步求出
OG
，则三棱锥
O
﹣
ABC
的体积可求．< br>

A
，
B
，
C
三点均在球心
O< br>的球面上，【解答】解：三棱锥
O
﹣
ABC
中，且
AB=BC =1
，∠
ABC=120°
，
则
AC=
∴
，

，

，解得
R=4
．

设球半径为
R
，由球的体积

设△
ABC
的外接圆的圆心为
G
，

∴外接圆的半径为
GA=
∴
OG=
∴三棱锥
O
﹣
ABC
的体积是
故答案为：．

．

=
．

，

【点评】本题考查球的有关计算问题，考查棱锥 的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思
维能力，是中档题．



三、解答题（共
70
分）

17
．（
12
分）（
2017•
曲靖模拟）已知函数
f
（
x
）
=
在（
0
，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{
a
n
}（
n
∈
N*
）

（Ⅰ）求数列{
a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）设
b
n
=
，求数列{
b
n
}的前
n
项和
S
n
．

，函数
y=f
（
x
）﹣
【考点】数列的求和；数列递推式．

=tanx
，【分析】（
1
）根据二倍角公式先化简得到
f
（
x
）再根据函数零点定理可得
x=
k
∈
Z
，即可得到数列的通项公式，

（Ⅱ）化简
bn=
（﹣），再裂项求和即可．

+
kπ，
【解答】解：（Ⅰ）
f
（
x
）
===tanx
，

∵
y=f
（
x
）﹣
∴
tanx=< br>∴
x=
，

=0
，

+
kπ
，
k
∈
Z
，

在（
0
，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{
a
n
}，
∵函数
y=f
（
x
）﹣
∴
a
n
=+（
n
﹣
1
）
π
，

===
（﹣），

（Ⅱ）
b
n
=

< br>∴数列{
b
n
}的前
n
项和
S
n
=
（
1
﹣+﹣+
…
+﹣）
=
（
1
﹣ ）
=

【点评】本题考查了三角函数的化简和函数零点定理以及数列的通项公式和裂项 法求前
n
项和，属于中档题



18
．（
12
分）（
2017•
曲靖模拟）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别 影响
个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行
“
是否有明显拖延症
”
的调查

中，随机发放了
110
份问卷．对收回的
100
份有效问卷进行统计，得到如下
2
×
2
列联表：

有明显拖
延症

无明显拖
延症

25

10

35

合计

男

女

总计

35

30

65

60

40

100

（ Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从
40
份女生问卷中抽取了
8
份 问卷，现
从这
8
份问卷中再随机抽取
3
份，并记其中无明显拖延症的 问卷的份数为
X
，试求随机变
量
X
的分布列和数学期望；

（
2
）若在犯错误的概率不超过
P
的前提下认为无明显拖延症与性别 有关，那么根据临界
值表，最精确的
P
的值应为多少？请说明理由

附：独立性检验统计量
K
2
=
P
（
K
2
≥
k
0
）

k
0

0.25

1.323

0.15

2.072

0.10

2.706

，
n=a
+
b
+
c
+
d

0.05

3.841

0.025

5.024

【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．

【分析】（
1
）分层从
40
份女生问卷中抽取了
8
份问卷 ，有明显拖延症
6
人，
“
无明显拖
延症
2
人，若从 这
8
份问卷中随机抽取
3
份，随机变量
X=0
，
1
，
2
．利用
“
超几何分布
”
即
可得出分布 列及其数学期望；

（
2
）根据
“
独立性检验的基本思想的 应用
”
计算公式可得
K
2
的观测值
k
，即可得出．

【解答】解：（
1
）从
40
份女生问卷中抽取了
8
份问卷，有明显拖延症
6
人，
“
无明显拖
延症
2
人．
…
（
2
分）

则随机变量
X=0，
1
，
2
，
…
（
3
分）

∴
P
（
X=0
）
=
分布列为

X

0

1

2

=
；
P
（
X=1
）
==
，
P
（
X=2
）
==…
（
6
分）

P

…
（
7
分）

E
（
X
）
=0
×
（
2
）
K
2
=
+
1
×

+
2
×
=
．
…
（
8
分）

≈
2.930 …
（
10
分）

由表可知
2.706
＜
2 .93
＜
3.840
；

∴
P=0.10
．
…
（
12
分）
【点评】本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、
“
超几何分布
”分布列及其数
学期望公式、
“
独立性检验的基本思想的应用
”
计 算公式，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．



19．（
12
分）（
2017•
曲靖模拟）如图，在多面体
ABCD E
中，
DB
⊥平面
ABC
，
AE
⊥平面
A BC
，
AE=2
，
CD
与平面
ABDE
所成角的余 弦值为且△
ABC
是的边长为
4
的等边三角形，
F
是线段< br>CD
上一点．

（Ⅰ）若
F
是线段
CD
的中 点，证明：平面
CDE
⊥面
DBC
；

（Ⅱ）求二面角B
﹣
EC
﹣
D
的平面角的正弦值．

，

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【 分析】（Ⅰ）取
AB
中点
O
，连结
OC
，
OD，取
ED
的中点为
M
，以
O
为原点，
OC为
x

OB
为
y
轴，
OM
为
z
轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面
CDE
⊥平面
DBC
．
（Ⅱ）求出平面
DEC
的一个法向量和平面
BCE
的一 个法向量，利用向量法能求出二面角
B
﹣
EC
﹣
D
的平面角 的正弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）取
AB
中点
O
，连结< br>OC
，
OD
，

∵
DB
⊥平面
AB C
，
DB
⊂平面
ABDE
，

∴平面
ABDE
⊥平面
ABC
，

∵△
A BC
是等边三角形，∴
OC
⊥
AB
，

又
OC
⊂平面
ABC
，平面
ABDE
∩平面
ABC=AB，

∴
OC
⊥平面
ABD
，

∴OD
是
CD
在平面
ABDE
上的射影，∠
CDO
是
CD
与平面
ABDE
所成角，

∵
CD
与平面
ABDE
所成角的余弦值为，

∴
CD
与平面
ABDE
所成角的正弦值为
∵
OC =2
，∴
CD=4
，
BD=4
，

，∴
sin
，

取
ED
的中点为
M
，以
O
为原点，
OC
为
x
轴，
OB
为< br>y
轴，
OM
为
z
轴，建立空间直角坐标
系，

则
A
（
0
，﹣
2
，
0
），
B
（
0
，
2
，
0
），
C
（2
F
（
∴
∴
，
1
，
2
），< br>
=
（），
，
=
（
2
，

，﹣
2
，
0
），
=
（
0
，
0，
4
），

，
0
，
0
），
D
（
0
，
2
，
4
），
E
（
0
，﹣
2
，
2
），
∴
EF
⊥
BC
，
EF
⊥
BD
，

∵
DB
，BC
⊂平面
DBC
，且
DB
∩
BC=B
，
∴∴
EF
⊥平面
DBC
，又
EF
⊂平面BDF
，

∴平面
CDE
⊥平面
DBC
．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ ）知，当
F
是线段
CD
的中点时，得
BF
⊥平面
D EC
，

又
=
（），

=
（），

则可取平面
DEC
的一个法向量
=
设平面
BCE
的一个法向量
=
（
x
，
y
，
z
），

=
（
2
则
取
x=1
，得
=
（
1
，
则
cos
＜
sin
＜
＞
=< br>＞
=
，

．

=
，﹣
2
，
0
），
=
（
2
，

），

=
，

，
2
，﹣
2
），

∴二面角
B
﹣
EC
﹣
D
的平面角的正弦值为
< br>【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运
算求解能 力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．