湖南交通工程学院-数学日记六年级

2018-2019学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷

一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题 目要求的）
1．（3分）已知等差数列
{a
n
}
的首项
a
1
1
，公差
d2
，则
a
5
(

)

A．5 B．7 C．9 D．11
rr
r
r
r
r

rr
b(

)
2．（3分）已知向量
a
，
b
满足
|a|| b|1
，
a
和
b
的夹角为，则
ag
4
A ．
1

2
B．
2

2
C．
3

2
D．1
uuuruuur
3．（3分）如图，已知平行四边形
ABCD
，
BEEC
，则
(< br>
)



uuuruuur
1
uuur uuuruuur
1
uuuruuur
1
uuuruuur
A．AEABAD
B．
AEABAD
C．
AEABAD222
uuurruuur
1
uuu
D．
AEABAD< br>
2
4．（3分）已知
a
，
b
，
cR，且
ab
，
c0
，则
(

)

A．
acbc
B．
acbc
C．
a
2
b
2
D．
a
2
b
2

0
的解集为
R
，则
(

)
5．（3分 ）已知
a
，
bR
，若关于
x
的不等式
x
2
axb…
0
A．
a
2
b…
B．
a
2
b„0

0
C．
a
2
4b…
D．
a
2
4b„0

6．（3分）
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
acosB bcosA2ccosC
，
则
C(

)

A．


6
B．


3
C．
2


3
D．

2

或
33
r
rr< br>r
r
7．（3分）已知两个非零向量
a
，
b
满足|ba||a|
，则
(

)

r
r
r
A．
(2ab)a

r
rr
B．
(2ba)a

r
r
r
C．
(2ab)b

r
r
r
D．
(2ba)b

8．（3分）设< br>S
n
为等比数列
{a
n
}
的前
n
项 和，若
S
6
，
S
3
，
S
9
成等差 数列，则
(

)

A．
a
5
，
a
2
，
a
8
成等差数列

B．
a
5
，
a
2
，
a
8
成等比数列
第1页（共13页）

C．
a
2
，
a
8
，
a
5
成等差数列 D．
a
2
，< br>a
8
，
a
5
成等比数列
a
2
b< br>2
2
9．（3分）已知
a
，
b
是正实数，且
ab2
，则的最小值为
(

)


a2b
A．
10

3
B．
322

2
C．
22
D．
21

10．（3分）已知
a
，
bR
，且
a0
，若对
x[1
，
2]
，不等式
|axb ||axb|„2
恒成立，
则
|a2b||a2b|
的最大值为< br>(

)

A．
1

4
B．
1

2
C．1 D．
3

2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式
x
0
的解集为 ．
x1

7
12．（3分）已知

(0,)
，
cos2


，则
cos


．
29
13． （3分）已知
{a
n
}
是等差数列，
a
1
2，
a
4
a
2
a
3
6
，则
{a
n
}
的前
n
项和
S
n

．
14．（3分）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还．”其大
意为：“ 有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为
前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则此人第6天走的路程为 里．
15．（3分）已知等边三角形
AB C
的边长为2，点
P
在边
AB
上，点
Q
在边
AC
的延长线上，
uuuruuuruuuruuur
若
|CQ||BP |
，则
PCgPQ
的最小值为 ．
a
1
,
< br>a
n
1,a
n
…
16．（3分）已知数列
{an
}
满足：
a
n1


其中
nN
*
，若
1a
5
2
，则
a
1
的 取值

2a
n
,a
n
a
1
,
范 围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
r
r
17．（10分）已知向量
a(1,0)
，
b( 1,2)
．
r
r
（Ⅰ）求
2ab
的坐标；
r
r
（Ⅱ）求
|ab|
．

4
18． （10分）已知

(0,)
，
cos


．
2
5
（Ⅰ）求
sin2

的值；
第2页（共13页）

（Ⅱ）求
sin(

)
的值．
4
19．（10 分）如图，在四边形
ABCD
中，
AB2
，
BC5
，< br>ACAD
，
AC2AD
．
（Ⅰ）若
BAC


3
，求
AC
；
（Ⅱ）求四边形
ABCD
面积的最大值．

20．（10分）已知
aR
，函数
f(x)x
2
ax
．
（Ⅰ）当
a1
时，解不等式
f(x)…2x2
；
（Ⅱ ）若对
x[a
，
1a]
，不等式
f(x)„x
21|x
2
1|
恒成立，求
a
的取值范围．
21 ．（12分）已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
2
，
a
2
10
，
a
n2
a
n1
2a
n
，
nN
*
．
（Ⅰ）证明：数 列
{a
n1
a
n
}
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅲ）证明：

1113

．
a
1
a
2
a
n
4

第3页（共13页）

2018-2019学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每 小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知等差数列
{ a
n
}
的首项
a
1
1
，公差
d2，则
a
5
(

)

A．5 B．7 C．9 D．11
【解答】解：由等差数列的通项公式可得：
a
5
a
1
4d1429

故选：
C
．
2．（3分）已知向量
a
r
，
b
r
满足
|a
r
||b
r
|1
，< br>a
r
和
b
r
的夹角为

4
，则a
r
gb
r
(

A．
1
2
2
B．
2
C．
3
2
D．1
【解答】解：
Q
向量
a
r
，
b
r
满足
|a
r
||b
r
|1
，
a
r
和
b
r
的夹角为

4
，

a
r
gb
r
|a
r
||b
r
|cos

22
4
11
2

2
；
故选：
B
．
3．（3分）如图，已知平行四边 形
ABCD
，
u
BE
uur

u
ECuur
，则
(

)


A．
uAE
uur

u
AB
uur

1
u< br>2
AD
uur
B．
u
AE
uur

u
AB
uur

1
uuuruuur
1
uuur uuur
2
AD
C．
AE
2
ABAD
D．
u
AE
uur

1
uruu
2
ABuu
AD
ur

【解答】解：
Q
u
BEuur

u
EC
uur
，

u
BE< br>uur

1
uuur
2
BC
，

u
AE
uur

u
AB
uur

u
BE
uur

u
AB
uur

1
uuu ruuur
1
uuur
2
BCAB
2
AD
．
故选：
A
．
4．（3分）已知
a
，
b
，
cR
，且
ab
，
c0
，则
(

)

第4页（共13页）

)

A．
acbc
B．
acbc
C．
a
2
b
2
D．
a
2
b
2

【解答】解：
Qa
，< br>b
，
cR
，且
ab
，
c0
，
acbc
，故
A
正确；
由
a
，
b< br>，
cR
，且
ab
，
c0
，
取
a2
，
b2
，
c1
可知
BCD
错误，
故选：
A
．
5．（3分）已知
a
，
bR
，若关于
x
的不等式
x
2
axb…0
的解集为
R
，则
(

)

0
A．
a
2
b…
B．
a
2
b„0

0
C．
a
2
4b…
D．
a
2
4b„0

0
的解集为
R
， 【解答】解：关于
x
的不等式
x
2
axb…
则△
„0
，即
a
2
4b „0
．
故选：
D
．
6．（3分）
ABC
的内 角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
acosBbcosA2ccosC
，
则< br>C(

)

A．


6
B．


3
C．
2


3
D．

2

或
33
【解答】解：Q
在
ABC
中
acosBbcosA2ccosC
， < br>
由正弦定理可得
sinAcosBsinBcosA2sinCcosC
，
sin(AB)2sinCcosC
，
sinC2sinCcosC
，
cosC
1
，
2

由三角形内角的范围可得角
C

3
．
故选：
B
．
r
rr
r
r
7．（3分）已 知两个非零向量
a
，
b
满足
|ba||a|
，则
(

)

r
r
r
A．
(2ab)a

r
rr
B．
(2ba)a

r
r
r
C．
(2ab)b

r
r
r
D．
(2ba)b

r
rr< br>r
r
【解答】解：
Q
两个非零向量
a
，
b< br>满足
|ba||a|
，
r
rr
rr
2
r
rr
2

a
2
b
2
2agbb< br>，即
2agbb
，
r
rr
b0
， 故有
(2ab)g
第5页（共13页）

r
r
r
(2ab)b
，
故选：
C
．
8．（3分）设
S
n
为等比数列{a
n
}
的前
n
项和，若
S
6
，S
3
，
S
9
成等差数列，则
(

)

A．
a
5
，
a
2
，
a
8
成等差数列
C．
a
2
，
a
8
，
a
5
成等差数列
B．
a
5
，
a2
，
a
8
成等比数列
D．
a
2
，
a
8
，
a
5
成等比数列
【解答】解：若等比数列
{a
n
}
公比
q1
，则
S
6
 S
9
15a
1
，
而
2S
3
6a1
，与
S
6
S
9
2S
3
矛盾，
q1
，
QS
6
S
9
2S
3
，
a
1
(1q
6
)a
1
(1q
9
)2a
1< br>(1q
3
)


，
1q1q1q
整理，得
q
9
q
6
2q
3
0
，
解得
q
3
2
或
q
3
1
，
Qq1
，
q
3
2
，
则
a
2

a
5
a
5
3

aaq2a
5
， ，
85
q
3
2
a
5
a
8
a
5
2a
5
a
5
2a
2
，
故
a
5
，
a
2
，
a8
成等差数列．
故选：
A
．
a
2
b
2
2
9．（3分）已知
a
，
b
是正实数，且
a b2
，则的最小值为
(

)


a2b
A．
10

3
B．
322

2
C．
22
D．
21

【解答】解：
a
，
b
是正实数，且
ab2
，
a
2
b
2
2(a2)
2
4(a2)42
则
b
，
a2ba2b
424242114b2(a 2)
a24b()(a2b)[6]

a2ba2ba2b44a2b
第6页（共13页）

628322322
4b2(a2)
，当且仅当取等号，此时取得最小值．
…

422
a2b
故选：
B
．
10 ．（3分）已知
a
，
bR
，且
a0
，若对
x [1
，
2]
，不等式
|axb||axb|„2
恒成立，则
|a2b||a2b|
的最大值为
(

)

A．
【
1

4
答】
B．
解
1

2
：设
C．1 D．
3

2
，可得解
f(x)|axb||axb|
f(x)|axb||axb||axb||axb|f(x)
，
可得
f(x)
为偶函数，
不妨设
a0
，
b0
，由
yf(x)
的图象，可得
yf(x)
在
[1
，
2]
为单调函数，
若对
x[1
，
2]
，不 等式
|axb||axb|„2
恒成立，
可得
|ab||ab |„2
，由
2|a||abab|„|ab||ab|
，即有
2|a|„2
，可得
|a|„1
；
又
|2ab||2ab| „2
，由
4|a||2ab2ab|„|2ab||2ab|
，即有< br>4|a|„2
，可得
|a|„
1
，
2
1
，
2
综上可得，
|a|„
又
|a2b||a2b|剟|a2b a2b|2|a|1
，当且仅当
(2ab)(2ab)…0
且
(a 2b)(a2b)„0
取得等号，
则
|a2b||a2b|
的最大值为1．
故选：
C
．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式
x
0
的解集为
(0,1)
．
x1
x
0
可得
x(x1)0
，解得
0x 1
，
x1
【解答】解：由不等式
故答案为：
(0,1)
．
第7页（共13页）


71
12．（ 3分）已知

(0,)
，
cos2


，则< br>cos


．
293
【解答】解：
Q

(0,)
，
2
cos

0
，

71
Qcos2

2cos
2

1
，可得：
cos
2


，
99
1
cos


．
3
1
故答案为：．
3
13．（3分）已知
{a
n
}
是等差数列，则
{a
n
}
的前
n
项和< br>S
n


n
2
n
．
a
1
2
，
a
4
a
2
a
3
 6
，
【解答】解：设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，则
由题意知，
2a
1
4da
1
2d6
，即
24d82d

解得
d2
．
所以< br>S
n
2n
n(n1)2
n
2
n
．
2
故答案是：
n
2
n
．
14．（3分）我 国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健
步不为难，次日脚痛减一半 ，六朝才得到其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还．”其大
意为：“有一个人走378里路，第一天 健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为
前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第 6天走的路程为 6 里．
【解答】解：根据题意，设该人每天走的路程数组成数列等比数列
{a
n
}
，设其公比为
q
，则
q
1
，
2
又由
S
6
378
，则
S
6
 a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
32a
6
16a
6
8a
6< br>4a
6
2a
6
a
6
63a
6
378
，
解可得：
a
6
6
，
故答案为：6
15．（3分）已知等边三角形
ABC
的边长为2，点
P
在边
AB
上，点
Q
在边
AC
的延长线上，uuuruuuruuuruuur
23
|CQ||BP|PCgPQ
若，则的 最小值为 ．
6
uuuruuur
【解答】解：如图；设
|CQ||B P|a
；
(0剟a2)

第8页（共13页）

则
|AP|2a
；
|AQ|2a
；
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
2
uuuruuuruuuruuuruuur

PCgPQ(PAAC )g(PAAQ)PAPAg(ACAQ)ACgAQ

33123
(2 a)
2
(2a)(22a)cos1202(2a)a
2a4(a)
2

；
2236
uuuruuur
1
23
PCgPQ
时，取最小值；
a
3
6
故答案为：
23
．
6
a
1
,

a1,a
n
…
16．（3分）已知 数列
{a
n
}
满足：
a
n1


n
其中
nN
*
，若
1a
5
2
，则
a
1
的取值

2a
n
,a
n
a
1
,
3
79
5
范围是
(
，
)

(
，
)
．
8
2
4
4
【解答】解：由
a
1
…a
1
，可 得
a
2
a
1
1
，
a
2
a< br>1
，可得
a
3
2(a
1
1)
，
a
3
a
1
a
1
2
，
（1 ）若
a
1
…2
，可得
a
4
a
3
12a
1
3
，
a
4
a
1
a
1
3
，
①若
2„a
1
3
，可得
a
5
2a
4
4a
1
6
，
由
1a
5
2
可得
14a
1
62
，即
7
a
1
2< br>，矛盾；
4
②若
a
1
…3
，可得
a
5
a
4
1a
1
3
，
由
1a
5
2
可得
12a
1
42
，即
5< br>a
1
3
，矛盾；
2
（2）
a
1
2
，可得
a
4
2a
3
4a
1
4
，
a
4
a
1
3a
1
4
，
4
③若
„a
1
2
，
3a
1
4 …0
，可得
a
5
a
4
14a
1
5
，
3
第9页（共13页）

由
1a
5
2
可得
14a
1
52
，即④若
a
1

37
a
1

；
24
4
，
3a
1
40
，可得
a
5< br>2a
4
8a
1
8
，
3
95
a
1

．
84
由
1 a
5
2
可得
18a
1
82
，即
3
79
5
综上可得，
a
1
的取值范围是
(
，
)

(
，
)
．
8
2
4
4
3
79
5
故答案为：
(
，
)

(
，
)
．
8
2
4
4
三、解答题（本大题 共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
r
r
17．（1 0分）已知向量
a(1,0)
，
b(1,2)
．
r
r
（Ⅰ）求
2ab
的坐标；
r
r
（Ⅱ）求
|ab|
．
r
r
【解答 】解：（Ⅰ）因为
a(1,0)
，
b(1,2)
，
r
所以
2a(2,0)
，
r
r
所以
2ab(2,0)(1,2)(1,2)
．
r
r
（Ⅱ）方法1：因为
ab(2,2)
，
rr
所以
|ab|2
2
(2)
2
22
．
r
2
r
2
r
r
方法2：因为
a1< br>，
agb1
，
b5
，
r
r
rrrr
2
所以
|ab|a
2
2agbb1252 2
．

4
18．（10分）已知

(0,)
，
cos


．
2
5
（Ⅰ）求
sin2

的值；
（Ⅱ）求
sin(

)
的值．
4


4
【解答】解：（Ⅰ）因为

(0,)
，
cos


，
2
5
3
所以
sin

 1cos
2


．
5
所以
sin2

2sin

cos


24
．
25< br>
2272
sin

cos


（Ⅱ）由 （Ⅰ）可得
sin(

)
．
42210
第10页（共13页）

19．（1 0分）如图，在四边形
ABCD
中，
AB2
，
BC5
，
ACAD
，
AC2AD
．
（Ⅰ）若
BAC

3
，求
AC
；
（Ⅱ）求四边形
ABCD
面积的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）当
BAC
AB
2
AC
2
2ABgACgcosBA CBC
2
．

3
时，在
ABC
中，由余弦定 理得
1
设
ACx(x0)
，则
2
2
x
2
2g2gxg5
，
2
即
x
2
2x1 0
，解得
x21
．
所以
AC21
．
（Ⅱ）
ABC
的面积为
S
ABC
5sinB
． 在
ABC
中，由余弦定理得
AC
2
2
2
 (5)
2
45cosB
，
所以，
ACD
的面积为S
ACD

19
AC
2
5cosB
．
44
99

5sinB5cosB10sin(B)
．
444
所以，四边形
ABCD
的面积为
S
因为
B (0,

)
，所以当
B
最大值为
3

时，四边形
ABCD
的面积最大，
4
9
10
．
4

20．（10分）已知
aR
，函数
f(x)x2
ax
．
第11页（共13页）

（Ⅰ）当
a1
时，解不等式
f(x)…2x2
；
（Ⅱ ）若对
x[a
，
1a]
，不等式
f(x)„x
21|x
2
1|
恒成立，求
a
的取值范围．
2x2
， 【解答】解：（Ⅰ）当
a1
时，不等式
f(x)…2 x2
即为
x
2
x…
即
(x2)(x1)…
2
或
x„1
，
0
，解得
x…
则原不等式的解集 为
{x|x…2
或
x„1}
；
（Ⅱ）若对
x[a< br>，
1a]
，不等式
f(x)„x
2
1|x
2< br>1|
恒成立，
等价为
|x
2
1|„1ax
在
x[a
，
1a]
恒成立，
可设
g(x)|x2
1
，可得
yg(x)
的图象不在
y1ax
的 图象的上方
(a剟x1a)
，

a0
0

a
…

由图象可得

或

a(a)1< br>…
(a)
2
1
，
2
(1a)1


a(1a)1
…

1a
„
0

a0
a
„
0


解得

或
1
…
1
，

a
…
1

1

a
…
则
1剟a0
或
a…1
．

21．（12分）已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
2
，
a
2
10
，
an2
a
n1
2a
n
，
nN
*
．
（Ⅰ）证明：数列
{a
n1
a
n
}
是等 比数列；
（Ⅱ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅲ）证明：
1113

．
a
1
a< br>2
a
n
4
【解答】（Ⅰ）证明：由
a
n2
a
n1
2a
n
，得
a
n2
a
n 1
2(a
n1
a
n
)
，
又
a< br>1
2
，
a
2
10
，
a
2a
1
120
，
第12页（共13页）


数列
{a
n1
a
n
}
是首项为12，公比为2的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，
a
n 1
a
n
(a
2
a
1
)g2
n1
6g2
n
，
a
n2
a
n1
6g2
n1
，
两式作差可得
a
n2
a
n
6g2
n
．
当
n
为奇数时，
2(14)
a
n
a
1
6g26g2
3
6g2
n2
26g2
n1
2
；
14
n1
2
当
n
为偶数时，
4(14)< br>a
n
a
2
6g2
2
6g2
4
6g2
n2
106g2
n1
2
．
1 4

2
n1
2,n为奇数

a
n
< br>
n1
；
22,n为偶数


2
n 1
2,n为奇数
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，
a
n

n1
，

22,n为偶数
n2
2
Q
当
n…6
时，
2
n1
2
n
2
n
2
，

当
n…6
时，
2
n1
2 2
n
，
2
n1
22
n
，
当
n…6
时，若
n
为奇数，

当
n…6
时，
111
111

n1

n
，若
n
为偶数，

n1

n
．
a
n
222
a
n
222


n

a
1
a
2
a
n
212
11(1
n5
)
11111
64
1063
2
 
．
1
228084
1
2
Q
1
0
，
a
n
1113

，
a
1
a< br>2
a
n
4

当
n„5
时，
综上，< br>
1113

．
a
1
a
2
a
n
4
第13页（共13页）