北京京北职业技术学院-意大利签证照片要求

2016年山东省高考数学试卷（理科）



一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，
只有一个选项符合题目要 求.

1．（5分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）

A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

2． （5分）设集合A={y|y=2
x
，x∈R}，B={x|x
2
﹣1＜0} ，则A∪B=（ ）

A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）

3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时）， 制成了如
图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为
[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30] ．根据直方图，
这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）


A．56 B．60 C．120 D．140

4．（5分）若变量x，y满足
A．4 B．9 C．10 D．12

，则x
2
+y
2
的最大值是（ ）

5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体
的体积为（ ）

第1页（共24页）

A．+π B．+π C．+π D．1+π

6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β 内．则“直线a和直线b
相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）

7．（5分）函数f（x）=（
A． B．π C． D．2π

8．（5分）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），
则实数t的值为 （ ）

A．4 B．﹣4 C． D．﹣

9．（5分）已知函数f（x ）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x
3
﹣1；当﹣1≤x
≤1时，f（﹣x） =﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）

A．﹣2 B．1 C．0 D．2

10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的 图象在这两点处的
切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）

A．y=sinx B．y=lnx


二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）执行如图的 程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的
第2页（共24页）

C．y=e
x
D．y=x
3

i的值为 ．


12．（5分）若（ax
2
+

）
5
的展开式中x
5
的系数是﹣80，则实数a= ．

﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点13．（5分）已知双曲线E：< br>在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．

2
+y
2
=914．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数 k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）
相交”发生的概率为 ．

15． （5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，
使得关于x的方程f（x）=b有三个不同 的根，则m的取值范围是 ．



三、解答题,：本大题共6小题，共75分.

16．（12分）在△ABC中，角A ，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）
=+．

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

17 ．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′
的直径，FB是圆台 的一条母线．

（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

第3页（共24页）

（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．


18．（12分）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=3n
2
+8n，{b
n
}是等差数列，且a
n
=b
n
+ b
n
+
1
．

（Ⅰ）求数列{b
n
}的通项公式；

（Ⅱ）令c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．

19．（12分 ）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一
个成语，在一轮活动中，如果两人 都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜
对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队” 得0分．已知甲每轮猜对的
概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮< br>结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+
（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．

21．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
是
+=1（a＞b＞0）的离心率，a∈R．

，抛物线E：x
2
=2y的焦点F是C的一个顶点．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的 切线l与C交于不同
的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点< br>M．

（i）求证：点M在定直线上；

第4页（共24页）

（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S
1
，△PDM的面积为S
2
，求
最大值及取得最大值时点P的坐标．

的




第5页（共24页）

2016年山东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，
只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）

A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．

【解答】解：复数z满足2z+=3﹣2i，

设z=a+bi，

可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．

解得a=1，b=﹣2．

z=1﹣2i．

故选：B．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．



2．（5分）设集合A={y|y=2
x
，x∈R}，B={x|x
2
﹣1＜ 0}，则A∪B=（ ）

A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）

【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并 集运
算得答案．

【解答】解：∵A={y|y=2
x
，x∈R}=（0，+∞），

B={x|x
2
﹣1＜0}=（﹣1，1），

∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．

故选：C．

【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式
的解法，是基础 题．



3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位： 小时），制成了如
第6页（共24页）

图所示的频率分 布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为
[17.5，20），[20， 22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，
这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）


A．56 B．60 C．120 D．140

【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时 间不少于22.5小时的
频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．

【解 答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，

故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．



4．（5分）若变量x，y满足
A．4 B．9 C．10 D．12

，则x
2
+y
2
的最大值是（ ）

【分析】由 约束条件作出可行域，然后结合x
2
+y
2
的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x
2
+y
2
的最大值．

【解答】解：由约束条件
∵A（0，﹣3），C（0，2），

∴|OA|＞|OC|，

联立
∵
∴x
2
+y
2
的最大值是10．

第7页（共24页）

作出可行域如图，

，解得B（3，﹣1）．

，

故选：C．


【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思 想方法和数学转化
思想方法，是中档题．



5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体
的体积为（ ）


A．+π B．+π C．+π D．1+π

【分析】由已 知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
进而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四
棱锥，

半球的直径为棱锥的底面对角线，

由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=
故R=，故半球的体积为：
．

=π，

棱锥的底面面积为：1，高为1，

第8页（共24页）

故棱锥的体积V=，

故组合体的体积为：+
故选：C．

【点评】本题考查的知识点是由三视图， 求体积和表面积，根据已知的三视图，
判断几何体的形状是解答的关键．



6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b
相交”是“ 平面α和平面β相交”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

π，

【分析】直线a ，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”
⇒“平面α和平面β相交”，反之不成 立．

【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相
交”⇒“平面α和平面β相交”，

反之不成立．

∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能 力，属
于基础题．



7．（5分）函数f（x）=（
A． B．π C．
sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）

D．2π

【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．

【解答】解：函数f（x）=（
（x+）=2sin（2x+），

sinx +cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos
∴T=π，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．

第9页（共24页）

8．（5分 ）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），
则实数t的值为（ ）

A．4 B．﹣4 C． D．﹣

【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．

【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），

∴•（t+）=t •+
2
=t||•||•+||
2
=（
解得：t=﹣4，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条 件，难
度不大，属于基础题．



9．（5分）已知函数f（x） 的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x
3
﹣1；当﹣1≤x
≤1时，f（﹣x）= ﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）

A．﹣2 B．1 C．0 D．2

）||
2
=0，

【分析】求得函数的周 期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到
f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0 时，f（x）=x
3
﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结
论．

【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），

∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．

∴f（6）=f（1），

∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（1）=﹣f（﹣1），

∵当x＜0时，f（x）=x
3
﹣1，

∴f（﹣1）=﹣2，

∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，

∴f（6）=2．

第10页（共24页）

故选：D．

【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能 力，属
于中档题．



10．（5分）若函数y=f（x）的图象 上存在两点，使得函数的图象在这两点处的
切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具 有T性质的是（ ）

A．y=sinx B．y=lnx C．y=e
x
D．y=x
3

【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这 两点处的切线
互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．

【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这 两点处的切
线互相垂直，

则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，

当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；

当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；

当y=e
x
时，y′=e
x
＞0恒成立，不满足条件；

当y=x
3
时，y′=3x
2
＞0恒成立，不满足条件；

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思 想，难
度中档．



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的
i的值为 3 ．

第11页（共24页）

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变
量i的值，模拟 程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．

第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＞b，故i=2；

第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＞b，故i=3；

第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＞b，

故输出的i值为：3，

故答案为：3

【点评】本题考查的知识点 是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可
采用模拟程序法进行解答．



12．（5分）若（ax
2
+）
5
的展开式中x
5
的系数是﹣80，则实数a= ﹣2 ．

（ax
2
）
5
﹣
r
，化简可得求的x
5
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr
+
1
=
的系数．

【解答】解：（ax
2< br>+
r
）
5
的展开式的通项公式T
r
+
1=（ax
2
）
5
﹣
r
=a
5
﹣
，

=5，解得r=2．

令10﹣
第12页（共24页）

∵（ax
2
+
∴
）
5
的展开式中x
5
的系数是﹣80

a
3
=﹣80，

得a=﹣2．

【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．



13．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 2 ．

【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，
D的坐标， 由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得
到所求值．

【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b
由题意可设A（﹣c，
由2| AB|=3|BC|，可得

2•=3•2c，即为2b
2
=3ac，

），B（﹣c，﹣），C（c，﹣
=±，

），

），D（ c，
由b
2
=c
2
﹣a
2
，e=，可得2e
2
﹣3e﹣2=0，

解得e=2（负的舍去）．

故答案为：2．


【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程 的思想，正确设出A，
第13页（共24页）

B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．



2
+y
2
=914．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y =kx与圆（x﹣5）
相交”发生的概率为 ．

【分析】利用圆心到直线的距离小 于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件
的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．

【解答】解：圆（x﹣5）
2
+y
2
=9的圆心为（5，0），半径 为3．

圆心到直线y=kx的距离为，

要使直线y=kx与圆（x﹣5）
2
+y
2
=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．

∴在区间[ ﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）
2
+y
2
=9 相交相交
的概率为=．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了几 何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关
键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题 ．



15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，
使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 （3，+∞） ．

【分析】作出函数f（x）=
m（m＞0），解之即可．

【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：

的图象，依题意，可得4m ﹣m
2
＜
∵x＞m时，f（x）=x
2
﹣2mx+4m=（x﹣m）
2
+4m﹣m
2
＞4m﹣m
2
，

∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，

必须4m﹣m
2
＜m（m＞0），

第14页（共24页）

即m
2
＞3m（m＞0），

解得m＞3，

∴m的取值范围是（3，+∞），

故答案为：（3，+∞）．


【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断 ，数形结合思想的运用是关键，分
析得到4m﹣m
2
＜m是难点，属于中档题．



三、解答题,：本大题共6小题，共75分.

16．（1 2分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）
=+．< br>
（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．
【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，带入
并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=si nA+cosB，这样
根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦 定理便可得出
a+b=2c；

（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a
2
+b
2
+2ab=4c
2
，从而得出a
2
+b
2
=4c
2
﹣2ab，
并由不等式a
2
+b
2
≥2ab得出c
2
≥ab，也就得到了
得出
，这样由余弦定理便 可
，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．

第15页（共24页）

【解答】解：（Ⅰ）证明：由
；

得：

∴两边同乘以co sAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；

∴2sin（A+B）=sinA+sinB；

即sinA+sinB=2sinC（1）；

根据正弦定理，
∴
∴a+b=2c；

（Ⅱ）a+b=2c；

∴（a+b）
2
=a
2
+ b
2
+2ab=4c
2
；

∴a
2
+b< br>2
=4c
2
﹣2ab，且4c
2
≥4ab，当且仅当a=b时 取等号；

又a，b＞0；

∴；

=；

；

，带入（1）得：；

∴由余弦定理，
∴cosC的最小值为．

【点评】考查切化弦公式，两角和 的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角
函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a
2
+b
2
≥2ab的应用，不等式的性质．



17．（ 12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′
的直径，FB是圆台的一 条母线．

（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．


【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此
第16 页（共24页）

能证明GH∥平面ABC．

（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，
建立空间 直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，

∵G、H为EC、FB的中点，

∴GQ，QH，

又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，

∵QH∩GQ=Q，BC∩BO=B，

∴平面GQH∥平面ABC，

∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．

解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，

又∵OO′⊥面ABC，

∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（
，3），

=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），
< br>，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，
由题意可 知面ABC的法向量为=（0，0，3），

设=（x
0
，y
0，z
0
）为面FCB的法向量，

则，即
），

=﹣．

，

取x
0
=1，则=（1，﹣1，﹣< br>∴cos＜，＞=
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，

∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．

第17页（共24页）

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法， 是中档题，解
题时要认真审题，注意向量法的合理运用．



18 ．（12分）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=3n
2
+ 8n，{b
n
}是等差数列，且a
n
=b
n
+b
n
+
1
．

（Ⅰ）求数列{b
n
}的通项公式；

（Ⅱ）令c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．

【分析】（Ⅰ） 求出数列{a
n
}的通项公式，再求数列{b
n
}的通项公式；
< br>（Ⅱ）求出数列{c
n
}的通项，利用错位相减法求数列{c
n
}的前 n项和T
n
．

【解答】解：（Ⅰ）S
n
=3n
2
+8n，

∴n ≥2时，a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
=6n+ 5，

n=1时，a
1
=S
1
=11，∴a
n=6n+5；

∵a
n
=b
n
+b
n
+
1
，

∴a
n
﹣
1
=b
n﹣
1
+b
n
，

∴a
n
﹣a
n
﹣
1
=b
n
+
1
﹣b
n
﹣1
．

∴2d=6，

∴d=3，

∵a
1
=b
1
+b
2
，

∴11=2b
1
+3，

∴b
1
=4，

∴b
n
=4+3（n﹣1）=3n+1；

（
c
n
===
Ⅱ
=
第18页（共24页）

）
==

==6（n+1）•2
n
，

∴T
n
=6[2•2 +3•2
2
+…+（n+1）•2
n
]①，

∴2T
n
=6[2•2
2
+3•2
3
+…+n•2
n
+ （n+1）•2
n
+
1
]②，

①﹣②可得
﹣T
n
=6[2•2+2
2
+2
3
+…+2
n
﹣（n+1）•2
n
+
1
]

=12+6×﹣6（n+1）•2
n
+
1

=（﹣6n）• 2
n
+
1
=﹣3n•2
n
+
2
，

∴T
n
=3n•2
n
+
2
．

【 点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的
运用，考查分析与运算能力 ，属于中档题．



19．（12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语 活动，每轮活动由甲、乙各猜一
个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有 一个人猜
对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的
概 率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮
结果亦互不影响．假设“星队” 参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

【分析】（I）“星 队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对
2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个 ，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；

（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和 为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而
得到X的分布列和数学期望．

【解答】 解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲
猜对2个，乙猜对1个” ，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，

故
P=+
概
+=++=，

率
（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，

第19页（共24页）

则P（X=0）=
P（ X=1）=2×[
P
=
=
P（X=3）=2×
P（X=4）=2×[
P（X=6）==

=，

+]=
X=2
+
，

）
+
（
+
，

=
+
，

]=

故X的分布列如下图所示：

X

P

0


1


2


+2×

3



4


+6×

6


∴数学期望EX=0×+1×+3×+4×==

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．



20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+
（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．

【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函
数的符号确定原函数的 单调性；

（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（ x）=．则
，a∈R．

F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利 用导数分别求g（x）与h（x）的最小
值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+对 于任意的x∈[1，2]
成立．

【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+
第20页（共24页）

，

得f′（x）=a（1﹣）+

==（x＞0）．

若a≤0，则ax
2
﹣2＜0恒成立，

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（
为增函数，

当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

，+∞）时，f′（x） ＞0，f（x）
若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
< br>若a＞2，当x∈（0，
当x∈（
）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增 函数，

，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

（Ⅱ）解：∵a=1，

令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx
令 g（x）=x﹣lnx，h（x）=
﹣1
．

=x﹣lnx+．

则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），

由
又
，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；

，

设φ（x）=﹣3x
2
﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，

且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，

∴在[1，2]上存在x
0
，使得x∈（1，x
0
） 时φ（x0
）＞0，x∈（x
0
，2）时，φ
（x
0
）＜0，< br>
∴函数h（x）在（1，x
0
）上单调递增；在（x
0
，2 ）上单调递减，

由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，

第21页（共24页）

∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，

∴F（x）＞恒成立．

即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．

【点评】本题考查利用 导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，
考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想 方法，是压轴题．



21．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C ：
是
+=1（a＞b＞0）的离心率
，抛物线E：x
2
=2y的焦点 F是C的一个顶点．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点， 且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同
的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过 P且垂直于x轴的直线交于点
M．

（i）求证：点M在定直线上；

（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S
1
，△PDM的面积为S
2
，求
最大值及取得最大值时点P的坐标．

的

【分析】（ I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c
的关系，解得a，b，进而得到 椭圆的方程；

（Ⅱ）（i）设P（x
0
，y
0
），运用导 数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运
用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x =x
0
，可得y=﹣．进
而得到定直线；

（ii）由直线l的方程 为y=x
0
x﹣y
0
，令x=0，可得G（0，﹣y
0
）， 运用三角形的面
第22页（共24页）

积公式，可得S
1
=|FG|•|x
0
|=x
0
•（+y
0
），S
2
=|PM|•|x
0
﹣|，化简
整理，再1+2x
0
2
=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的
坐标．< br>
【解答】解：（I）由题意可得e==
即有b=，a
2
﹣c
2
=，

解得a=1，c=，

，抛物线E：x
2
=2y的焦点F为（0，），

可得椭圆的方程为x
2
+4y
2
=1；

（Ⅱ）（ i）证明：设P（x
0
，y
0
），可得x
0
2
=2 y
0
，

由y=x
2
的导数为y′=x，即有切线的斜率为x
0
，

则切线的方程为y﹣y
0
=x
0
（x﹣x
0
），< br>
可化为y=x
0
x﹣y
0
，代入椭圆方程，
可得（1+4x
0
2
）x
2
﹣8x
0
y
0
x+4y
0
2
﹣1=0，

△=64x
02
y
0
2
﹣4（1+4x
0
2
）（4y
0
2
﹣1）＞0，可得1+4x
0
2
＞4y
0
2
．

设A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
），

可得x
1
+x
2
=，即有中点D（，﹣），

直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x
0
，可得y=﹣．

即有点M在定直线y=﹣上；

（ii）直线l的方程为y=x
0
x ﹣y
0
，令x=0，可得G（0，﹣y
0
），

则S
1
=|FG|•|x
0
|=x
0
•（+y
0
）= x
0
（1+x
0
2
）；

S
2
= |PM|•|x
0
﹣|=（y
0
+）•=x
0
•，

则=，

令1+2x
0
2
=t（t≥1），则=
第23页（共24页）
=

==2+﹣=﹣（﹣）
2
+，

则当t=2，即x
0
=时，取得最大值，

此时点P的坐标为（，）．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离 心率和抛物线的焦点坐
标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计< br>算，以及化简整理的运算能力，属于难题．



第24页（共24页）