小学生期末评语-教师个人进修计划

2020年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷


题号
得分
一


一、填空题（本大题共
14
小题，共
70.0
分）
1.

已知集合
A={x|x
＜
1}
，
B ={x|0
＜
x
＜
3}
，则
A∩B=______
．
2.

已知复数，其中
i
是虚数单位，则
|z|=______
．
，则其离心率为
______
．
二

总分

3.

已知双曲线
C
的方程为
4.

根据如图所示的伪代码，最后输出的
i
的值为
______
．









5.

某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
4
：
4
：
3
，现按年级用分层抽样的方法抽取若干
人，若抽取的高三年级的学生数为
15
，则抽取的样本容量为
______
．
6.

口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为
1
，
2
，
3
，
4
．若从袋中随机抽取两个球，
则取出的两个球的编号之积大于
6
的概率为
______
．
7.

已知等比数列
{ a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
6
=2a
2
，则
=______
．
8.

函数的图象关于直线对称，则
ω
的最小值为
______
．
的最小值为
______
． 9.

已知正实数
a
，
b
满足
a+b=1
，则
10.

已知偶函数f
（
x
）的定义域为
R
，且在
[0
，
+∞
）上为增函数，则不等式
f
（
3x
）＞
f
（< br>x
2
+2
）的解
集为
______
．
y= x-2
上任意点
P
作圆
C
：
x
2
+y2
=1
的两条切线，
B
，
11.

过直线l
：
切点分别为
A
，当切线最小时，△
PAB
的面积为
______
．
12.

已知点
P
在曲线
C
：
y=x
2
上，曲线
C
在点
P
处的切 线为
l
，过点
P
且与直线
l
垂直的直线与曲
线C
的另一交点为
Q
，
O
为坐标原点，若
OP
⊥
OQ
，则点
P
的纵坐标为
______
．
AB=2
，13.

如图，在等腰直角三角形
ABC
中，∠
CAB=90°
，以
AB
为直径在△
ABC
外作半圆
O
，
P
为半圆弧
AB
上的动点，点
Q
在斜边BC
上，若
则的最小值为
______
．
=
，
第1页，共19页

14.

已知
e
为自然对数的底数，函数f
（
x
）
=e
x
-ax
2
的图象恒在 直线
y=ax
上方，则实数
a
的取值范围
为
______< br>．
二、解答题（本大题共
11
小题，共
150.0
分）
15.

如图，在三棱锥
P-ABC
中，过点
P
作
PD
⊥
AB
，垂足为
D
，
E
，
F
分别是
PD
，
PC
的中点，且平面
PAB
⊥平面< br>PCD
．
（
1
）求证：
EF
∥平面
ABC
；
（
2
）求证：
CE
⊥
AB
．















16.

在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
（
1
）求角
A
的大小；
（< br>2
）若
cos
（
B+
）
=
，求
co sC
的值．







17.

某工厂拟制造一个如图所示的容积为
36π
立方米的有盖圆锥形容器．
（
1
）若该容器的底面半径为
6
米，求该容器的表面积；
（
2
）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？
．
第2页，共19页

18.

如图，在 平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
：
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右顶点分别为
A
1
（< br>-2
，
0
），
A
2
（
2
，
0
），右准线方程为
x=4
．过点
A
1
的直线交椭圆
C
于
x
轴上方的点
P
，交椭圆
C
的
右准 线于点
D
．直线
A
2
D
与椭圆
C
的另一交 点为
G
，直线
OG
与直线
A
1
D
交于点< br>H
．
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；
（< br>2
）若
HG
⊥
A
1
D
，试求直线
A
1
D
的方程；
（
3
）如果，试求
λ
的取值范围．









19.

已知函数
f
（
x
）
=x
2
+
（
2-a）
x-alnx
，其中
a
∈
R
．
（
1
）如果曲线
y=f
（
x
）在
x=1
处的切线斜率 为
1
，求实数
a
的值；
（
2
）若函数
f
（
x
）的极小值不超过，求实数
a
的最小值；
（
3
）对任意
x
1
∈
[1
，
2]
，总存在< br>x
2
∈
[4
，
8]
，使得
f
（x
1
）
=f
（
x
2
）成立，求实数
a
的取值范围．


第3页，共19页

20.

已知数列
{a
n
}
是各项都不为
0
的无穷数列，对任意的
n≥3
，
n
∈
N
*
，
a
1
a
2
+a
2a
3
+
…
+a
n
-1
a
n
= λ
（
n-1
）
a
1
a
n
恒成立．
（
1
）如果，，成等差数列，求实数
λ
的值；
（
2
）已知
λ=1
．①求证：数列
的等比数列，满足
项都是数列







21.

已知矩阵
A=







22.

在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参 数方程为（
θ
为参数）．以坐标原点
O
，
，其逆矩阵
A-1
=
，求
A
2
．
中的项．
，
是 等差数列；②已知数列
{a
n
}
中，
a
1
≠a2
．数列
{b
n
}
是公比为
q
，（
i
∈
N
*
）．求证：
q
是整数，且数列
{b
n
}
中的任意一
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
N
的极 坐标分別为
0
）为极点，直线
l
上两点
M
，（
2< br>，，（
），求直线
l
被曲线
C
截得的弦长．







第4页，共19页

23.

已知正数
a
，
b
，
c
满足
a+b+c=2
，求证：．







24.

在平面直角坐标系
xOy
中，已知抛物线
C
：
y
2
=4x
的焦点为
F
，过
F
的直线
l
交抛物线
C
于
A
，B
两点．
（
1
）求线段
AF
的中点
M
的轨迹方程；
（
2
）已知△
AOB
的面积是△
BOF
面积的
3
倍，求直线
l
的方程．







25.

已知数列
{a
n
}
，
a
1
=2
，且对任意
n
∈
N
*
恒成立．
（
1
）求证：
a
n
+1
=a
n
a
n
-1
a
n
-2
…
a
2
a
1
+1
（
n
∈
N
*
）；
（
2
）求证：






（
n
∈
N
*
）．
第5页，共19页

-------- 答案与解析 --------

1.
答案：（
0
，
1
）

解析：解：∵
A={x|x
＜
1}
，
B={x|0
＜
x
＜
3}
；
∴
A∩B=
（
0
，
1
）．
故答案为：（
0
，
1
）．
进行交集的运算即可．
考查描述法的定义，以及交集的运算．
2.
答案：
1

解析：解：∵
∴
|z|=||=
，
．
故答案为：
1
．
直接由商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
3.
答案：


解析：解：双曲线
C
的方程为
可得
a=2
，b=1
，则
c==
．
，
所以双曲线的离心率为：
e=
．
故答案为：．
直接利用双曲线的标准方程，求出
a
，
c
，即可求解离心率．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
4.
答案：
8

解析：解：模拟程序的运行过程，如下；
T=1
，
i=2
，满足
T
＜
6
；
T=2
，
i=4
，满足
T
＜
6
；
T=4
，
i=6
，满足
T
＜
6
；
T=8
，
i=8
，不满足
T
＜
6
，输出
i=8
．
故答案为：
8
．
模拟程序的运行过程，即可得出程序结束后输出的
i
值．
本题考查了程序运行的应用问题，是基础题．
5.
答案：
55

第6页，共19页

解析：解：依题意得抽取的样本容量为：
=55
．
故答案为：
55
．
根据分层抽样得特点知，抽取的样本中，高一，高二，高 三的人数之比也为
4
：
4
：
3
可得．
本题考查了分层抽样，属基础题．
6.
答案：


解析： 解：口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为
1
，
2
，
3
，
4
．
从袋中随机抽取两个球，
基本事件总数
n=
，
取出的两个球的编号之积大于
6
包含 的基本事件（
a
，
b
）有：
（
2
，
4< br>），（
3
，
4
），共
2
个，
∴取出的两个球的编号之积大于
6
的概率为
p==
．
故答案为：．
从袋中随机抽取两个球，基本事件总数
n=
，利用列举法取出 的两个球的编号之积大于
6
包含
的基本事件（
a
，
b
）有
2
个，由此能取出的两个球的编号之积大于
6
的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.
答案：


解析：解：因为数列
{a
n
}
是等比数列，设其公比为
q
．
所以
=q
4
=2
，所以
q≠1
，
所以
=====
．
故填：．
设等比数列
{a
n
}
的公比是
q
，所以
=q
4
=2
，所以< br>===
，将
q
4
=2
代入即可．
本题考查了等比数列的通项公式，前
n
项和公式的使用，属于基础题．
8.
答案：


解析：解：∵
∴
ω-=kπ+π
，即
ω=2k+
，
的图象关于直线对称，
第7页，共19页

∵
ω
＞
0
，
∴当
k=-1
时，
ω
取得最小值为
-2+=
，
故答案为：．
根据函数的对称性建立方程关系，求出
ω
的表达式，进行求解即可．
本题主 要考查三角函数的对称性的性质，结合条件建立方程关系求出
ω
的表达式是解决本题的关键．
9.
答案：
11

解析：解：∵
a+b=1
∴
+=2a+2b++=2++
，
=5+4=9
，当且仅当
=
时，即
a=
，
b=
时取等号， ∵
+=
（+
）（
a+b
）
=1+4++≥5+2
故
+≥2+9= 11
，
故答案为：
11
．
根据基本不等式即可求出最小值． < br>本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是基本不等式条件的配凑，
1
的代换
的技巧的应用要注意掌握．
10.
答案：（
-2
，
-1
）∪（
1
，
2
）

解析：解：根据题意， 函数
f
（
x
）为偶函数且其定义域为
R
，且在
[0
，
+∞
）上为增函数，
则
f
（
3x
）＞
f
（
x
2
+2
）⇒
f
（
|3x|
）＞
f
（
x
2
+2
）⇒
|3x|
＞
x
2
+2
，
则有或，
解可得：
-2
＜
x
＜
-1
或
1
＜
x
＜
2
，
即不等式的解集为（
-2
，
-1
）∪（
1
，
2
）；
故答案为：（
-2
，
-1
）∪（
1
，
2
）．
根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，
f< br>（
3x
）＞
f
（
x
2
+2
）⇒f
（
|3x|
）＞
f
（
x
2
+2）⇒
|3x|
＞
x
2
+2
，由绝对值的定义可得或，解 可得
x
的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．
11.
答案：


第8页，共19页

解析：解：如图，

要使切线长最小，则
|OP|
最小，
过
O
作直线
y=x-2
的垂线，则垂足为
P
，可得
|OP|=
∴
A，
B
为圆
C
：
x
2
+y
2
= 1
与两坐标轴的交点，
则
PA=PB=1
，∠
APB=90°
，
∴△
PAB
的面积为
故答案为：．
．
，
由题 意画出图形，可得切线最小时的
P
点，进一步求得
PA=PB=1
，∠
APB=90°
，则答案可求．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12.
答案：
1

解析：解：由
y=
可得
y
′
=x
，
设< br>P
（
m
，），则切线
l
的斜率为
m
，故直线
PQ
的方程为：
y-=-
（
x-m
）
联立方程组 ，消去
y
可得：
x
2
+x-m
2
-2=0
，
设
Q
（
n
，），则
mn=-m
2
-2
，
∵
OP
⊥
OQ
，∴
即
mn+
=0
，
=0
，∴
mn=0
（舍）或
mn=-4
，
∴
-m
2
-2=-4
，即
m
2
=2
．
∴
P
点纵坐标为
=1
．
故答案为：
1
．
设
P
（
m
，），求出直 线
PQ
的方程，根据根与系数的关系和
=0
列方程计算
m
的 值即可得出
答案．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法的应用，属于中档题．
第9页，共19页

13.
答案：


解析：解：如图，以
O
为原点建立直角坐标系，
可得
A
（
-1
，
0
），
B
（
1
，
0
），
C
（
-1
，
-2
），
即有直线
BC
的方程为
y=x-1
，
可设
Q
（
m
，
m-1
），
=
， 即为（
2
，
0
）•（
m+1
，
m-1
）< br>=2
（
m+1
）
=
，
解得
m=
，即
Q
（，
-
），
设
P
（
cosα
，
sinα
），
0≤α≤π
， 可得
=
（，
-
）•（
cosα+1
，
sinα +2
）
cos
（
α+θ
），
θ
∈（
0
，），
的最小值为
-
．
=cosα+-sinα-=
（
2cosα-sinα
）
=
当
cos
（
α+θ
）
=-1
即
α+θ=π
，可得
故答案为：．
以
O
为原点建立直角坐标系，求得
A
，
B
，
C
的坐标，以及直线
BC
的方程，设出
Q< br>的坐标，由数量
积的坐标表示，解得
Q
的坐标，再设
P
（cosα
，
sinα
），
0≤α≤π
，由数量积的坐标表示和两 角和的余
弦公式，余弦函数的值域可得最小值．
本题考查向量的数量积的坐标表示，考查三角 函数的恒等变换和余弦函数的值域，考查运算能力，
属于中档题．
14.
答案：（
-
，
0]

解析：解：∵函数< br>f
（
x
）
=e
x
-ax
2
的图象恒 在直线
y=ax
上方，
∴
e
x
-ax
2
-ax
＞
0
对一切实数
x
恒成立，即
e
x
＞
ax
2
+ax
对一切实数
x
恒成立，
设
g
（
x
）
=e
x
，
h
（
x）
=ax
2
+ax
，则
①当
a
＞
0
时，
h
（
x
）开口向上，根据
h
（
x）和
g
（
x
）的图象易知，
a
＞
0
时
g
（
x
）＞
h
（
x
）不恒成
立，
②当
a=0
时，
g
（
0
）
=1
＞
h
（
0
）
=0
，因此
g
（
x）＞
h
（
x
）恒成立
③当
a
＜
0< br>时，
e
x
＞
ax
2
+ax
对一切实数
x
恒成立，即＜
令
F
（
x
）
=
，则F'
（
x
）
==-
，
对一切实数
x
恒成立，
令
F
（
x
）=0
，则
x=-1
或
x=
，
∴当
x
＜
-1
或
x
＞时，
F'
（
x
）＜
0
，当
-1
＜
x
＜时，
F'
（
x
）＞
0
，
第10页，共19页

∴
F
（< br>x
）在（
-∞
，
-1
）和（，
+∞
）上单调 递减，在（
-1
，）上单调递增，
又当
x
＞
0
时 ，
F
（
x
）＞
0
，
∴
F
（x
）
min
=F
（
-1
）
=-
， < br>∴要使＜对一切实数
x
恒成立，只需＜
F
（
x
）min
=-
，
∴
a
＞
-
，又
a＜
0
，∴
-
＜
a
＜
0
，
综上，
a
的取值范围为（
-
，
0]
．
故答案为：（
-
，
0]
．
将函数
f
（< br>x
）
=e
x
-ax
2
的图象恒在直线
y=a x
上方转化为
e
x
＞
ax
2
+ax
对一切 实数
x
恒成立，然后分
a
＞
0
，
a=0
，
a
＜
0
分别求解．
本题考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成 立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结
合法进行求解，本题这几种方法都有涉及，属于难题．
15.
答案：证明：（
1
）∵
E
，
F
分别 是
PD
，
PC
的中点，

∴
EF
是△
PCD
的中位线，
则有
EF
∥
CD
，
又
EF
⊄平面
ABC
，
CD
⊂面
ABC
，
∴
EF
∥平面
ABC
．
解：（
2
）∵平 面
PAB
⊥平面
PCD
，平面
PAB∩
平面
PCD =PD
，
AB
⊥
PD
，
AB
⊂平面
PAB
，
∴
AB
⊥平面
PCD
，
又
CE
⊂平面< br>PCD
，则
AB
⊥
CE
．

解析：本题考 查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知
识，考查空间想象能 力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
（
1
）推导出
EF
是△
PCD
的中位线，从而
EF
∥
CD
，由此能证明
EF
∥平面
ABC
．
（
2
）推导出
AB
⊥
PD
，从而
AB
⊥平面
PCD
，由此能证明
A B
⊥
CE
．
16.
答案：（本题满分为
12
分）
解：（
1
）∵
∴由正弦定理可得：
∴整理可得：
，
，…
2
分
sinA+cosA=2
，可得：
2sin（
A+
）
=2
，可得：
sin
（
A+
）
=1
，…
4
分
∵
A
∈（
0
，
π
），
A+
∈（，），可得：
A+=
，
∴
A=
．…
6
分
（
2
）在△
ABC
中，∵
A=
，
第11页，共19页

∴
B
∈（
0
，），< br>B+
∈（，），可得：
sin
（
B+
）＞
0
，
又∵
cos
（
B+
）
=
，则
sin< br>（（
B+
）
=
又在△
ABC
中，
A+B+C =π
，
∴可得：
cosC=-cos
（
A+B
）
=-cos
（
B+
）
=-cos[
（
B+
）
+]=-cos
（
B+
）
cos+sin
（
B+
）
sin=-

解析：（
1
）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用 化简已知等式可得
sin
（
A+
）
=1
，结合范围
A
∈
（
0
，
π
），可得
A+=
，从而解得
A
的值．
（
2
）利用同角三角函数基本关系式可求
sin
（
B+
）的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函
数公式可求
cosC
的值．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用 ，考查了计算能力和
转化思想，属于中档题．
=
．…
12
分
=
，…
8
分
17.
答案：解：（
1
）设 圆锥形容器的高为
h
，则容器的体积
V=
•
π
•
6
2
•
h=36π
，
解得
h=3
．
=3
∴圆锥容器的母线长为
∴圆锥容器的表面积为
π
•
6
2+
（
2
）由
V=r
2
h=36π
可得
r
2
=
∴容器的侧面积
S=πrl=π
∵
=++≥3
，
=
（
36π+16π
）平方米．
=
，
， ，故圆锥的母线
l=
=π
=9
，当且仅当
=
即
h= 6
时取等号，
∴当
h=6
时，
S
取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．

解析：（
1
）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可；
（
2
）用高
h
表示出侧面积，利用基本不等式得出侧面积最小时对应 的
h
的值即可．
本题考查了圆锥的体积与表面积计算，考查函数最值的计算与基本不等式的应用，属于中档题．
18.
答案：解：（
1
）由椭圆的左、右顶点分别为
A
1
（
-2
，
0
），
A
2
（
2
，0
），右准线方程为
x=4
可得
a=2
，
=4
，故
c=1
，
b
2
=a
2
-c
2
=3
，
故椭圆方程为
+=1
．
（
2
）设直线< br>A
1
D
：
y=k
（
x+2
），①（
k
＞
0
），则与右准线
x=4
的交点
D
（
4
，
6k
），
又
A
2
（
2
，< br>0
），所以设直线
A
2
D
：
y=3k
（x-2
），
则，解得
G
（，），
第12页，共19页

则直线
OG
的斜率为
k
OG
=
∵
OG
⊥
A
1
D
，
∴
，②，
•
k=-1
，又
k
＞
0
，解得
k=
，
则 直线
A
1
D
的方程为
y=
（
x+2
）．
（
3
）由（
2
）中②可得，设直线
OG
：
y=x
，联立可得，解得
H
（，），
联立，∵解得
P
（，），
∵，
∴（
x
H
+2
，
y
H
）
=λ
（
x
P
+2
，
y
P
），
∴
y
H
=λy
P
，
∴
λ==f
（
k
）
====
，
∵
f
（
k
）在（
0
，
+∞
）为减函数，
∴
λ
∈（，）．

解析：（
1
）由题意可得a=2
，
=4
，故
c=1
，
b
2
=a
2
-c
2
=3
，可得椭圆方程，
（
2
） 设直线
A
1
D
：
y=k
（
x+2
），再设 直线
A
2
D
：
y=3k
（
x-2
），求出 点
G
的坐标，根据
HG
⊥
A
1
D
，
可求出
k
的值，即可求出直线方程，
（
3
）分别求出点
H
，
P
的坐标，根据向量的运算借助函数的单调性即可求出．
本题考查椭圆 方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、函数的性质，向量的运算，
属于中档题． 19.
答案：解：（
1
）
f
（
x
）
= x
2
+
（
2-a
）
x-alnx
（
x＞
0
），则
∵曲线
y=f
（
x
）在
x =1
处的切线斜率为
1
，
∴
f'
（
1
）
=2
（
2-a
）
=1
，∴．
．
（2
）当
a≤0
时，
f'
（
x
）＞
0< br>，∴
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上单 调递增，
∴函数
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上不存在极值；
当
a
＞
0
时，令
f'
（
x
）
=0
，则
∴当时，
f'
（
x
）＜
0
；当
，
时，
f'
（
x
）＜
0
，
∴
f< br>（
x
）在（
0
，）上单调递减，在（，
+∞
）上单调 递增，
第13页，共19页

∴
∵
a
＞
0
，∴
令
g
（
a
）
=
=
，
≤
．
（
a
＞
0
），则，
∴
g
（
a
）在（
0
，
+∞
）上单调递减，
又
g
（
2
）
=0
，∴当
a≥2
时，
g
（
a
）
≤g
（
2
）
=0
，
∴实数
a
的最小值为
2
．
（
3
）记f
（
x
）在
[1
，
2]
上的值域为
A
，在
[4
，
8]
上的值域为
B
，
由任意
x
1
∈
[1
，
2]
，总存在
x
2
∈
[4
，
8]
，使得
f
（
x
1< br>）
=f
（
x
2
）成立，知
A
⊆
B< br>．
当
≤1
或
≥8
，即
a≤2
或
a ≥16
时，
f
（
x
）在
[1
，
8]
上为单调函数，不合题意；
当
1
＜
≤2
，即
2
＜
a≤4
时，由（
2
）知，
f
（
x
）在 （
0
，）上单调递减，在（，
+∞
）上单调递增，
∴
f< br>（）∈
A
，但
f
（）∉
B
，不合题意；
当
2
＜
≤4
，即
4
＜
a≤8
时，
A =[f
（
2
），
f
（
1
）
]
，< br>B=[f
（
4
），
f
（
8
）
]，
由
A
⊆
B
，得，即，∴，
又
4
＜
a≤8
，∴；
当
4
＜＜
8
，即
8
＜
a
＜
16
时，由
A
⊆
B
，得
f
（
8
）
≥f
（
1
），
∴
a≤
，∴
8
＜
a≤
，
． 综上，
a
的取值范围为

解析：（
1
）对
f
（
x
）求导后，由导数的几何意义可得
f'
（
1
）
=2
（
2-a
）
=1
，从而求出
a
的值； （
2
）根据函数
f
（
x
）的极小值不超过，对
a
分类讨论，将问题转化为解关于
a
的不等式，从而求
出
a
的最小值；
（
3
）设
f
（
x
）在
[1< br>，
2]
上的值域为
A
，在
[4
，
8]
上的值域为
B
，根据任意
x
1
∈
[1
，
2]
，总存在
x
2
∈
[4
，
8]
，使得< br>f
（
x
1
）
=f
（
x
2
） 成立，知
A
⊆
B
，然后分情况求解可得
a
的范围．
本题考查了导数的几何意义，导数在研究函数性质中的应用和集合之间的关系，考查了转化思想，
分类 讨论思想，考查了逻辑推理能力和运算能力，属难题．
20.
答案：解：（
1
）∵
n≥3
，且
n
∈
N
*
时，
a
1
a
2
+a
2
a
3
+
…
+a< br>n
-1
a
n
=λ
（
n-1
）
a1
a
n
恒成立，
则
n=3
时，
a
1
a
2
+a
2
a
3
=2λa
1
a< br>3
，
∵数列
{a
n
}
各项都不为
0
，同除
a
1
a
2
a
3
，得：
第14页，共19页

=
又∵
，
成等差数列，则，
比较，得
=
，∴
λ=1
．
证明：（
2
） ①当
λ=1
，
n=3
时，
a
1
a
2
+a
2
a
3
=2a
1
a
3
，①
整理，得：
∴
=
=
，
，②
当
n=4< br>时，
a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
4
=3a
1
a
4
，③
③
-
①，得：
a
3
a
4
=3a
1
a
4
-2a
1
a
3
，∴
∵
=
，∴ ，④
，
当
n≥3
时，
a
1
a
2
+a
2
a
3
+
…
+a
n
-1
a
n
=
（
n-1
）
a
1
a
n
，
a
1
a
2
+a
2
a
3
+< br>…
+a
n
-1
a
n
+a
n
a
n
+1
=na
1
a
n
+1
，
两式相减，得：
a
n
a
n
+1
=na
1
a
n
+1
-
（
n-1
）
a
1a
n
，
∵
a
n
≠0
，∴
∴
∵
x==
，∴
，
=
，
表示首项为
q
2
，公比为
q=i-2
，（
i≥4
），
共
k-3< br>（
k≥4
）项的等比数列的和，∴
x
为正整数，
∴
{b
n
}
中的每一项都是数列
{c
n
}
，即
{}
中的项，
整理，得
由②④⑤得：
∴数列
{}
成等差数列．
②设数列
{}
公差为
d
，令
=c
（
c≠0
），
，即，（
n≥3
），⑤
对任意正整数
n≥1
恒成立， < br>则
b
1
=c
1
=c
，
b
2
=c
2
=c+d
，
d=c
2
-c
1
=b
2
-b
1
=cq-c
，
当
i=2
时，< br>b
3
=c
2
=b
2
，∴
q=1
，< br>b
2
=b
1
，∴
a
1
=a
2
，与已知不符，
当
i=3
时，由
b
3
=c
3< br>，
cq
2
=c+2d=c+2c
（
q-1
），得q=1+2
（
q-1
），
解得
q=1
，与已知不符．
当
i=1
时，由
=c
，得
q
2
=1
，由
q≠1
，得
q=-1
为整数，
第15页，共19页

数列
{b
n
}
为：
c
，
-c，
c
，…，
数列
{c
n
}
中，
c< br>1
=c
，
c
2
=-c
，公差
d=-2c，
数列
{b
n
}
中每一项都是
{c
n
}
中的项，（
c=c
1
，
-c=c
2
）， 当
i≥4
时，由
b
3
=c
i
，
cq< br>2
=c+
（
i-1
）
d=c+
（
i-1）
c
（
q-1
），
得
q
2
-
（
i-1
）
q+
（
i-2
）
=0
， < br>得
q=1
，（舍），
q=i-2
，（
i≥4
）为正整 数，
∵
cq=c+d
，
b
3
=c
i
，
对任意的正整数
k≥4
，欲证明
b
k
是数列
{c< br>n
}
中的项，
只需
=c
i
+xd=b
3< br>+x
（
cq-c
）
=cq
2
+x
（
cq-c
）有正整数解
x
，
为正整数，
中的项．
等价 于：
q
k
-1
=q
2
+x
（
q-1
），
x=
∴
q
是整数，且数列
{b
n
}
中的任意一项都是数列

解析：（
1
）
n≥3
，且
n
∈
N
*
时，
a
1
a
2
+a2
a
3
+
…
+a
n
-1
a
n
=λ
（
n-1
）
a
1
a
n
恒成立 ，
n=3
时，
a
1
a
2
+a
2
a
3
=2λa
1
a
3
，
同除
a
1< br>a
2
a
3
，得
=
，由成等差数列，得
=，从而
=
，由此能求出
λ
的值．
，从而，当（
2）①当
λ=1
，
n=3
时，
n≥3
时，推导出
②设数列
{}
公差为
d
，令
，当
n=4
时，
，由此能证明数列
{}
成等差数列．
=cb
2
=c
2< br>=c+d
，
d=c
2
-c
1
=b
2
-b
1
=cq-c
，（
c≠0
），则
b
1
=c
1
=c
，推导出
cq=c+d
，
=c
i
+xd=b
3
+x
（
cq-c
）
=cq
2
+xb
3
=c
i
，对任意的正整数
k≥4
，欲证明
b
k
是数列
{c
n
}
中的项，只需
（
c q-c
）有正整数解
x
，等价于：
q
k
-1
=q< br>2
+x
（
q-1
），
x=
列
{b
n
}
中的任意一项都是数列中的项．
为正整数，由此能证明
q
是整数 ，且数
本题考查数列的通项公式、前
n
项和公式的求法，考查等差数列、等比数列的性 质基础知识，考查
运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．
21.
答案：解：由题意，根据公式
AA
-1
=E
，可得：
•
即：
=
=
．
．
∴，解得：．
∴
A=
．
第16页，共19页

∴
A
2
=
•
=
．
解析：本题先根据公式
AA
-1
=E
可将具体矩阵进行代入计算得到a
、
b
、
c
的值，即可得到矩阵
A
，则
A
2
即可求出．
本题主要考查逆矩阵定义式公式
AA
-1
=E
，然后代入矩阵求参数的值，以及矩阵的乘法运算．
22.
答案：解：由x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
，得，
M
（
2
，
0
），
N
（
3
，），
则直线
l
：
y=
（
x-2
），
曲线C
：（
x-2
）
2
+
（
y+
）
2
=4
，圆心
C
（
2
，
-
），半径r=2
，
则圆心到直线
l
的距离为
d==
，
=
． 则直线
l
被曲线
C
截得的弦长为
2

解析：将直线和圆化成直角坐标方程后，利用圆中的勾股定理列式可得弦长．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.
答案：证明：∵
a< br>，
b
，
c
都是正数，且
a+b+c=2
，
∴
2a+2b+2c=4
，
∴
4
（
≥
（
∴
++
++
+
≥1
．
）
=[
（
b+c
）
+
（
c+a
）
+
（
a+ b
）
]
（
•
+
•
++
）
）
2
=
（
a+b+c
）
2
=4
，

解析：不等式两边同乘（
2a+2b+2c
），利用柯西不等式证明．
本题考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，属于中档题．
24.
答案：解：（< br>1
）抛物线的焦点为
F
（
1
，
0
），设M
（
x
，
y
），则
A
（
2x-1，
2y
），
把
A
（
2x-1
，
2y
）代入
y
2
=4x
可得
4y
2
=8x-4
，即
y
2
=2x-1
．
（
2
）设直线< br>l
的方程为
x=my+1
，代入
y
2
=4x
可得
y
2
-4my-4=0
，
设
A
（
x
1
，
y
），
B
（
x
2
，
y
2
），则
y
1
y
2
=-4
，
①若
A
在第一象限，
B
在第四象限，则
y
1
＞0
，
y
2
＜
0
，
则
S
AO B
=
•
OF
•（
y
1
-y
2
），
S
△
BOF
=
•
OF
•（
-y
2
），
∵
S
△
AOB
=3S
△
BOF，∴
y
1
-y
2
=-3y
2
，
∴< br>y
1
=-2y
2
，又
y
1
y
2=-4
，∴
y
1
=2
，
y
2
=-故
x
1
=2
，
x
2
=
，把
A
（
2
，
2
．
=
， ）代入
x=my+1
可得
m=
y-4=0
． ∴直线
l的方程为
x-y-1=0
，即
4x-
②若
A
在第四象限 ，
B
在第一象限，则
y
1
＜
0
，
y
2
＞
0
，
S
AOB
=
•
OF
•（
y
2
-y
1
），
S
△
BOF
=
•
OF
•
y
2
，
∵
S
△AOB
=3S
△
BOF
，∴
y
2
-y
1
=3y
2
，
第17页，共19页

∴
y
1
=-2y
2
，又
y
1
y
2
=- 4
，∴
y
1
=-2
故
x
1
=2
，
x
2
=
，把
A
（
2
，
-2
，
y
2
=
．
=-
， ）代入
x=my+1
可得
m=-
y-4=0
． ∴直线
l< br>的方程为
x+y-1=0
，即
4x+
综上，直线
l
的 方程为：
4x-y-4=0
或
4x+y-4=0
．

解析 ：（
1
）设
M
（
x
，
y
），表示出
A
点坐标，代入抛物线方程化简即可；
（
2
）设
A
（< br>x
1
，
y
），
B
（
x
2
，
y
2
），直线
l
的方程为
x=my+1
，联立方程 组可得则
y
1
y
2
=-4
，三角形的
面积比得出< br>y
1
=-2y
2
，讨论
A
，
B
所在 象限得出
A
的坐标，进而可得出直线
l
的方程．
本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
25.
答案： 证明：（
1
）∵
a
1
=2
，且
∴当
n=1
时，
a
2
=3=1+a
1
成立，
假设当
n=k
时成立，即
a
k
+1
=a
k
a
k< br>-1
a
k
-2
…
a
2
a
1
+1
，
当
n=k+1
时，
a
k
+2
=a
k
+1
（
a
k
+1
-1
）
+1
=
（
a
k
a
k
-1
a
k
-2
…
a
2
a
1
）
a
k
+1+1
=a
k
+1
a
k
a
k
-1…
a
2
a
1
+1
，
则当
n=k+1
时，命题成立，
综上可得，
a
n
+1
=a
n
a
n
-1
a
n
-2
…
a
2
a
1
+1
；
（
2
）要证：，
对任意
n
∈
N
*
恒成立，
由（
1
）
a
n
+1
=a
n
a
n
-1
a
n
-2
…
a
2
a
1
+1
， 只要证∴
a
n
a
n
-1
a
n
-2…
a
2
a
1
＞
n
n
，
下面用数学归纳法证明：
当
n=1
，
2
，
3时，
a
1
=2
，
a
2
=3
，
a
3
=7
，
3
＞
2
2
，
2×3×7
＞
3
3
则
2
＞
1
，
2×
假设当
n=k
（
k≥3
）时结论成立，即
a
k
a
k
-1
a
k
-2
…
a
2
a
1
＞
k
k
，
则当
n=k+1
时
a
k
+1
ak
a
k
-1
…
a
2
a
1
+1 =
（
a
k
a
k
-1
…
a
2
a
1
+1
）
a
k
a
k
-1
…< br>a
2
a
1
＞
（
a
k
a
k< br>-1
…
a
2
a
1
）
2
＞
k
2
k
设
f
（
x
）
=2xlnx-
（
x+1
）
ln
（
x+1
），
x≥3
，
则
=ln
（
x-1
）
+1≥ln2+1
＞
0
∴
f
（
x
）单调递增，则
f
（
x）
≥f
（
3
）
=2
（
3ln3-2ln4）
=2ln
＞
0
则
2klnk
＞（
k+1< br>）
ln
（
k+1
），
∴
lnk
2
k
＞
ln
（
k+1
）
k
+1
，即
k
2
k
＞（
k+1
）
k
+1
，
∴
a
k
+1
a
k
a
k
-1
…a
2
a
1
＞（
k+1
）
k
+1
，则当
n=k+1
时，命题成立
综上可得，
a
n
an
-1
a
n
-2
…
a
2
a
1
＞
n
n
，
∴，

解析：（
1
）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；
（
2
）要证：，由（
1
）
a
n
+1
=a
n
a
n
-1
a
n
-2
…
a
2
a
1
+1
，只要证∴
a
n
a
n
-1
an
-2
…
a
2
a
1
＞
n
n< br>，可用数学
第18页，共19页

归纳法证明．
本题主要考查了利用数学归纳法证明与数列有关的等式及不等式，试题具有一定的综合性

第19页，共19页