化妆品业务员-活动策划书ppt

正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

尝试回忆
1、1弧度的角 ；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度
制表示第一象限内的角的集合 和x轴上的角的集合。
2、特别注意：角度与弧度不要混用。如
k

90
0
,kZ
，应写成
k180
0
90
0
,kZ
或
k



2
,kZ

3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？
探究新知
1、单位圆
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。
单位长：可以是1cm、1m、1km、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。
2、任意角的正、余弦函数定义
在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点 与原点重合，始边与x
轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P的纵坐标v叫作角α 的正弦函数，
记作v=sinα; 点P的横坐标u叫作角α的余弦函数,记作u=cosα.
α
通常，用x表示自变量，用x表示角的大小，用y表示函数值，因此
y
定义任意角的三角函数y=sinx和y=cosx,定义域为R，值域为[-1，1]。
P(a,b)
设点P（a,b）是角α终边上除原点之外的任意一点，记
ra2
b
2

则定义
sin


O
x
ba
,cos

.
更具有一般性。
rr
3、三角函数值的符号
根据定义，三角函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符 号有关。sinα在一、二象限
为正，三、四象限为负；cosα在一、四象限为正，二、三象限为负. 轴线角的正余弦函数值
也有符号。
例1功能：会求任意角的三角函数值。其步骤（1）画角； （2）求交点坐标。可联立方

x
2
y
2
1,
程

解得；（3）求值。
yx.

4、单位圆与周期性 在单位圆中找到角

6
,2



6
,4



6
等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变；（2）< br>交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。即
si n(4



6
)sin(2


< br>6
)sin

6
,cos(4


6
)cos(2



6
)cos
6
.

从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等 。即
sin(2k

x)sinx,k(2k

x)co sx,kZ.

说明：对于任意一个角x，每增加
2

的整数倍， 其正弦函数值、余弦函数值均不变。
所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。这 种随自变量的变化函数
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值呈周期性变化的函数叫做周 期函数。特别指出，周期性不是三角函数特有的，一般函数也
有周期性。周期函数的自变量不一定是角。
2

是
ysinx,xR
的周期，则
2k
< br>,kZ,k0
都是它的周期，并且它的所有周期中有一个最小的正数
2
< br>，称
2

为它
的最小正周期。同理
2

也是
ycosx,xR
的最小正周期。有的周期函数没有最小正周期，
如
f( x)2,xR.
任意一个正数都是它的周期，但没有一个最小的正数。
周期函数的严格定 义：一般地，对于函数
f(x)
，如果存在非零常数
T
,对定义域内的任意一个
x
值，都有
f(xT)f(x)
，则称
f(x)为周期函数，
T
为它的一个周期。
单位圆与诱导公式

利用 单位圆的对称性：通过观察角的终边的对称性以及角的终边与单位圆交点坐标的对称
性，探寻角与

，



，


，


等正、余弦函数关系，得到诱导公式。便于推导，
2
y
也方便记忆。把用对称找点的坐标作为重点。
1、角

与


的正、余弦函数关系
P(x,y)

sin(

)sin

, cos(

)cos

.

2、角

与



的正、余弦函数关系
P’(x,-y)

M
o x
P (x,y)

y
sin(



)sin

,c os(



)cos

.

sin (



)sin

,cos(



)cos

.
3、角

与



的正、余弦函数关系
o x
P
1
(-x,-y)

sin(



)sin
< br>,cos(



)cos

.

也可以由1、2两组公式推出
P (x,y)

y
P
2
(-x,y)

o
P
1
(x,-y)

y
P
1
(-y, x)

M
1
o
M

P (x,y)

x

sin(



)sin(

< br>
)(sin

)sin

,

c os(



)cos(



) cos

.
4、角

与
x

2


的正、余弦函数关系
sin(

)cos

,cos(

)sin

.

22
5、角

与


2


的正、余弦函数关系
sin(

)cos

,co s(

)sin

.

22
6、任意角

的正、余弦函数的诱导公式
（1）
2k




y
M
1
P (x,y)

o
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
P
1
(y, x)

sin(2k



)sin

,cos(2k



)cos

.(kZ)

M

x
y=x

（2）



sin(

) sin

,cos(

)cos

.

（3）
2




sin(2



)sin

,cos(2



)cos


（4）




sin(



)sin

,cos(

< br>
)cos

.sin(



)s in

,cos(



)cos

.

（5）

2



sin(< br>
)cos

,cos(

)sin
.

sin(

)cos

,cos(

)sin

.

2222
3



补：
2
3

3

3

3

sin(

) cos

,cos(

)sin

.
sin(

)cos

,cos(

)s in

.

2222
2k



、
2



、


、



记忆规律：“函数名不变，符号看象限”。即它们的正、
余弦函数值等于

的同名三角函数值，加上把

看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。
如把

看成锐角时，
2



终边在第四象限，其 余弦值为正，函数名称不变，所以

cos(2



)cos



2


，
3



记忆规律：“函数名改变，符号看象限”。即它们的正、余弦函数值等于
2
“余”名：“正
的“余”名三角函数值，加上把

看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。< br>
则余，余则正”。如把

看成锐角时，


终边在 第二象限，其余弦值为负，函数名称改变，
2
所以
cos(

2

)sin

。
7、诱导公式的作用
（1） 可把任意角的三角函数值转化为
0~

2
的三角函数值求出。一般地：负角化 正角
（


），再化成为
0~2

（
2k



），再化成为
0~
限用



，第四象限用
2



.

（2）化简
（3）求值
例1． 求下列函数值
（1） sin(－< br>
2
求出。第二象限用



，第三象
73 1

π) （2）sin(

)； （3）sin(－1650)；
4
6
解： (1) sin(－
7

2
π)＝sin(－2π＋)＝sin＝
4
44
2
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（2）< br>cos(
31

31

7

7
 
3
)coscos(4

)coscos(

)cos.

6666662
1

2
（3）s in(－1650)＝－sin1650＝－sin(4×360＋210)＝－sin210
＝－sin(180＋30)＝sin30＝
例2．化简：
解：原式=1
sin

2




sin

3





sin





sin

3




sin






三角函数诱导公式习 题
一、选择题
1．如果|cosx|=cos（x+π），则x的取值集合是（ ）
A．－
C．
πππ3π
+2kπ≤x≤+2kπ B．－+2kπ≤x≤+2kπ
2222
π3π
+2kπ≤x≤+2kπ D．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以上k∈Z）
22
2．sin（－
A．
19π
）的值是（ ）
6
1

2
B．－
1

2
C．
3

2
D．－
3

2
3．下列三角函数：
①sin（nπ+
4π πππ
）；②cos（2nπ+）；③sin（2nπ+）；④cos［（2n+1）π－］；
3636
⑤sin［（2n+1）π－
其中函数值与sin
A．①②
D．①③⑤

π
］（n∈Z）．
3
π
的值相同的是（ ）
3
B．①③④ C．②③⑤

4．若cos（π+α）=－
A．－
D．
6

2
6

3
10
π3π
，且α∈（－，0），则tan（+α）的值为（ ）
5
22
B．
6

3
C．－
6

2

5．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）
A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=sinC C．tan（A+B）=tanC
D．sin
ABC
=sin
2
2
二、填空题
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7．若 α是第三象限角，则
12sin(π

)cos(π

)=_________．
8．sin
2
1°+sin
2
2°+ sin
2
3°+…+sin
2
89°=_________．
三、解答题
9．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．





10．证明：






11
11．已知cosα=，cos（α+β）=1，求证：cos（2α+β）=．
33
2sin(π

)cos

1tan(9π

)1

．
tan(π

)1
12sin
2








14． 求证：（1）sin（
（2）cos（






3π
－α）=－cosα；
2
3π
+α）=sinα．
2
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