地理复习资料-温馨提示语

2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）
数学(文)试题
一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)
1．已知集合A＝{x|x是 平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，
D＝{x|x是菱形}，则( )
A．AB B．CB C．DC D．AD
2．函数
yx1
(x≥－1)的反函数为( )
A．y＝x
2
－1(x≥0) B．y＝x
2
－1(x≥1)
C．y＝x
2
＋1(x≥0) D．y＝x
2
＋1(x≥1)
3．若函数
f(x)sin
A．< br>x

(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
3
π
2π3π5π
B． C． D．
2323
3
，则sin2α＝( )
5
4．已知α为第二 象限角，
sin


A．

241224
12 B．

C． D．
25252525
5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为
( )
x
2
y
2
x
2
y
2
1
B．
1
A．

1612128
x
2
y
2
x
2
y
2
1
D．
1
C．

84124
6．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，S
n
＝2a
n
＋
1
，则S
n
＝( )
321
A．2
n
－
1
B．
()
n1
C．
()
n1
D．
n1

232
7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不
同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
8．已知正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝2，
CC
1
22
，E为CC
1
的中< br>点，则直线AC
1
与平面BED的距离为( )

A．2 B．
3
C．
2
D．1
uuuruuur
9．△ABC中，AB边的高为CD
．
若
CB
＝a ，
CA
＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|
uuur
＝2，则
A D
＝( )
1122
A．
ab
B．
ab

3333
3344
C．
ab
D．
ab

5555
10．已知F
1
，F
2为双曲线C：x
2
－y
2
＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF
1
|
＝2|PF
2
|，则cos∠F
1
PF
2< br>＝( )
A．
1334
B． C． D．
4545

1
2
11．已知x＝ln π，y＝log
5
2，
z=e
，则( )
A．x＜y＜z B．z＜x＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
1 2．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF
1
＝.动点P 从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反
3
射角等于入射角．当点P第 一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( )
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横
线上．
1 3．(x＋
1
8
)的展开式中x
2
的系数为__________．
2x

xy10,

14．若x，y满足约束条件

xy30,
则z＝3x－y的最小值为__________．

x 3y30,

15．当函数y＝sinx－
3
cosx(0≤x＜2π )取得最大值时，x＝__________.
16．已知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别为BB
1
，C C
1
的中点，那么
异面直线AE与D
1
F所成角的余弦值为____ ______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．

17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b
2＝3ac，
求A
．





18． 已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，前n项和
S
n

(1)求a
2
，a
3
；
(2)求{a
n
}的通项公式．




19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，
AC22
，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC
．

n2
a
n
.
3
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

20．乒 乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球
2次后，对方再连续发球2次，依次 轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设
在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0 .6，各次发球的胜负结
果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．




1
21．已知函数f(x)＝x
3
＋x
2
＋ax.
3
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设f(x)有两个极值点x
1，x
2
，若过两点(x
1
，f(x
1
))，(x
2
，f(x
2
))的直线l与x
轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值 ．





22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2
与圆M：(x－1)
2
＋(y－
公共点A，且在A处两曲线的切线为同 一直线l.
(1)求r；
(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求
D到l的距离．

1
22
)＝r(r＞0)有一个
2

2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）
数学(文)试题
答案解析:
1． B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，
∴CB
．

2． A ∵
yx1
，∴y
2
＝x＋1，
∴x＝y
2
－1，x，y互换可得：y＝x
2
－1.
又∵
yx10
.∴反函数中x≥0，故选A项．
3．C ∵
f(x)sin

x

是偶函数，∴f(0)＝±1. 3
∴
sin1
.∴
k
π

(k∈Z)．
33

π
2
∴φ＝3kπ＋
3π
(k∈Z)．
2
3π
.故选C项．
2
又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，< br>

3
5
4．A ∵
sin


，且α为第二象限角，
∴
cos

－1sin
2

－
.

∴
sin2

2sin

cos
< br>2





.故选A项．
5

5

25
3424
4
5
5． C ∵焦距为4，即2c＝4，∴c＝2.
a
2
又∵准线x＝－4，∴
4
.
c
∴a< br>2
＝8.∴b
2
＝a
2
－c
2
＝8－4＝4 .

x
2
y
2
∴椭圆的方程为
1
，故选C项．
84
6．B 当n＝1时，S
1
＝2a
2
，又因S
1
＝a
1
＝1，
所以
a
2

，
S
2
1
.
显然只有B项符合．
7． C 由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为
A
1
4
，
1
A
5
剩余5人进行全排列：
A< br>5
5
，故总的情况有：
A
4
·
5
＝480种 ．故选C
1
2
1
2
3
2
项．
8． D 连结AC交BD于点O，连结OE，
∵AB=2，∴
AC22
.

又
CC
1
22
，则AC=CC
1
.
作CH⊥AC
1
于点H，交OE于点M.
由OE为△ACC
1
的中位线知，
CM⊥OE，M为CH的中点．
由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，
∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.
∴HM为直线AC
1
到平面BDE的距离．
又△ACC
1
为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.
9． D ∵a·b＝0，∴a⊥b.
又∵|a|＝1，|b|＝2，
uuur
∴
|AB|5
.

uuur
1225
∴
|CD|
.
< br>5
5
uuur
25
2
45
∴
|AD|2< br>2
(
.
)
55
45
uuuruuur
4
uuur
444
5
ABAB(ab)ab
. ∴
AD
5555
5

10． C 设|PF
2
|＝m，则|PF
1
|＝2m，
由双曲线定义|PF
1
|－|PF
2
|＝2a，
∴2m－m＝
22
.∴
m=22
.
又
2c2a
2
b
2
4
，
∴由余弦定理可得
|PF
1
|
2
|PF
2|
2
4c
2
3
cos∠F
1
PF
2
＝

.
2|PF
1
||PF
2
|4
11． D ∵x＝ln π＞1，y＝log
5
2＞
log
5
5
，
z e

1
2
1
2
1
－
111

，且
e
2
＜e
0
＝1，∴y＜z＜x.
e4
2
12． B 如图，由题意：

tan∠BEF=， 1
2

∴
KX
2
1

，∴X2
为HD中点，
12
X
2
D
1
1

，∴
X
3
D
，
X
3
D2
3< br>X
4
C
1
1

，∴
X
4
C 
，
X
3
C2
3
X
5
H
11

，∴
X
5
H
，
X
4
H2
2
X
5
A
1
1

，∴
X6
A
，∴X
6
与E重合，故选B项．
X
6
A2
3
13．答案：7
解析：∵(x＋
2r
1
8
1
r
8
－
r
)展开式的通项为Tr
＋
1
＝
C
8
x()
r
＝Cr82< br>－
r
x
8
－
2x2x
，
令8－2r＝2，解得r＝3.
3
－
3
∴x
2
的 系数为
C
8
2＝7.
14．答案：－1
解析：由题意画出可行域 ，由z＝3x－y得y＝3x－z，要使z取
最小值，只需截距最大即可，故直线过A(0,1)时，z 最大．

∴z
max
＝3×0－1＝－1.
15．答案：
5π

6
1
2
3π
cosx)2sin(x)
．
2 3
解析：y＝sinx－
3
cosx＝
2(sinx

当y取最大值时，
x2kπ
，∴x＝2kπ＋
又∵0≤x＜2π，∴
x
16．答案：
3
5
5π
.
6
π
3
π
2
5π
.
6
解析：设 正方体的棱长为a.连结A
1
E，可知D
1
F∥A
1
E，

∴异面直线AE与D
1
F所成的角可转化为AE与A
1
E所成的角，
在△AEA
1
中，

a

a

a

a
2


a
2
3

2

2

cosAEA
1

.
22
5

a

a

22
2a

a


2

2

2< br>22
17．解：由A，B，C成等差数列及A＋B＋C＝180°，得B＝60°，
A＋ C＝120°.
由2b
2
＝3ac及正弦定理得2sin
2
B＝3 sinAsinC，
故
sinAsinC＝
.
cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－，
即cosAcosC－＝

，cosAcosC＝0，
cosA＝0或cosC＝0，所以A＝90°或A＝30°.
18．解：(1)由
S
2
＝a
2
得3(a
1
＋a
2
)＝4a< br>2
，解得a
2
＝3a
1
＝3；
由
S
3
＝a
3
得3(a
1
＋a
2
＋a
3)＝5a
3
，解得a
3
＝(a
1
＋a
2
)＝6.
5
3
3
2
4
3
1
2
1
2
1
2
1
2

(2)由题设知a
1
＝1.
当n＞1时有a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝
整理得
a
n

n1
a
n 1
.
n1
n2n1
a
n
a
n1
，
33
于是a
1
＝1，a
2
＝a
1
，a
3< br>＝a
2
，…
a
n
－
1
＝
nn1
a
n
－
2
，a
n
＝a
n
－
1
.
n2n1
n(n1)
.
2
3
1< br>4
2
将以上n个等式两端分别相乘，整理得
a
n

综 上，{a
n
}的通项公式
a
n

n(n1)
.
2
19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．

又PA⊥底面ABCD，
所以PC⊥BD．
设AC∩BD=F，连结EF.
因为
AC22
，PA=2，PE=2EC，
故
PC23
，
EC
从而
因为
23
，
FC2
，
3
PCAC
6
，
6
，
FCEC
PCAC
，∠FCE=∠PCA，

FCEC
所以△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平

面BED．
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC．
又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC
．

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，
故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD＝2，
P DPA
2
AD
2
22
.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故A D∥平面
PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝
2
.
设PD与平面PBC所成的角为α，则
sin


所以PD与平面PBC所成 的角为30°.
解法二：(1)证明：以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，
建立如图 所示的空间直角坐标系A－xyz.
d1

.
PD2

设C(
22
，0,0)，D(
2
，b,0)，其中b＞0，
则P(0,0,2)，E(
42
2
，0，)，B(
2
，－b,0) ．
3
3
uuur
uuur
uuur
22
2
于是
PC
＝(
22
，0，－2)，
BE
＝(，b，)，< br>DE
＝(，－b，
33
3
uuuruuur
uuuruuur
2
)，从而
PCBE0
，
PCDE0
，
3
故PC⊥BE，PC⊥DE.

又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.
uuuruuur
(2 )
AP
＝(0,0,2)，
AB
＝(
2
，－b,0)．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
uuuruuur
则m·
AP
＝0，m·
AB
＝0，
即2z＝0且
2
x－by＝0，
令x＝b，则m＝(b，
2
，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，
uuur
uuur
PC
＝0，n·则n·
BE
＝0，
即
22p2r0
且
2p2
bqr0
，
33
22
，n＝(1，

，
2
)．
bb
令p＝1，则
r2
，
q
因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝ 0，即
b0
，故
b2
，
uuur
于是n＝(1，－ 1，
2
)，
DP
＝(
2
，
2
，2)，
uuur
uuur
uuur
nDP1
uuur
〈n，DP
〉＝60°.
cosn,DP
，
|n||DP|
2< br>uuur
因为PD与平面PBC所成角和〈n，
DP
〉互余，故PD与平面2
b
PBC所成的角为30°.
20．解：记A
i
表示事件： 第1次和第2次这两次发球，甲共得i
分，i＝0,1,2；
B
i
表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；
A表示事件：第3次发球，甲得1分；
B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；
C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．
A
， (1)B＝A
0·A＋A
1
·
P(A)＝0.4，P(A
0
)＝0.4
2
＝0.16，P(A
1
)＝2×0.6×0.4＝0.48，

P(B)＝P(A
0
·A＋A
1
·
A
)
＝P(A
0
·A)＋P(A
1
·
A
)
＝P(A
0
)P(A)＋P(A
1
)P(
A
)
＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.
(2) P(B
0
)＝0.6
2
＝0.36，P(B
1
)＝2×0.4×0.6＝0. 48，P(B
2
)＝0.4
2
＝
0.16，
P(A
2
)＝0.6
2
＝0.36.
C＝A
1< br>·B
2
＋A
2
·B
1
＋A
2
·B< br>2

P(C)＝P(A
1
·B
2
＋A
2·B
1
＋A
2
·B
2
)
＝P(A
1
·B
2
)＋P(A
2
·B
1
)＋P(A
2
·B
2
)
＝P(A
1
)P(B
2
)＋P (A
2
)P(B
1
)＋P(A
2
)P(B
2
)
＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.
21．解：(1)f′(x)＝x
2
＋2x＋a＝(x＋1)
2
＋a－1.
①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以
f(x) 是R上的增函数；
②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x
1
＝－1－
1 a
，x
2
＝－1＋
1a
.
当x∈(－∞，－1－
1a
)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈(－1－
1a
，－1＋
1a
)时，f′(x)＜0，f(x)是减 函数；
当x∈(－1＋
1a
，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
(2)由题设知，x
1
，x
2
为方程f′(x)＝0的两个根， < br>故有a＜1，x
1
2
＝－2x
1
－a，x
2
2
＝－2x
2
－a.
因此f(x
1
)＝x
13
＋x
1
2
＋ax
1

＝x
1
(－2x
1
－a)＋x
1
2
＋ax
1
＝x
1
2
＋ax
1

＝(－2x
1
－a)＋ax1
＝(a－1)x
1
－.
1
3
2
3
2
3
a
3
1
3
1
3
1
3
2
3

同理，f(x
2
)＝(a－1)x
2
－ .
因此直线l的方程为y＝(a－1)x－.
设l与x轴的交点为(x
0,
0)，得
x
0

a
，
2(a1)
2
3
a
3
2
3
a
3
1aaa
2
a< br>2
32
f(x
0
)[][](12a
2
1 7a6)
．
3
32(a1)2(a1)2(a1)24(a1)
由题设知，点(x
0,
0)在曲线y＝f(x)上，故f(x
0
)＝0，
解得a＝0或
a
或
a
.


22． 解：(1)设A(x
0
，(x
0
＋1)
2
)，对y＝(x＋ 1)
2
求导得y′＝2(x＋1)，
故l的斜率k＝2(x
0
＋1)．
当x
0
＝1时，不合题意，所以x
0
≠1.
圆心为M(1，)，MA的斜率
k'
由l⊥MA知k·k′＝－1，
即2 (x
0
＋1)·
(x
0
1)
2

x0
1
1
2
＝－1，
2
3
3
41
2
(x
0
1)
2

x
0
1
1
2
.
解得x
0
＝0，故A(0,1)，
r＝|MA|＝
(10)
2
(1)
2

1
2
55
，即
r
.
2
2
(2)设(t，(t＋1)
2
)为C上一点，则在该点处的切线方程为y－(t＋
1)
2
＝2( t＋1)(x－t)，
即y＝2(t＋1)x－t
2
＋1.

若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为
1
2(t1)1t
21
2
[2(t1)]
2
(1)
2
5
，
2
即

5
，
2
化简得t
2
(t
2
－4t－6)＝0，
解得t
0
＝0，
t
1
210
，
t
2
210
.
抛物线C在点(t
i
，(t
i
＋1)
2
)(i＝0,1,2)处的切线分别为l，m，n，其
方程分别为y＝2x＋1，①
y＝2(t
1
＋1)x－t
1
2
＋1，②
y＝2(t
2
＋1)x－t
2
2
＋1，③
②－③得
x
t
1
t
2
2
.
2
将x＝2代入②得y＝－1，故D(2，－1)．
所以D到l的距离
d










|22(1)1|
2
2
(1)
2

65
.
5