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解三角形
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：

1.在△
ABC
中，若∠
A
＝60°，∠
B
＝45°，
BC
＝
23
，则
AC
＝( )
A．4
3
B．
22


C．
3
D．
2.在△
ABC
中，
AB
＝5，
BC
＝6，< br>AC
＝8，则△
ABC
的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形
3.在△
ABC
中， 已知
a
＝11，
b
＝20，
A
＝130°，则此三角形( )
A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
3

2

4. 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C 岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A

岛成75视角，则B、C两岛的距离是（ ）海里
A.
56
B.
53
C.
52
D.
5

5.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
6.如图，设
A< br>，
B
两点在河的两岸，一测量者在
A
的同侧，在所在的河岸边选定的一 点
C
，测
出
AC
的距离为
502m
，
A CB45
，
CAB105
后，就可以计算出
A
，
B
两点的距离
为 ( )

A.
100m
B.
503m
C.
1002m
D.
200m

7.在△
ABC
中，已知sin
2
A
＋sin
2
B
－sin
A
sin
B
＝ sin
2
C
，且满足
ab
＝4，则△
ABC
的面积 为( )
A．1 B．2 C.2 D.3






1

8.如图，四边形
ABCD
中，
B
＝
C
＝120° ，
AB
＝4，
BC
＝
CD
＝2，则该四边形的面积等于( )

A.3
C．63
B．53
D．73
sin
B
的值为( )
sin
C
9.在△
AB C
中，
A
＝120°，
AB
＝5，
BC
＝7，则< br>8553
A. B. C. D.
5835
10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 kmh的速度由
A
处出发，沿北偏东60°方向航行，进
行海面巡逻，当行驶半小时到达
B
处时，发现 北偏西45°方向有一艘船
C
，若
C
船位于
A
处北
偏东30°方向上，则缉私艇
B
与船
C
的距离是( )
A．5(6＋2) km
C．10(6＋2) km

B．5(6－2) km
D．10(6－2) km



2

11.△
ABC
的周长为20，面积为10
3
，
A
＝60°，则
BC
的长等于( )
A．5 B.6 C．7 D．8
12.在
△ABC
中，角
A、B、C
所对 的边分别为
a,b,c
，若
C120,c2a
，则（ ）
A．
ab
B．
ab

C．
ab
D．
a
与
b
的大小关系不能确定


第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分）：
13.三角 形的两边分别是
5
和
3
，它们夹角的余弦值是方程
5x
2< br>7x60
的根，则此三角形的
面积是 。
14.△ABC
中，
A
，
B
，
C
分别为
a，
b
，
c
三条边的对角，如果
b
＝2
a
，
B
＝
A
＋60°，那么
A
＝__________.
15.在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，则
sin< br>A：
sin
B：
sin
C＝________.
16.江岸 边有一炮台高
30m
，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得
两船的俯角分别为
45
和
60
，而且两条船与炮台底部连线成
3 0
角，则两条船相距
m
．

三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤)：
17．(本题满分10分) 在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a
2
＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；(2)若a＝3b，试判断△ABC的形状．






18．(本题满分12分)
2
△
ABC< br>的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a< br>，
b
，
c
，
a
sin
A
sin
B
＋
b
cos
A
＝
2
a
.
(1)求

b
； (2)若
c
2
＝
b2
＋
3
a
2
，求
B
.
a




19．（本题满分12分）

3

1
锐角△
ABC
中，角
A、B、C
的对边分别是
a 、b、c
，已知
cos2C
.
4
（1）求
sinC< br>的值；（2）当
a2
，
2sinAsinC
时，求
b的长及△
ABC
的面积．









20．（本题满分12分）

某港口< br>O
要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口
的
O
北偏西
30
且与该港口相距
20
海里的
A处，并正以
30
海里小时的航行速度沿正东方向匀
速行驶．假设该小艇沿直线方向 以
v
海里小时的航行速度匀速行驶，经过
t
小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?
（2）为保证小 艇在
30
分钟内（含
30
分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值 ；
（3）是否存在
v
，使得小艇以
v
海里小时的航行速度行驶，总 能有两种不同的航行方向与轮船
相遇?若存在，试确定
v
的取值范围；若不存在，请说 明理由．





21．（本题满分12分）

π
在△
ABC
中，已知内角
A
＝，边
B C
＝23，设内角
B
＝
x
，周长为
y
.
3
(1)求函数
y
＝
f
(
x
)的解析式和定义域； (2)求
y
的最大值．






22．（本题满分12分）

△
ABC
中，
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，tan
C
＝
(1)求
A
，
C
； (2)若
S
△
ABC
＝3＋3，求
a
，
c.

4
sin
A
＋sin
B
，sin(< br>B
－
A
)＝cos
C
.
cos
A
＋cos
B

解三角形 参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：
1.B 2. C 3.A 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B 9.D 10.D 11.C 12.A

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分）：
13.6 14.30° 15. 11：9：7 16.
103

三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤；)：

17．解:(1)证 明：在△ABC中，∵a
2
＝b·(b＋c)＝b
2
＋bc，
a< br>2
＋c
2
－b
2
bc＋c
2
b＋ca
sin
A
由余弦定理，得
cos
B＝＝＝＝＝，
2ac2ac2 a2b2
sin
B
∴
sin
A＝2
sin
B
cos
B＝
sin
2B.则A＝2B或A＋2B＝
π
.
若A＋2B＝
π
，又A＋B＋C＝
π
，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2 B.
(2)∵a＝3b，由a
2
＝b(b＋c)，得3b
2
＝b< br>2
＋bc，∴c＝2b.又a
2
＋b
2
＝4b
2＝c
2
.
故△ABC为直角三角形．

18．(1)由正弦定理，得
a
sin
B
＝
b
sin
A
，所以
b
sin
2
A
＋
b
cos
2
A
＝
2
a< br>，所以
13

a

3
a
，得
co sB
.
2
b
＝
2
.
a
(2)由余弦 定理及
c
＝
b
＋
22
2c
由(1)知
b< br>2
＝2
a
2
，故
c
2
＝(2＋
3< br>)
a
2
，所以cos
2
B
＝
又cos
B
>0，故cos
B
＝
2
，∴
B
＝45°.
2
1
.
2
10
1
．
4
42
ac
（2）当< br>a2,2sinAsinC
时，由，解得
c4
．

sinAsinC
19．（1）因为
cos2C12sin
2
C,0 C
，所以
sinC
由
cos2C2cos
2
C1 
，及
0C
得
cosC

5
1
4

2
6
，
4

由
c
2
a
2
b
2
2abcosC< br>，得
b
2
6b120
，
解得
b26
（负值舍去），
S
ABC
absinC15
.




20．（1）设相遇时小艇的航行距离为
S
海里，则由余弦定理得，
12
S900t
2
400230t20cos

90 30



1

900t600t4009 00

t

300
，

3

2
2
故
t
103
1
303
， 时，
S
min
103
，
v
1
3
3
即小艇以
303
海里小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
（2）设小艇与轮船在 处相遇，

由题意可知

vt

20
2


30t

22030tcos

903 0

，
22
400600

13

化 简得
v
2

2
900400



675
，
tt

t4

由于
0t
11
，所以
2
，
2t
2
1
所以当2
时，
v
取得最小值
1013
，即小艇航行速度的最小值为< br>1013
海里小时．
t
400600
（3）存在.由（2）知
v
2

2
900
，
tt
1
设u

u0

，于是
400u
2
600u 900v
2
0
.
t
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即
22


6001600

900v

0 ,


2


900v0,
解得
1 53v30
，所以
v
的取值范围是
153,30
．


6


21．解 (1)△
ABC
的内角和
A
＋
B
＋C
＝π，由
A
＝
理，得
23
AC
＝·sin
B
＝·sin
x
＝4sin
x
.
sin
A
π
sin
3
π2π
，
B
>0，
C
>0，得0<
B
<.应用正弦定
33
BC
AB
＝

2π

－
x

. sin
C
＝4sin

sin
A

3

BC
∵
y＝
AB
＋
BC
＋
CA
，
2π
< br>2π

－
x

＋23

0<
x< br><

. ∴
y
＝4sin
x
＋4sin
< br>3

3

(2)
y
＝4(sin
x＋
＝43sin(
x
＋
∵
31
cos
x
＋sin
x
)＋23
22
π
)＋23.
6
ππ5πππ
<
x
＋<，∴当
x
＋＝，
66662
π
即
x
＝时，
y
取得最大值63.
3

22．解 (1)因为tan
C
＝
即
sin< br>C
sin
A
＋sin
B
＝，
cos
Ccos
A
＋cos
B
sin
A
＋sin
B，
cos
A
＋cos
B
所以sin
C
cos
A
＋sin
C
cos
B
＝cos
C
sin
A
＋cos
C
sin
B
，
即sin
C< br>cos
A
－cos
C
sin
A
＝cos
C< br>sin
B
－sin
C
cos
B
，得sin(
C
－
A
)＝sin(
B
－
C
)．
所以< br>C
－
A
＝
B
－
C
，或
C
－
A
＝π－(
B
－
C
)(舍)，
即2
C< br>＝
A
＋
B
，得
C
＝
π2π
，所以< br>B
＋
A
＝.
33
1
又因为sin(
B－
A
)＝cos
C
＝，
2
则
B
－< br>A
＝
π5π
，或
B
－
A
＝(舍去)． 66
π5πππ
得
A
＝，
B
＝.所以
A
＝，
C
＝.
41243
16＋2
(2)
S
△< br>ABC
＝
ac
sin
B
＝
ac
＝3＋3，
28

7

又
a
sin
A
＝
c
sin
C
，即
a
2
2
＝
c
3
2
.
得
a
＝22，
c
＝23.

8