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北京市2019高考押题金卷
理科数学
第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1
已知全集U=R ，A={x|x
2
﹣4x+3≤0}，B={x|log
3
x≥1}，则A∩ B=（ ）
A．{3} B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
2.
已知数列{a
n
}为等差数列，且满足a
1
+a5
=90．若（1﹣x）
m
展开式中x
2
项的系数等于数列{a
n
}的
第三项，则m的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
，则与夹角的余弦值为（ ）

3
已知单位向量，，满足
A． B． C． D．
1
2
4.设x
R
，则“x>
2
”是“
2xx10
”的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.

如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图 中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
体积为（ ）

A． B． C． D．4
_._

_._
6.
已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与
轴垂直，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（ ）
A．


8.
已知函数
A．[3﹣2ln2，2）

，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（ ）
B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2] D．[e﹣1，2）
B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）
9.
若目标函数z=kx+2y在约束条件
范围是 ．
10
若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是 ．
下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值
_._

_._

11
采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，…，960，
分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号 落入区间[1，450]
的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问 卷C，则抽到的人中，做问
卷B的人数为 ．
12.
直线
直线l的斜率为 ．
13. 已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y=8x交 于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，
则直线l的倾斜角为 ．
2
（t为参数）与圆C：（x+6）
2
+y
2
=25交于A，B两点 ，且，则
14.
若函数,,则不等式的解集是______.

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15.（本小题满分13分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.
(1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

16. （本小题满分13分）
某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙 两班，调查这两个班的学生在寒假
期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方 图（如图）．已知甲、乙
两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．
_._

_._

（Ⅰ）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；
（Ⅱ） 从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲
班学生的人数 为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

17.（本小题满分13分）
DAB60 ,ABAD2CD,
如图，四棱锥中
PABCD
中，底面ABCD是直角梯形， ABCD，
侧面
PAD
底面ABCD，
且
PAD
为等腰直 角三角形，
APD90
.
（Ⅰ）求证：
ADPB;

（Ⅱ）求平面
PAD
与平面PBC所成锐二面角的余弦值.









18.（本小题满分13分）
已知函数
f

x

=x
2
-3x3e
x
的定义域为

-2，t
< br>，设
f

-2

=m，f

t
< br>n
.
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数
f

x

在

-2，t

上为单调函数；
（Ⅱ）求证：
mn
；
（Ⅲ）若不等式
并证明
lnx< br>
f

x

7x2k

xlnx 1


k为正整数

对任意正实数恒成立，求的最大值，
x
e
14
ln82.08
）
.
（解答过程可参考使用以下 数据
ln71.95，
9
19.
(本题满分14分)
已知椭圆E：
（1）求椭圆E的方程；
（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与
_._
的离心率为，其右焦点为F（1，0）．
共线，与共线，且=0，求四边

_._
形PMQN的面积的最小值和最大值．

20.（本小题满分 14 分）
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
n
=2an
﹣2（n∈N）．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）设
T
k
≥T
n
恒成立；
（3）设
立，求λ的最小值．
，R
n
是数列{c
n
}的前n项和，若对任意n∈N
*
均有R
n
＜λ恒成
，b
1
=8，T
n
是数列{b
n
}的前n项和，求正整数k，使得对任意 n∈N均有
*
*
试卷答案

1A
【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．
【解答】解：A={x|x﹣ 4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|log
3
x≥1}={x|x≥3}，
则A∩B={3}，
故选：A
2D
【分析】利用等差数列的性质，求出 a
3
=45，利用（1﹣x）
m
展开式中x
2
项的系数等于 数列{a
n
}的第
三项，可得=45，即可求出m．
2
【解答】解 ：数列{a
n
}为等差数列，且满足a
1
+a
5
=2a3
=90，∴a
3
=45，
∵（1﹣x）
m
展开式中 x
2
项的系数等于数列{a
n
}的第三项，
∴=45，∴m=10，
故选D．
3D
【分析】设单位向量，的夹角为θ，根据
θ的值．
【解答】解：设单位向量，的夹角为θ，
_._
，得•（+2）=0，代入数据求出cos

_._
∵
∴•（+2）=
，
+2=0，
即1
2
+2×1×1×cosθ=0，
解得cosθ=﹣，
∴与夹角的余弦值为﹣．
故选：D．
4.A 5B
【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．
连接BD．
其体积V=V
B﹣PAD
+V
B﹣PCD

=
=．
故选：B．



6D
【解析】本题主要考查导数与导 数的几何意义，考查了存在问题与逻辑思维能
力.,因为曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的 切线都与
_._

_._
轴垂直，所以有两个不同的解，令,,< br>由得x>2，由得x<2,所以当x=2时，函数取得极小值，所以
a>
7A
【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，
那么：sinC=
cosC==
由
，
，解得b=2．
，可得sinB=
=
，
那么△ABC的面积
故选A

8A
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：
若m＜n，且f（m）=f（n），
则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，
则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，
则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，
则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），
设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1
则h′（n）=1﹣==，
当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，
_._

_._
当h′（x）＜0得0＜n＜1，
即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，
当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，
当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，
则3﹣2ln2≤h（n）＜2，
即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），
故选：A
9. 【gkstk答案】（﹣4，2）
【分析】作出不等式对应的平面 区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求
出k的取值范围．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=kx+2y得y=﹣x+，
要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，
则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，
∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率
即﹣1＜﹣＜2，
解得﹣4＜k＜2，
即实数k的取值范围为（﹣4，2），
故答案为：（﹣4，2）．

10.6
【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得
_._

_._
A=1，S=1
满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3，
满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7，
满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15，
满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31，
满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，
由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5；
所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次．
故答案为：6．
11.10
【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得 此等差数列的通
项公式为a
n
=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30 n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求．
【解答】解：由960÷32=30，故由题意 可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，
且此等差数列的通项公式为a
n
=9+（n﹣1）30=30n﹣21．
由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．
再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，
故做问卷B的人数为10，
故答案为：10．
12.±
（t为参数）与圆C：（x+6）
2
+y
2
=2 5联立，可得t
2
+12tcosα+11=0，
⇒（t
1
+t2
）﹣4t
1
t
2
=10，即可得出结论．
2
（t为参数）与圆C：（x+6）+y
2
=25联立，可得t
2
+12tc osα+11=0．
2
【分析】直线
|AB|=|t
1
﹣t
2
|=
【解答】解：直线
t
1
+t
2
=﹣12c osα，t
1
t
2
=11．
∴|AB|=|t
1
﹣t
2
|=
∴直线AB的斜率为±
故答案为±．
⇒（t
1
+t
2
）
2
﹣4t
1
t
2
=10 ，⇒cos
2
α=，tanα=±
．
，
13.或
_._

_._
【分析】设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别 为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC
中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为 K值，在直角三角形ABC中，得出直线AB的斜率．
【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F′，
过B作AE的垂线BC，
在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，
设|BF|=n，∵|AF|=3|BF|，∴|AF|=3n，
根据抛物线的定义得：|AE|=3n，|BF′|=n，
∴|AC|=2n，
在 直角三角形ABC中，tan∠BAC=
∴k
AB
=k
AF
=．
．
，满足题意．
=，
∴直线l的倾斜角为
根据对称性，直线l的倾斜角为
故答案为

14. 【gkstk答案】
(1,2)

或．
15. 【gkstk答案】(1)由c＝3asin C－ccos A及正弦定理，得
3sin Asin C－cos A·sin C－sin C＝0，
π
1
A－

＝， 由于sin C≠0，所以sin


6

2
ππ
5π
π
又06663
1
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4.
2
而a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，故b
2
＋c
2
＝8，解得b＝c＝2.
π
1
A－

＝， 由于sin C≠0，所以sin

6

2
ππ
5π
π
又06663
1
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4.
2
而a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，故b
2
＋c
2
＝8，解得b＝c＝2.

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_._


16.解：（1）由直方图知，（0.150+ 0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，
因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为．
所以甲、乙两班人数 均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（1 ）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7
人， ξ的所有可能取值为0，1，2，3.，，
，
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
P
．
0 1 2 3
．


17. 解：（Ⅰ）取
AD
的中点
G
，连结
PG、GB、BD
．
PAPD
，
PGAD
……………………………2分
ABAD
，且
DAB60
，
ABD
是正三角形，
BGAD
,
又
PGBGG
,
AD
平面
PGB
．
ADPB
． ……………………………5分
（Ⅱ） ∵侧面
PAD
底面
ABCD
，
又
PGAD
，
PG
底面
ABCD
．

PGBG
．∴直线
GA、GB、GP
两两互相垂直，
故以G
为原点,直线
GA、GB、GP
所在直线为
x
轴、
y
轴和
z
轴建立
如图所示的空间直角坐标系
Gxyz
．
设
PGa
，则可求得
P(0,0,a),A(a,0,0),
B( 0,3a,0)
，
D(a,0,0)
，
_._

_._
33
C(a,a,0)
．…………………………………………………7分
22
33
BC(a,a,0)
．
PB(0,3a,a)

22
设
n(x
0
,y
0
,z
0)
是平面
PBC
的法向量，则
nBC0
且
nPB 0
．


3
3
3
xy
0
,
axay0,

0
0



2
0

3
2


3ayaz0.
< br>z3y.
00

0

0
取
y
0< br>3
，得
n(1,3,3)
． …………………………………………9分
又平面
PAD
的法向量
n
1
GB(0,3a,0)
，
设平面
PAD
与平面
PBC
所成锐二面角为

,
则
cos


nn
1
nn
1

3a39

,
13
1393a
所以平面PAD
与平面
PBC
所成锐二面角的余弦值为
39
．…………… ………13分
13
2xxx
18. 解：（Ⅰ）因为
f

(x)(x3x3)e(2x3)ex(x1)e
………………1分
令
f

(x)0
，得：
x1
或
x0
；令
f

(x)0
，得：
0x1

所以
f(x)
在
(,0),(1,)
上递增，在
(0,1)上递减………………………………3分
要使
f(x)
在
[2,t]< br>为单调函数，则
2t0

所以
t
的取值范围为
(2,0]
…………………………………………………4分
（Ⅱ）证：因为
f(x)
在
(,0),(1,)
上递增，在
(0,1)
上递减，
所以
f(x)
在
x1
处取得极小值
e

又
f(2)
13
e
，所以
f(x)
在
[2 ,)
的最小值为
f(2)
………………………6分
2
e从而当
t2
时，
f(2)f(t)
，即
mn

………………………………………8分
（Ⅲ）
即
x
f(x)7x2k(xlnx1)
等价于
x
2
4x1k(xlnx 1)

x
e
k1
4klnx0
…………………… …………………9分
x
_._

_._
记
g(x )x
则
g

(x)1
k1
4klnx
，
x
k1k(x1)(xk1)
，

22
xxx
由
g

(x)0
，得
xk1
， 所以
g(x)
在
(0,k1)
上单调递减，在
(k1, )
上单调递增，
所以
g(x)g(k1)k6ln(k1)

g(x)0
对任意正实数
x
恒成立，
等价于
k6l n(k1)0
，即
1
记
h(k)1
则
h(x) 
6
ln(k1)0
………………………………11分
k
6
ln(k1)
，
k
61
0
，
x
2
x1
所以
h(x)
在
(0,)
上单调递减，
又
h(6)2ln7 0
，
h(7)
13
ln80
，
7
所以< br>k
的最大值为
6
………………………………………12分
当
k6
时，由
x4x16(xlnx1)

2
令
x3
，则
ln3


14
………………………………………13分
9
1
9解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==
b=a﹣c=1，
故椭圆方程为；…（4分）
222
，由c=1，则a=，
（2）如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（1，0），
且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），
则PQ的方程为y=k（x﹣1），P（ x
1
，y
1
），Q（x
1
，y
1
），
_._

_._
则，整理得：（1+2k
2
）x< br>2
﹣4k
2
x+2k
2
﹣2=0，
x
1
+x
1
=，x
1
x
2
=，
则丨PQ丨=•，于是，…（7分）
同理：．
则S=丨PQ丨丨MN丨=，令t=k+
2
，T≥2，
S=丨PQ丨丨MN丨=
的增函数，
=2（1﹣），当k=±1时，t=2，S=， 且S是以t为自变量
当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值．
当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2．
综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2．


20.
解：（1）由S
n
=2a
n
﹣2，得S
n+1
=2 a
n+1
﹣2两式相减，得a
n+1
=2a
n+1
﹣2a< br>n

∴a
n+1
=2a
n

数列{a
n
}为等比数列，公比q=2
又S
1
=2a1
﹣2，得a
1
=2a
1
﹣2，a
1
=2∴< br>（2）


，
方法一当n≤5时，≥0

_._

_._ < br>因此，T
1
＜T
2
＜T
3
＜T
4
= T
5
＞T
6
＞…
∴对任意n∈N
*
均有T
4
=T
5
≥T
n
，故k=4或5．
方法二
（

两式相减，得
=（6﹣n）•2﹣12，
， < br>当1≤n＜4，T
n+1
＞T
n
，当n=4，T
4
= T
5
，当n＞4时，T
n+1
＜T
n
，
综上，当且仅当k=4或5时，均有T
k
≥T
n

（3）∵
n+1
，
∴
∵对任意n∈N均有
∴，
*
=
成立，

所以λ的最小值为．

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