与美同行作文-室内设计专业介绍

单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）




第5单元 解三角形





注意事项：




1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形


号
码粘贴在答题卡上的指定位置。

位
封
座< br>2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂


黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。



3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草




稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
密



4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。





号
第Ⅰ卷
不
场
考
一、选 择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符


合题目要求的．





1．在
△A BC
中，若
BC2
，
AC2
，
B45
，则 角
A
等于（ ）

订




A．
30
B．
60
C．
120
D．
150




2．若△

ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．若
a
=2，
b
=3，
c
=4，则cos
C
=（ ）



装

号
A．

1
4
B．
1
C．

2
2
4
3
D．
3

证
考
3．在△
ABC
中，角
A< br>，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知
a27
，
b4
，
A120
，
准


则△
ABC
的面积为（ ）
只




A．2 B．
3
C．4 D．

23





4．△
A BC
中，
B60
，
b
2
ac
，则△
ABC
一定是（ ）


卷


A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形




5．钝角△
ABC
中，若
a1
，
b2
，则最大边
c
的取值范围是（ ）
名
姓
A．


5,3

B．

2,3

C．

5,4

D．

5,7


此





6．如图，在△
ABC中，
B45
，
D
是
BC
边上一点，
AD 27
，
AC6
，
DC4
，则
AB
的长为




（ ）



级
班



A．
2
B．
36
C．
33
D．
32

7．如图，从气 球
A
上测得正前方的河流的两岸
B
，
C
的俯角分别为
75
，
30
，此时气球的高度是
60m
，则河流的宽度是（ ）

A．
240

31

m
B．
180

21

m

C．
30

31

m
D．
120

31

m

8．已知
△A BC
的面积为

3
uruuur
6
AB
uu
AC
，则角
A
的大小为（ ）
A．
60
B．
120
C．
30
D．
150

9． 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设
△ABC
的三
个内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，面积为
S< br>，则“三斜求积”公式为
S
1

2
2
4


a
2
c
2



ac
2
b
2




，若
a
2< br>sinC2sinA
，
(ac)
2
6b
2
， 则用“三斜求积”公式求得


2



△ABC
的面积为（ ）
A．
3
2
B．
3
C．
1
2
D．1
10．已知
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
AD
为角
A
的角平分线，交
BC
于< br>D
，
B
π
4
，
AD22
，
BD 2
，则
b
（ ）
A．
22
B．
2
C．
3
D．
6

11．已知在
△ABC
中，
a
，
b
，
c
分别为内角
A< br>，
B
，
C
的对边，
A60
，
a2< br>，则
△ABC
周长
的取值范围是（ ）
A．
(0,6)
B．

4,222


C．
(4,6]
D．


4,222



12．在平面四边形
ABCD
中，
ABC75
，
BC2
，则< br>AB
的取值范围是（ ）
A．

2,6

B．

22,62


C．

2,62

D．

62,62



第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在
△ABC
中，角A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，角
C
等于
60 
，若
a4,b2
，则
c
的长为_______．
1

14．在
△ABC
中，
A
π
，
b1
，
a3
，则
△ABC
的面积为______．
3

15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇 宙秘密的最后遗产”，我
18．（12分）已知
VABC
的内角
A,B,C< br>的对边分别为
a,b,c
，若
sin
2
B2sinAsin C
．
国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊 瑚群岛
（1）若
ab2
，求
cosB
；
（2）若B90
且
a2
，求
VABC
的面积．
上取两点，，测得，，，，则，两

点的距离为______．







16．在
VABC
中，角A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b，
c
，若
acosBbcosA
absinC
asinA bsinBcsinC
，

且
ab3
，则
c
的取值范围为_______．



三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在
VABC
中，
B45,AC10
，且< br>cosC
25
5
．

（1）求
BC
边长；
（2）求
AB
边上中线
CD
的长．













2

19．（12分）如图，在四边形
ABCD
中，
A60
，
 ABC90
．已知
AD3
，
BD6
．



20．（12分）已知
a
，
b
，
c
分别 是
VABC
内角
A
，
B
，
C
的对边．角< br>A
，
B
，
C
成等差数列，
sinA
，
sinB
，
sinC
成等比数列．

（1）求
sinAsinC
的值；
（2）若
a2
，求
VABC
的周长．
（1）求
sinABD
的值；
（2）若
CD2
，且
CDBC
，求
BC
的长．






















3

21．（12分）某市欲建一个 圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺
次连通，其中，，的位置已确定，，（ 单位：百米），记，且已知圆的
内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：

（1）如果，求四边形的区域面积；
（2）如果圆形公园的面积为
28π
3
万平方米，求的值．






















22．（12分）已知
VABC
的内角
A
，
B< br>，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，< br>0B
π
2
，
b
3
6
，
a2
c
2

sinAsinCtanB
1
12
．
（1）求内角
B
的大小；
（2）求
(ac2b)(ac2b)
的最大值．








4

单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）
第5单元 解三角形 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求 的．
1．【答案】A
【解析】由正弦定理可得
BC
sinA
< br>AC
22
sinB
，所以
sinA

2
，所 以
sinA
1
，
2
2
因
BCAC
， 所以
AB45
，故
A
为锐角，所以
A30
，故选 A．
2．【答案】A
【解析】
a
=2，
b
=3，
c
=4，根据余弦定理得到
cosC
b
2
a
2
c
2
2ab

94161
12

4，
故答案为A．
3．【答案】D
【解析】因为
a27
，
b4
，
A120
，所以由余弦定理
a
2
b
2
c
2
2bccosA
，可得
c2
， 所以△
ABC
的面积为
1
2
bcsinA23
．故选 D．
4．【答案】D
【解析】△
ABC
中，
B60
，
b
2
ac
，
cosB
a
2
c2
b
2
2ac

1
2
a
2
c
2
2ac0

ac

2
0
，故
得到
ac
，故得到角
A
等于角
C
，三角形 为等边三角形．故答案为D．
5．【答案】A
因为钝角△
ABC
，所以< br>cosC=
a
2
+b
2
-c
2
【解析】2ab
<0
，
1+4-c
2
<0
，
c>5，
又因为
cab3
，
5c3
，故选A．
6．【答案】B
【解析】由余弦定理可得
cosC
=
4
2
+
6
2
-
(27)
2
1
2创46
=
2
，
C=60?
，
3
Q
AB
sinC
×
AC
×
6
sinC
=
AC
sinB，得到
AB
=
sinB
=
2
2
=
36
，故选B．
2
7．【答案】D
【解析】由题意可知：
ABC 105
，
BAC45
，
A(2,m)
，

AC
60
sinC

60
sin30
120，由正弦定理
BC
sinBAC

AC
sinABC
，
得
BC
ACsinBAC120sin4560
sinABC

sin105

2
sin60cos45cos60s in45
120

31

，
即河流的宽度
120

31

m
，本题正确选项D．
8．【答案】D
【解析】
Q
u
AB
uur

u
AC
uur
cbcosA
，又
△ABC
的面积为

3uuuruuur
6
ABAC
，
S
1
2
bcsinA
3
6
bccosA
，则
tanA
3
3
，
又
A(0,π)
，
A150
，故选D．
9．【答案】A
【解析】
Qa
2
sinC2sinA
，
a
2
c2a
，
ac2
，
因为
(a c)
2
6b
2
，所以
a
2
c
2< br>2ac6b
2
，
a
2
c
2
b2
62ac642
，
从而
△ABC
的面积为
1


2

2
2

3
4


2


2




，故选A．

2
10．【答案】A
【解析】因为
AD22
，
BD2
，
B
π
AD
4
，由正弦定理得
sinB

BD
sinBAD
，
222
即
sin
π

sinBAD
，解得
sinBA D
1
，
4
2
又由
BAD


0,
π

2


，所以
BAD
π
6
，则
BAC
π
3
，所以
Cπ

π
3

π
4

5π
12
，
又因为
ADCBBAD
5π
12
，所以△ADC
为等腰三角形，所以
bAD22
，故选A．
11．【答案】 C
【解析】根据三角形正弦定理得到
abc
sinA

sinB< br>
sinC

4
3
，
变形得到
b
4
3
sinB,c
4
3
sinC,l2
44
3
sinB
3
sinC
，
因为
BC
2
3
π
，
l2
44
3
sinB
3
sin


2

π


3
πB


223sinB2c osB24sin


B
6


，
B



0,
2
3
π

< br>
,B
π
6



π

6
,
5π

6


sin


π

1


B
6





2
,1


，
l

4,6

，故答案为C．
1

12．【答案】D
【解析】

由题意，平面四 边形
ABCD
中，延长
BA
、
CD
交于点
E
，
∵∠
B
＝∠
C
＝75°，∴△
EBC
为等腰 三角形，∠
E
＝30°，
若点
A
与点
E
重合或在 点E右方，则不存在四边形
ABCD
，
当点
A
与点
E重合时，根据正弦定理
AB
sinECB

BC
sinBE C
，
算得
AB62
，∴
AB62
，
若 点
D
与点
C
重合或在点
C
下方，则不存在四边形
A BCD
，
当点
D
与点
C
重合时∠
ACB
＝30°，
根据正弦定理
AB
sinACB

BC
sinBAC
，算得
AB62
，∴
AB62
，
综上所述，
AB
的取值范围为
62AB62
．故选D．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
23

【解析】因为角
C
等于
60
，
a4,b2
，
所以由余弦定理可得
c
2
a
2
b
2
 2abcos60164242
1
2
12
，
所以
c=23
，故答案为
23
．
14．【答案】
3
2

【解析】
QA
π
3
，
b1
，
a3
，
3

由正弦定理 可得
3

1
sinB
，解得
sinB
1
2
2
，
Qba
，
BA
，
B
π
6
，可得
C
π
AB
π
2
，

S
11π3
△ABC

2
absinC2
31sin
2

2
，本题正确结果
3
2
．
15．【答案】
【解析】由已知，△
ACD
中，∠
ACD
＝15°，∠
ADC
＝150°，∴∠
DAC
=15°， < br>由正弦定理得
AC
80sin150

40
sin15
62
40

62

，
4
△
BCD
中，∠
BDC
＝15°，∠
BCD
＝135°，∴∠
DBC
=30°，
由正弦定理，
CDBC
sinCBD

sinBDC
，
所以
BC
CDsinBDC
sinCBD

80 sin15
1
160sin1540

62

，
2
△
ABC
中，由余弦定理，
AB
2
AC
2
BC
2
2ACBCcosACB

1600

843

1600

843

21 600

62



62


1
2

16001616004160020
，
解得
AB805
，
则两目标
A
，
B
间的距离为，故答案为．
16．【答案】


3


2
,3



【解析】因为
sinCsin

AB

sinAco sBcosAsinB
，
所以由正弦定理可得
acosBbcosAc
，
又因为
aco sBbcosA
absinC
asinAbsinBcsinC
，
所以由正弦定理可得
c
abc
a
2
b
2
c< br>2
，
即
a
2
b
2
c
2
ab
，所以
c
2
a
2
b
2
ab (ab)
2
3ab
，

a
2
因为
ab3
，所以
c
2
93ab
，因为
ab

b

9

2



4
，
当且仅当
ab
3
2
时取等号，所以

2 7
4
3ab0
，
所以
993

3
4
93ab9
，即
4
c
2
9
，所以2
c3
，故
c
的取值范围为


2
,3



．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）
32
；（2）
13
．
2

【解析】（1）
QC(0,π)
，
sinC 1cos
2
C
5
5
，
sinAsin(πBC )sinBcosCcosBsinC
310
10
，
由正弦定理 可知中：
BCACACsin
sinA

sinB
BC
A
sinB
32
．
（2）由余弦定理可知：
ABAC2
BC
2
2ACBCcosC101821032
25
5
2
，
D
是
AB
的中点，
故
BD1
，
在
△CBD
中，由余弦定理可知：
CDBC
2
BD
2
2BCBDcosB181232 1
2
2
13
．
18．【答案】（1）
1
4
；（2）2．
【解析】
Qsi n
2
B2sinAsinC
，由正弦定理可得
b
2
=2a c
，
（1）
Qab2，c1
，由余弦定理
cosB
a
2
c
2
b
2

1
2ac
，可得
cosB
4
．
（2）
QB90
，由勾股定 理可得
b
2
a
2
c
2
2ac(ac)< br>2
0ac2
，
S
1
2
ac
1
△ABC

2
222
．
19．【答案】（1）
6
4
；（2）
BC1
．
【解析】（1）在
△ABD
中，由正弦定理，得
ADBD
sinABD
sinA
．
因为
A60,AD3,BD6
，
所以
sinABD
AD
BD
sinA
36
6
sin60
4
．
（2）由（1）可知，
sinABD
6
4
，
因为ABC90
，所以
cosCBDcos

90ABD< br>
sinABD
6
4
．
在
△BCD
中，由余弦定理得
CD
2
BC
2
BD
2
2B CBDcosCBD
．
因为
CD2,BD6
，所以
4B C
2
62BC6
6
4
，
即
BC
2
3BC20
，解得
BC1
或
BC2
．
又
CDBC
，则
BC1
．

20．【答案】 （1）
sinA?sinC
3
4
；（2）
VABC
的周长为
32
．
【解析】（1）角
A
，
B
，
C< br>成等差数列，
2BAC
，即
B60
，
2
QsinA,sinB，sinC
=
骣
成等比数列，

sinA
?
sinCsin
2
B
琪
33
琪
=
桫< br>24
．
（2）由（1）可知
sinA?sinCsin
2
B
，即
acb
2
，
由余弦定理可得
b
2
=a
2
+c
2
-2accos60?
，
化简得
( ac)
2
0
，即
ac2
，
b=ac=2
，
a+b+c=32
，因此
VABC
的周长为
32
．
21．【答案】（1）；（2）
1
2
或
1
7
．
【解析】（1）∵
ADCABCπ，cosADCcos

，
在和中分别使用余弦定理得：
，得
cos


1
7
，
∴
sinADCsin


43
7
，
∴四边形的面积
SS
1
△ABC
S
△ADC
2

BABCDADC

sin



143
2

2644


783
．
（2）∵圆形广场的面积为
28π
3
，∴圆形广场的 半径
R
221
3
，
在中由正弦定理知：
AC2Rsi n


421
3
sin

，
在中由余弦定理知：，
∴


421

2

3
sin



4024cos

，化简得，

解得
cos


1
2
或
cos


1
7
．
22．【答案】（1）B
π
6
（2）
13
3
．
【解析】（1）
Qb
3
6
，
a
2
c
2
si nAsinCtanB
1
12
，
a
2
c
2
sinAsinCtanBb
2
，即
a
2
c
2
b
2
sinAsinCtanB
，
由余弦定理得
2 accosBsinAsinCtanB
，

2ac
sinAsinC
tanB
cosB
，
3

由正弦定理得
2b
2
tanB
sin
2
B
< br>cosB
，即
2b
2
cosBsin
2
BtanB
，

1
6
cos
2
Bsin
3
B
，
1sin
2
B6sin
3
B
，即6sin
3
Bsin
2
B10
，
变形得
(2sinB1)(3sin
2
B2sinB1)0
，解得
sin B
1
2
，
Q0B
π
2
，∴
B
π
6
．
（2）
Qb
3
6
，
B
π
6
，∴由余 弦定理得
a
2
c
2
2accos
π1
6

12
，
化简得
a
2
c
2
3ac 
1
2
1
12
，
(ac)(23)ac
12
，
Qac
(ac)
2
(23)(ac
4，
(23)ac
)
2
4
，
(ac)< br>2
(23)ac
(23)(ac)
2
4
，

(23)(ac)
2
1
4

12
，
(ac)
2

23
3
，
(ac2b)(a c2b)(ac)
2
4b
2

13
3
，当且仅当
ac
时等号成立，
∴
(ac2b)(ac2b)的最大值为
13
3
．


4