法制小报-库房工作总结

合肥市2020届高三第一次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷
(60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只
有 一项是符合题目要求的.

1.已知集合
A

xx
2x20

，
B

x2x10

， 则
AUB
( ).

1


1

1



B.

，
A.

1，



1

C.

， 2

D.

，

2

2


2
2.设复数
z
满足
z1zi
(
i
为虚 数单位)，
z
在复平面内对应的点为(
x
，
y
)，则
( ).
A.
yx
B.
yx
C.

x1



y1

1
D.

x1



y1
1

3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和
“21世纪海上丝绸之路”的简 称，旨在积极发
展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政
治互信、经济融合、文化包容的命 运共同体.
自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.
右图是2013-2017年，我 国对“一带一路”沿
线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是
．．
( ).
A.这五年，2013年出口额最少
B.这五年，出口总额比进口总额多
C.这五年，出口增速前四年逐年下降
D.这五年，2017年进口增速最快
4.下列不等关系，正确的是( ).
A.
log
2
3 log
3
4log
4
5
B.
log
2
3log
4
5log
3
4

C.
lo g
2
3log
4
5log
3
4
D.
log
2
3log
3
4log
4
5

5.已知等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
a
1
3
，
2a
43a
7
9
，则
S
7
的值等于( ).
2222
A.21 B.1 C.-42 D.0

6.若执行右图的程序框图，则输出
i
的值等于( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
2
x
2
x
7.函数
y
的图象大致为( ).
xcosx

8.若函数
f

x

sin2x
的图象向右平移
列说法正确的是( ).
A.
g

x

的图象关于
x

12
11
个单位得到的图象对应的函数为
g

x

，则下6
对称 B.
g

x

在
< br>0，

上有2个零点

3






5


gx
， 0

C.
g

x

在区间

，
上单调递减 D.在上的值域为
， 0






2

2
36



x
2
y
2
9.已知双曲线
C：
2

2
1
(< br>a0，b0
)的左右焦点分别为
F
1
，F
2
，圆
F
2
与双曲线
C
ab
uuuuruuuuur
的渐 近线相切，
M
是圆
F
2
与双曲线
C
的一个交点.若
F
1
MF
2
M=0
，则双曲线
C
的离心 率等
于( ).
A.
5
B.2 C.
3
D.
2

10.射线测厚技术原理公式 为
II
0
e


t
，其中
I
0
，I
分别为射线穿过被测物前后的强度，
e
是自然对数的底数，
t
为被测物厚度，

为被测物的密度，

是被测物对射线的吸收系数.
工业上通常用镅241(
241
Am
)低能

射线测量钢板 的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度
为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，
ln20.693 1
，结果
精确到0.001)
A.
0.110
B.
0.112
C.
0.114
D.
0.116

11.已知正方体
ABCDA
1
B1
C
1
D
1
，过对角线
BD
1
作平面

交棱
AA
1
于点E，交棱
CC
1
于点< br>F，则：
①平面

分正方体所得两部分的体积相等；
②四边形
BFD
1
E
一定是平行四边形；
③平面

与平面
DBB
1
不可能垂直；

④四边形
BFD
1
E
的面积有最大值.
其中所有正确结论的序号为( ).
A.①④ B.②③ C. ①②④ D. ①②③④
x

x0

e，
12.已知函数
f

x



x
，则函数
F

x

f

f

x


ef

x

的零点个数
xex1lnx，x0


为( ) (
e
是自然对数的底数).
A.6 B.5 C.4 D.3

第Ⅱ卷


(90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都 必须作
答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
r
rr
rr
2

，且
a
∥
a2b
，则
m
的值等于 . 13.已知向量
a
(1，1)，
b

m，
14.直线
l
经过抛物线
C
：
y
2
12x< br>的焦点
F
，且与抛物线
C
交于
A
，
B
两点，弦
AB
的
长为16，则直线
l
的倾斜角等于 .
15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思
想 为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视
听学习”等多 个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者
准备学习这2篇文章和其中 2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种.
16.已知三棱锥
A BCD
的棱长均为6，其内有
n
个小球，球
O
1
与三棱锥< br>ABCD
的四个
面都相切，球
O
2
与三棱锥
AB CD
的三个面和球
O
1
都相切，如此类推，…，球
O
n与三棱锥
且
nN

)，则球
O
1
的体积等于 ，球
O
n
ABCD
的三个面和球
O
n1
都相切 (
n2
，
的表面积等于 .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
在
ABC
中，内角
A，B，C所对的边分别为
a，b，c
，若
a2
，
acosCccos A2bcosB0
.
(1)求
B
；
(2)若
BC< br>边的中线
AM
长为
5
，求
ABC
的面积.

18.(本小题满分12分)
“ 大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源
众多，自然风光秀美 ，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”
项目，某旅游学校一位实习生， 在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、
民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几 年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学
校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
研学游类
型
学校数
科技体验
游
40
民俗人文
游
40
自然风光
游
20
该实习生 在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统
计的频率代替学校选择研学 游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一
类，且不受其他学校选择结果的影响)：
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型
都有 学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期
望.


19.(本小题满分12分)
如图，已知三棱柱
ABCA< br>1
B
1
C
1
中，平面
AAC
11
C 
平面
ABC
，
AA
1
AC
，
ACB C
.
A
1
C
1
B
1
(1)证明：
A
1
CAB
1
；
(2)设
AC2CB
，< br>A
1
AC60
，求二面角
C
1
AB
1
B
的余弦值.


20.(本小题满分12分)
A< br>o
C
B
x
2
y
2
设椭圆
C:
2

2
1
(
ab0
)的左右顶点为
A1
，A
2
，上下顶点为
B
1
，B
2
， 菱形
A
1
B
1
A
2
B
2
ab的内切圆
C

的半径为
2
，椭圆的离心率为
(1)求椭 圆
C
的方程；
2
.
2
(2)设
M，N
是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点
P
满足
PMPN
，试判断直线
PM，PN
与圆
C

的位置关系，并证明你的结论.

21.(本小题满分12分)
1x
2
已知函数
f

x


x
(
e
为自然对数的底数).
e
(1)求函数
f

x

的零点
x
0
，以及曲线
yf

x
在
xx
0
处的切线方程；
1

(2)设方程f

x

m
(
m0
)有两个实数根
x
1
，
x
2
，求证：
x
1
x
2
2m

1

.

2e



请考生在第22、23题中任选一题作答.注 意：只能做所选定的题目，如果多做，则按
所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上， 将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程


x3

在直角坐标系
xOy
中，直线
l< br>的参数方程为


y1


2
t
2
(
t
为参数)，在以坐标原点为极
2
t
2
点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
的方程为

4c os

6sin

.
(1)求曲线
C
的直角坐标方程；
(2)设曲线
C
与直线
l
交于点
M，N
，点
A
的坐标为(3，1)，求
A MAN
.


23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
4

. 已知函数
f

x

xm x2
(
mR
)，不等式
f

x2

0
的解集为

，
(1)求
m
的值；
(2) 若
a0
，
b0
，
c3
，且
a2bc2 m
，求

a1

b1

c3

的最大值.

合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号
答案

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.-2 14.
3分)

三、解答题：大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
解：(1 )在
ABC
中，
abc
，且
acosCccosA2bcos B0
，

sinAsinBsinC
6


2

或15.72 16.
6

，
n1(第一空2分，第二空
4
33

1
A
2
B
3
C
4
D
5
D
6
B
7
A
8
B
9
A
10
C
11
C
12
B
∴
si nAcosCsinCcosA2sinBcosB0
，∴
sinB12cosB 0
，
又∵
sinB0
，∴
cosB
2
.
2
3

. ………………………………5分
4
3

，ABc
，
4

∵
B
是三角形的内角， ∴
B
(2)在< br>ABM
中，
BM1，AM5，B
2
由余弦定理得
AM
2
c
2


BM

2cBMco sB
，∴
c
2
2c40
，
∵
c0
，∴
c2
.
在
ABC
中，
a2
，
c2
，
B
1
2
3

，
4
∴
ABC
的面积
SacsinB1
. ………………………………12分

18.(本小题满分12分)
21
(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为， 55
∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都


2

1

1

2

18
有学校选择的概率为：. ………………………………5
PC

C
3
2



5

5

5

5

125
2
3
22
分
(2)
X
可能取值为0，1，2，3.
27
54

3

1

2

3

则
P

X0

C


，
P

X1

C
3
，

5125
55125


0
3
3< br>2
8

2

3

36

2

，
P

X3

C
3
3< br>

，
P

X2

C
 

55125
5125


2
32
3
∴
X
的分布列为
X

0
27

125
1
54

125
2
36

125
3
8

125
P

∴
EX0
或解
27543686
123
. ……………………………12分
55
：∵随机变量
X
服从
< br>2

X
∼
B

3
，

< br>
5

，∴
EXnp3
26

. ……………………………12分
55

19.(本小题满分12分)
(1)连结
AC
1
.
∵
AA
1
AC< br>，四边形
AACAC
1
.
11
C
为菱形，∴AC
1
∵平面
AAC
11
C
平面
ABC，平面
AAC
11
CI
平面
ABCAC
，
BC
平面
ABC
，
BCAC
，
∴
BC
平面
AAC
11
C
.
又∵BCB
1
C
1
，∴
B
1
C
1

平面
AAC
.
11
C
，∴
B
1
C
1
AC
1
∵
AC
1
IB
1
C
1
C
1
，
∴
A
1
C
平面
AB
1
C
1
，而
AB
1

平面< br>AB
1
C
1
，
∴
A
1
CAB
1
. …………………………5分
(2)取
A
1
C
1
的中点为< br>M
，连结
CM
.
o
∵
AA
1
A C
，四边形
AAC
1
AC60
，∴
CMAC
1 1
C
为菱形，
A
11
，
CMAC
.
又∵
CMBC
，以
C
为原点，
CA，CB，CM
为正方向 建立空间直角坐标系，如图.
设
CB1
，
AC2CB2
，< br>AA
1
AC
，
A
1
AC60
o
，

∴
C
(0，0，0)，
A
1
(1，0，
3
)，
A
(2，0，0)，
B
(0，1，0) ，
B
1
(-1，1，
3
).
uuuv
由(1)知 ，平面
C
1
AB
1
的一个法向量为
CA
1
1，0，3
.

vuuuv
v
vuuuvvuuuuv


nAB0
nAB
1
，∴

vuu u
设平面
ABB
1
的法向量为
n

x，y，z< br>
，则
nAB，
.
uv


nAB< br>1
0
uuuv
uuv


2xy0
1， 0

，
AB
1
3，
∵
AB

2，
.
1， 3
，∴

3xy3z0



令
x1
，得
y2，z
1
3
，即
n

1，2，

.

3

v

1

uuuvv
u uuvv
CA
1
n
∴
cosCA
1
，
n
uuuvv

CA
1
n
2
2
1 6
3

3
，
4
∴二面角
C
1
 AB
1
B
的余弦值为


20.(本小题满分12分)
3
. ……………………………12分
4
(1)设椭圆的半焦 距为
c
.由椭圆的离心率为
设圆
C

的半径为
r< br>，则
ra
2
b
2
ab
，
2
知，
bc，a2b
.
2
∴
23b2b
2
，解得
b3
，∴
a6
，
x
2y
2
∴椭圆
C
的方程为
1
. ……………………………5
63
分
(2)∵
M，N
关于原点对称，
PMPN
，∴
OPMN
.
设
M

x
1
，y
1

，
P

x
2
，y
2

.
当直线
PM
的斜率存在时，设直线
P M
的方程为
ykxm
.
由直线和椭圆方程联立得
x
2
2

kxm

6
，即

12k< br>2

x
2
4kmx2m
2
60
，
2
4km

xx
12

2k
2< br>1
∴

.
2
2m6

xx
12

2k
2
1

uuuuvuuuv
∵
OM

x
1
，y
1

，
OP

x
2
，y
2

，
uuuuvuuuv
OMOPx
1
x
2
y
1
y
2
x
1
x
2


kx
1
m
kx
2
m

∴
22
2
3m2k2
2m64km
0


1k
2
< br>x
1
x
2
km

x
1
x
2

m
2


1k
2


2
km
2
m
2

2k
2
 1
2k12k1
，

∴
m
2
2k
2
20
，
m
2
2k
2
2< br>，
∴圆
C

的圆心O到直线
PM
的距离为
m
k1
2
2r
，∴直线
PM
与圆
C

相切.
当直线
PM
的斜率不存在时，依题意得
N
x
1
,y
1

，
P

x
1
,y
1

.
x
1
2
y
1< br>2
由
PMPN
得
2x
1
2y
1
，∴
xy
，结合
1
得
x
1
2
2< br>，
63
2
1
2
1
∴直线
PM
到原 点O的距离都是
2
，
∴直线
PM
与圆
C

也相切.
同理可得，直线
PN
与圆
C

也相切.
∴直线
PM
、
PN
与圆
C

相切. …………………………12分

21.(本小题满分12分)
1x
2< br>(1)由
f

x


x
0
，得< br>x1
，∴函数的零点
x
0
1
.
e
x
2
2x1
，
f


1

2e
，
f

1

0
.
f


x


e
x
曲线
yf
< br>x

在
x1
处的切线方程为
y2e

x1

.
2
f


1


，
f

1

0
，
e
∴曲线< br>yf

x

在
x1
处的切线方程为
y 
x
2
2x1
(2)
f


x


.
e
x
2

x1

.………………………5分
e
当
x， 12U12， 
时，
f


x

0
；当
x12， 12
时，
f


x

0
.
∴
f

x

的单调递增区间为
， 12， 12， 
，单调递减区间为
12， 12
.
由(1)知，当x1
或
x1
时，
f

x

0
；当
1x1
时，
f

x

0.
1

时，
2e

x1

 f

x

. 下面证明：当
x

1，
1

时， 当
x

1，

 
x
2
1x1
2e

x1

f

x

2e

x1


x< br>0e
x1
0
.
2
e
易知，
g< br>
x

e
x1

而
g

1

0
，
x1
1

上单调递增， 在
x

1，
2
1

恒成立， ∴
g

x

g

1

0
对< br>x

1，

1

时，2e

x1

f

x

. ∴当
x

1，
由

y2e

x1< br>
mm

得
x1
.记
x
1
< br>1
.
2e2e


ym
不妨设
x< br>1
x
2
，则
1x
1
12x
2< br>1
，

m

∴
x
1
x
2
x
1

x
2
x
2
x
1

x
2


1

.
< br>2e

1

1

m

要证< br>x
1
x
2
2m

1

，只 要证
x
2


1

2m

1

，即证
x
2
1m
.

2e< br>
2e

2e

1x
2
2
1 x
2
2
又∵
m
x
2
，∴只要证
x2
1
x
2
，即

x
2
1



e
x
2


x
2
1


0
.
ee
∵
x
2
12， 1
，即证
e
x


x
2
1

0
.
2
令


x

e
x


x1

，



x

ex
1
.
当
x12, 0
时，


x

0
，


x

为单 调递减函数；
当
x

0,1

时，



x

0
，


x

为单调递增函数.
∴


x




0

0
，∴
e
x


x
2
1

0
，
2

1

∴
x
1
x
2
2m

1

. …………………………12分

2e


22.(本小题满分10分)
(1)曲线
C
的方程

4 cos

6sin

，∴

2
4
< br>cos

6

sin

，∴
x
2
y
2
4x6y
，
即曲线
C
的直角坐标方程 为：

x2



y3

13. …………………………5分


x3

(2) 把直线
l:


y1


2
2
t

22

2
2
代入曲线得
1t2
C




t13
，
22< br>2

t
2
22
整理得，
t
2
32t80
.
∵
32320
，设
t
1< br>，t
2
为方程的两个实数根，则
t
1
t
2
32
，
t
1
t
2
8
，∴
t
1
，t
2
为异号，

2
又∵点
A
(3，1)在直线
l
上，
∴
AMANt
1
t
2
t
1
t
2


t
1
t
2

2
4t< br>1
t
2
5052
.
…………………………10分

23.(本小题满分10分)

4

， 解：(1)∵
f

x

xmx2
，∴
f

x2

xm2x0
的解集为

，
∴
xm2x
，解得
m28
，即
m6
. …………………………5
分
(2)∵
m6
，∴
a2bc12
.
又∵
a0
，
b0
，
c3
，
∴
a1

b1

c3



a1

2b2

c3


2
3
33
1


a1


2b2



c3


1
a2bc

1

12







32
，
2

32

32

3


当且仅当
a12b2c 3
，结合
a2bc12
解得
a3
，
b1
，
c7
时，等号成立，
∴

a1

b 1

c3

的最大值为32.
10分



…………………………