武汉17中-2012山东数学

2018
年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）

题号
得分
一

二

三

总分


一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.

已知集合
A={x|-x
2
+4x≥0}
，
（ ）
A.
{2
，
4}

C.
{0
，
2
，
4}

2.

设i
是虚数单位，若
，
C={x|x=2n
，
n
∈
N}
，则（
A
∪
B
）
∩C=
B.
{0
，
2}

D.
{x|x=2n
，
n
∈
N}

，
x
，
y
∈
R
，则复数
x+yi
的共轭复数是（

）
A.
2-i

B.
-2-i

C.
2+i

D.
-2+i

3.

已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和是
S< br>n
，且
a
4
+a
5
+a
6
+a7
=18
，则下列命题正确的是（ ）
A.
a
5
是常数
B.
S
5
是常数
C.
a
10
是常数
D.
S
10
是常数
4.

七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它
是由五块等腰 直角三角形（两块全等的小三角形、一块中
三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取
一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A.

B.

C.

D.

5.

已知点
F
为双曲线
C
：（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点，直线
x=a
与双曲线的渐
近线在第一象限的交点为
A
，若
AF
的中点在双曲线上 ，则双曲线的离心率为（ ）
A.

B.

则
C.

（ ）
D.

6.

已知函数
A.
2+π

B.

C.

D.

7.

执行如图所示的程序框图，则输出的
S
的值为（ ）


A.
8.

已知函数

B.

C.

D.

（
ω
＞
0
）的相邻两个零点差 的绝对值
为，则函数
f
（
x
）的图象（ ）
第1页，共18页

A.
可由函数
g
（
x
）
=cos4x
的图象向左平移个单位而得
B.
可由函数
g
（
x
）
=cos4x
的图象向右平移个单位而得
C.
可由函数
g
（
x
）
=cos4x
的图象向右平移个 单位而得
D.
可由函数
g
（
x
）
=cos4x
的图象向右平移个单位而得
9.

的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）
A.
-73

B.
-61

C.
-55

D.
-63

10.

某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形
ABCDEF
是边长为
1
的正六边
形，点
G
为AF
的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）


A.

B.

C.

D.

11.
已知抛物线
C
：
y
2
=4x
的焦点为
F
，过点
F
分别作两条直线
l
1
，
l
2
， 直线
l
1
与抛物线
C
交于
A
、
B
两点，直线
l
2
与抛物线
C
交于
D
、
E< br>两点，若
l
1
与
l
2
的斜率的平方和
为1
，则
|AB|+|DE|
的最小值为（ ）
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32

12.

若函数
y=f
（< br>x
），
x
∈
M
，对于给定的非零实数
a
，总 存在非零常数
T
，使得定义域
M
内的任意实数
x
，都有af
（
x
）
=f
（
x+T
）恒成立，此时T
为
f
（
x
）的类周期，函
数
y=f
（
x
）是
M
上的
a
级类周期函数．若函数
y=f< br>（
x
）是定义在区间
[0
，
+∞
）内
的2
级类周期函数，且
T=2
，当
x
∈
[0
，< br>2
）时，函数
．若∃
x
1
∈
[6
，
8]
，∃
x
2
∈（
0
，
+∞
），使
g
（
x
2
）
-f
（
x
1
）≤0
成立，则实数
m
的取值范围是（ ）
A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
第2页，共18页

13.

已知向量
14.

已知
x
，
y
满足约束条 件
，，且，则
=______
．
的最小值为
______
．
，
，点
E
是线段
则目标函数
15.

在等 比数列中，，且与的等差中项为
17
，设
，则数列的前
2n
项和为< br>______
．
16.

如图，在直角梯形
ABCD
中，
AB
⊥
BC
，
AD
∥
BC
，
CD
上异于点
C
，
D
的动点，
EF
⊥
A D
于点
F
，将△
DEF
沿
EF
折起到△
P EF
的位置，
并使
PF
⊥
AF
，则五棱锥
P-AB CEF
的体积的取值范围为
______
．


三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
B
，
C
的对边
a
，
b
，
c
分别满足
c=2b=2
，
2bcosA+acosC+ccosA=0
，17.
< br>已知△
ABC
的内角
A
，
又点
D
满足．
（
1
）求
a
及角
A
的大小；
（
2
）求的值．







18.

在四棱柱
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面
ABCD
是正方形，且
，∠
A
1
AB=
∠
A
1
AD=60°
．
（
1
）求证：
BD
⊥
CC
1
；
（
2
）若动点
E
在棱
C
1
D
1
上 ，试确定点
E
的位置，使得
直线
DE
与平面
BDB
1
所成角的正弦值为．







第3页，共18页

19.

“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，
2018< br>年春节前夕，
A
市某
质检部门随机抽取了
100
包某种品牌的 速冻水饺，检测其某项质量指标
.
（
1
）求所抽取的
100
包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据
用该组区间的中点值作代表）；
σ
2
）（
2
）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值
Z< br>服从正态分布
N
（
μ
，，
利用该正态分布，求
Z落在（
14.55
，
38.45
）内的概率；
②将频率视为概 率，若某人从某超市购买了
4
包这种品牌的速冻水饺，记这
4
包速
冻 水饺中这种质量指标值位于（
10
，
30
）内的包数为
X
， 求
X
的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这
100
包速冻水饺的质量指标的标准差为
；
②若，则
P
（
μ-σ
＜
Z≤μ+σ
）
=0.68 26
，
P
（
μ-2σ
＜
Z≤μ+2σ
）
= 0.9544
．










20.

已知椭圆
C
：
方形面积为
2
．
求椭圆
C
的标准方程；
若直线
l
：与椭圆
C相交于
A
、
B
两点，在
y
轴上是否存在点
D< br>，使直
线
AD
与
BD
的斜率之和为定值？若存在，求出点D
坐标及该定值，若不
存在，试说明理由．

的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正





第4页，共18页

21.

已知函数
f
（
x
）
=e
x
-2
（
a-1< br>）
x-b
，其中
e
为自然对数的底数．
（
1
）若函数
f
（
x
）在区间
[0
，
1]
上 是单调函数，试求实数
a
的取值范围；
（
2
）已知函数
g
（
x
）
=e
x
-
（
a-1
）x
2
-bx-1
，且
g
（
1
）
=0< br>，若函数
g
（
x
）在区间
[0
，
1]
上恰有
3
个零点，求实数
a
的取值范围．








22.

在平面直角坐标系< br>xOy
中，圆
C
1
的参数方程为（
θ
为参数，
a
是大于
0
的常数）．以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立 极坐标系，圆
C
2
的极坐标方程为．
（
1
）求圆
C
1
的极坐标方程和圆
C
2
的直角坐标方程；
（
2
）分别记直线
l
：，
ρ
∈
R
与圆
C1
、圆
C
2
的异于原点的交点为
A
，
B
，若圆
C
1
与圆
C
2
外切，试求实数
a
的值及线段
AB
的长．








23 已知函数
f
（
x
）
=|2x+1|
．
（
1
）求不等式
f
（
x
）
≤10-|x-3|
的解集 ；
（
2
）若正数
m
，
n
满足
m+2n= mn
，求证：
f
（
m
）
+f
（
-2n）
≥16
．









2018
年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）
答案和解析

【答案】
第5页，共18页

1.
C

8.
B

13.

14.

15.
2.
A

9.
A

3.
D

10.
C

4.
A

11.
C

5.
D

12.
B

6.
D


7.
C



16.
（
0
，）


17.
解：（
1
）由
2bcosA+acosC+ccosA=0
及正弦定
理得

-2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC
，
即
-2s inBcosA=sin
（
A+C
）
=sinB
，
在△< br>ABC
中，
sinB
＞
0
，所以
又
A
∈（
0
，
π
），所以．
．
在△
ABC
中，
c=2b=2
，由余弦定理得
a
2
=b
2
+ c
2
-2bccosA=b
2
+c
2
+bc=7
，
所以．
（
2
）由
得
所以．


=
，
，
18.
解：（
1
）连接
A< br>1
B
，
A
1
D
，
AC
，
因为
AB=AA
1
=AD
，∠
A
1
AB=
∠
A
1
AD=60°
，

所以△
A
1AB
和△
A
1
AD
均为正三角形，
于是
A
1
B=A
1
D
．
设
AC
与
BD
的交点为
O
，连接
A
1
O
，则
A
1
O
⊥
BD
，
又四边形
ABCD
是正方形，所以
AC
⊥
BD
，
而
A
1
O∩AC=O
，所以
BD
⊥平面
A
1
AC
．
又
AA
1
⊂平面
A
1
AC
，所以
BD
⊥
AA
1
，
又
CC
1
∥
AA
1
，所以
BD
⊥
CC
1
．
（
2
）由，及，知
A
1
B
⊥A
1
D
，
于是，从而
A
1
O
⊥
AO
，
结合
A
1
O
⊥
BD
，
AO∩AC=O
，得
A
1
O
⊥底面
ABCD
，
所以
OA
、
OB
、
OA
1
两两垂直． < br>如图，以点
O
为坐标原点，的方向为
x
轴的正方向，建立空间直角坐标 系
O-xyz
，
则
A
（
1
，
0
，
0
），
B
（
0
，
1
，
0
），
D
（
0
，
-1
，
0
），
A
1
（
0
，
0
，
1
），
C
（
-1
，
0
，
0
），
，
由
，< br>，得
D
1
（
-1
，
-1
，
1
）．
，
第6页，共18页

设（
λ
∈
[0
，
1]
），
则（
x
E
+1
，
y
E
+1
，
z
E
-1
）
=λ
（
-1
，
1
，0
），即
E
（
-λ-1
，
λ-1
，
1
），
所以．
， 设平面
B
1
BD
的一个法向量 为
由得令
x=1
，得，
设直线
DE
与平面
BDB
1
所成角为
θ
，
则
解得或（舍去），
，
所以当
E
为
D
1
C
1
的中点时，直线
DE
与平面
BDB
1
所成角的正弦值为．


19.
解：（
1
）根据频率分布直方图可得各组的频率为：
（
0,10]
的频率为：
0.01010=0.1
；
（
10,20]
的频率为：
0.02010=0.2
；
（
20,30]
的频率为：
0.03010=0.3
；
（
30,40]
的频率为：
0.02510=0.25
；
（
40,50]
的频率为：
0.01510=0.15
，
所以所抽取的
100
包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为
．
（
2
）①∵
Z
服从正态分布
N
（
μ
，< br>σ
2
），且
μ=26.5
，
σ≈11.95
， ∴
P
（
14.55
＜
Z
＜
38.45
）
=P
（
26.5-11.95
＜
Z
＜
26.5 +11.95
）
=0.6826
，
∴
Z
落在（
1 4.55
，
38.45
）内的概率是
0.6826
．
②根 据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于
(10,30]
内的概率为
0.2+0.3= 0.5
，
所以
X
～
B
（
4
，），
X
的可能取值分别为：
0
，
1,2,3,4
，
，
，
，
，
，
∴
X
的分布列为：
X

0

1

2

3

4

P


第7页，共18页

∴．


20.
解：（
1
）由已知可得，
解得
a
2
=2
，
b
2
=c
2
=1
，
所求椭圆方程为；
（
2
）由
,
得（
1+2k
2
）
x
2
+8kx+6=0
，
则
=64k
2
-24
（
1+2k
2
）
=16k
2
-24
＞
0
，
解得或．
设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），
则，，
设存在点
D
（
0
，
m
），
则
所以
==,
，，

要使
k
AD
+k
BD
为定值，
只需
6k -4k(2-m)=6k-8k+4mk=2k(2m-1)
与参数
k
无关，
故
2m-1=0
，解得
当
，
时，
k
AD
+k
BD
=0
．
，使得k
AD
+k
BD
为定值，且定值为
0
．


综上所述，存在点
21.
解：（
1
）根据题意，函数< br>f
（
x
）
=e
x
-2
（
a-1）
x-b
，
其导数为
f'
（
x
）
= e
x
-2
（
a-1
），
当函数
f
（x
）在区间
[0
，
1]
上单调递增时，
f'
（
x
）
=e
x
-2
（
a-1
）
≥0
在区间
[0
，
1]
上恒成立，
∴
2
（< br>a-1
）
≤
（
e
x
）
min
=1< br>（其中
x
∈
[0
，
1]
），解得；
当函数
f
（
x
）在区间
[0
，
1]
单调递减时，
f'
（
x
）
=e
x
-2
（
a-1
）
≤0
在区间
[0
，
1]
上恒成立，
∴
2
（
a-1
）
≥
（
e
x
）
max
=e
（其中
x
∈
[0
，
1]
）， 解得
综上所述，实数
a
的取值范围是
（
2
）函数
g
（
x
）
=e
x
-
（
a-1
）x
2
-bx-1
，
则
g'
（
x
）< br>=e
x
-2
（
a-1
）
x-b
，
第8页，共18页
．
．

分析可得
f
（
x
）
=g'
（
x
）．
由
g
（< br>0
）
=g
（
1
）
=0
，知
g
（
x
）在区间（
0
，
1
）内恰有一个零点，
设 该零点为
x
0
，则
g
（
x
）在区间（
0< br>，
x
0
）内不单调，
所以
f
（
x
）在区间（
0
，
x
0
）内存在零点
x
1
，
同理，
f
（
x
）在区间（
x
0
，
1
）内存在零点
x
2
，
所以
f
（
x）在区间（
0
，
1
）内恰有两个零点．
由（
1
）知，当时，
f
（
x
）在区间
[0
，
1]
上单调递增，故
f
（
x
）在区间（
0
，
1
）内至
多有一个零点，不合题意．
当时，
f
（
x
）在区 间
[0
，
1]
上单调递减，
故
f
（
x< br>）在（
0
，
1
）内至多有一个零点，不合题意；
所以． < br>令
f'
（
x
）
=0
，得
x=ln
（
2a-2
）∈（
0
，
1
），
所以函数
f
（
x
）在区间
[0
，
ln
（
2a-2）
]
上单调递减，在区间（
ln
（
2a-2
），
1]
上单调递
增．
记
f
（
x
）的两个零点为< br>x
1
，
x
2
（
x
1
＜
x< br>2
），
因此
x
1
∈（
0
，
ln< br>（
2a-2
）
]
，
x
2
∈（
ln< br>（
2a-2
），
1
），必有
f
（
0
）
=1-b
＞
0
，
f
（
1
）
=e -2a+2-b
＞
0
．
由
g
（
1
）=0
，得
a+b=e
，
所以，
又
f
（0
）
=a-e+1
＞
0
，
f
（
1）
=2-a
＞
0
，
所以
e-1
＜
a
＜
2
．
综上所述，实数
a
的取值范围为（
e-1
，
2
）．


22.
解：（
1
）圆
C
1
：（
θ
是参数）消去参数
θ
，
得其普通方程为（
x+1
）
2< br>+
（
y+1
）
2
=a
2
，
将
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
代入上式并化简，
得 圆
C
1
的极坐标方程
由圆
C
2
的极坐标方程，
，
得
ρ
2
=2ρcosθ+2ρsinθ
．
将
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
，
x
2
+y2
=ρ
2
代入上式，
得圆
C
2
的直角坐标方 程为（
x-1
）
2
+
（
y-1
）
2
=2
．
（
2
）由（
1
）知圆
C
1的圆心
C
1
（
-1
，
-1
），半径
r
1
=a
；
圆
C
2
的圆心
C
2< br>（
1
，
1
），半径，
，
∵圆
C
1
与圆
C
2
外切，
∴，
解得，
即圆
C
1
的极坐标方程为
将代入
C
1
，
第9页，共18页
．

得
得
将
得
得
故
.
；
代入
C
2
，
.
，
．


23.
（
1
）解：即求
|2x+1|+|x-3|≤10
，
则原不等式等价于，
或，
或
解得或
，
或
3
＜
x≤4
．
． 即不等式的解集为
（
2
）证明：∵
m
＞
0
，
n
＞
0
，
m+2n=mn
，
，
即
m+2n≥8
，
当且仅当
即时取等号．
，
∴
f
（
m
）
+f
（
-2n
）
=|2m+1|+|-4n+1|
≥|
（
2m+1
）
-< br>（
-4n+1
）
|
=|2m+4n|=2
（
m+2n
）
≥16
，
∴
f
（
m
）
+f
（
-2n
）
≥16
．


【解析】

1.
解：
A={x|-x
2
+4x≥0}={x|0≤x≤4}
， ={x|3
-4
＜
3
x
＜
3
3
}={ x|-4
＜
x
＜
3}
，
则
A
∪
B={x|-4
＜
x≤4}
，
C={x|x=2n
，
n
∈
N}
，
可得（
A
∪
B
）
∩C={0
，
2
，
4}
，
故选：
C
．
由二次不等式的解法和指数不等式的解法，化简集合A
，
B
，再由并集和交集的定义，
即可得到所求集合．
本题考 查集合的混合运算，注意运用二次不等式和指数不等式的解法，以及定义法解题，
考查运算能力，属于中 档题．

第10页，共18页

2.
【分析】
本 题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，
利用复数代数形式 的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】
解：由
得
x+yi=
，
=2+i
，
∴复数
x+yi
的共轭复数是
2-i
．
故选
A
．

3.
解：∵等差数列
{a
n
}
的前
n
项和是
S
n
，且
a
4< br>+a
5
+a
6
+a
7
=18
，
∴
a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=2< br>（
a
1
+a
10
）
=18
，
∴
a
1
+a
10
=9
，
∴
故选：
D
．
推导出
a
1
+a
10
=9
，从而
=45
．
=45
．
本题考查命 题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理
运用．

4.
解：设
AB=2
，则
BC=CD=DE=EF=1
，
∴
S
△
BCI
=××=
，
S
平行四边形
EFGH
=2S
△
BCI
=2×=
，
∴所求的概率为
P===
．
故选：
A
．
设边 长
AB=2
，求出△
BCI
和平行四边形
EFGH
的面积， 计算对应的面积比即可．
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．

5.
解：设双曲线
C
：的右焦点
F
（
c
，
0< br>），
双曲线的渐近线方程为
y=x
，
由
x=a
代入渐近线方程可得
y=b
，
则
A（
a
，
b
），可得
AF
的中点为（
代入双曲线 的方程可得
可得
4a
2
-2ac-c
2
=0
，
由
e=
，可得
e
2
+2e-4=0
，
解得
e=-1
（
-1-
舍去），
故选：
D
．
设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点
A的坐标，运用中点坐标公式，可得中
点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所 求值．
-=1
，
，
b
），
第11页，共18页

本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方
程思想和运算能力，属于中档题．

6.
解：∵
=∫cos
2< br>tdt=
=
∴
=
（
=-2
．
故选：
D
．
由
=∫cos
2
tdt==
）
+
（
-cosx
）
=
，

，


，得到
=
（）
+
（
-cosx
），由此能求出结
果．
本题考查函数的定积分的求法，考查导数、不定积分、定积分等基础 知识，考查运算求
解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

7.
解：第
1
次循环后，
S=
，不满足退出循环的条件，
k=2
； < br>第
2
次循环后，
S=
，不满足退出循环的条件，
k=3
；
第
3
次循环后，
S==2
，不满足退出循环的条件，
k=4
；
…
第
n
次循环后，
S=
，不满足退出 循环的条件，
k=n+1
；
…
第
2018
次循环后，< br>S=
，不满足退出循环的条件，
k=2019
=2
第
2019
次循环后，
S=
，满足退出循环的条件，
故输出的
S
值为
2
，
故选：
C
． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
S
的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常 采用模拟循环的方
法解答．

8.
解：函数
=sin
（< br>2ωx
）
-
•
+

=sin
（
2 ωx-
）（
ω
＞
0
）的相邻两个零点差的绝对值为，
∴•
=
，∴
ω=2
，
f
（
x
）
=si n
（
4x-
）
=cos[
（
4x-
）
-] =cos
（
4x-
）．
故把函数
g
（
x
）
=cos4x
的图象向右平移个单位，可得
f
（
x
）的图 象，
故选：
B
．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的 零点求出
ω
，可得函数解析式，
再利用
y=Asin
（
ωx +φ
）的图象变换规律，得出结论．
第12页，共18页

本题主要 考查三角恒等变换，正弦函数的零点，
y=Asin
（
ωx+φ
）的图象变换 规律，属于
基础题．

9.
【分析】
求出展开式中所有各项系数和，以及展开式中的常数项，
再求展开式中剔除常数项后的各项系数和．
本题考查了二项式展开式的所有项系数和以及常数项的计算问题，是基础题．
【解答】 解：展开式中所有各项系数和为（
2-3
）（
1+1
）
6
=-64
；
=
（
2x-3
）（
1+++
…），
其展开式中的常数项为
-3+12=9
，
∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为
-64-9=-73
．
故选：
A
．

10.
解：如图，可得该几何体是六棱锥< br>P-ABCDEF
，底面是正六边形，有一
PAF
侧面
垂直底面，且< br>P
在底面的投影为
AF
中点，过
底面中心
N
作底面垂 线，过侧面
PAF
的外心
M
作面
PAF
的垂线，两垂线的交 点即为球心
O
，
设△
PAF
的外接圆半径为
r
，
，解得
r=
，
∴，
则该几何体的外接球的半径
R=
，
．
∴表面积是则该几何体的外 接球的表面积是
S=4πR
2
=
故选：
C
．
可得 该几何体是六棱锥，底面是正六边形，有一条侧面垂直底面．过底面中心
N
作底面
垂线 ，过侧面
PAF
的外心
M
作面
PAF
的垂线，两垂线的交点 即为球心，根据三视图的
数据求出球的半径即可．
本题考查几何体的外接球的体积的求法，考 查几何体三视图等基础知识，考查运算求解
能力、空间想象能力，是中档题．


11.
解：抛物线
C
：
y
2
=4x
的焦 点
F
（
1
，
0
），设直线
l
1
：
y=k
1
（
x-1
），直线
l
2
：
y=k
2
（
x-1
），
由题意可知，则，
联立，整理得 ：
k
1
2
x
2
-
（
2k
1
2
+4
）
x+k
1
2
=0
，
设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（x
2
，
y
2
），则
x
1
+x
2
=
，
设
D
（
x
3
，
y
3
），
E
（
x
4
，
y
4
），同 理可得：
x
3
+x
4
=2+
，
第13页，共18页

由抛物线的性质可得：丨
AB
丨
=x
1
+x
2
+p=4+
，丨
DE
丨
= x
3
+x
4
+p=4+
，
∴
|AB|+|DE|=8+
当且仅当
==
，
=
时，上式“
=
”成立．
∴
|AB|+|DE|
的最小值
24
，
故选：
C
．
设直线
l
1
，
l
2
的方程，则，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及抛
物线的焦点弦性质，即可求得|AB|+|DE|
，利用基本不等式的性质，即可求得
|AB|+|DE|
的最 小值．
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查基
本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．

12.
解：根据题意，对于函数< br>f
（
x
），当
x
∈
[0
，
2
）时，
分析可得：当
0≤x≤1
时，
f
（
x
）< br>=-2x
2
，有最大值
f
（
0
）
=
，最小值
f
（
1
）
=-
，
，
当
1
＜
x
＜
2
时，
f
（
x
）=f
（
2-x
），函数
f
（
x
）的图象关于直 线
x=1
对称，则此时有
-
＜
f
（
x
）＜ ，
又由函数
y=f
（
x
）是定义在区间
[0
，< br>+∞
）内的
2
级类周期函数，且
T=2
；
则在∈< br>[6
，
8
）上，
f
（
x
）
=23
•
f
（
x-6
），则有
-12≤f
（
x
）
≤4
，
则
f
（
8
）
=2 f
（
6
）
=4f
（
4
）
=8f
（
2
）
=16f
（
0
）
=8
，
则 函数
f
（
x
）在区间
[6
，
8]
上的最大 值为
8
，最小值为
-12
；
对于函数，有
g
′（
x
）
=-+x+1==
， < br>分析可得：在（
0
，
1
）上，
g
′（
x）＜
0
，函数
g
（
x
）为减函数，
在（1
，
+∞
）上，
g
′（
x
）＞
0，函数
g
（
x
）为增函数，
则函数
g
（x
）在（
0
，
+∞
）上，由最小值
f
（
1
）
=+m
，
若∃
x
1
∈
[6
，
8]
，∃
x
2
∈（
0
，
+∞
），使
g
（
x
2
）
-f
（
x
1< br>）
≤0
成立，
必有
g
（
x
）
mi n
≤f
（
x
）
max
，即
+m≤8
， < br>解可得
m≤
，即
m
的取值范围为（
-∞
，
]
；
故选：
B
．
根据题意，由函数
f
（
x
）在
[0
，
2
）上的解析式，分析可得函数
f
（
x
）在
[0
，
2
）上的最
8]
上的最大值 ，值，结合
a
级类周期函数的含义，分析可得
f
（
x
）在< br>[6
，对于函数
g
（
x
），
对其求导分析可得
g
（
x
）在区间（
0
，
+∞
）上的最小值；进而 分析，将原问题转化为
g
（
x
）
min
≤f
（x
）
max
的问题，即可得
+m≤8
，解可得
m
的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的最值问题，注意将题目中“∃
x
1∈
[6
，
8]
，∃
x
2
∈（
0
，
+∞
），使
g
（
x
2
）
-f
（
x
1
）
≤0
成立”转化为函数的最值问题．

第14页，共18页

13.
【分析】
根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得•
=2sinα-cosα=0
，则有< br>tanα=
，结合同
角三角函数的基本关系式分析可得
sinα
、cosα
的值，即可得的坐标，向量模的计算公
式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐 标计算，涉及向量模的计算，关键是掌握向
量数量积的坐标计算公式．
【解答】
解：根据题意，向量
若
，，
，则•
=2sinα- cosα=0
，则有
tanα=
，
又由
sin
2
α+cos
2
α=1
，则有或，
则
=
（
则
||=
则
，
，
）或（
-
，
-
），
=
2
+
2
-2
•
=
；
故答案为：

14.
解：由约束条件作出可行域如图，

联立
=
，解得
A
（
2
，
4
），
，
，由图可知，当直线
y=
过
A
时， 令
t=5 x-3y
，化为
y=
直线在
y
轴上的截距最大，
t
有最小值为
-2
．
∴目标函数
故答案为：．
由约束条件作出可行 域，令
t=5x-3y
，化为
y=
，求出其最小值，即可求得目标函数
的最小值为．
第15页，共18页

的最小值．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

15.
【分析】

首先求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前
n
项 和公式求出结果．本题考查的
知识要点：利用已知条件求出数列的通项公式，等比数列的前
n< br>项和的通项公式的应用．
【解答】

解：等比数列
{a
n< br>}
中，
a
2
•
a
3
=2a
1
，且
a
4
与
2a
7
的等差中项为
17
，
设首项为
a
1
，公比为
q
，
则：，
整理得：，
解得：．
则：
所以：
b
n
=a2
n
-1
-a
2
n
=
则：
T
2
n
=
故答案为：
=
，
=-2
2
n
-4
，
．
．

16.
【分析】
本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．
设
PF=x
，得出棱锥的体积
V
关于
x
的函数，再根据函数单调性和< br>x
的范围得出结论．
【解答】
解：∵
PF
⊥
AF
，
PF
⊥
EF
，
AF∩EF=F
，
∴
PF
⊥平面
ABCD
．
设
PF=x
， 则
0
＜
x
＜
1
，且
EF=DF=x
．
1-x
2
=
（
3-x
2
）．
∴五边形< br>ABCEF
的面积为
S=S
梯形
ABCD
-S
△DEF
=×
（
1+2
）
×
∴五棱锥
P-ABC EF
的体积
V=
（
3-x
2
）
x=
（3x-x
3
），
设
f
（
x
）
=（
3x-x
3
），则
f
′（
x
）
=< br>（
3-3x
2
）
=
（
1-x
2
），
∴当
0
＜
x
＜
1
时，
f
′（x
）＞
0
，
∴
f
（
x
）在（
0
，
1
）上单调递增，又
f
（
0
）
=0
，
f
（
1
）
=
．
∴五棱锥
P-ABCEF
的体积的范围是（
0
，）．
故答案为．

第16页，共18页

17.
（1
）运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，化简可得角
A
的值，再由余< br>弦定理，可得
a
；
（
2
）运用向量数量积的定义和性质：向 量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．
本题考查三角形中的正弦定理和余弦定理的运用，考查 向量数量积的定义和性质：向量
的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

18.
（
1
）连接
A
1
B
，
A
1
D
，
AC
，则△
A
1
AB
和△
A
1
AD
均为正三角形，设
AC
与
BD
的 交点
为
O
，连接
A
1
O
，则
A
1
O
⊥
BD
，由四边形
ABCD
是正方形，得
AC< br>⊥
BD
，从而
BD
⊥平面
A
1
AC
．进而
BD
⊥
AA
1
，由此能证明
BD
⊥
CC
1
．
（
2
）推导出
A
1
B
⊥
A
1
D
，
A
1
O
⊥
AO
，
A
1
O
⊥
BD
，从而
A
1
O
⊥底面
ABCD
，以点
O
为坐标原
点，的方向为
x
轴的正方向，建立空间直角坐标系
O-xyz
，利用向量法能求出当
E
为
D
1
C
1
的中点时，直线
DE
与平面
BDB
1
所成角的正弦值为．
本题考查线线垂直的证明，考查满足线面角的点是否存 在的判断与求法，考查空间中线
线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解 能力，考查函
数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

19.
本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题．
（
1
）根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可；
（
2
）①直接由正态分布的性质及题目所给可得；
②根据题意得
X
～
B
（
4
，），根据二项分布的性质即可求得
X
的 分布列、期望值．

20.
本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系， 关键是求出椭圆的标准方
程
,
属于较难题
.
（
1
）根据题意，由椭圆的几何性质分析可得，解可得
a
、
b
的值，将
a
、
b
的值代入椭圆的方程，即可得答案；
（
2
）联立直线 与椭圆的标准方程可得（
1+2k
2
）
x
2
+8kx+6= 0
，分析可得和
k
的范围，
m
）设存在点
D
（0
，，由此表示
K
AD
与
K
BD
，由根与系数 的关系分析可得只需
6k-4k
（
2-m
）
=6k-8k+4mk= 2k
（
2m-1
）与参数
k
无关，据此分析可得答案．

21.
（
1
）根据题意，由函数的解析式计算可得
f'
（
x
），由函数的导数与函数单调性的
关系，分
2
种情况分析讨论，求 出
a
的取值范围，综合即可得答案；
（
2
）根据题意，对
g
（
x
）求导分析可得
f
（
x
）
=g'< br>（
x
），由
g
（
0
）
=g
（
1
）
=0
，知
g
（
x
）在区间（
0，
1
）内恰有一个零点，由（
1
）的结论，分析
g
（< br>x
）的极值，综合即可
得答案．
本题考查函数导数的应用，涉及利用导数判定 函数的单调性以及函数极值的应用，注意
讨论参数的取值范围．

22.
本 题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应
用．属于中档题
.
（
1
）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（
2
）直接利用圆与圆的位置关系求出
a
，并求出极径的长．

23.
本题考查了解绝对值不等式以及绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思
想，属于中档 题．
（
1
）通过讨论
x
的范围，得到关于
x
的不 等式组，解出即可；
（
2
）求出
m+2n≥8
，求出
f< br>（
m
）
+f
（
-2n
）的最小值即可．

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