三角函数公式
军校招生-汽车营销策划案
角α 0
°
30° 45° 60° 90° 120° 135°
150° 180° 27
0°
360°
弧度制 o π6 π4 π3 π2
2π3 3π4 5π6 π 3π
2
2π
sinα o 12 √22 √32
1 √32 √22 12
0 -1
0
cosα 1 √32 √22 12
0 -12 -√2
2
-√3
2
-√3
3
-1 0
1
tanα o √33 1 √3
±∞
-√3 -1
0
±
∞
0
sin0=sin0°=0
cos0=cos0°=1
tan0=tan0°=0
tanα ²cotα=1
sinα ²cscα=1
cosα ²secα=1
商的关系
tanα=sinαcosα
cotα=cosαsinα
平方关系
sinα²+cosα²=1
1+tanα²=secα²
1+cotα²=cscα²
以下关系，函数名不变，符号看象限.
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
sin（π+α）=-sinα
cos（π
tan（π
cot（π
sin（π
cos（π
tan（π
cot（π
+α）=-cosα
+α）=tanα
+α）=cotα
－α）=sinα
－α）=-cosα
－α）=-tanα
－α）=-cotα
sin（2π－α）=-sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=-tanα
cot（2π－α）=-cotα
以下关系，奇变偶不变，符号看象限
sin（90°-α）=cosα
cos（90°-α）=sinα
tan（90°-α）=cotα
cot（90°-α）=tanα
sin（90°+α）=cosα
cos（90°+α）=-sinα
tan（90°+α）=-cotα
cot（90°+α）=-tanα
sin（270°-α)=-cosα
cos（270°-α)=-sinα
tan（270°-α)=cotα
cot（270°-α)=tanα
sin（270°+α）=－cosα
cos（270°+α）=sinα
tan（270°+α）=-cotα
cot（270°+α）=-tanα
积化合差公式
sinα
²cosβ=（12）*[sin（α+β）+sin（α－β）]
cosα
²sinβ=（12）*[sin（α+β）－sin（α－β）]
cosα
²cosβ=（12）*[cos（α+β）+cos（α－β）]
sinα
²sinβ=-（12）*[cos（α+β）－cos（α－β）]
和差化积公式
sin
α+sinβ=2sin[(α
+
β)2]²cos[(α
-
β)2]
sinα-
sinβ=2cos[(α
+
β)2]²sin[(α
-
β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α
+
β)2]²cos[(α
-
β)2]
cosα-
cosβ=-2sin[(α
+
β)2]²sin[(α
-
β)2]
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sinα³
cos3α=4cosα³-3cosα
两角和与差的三角函数关系
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ )(1－tanα ²tanβ)
tan（α－β）=(tanα-tanβ )(1+tanα ²tanβ)
正弦二倍角公式
sin2α = 2cosαsinα
推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA
拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcos2A=2tanA[1+tan2A]
1+sin2A=(sinA+cosA)^2
余弦二倍角公式
余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：
2a=Cos2a-Sin2a=[1-tan2a][1+tan2a]
2a=1-2Sin2a
2a=2Cos2a-1
推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-
sinAsinA=cos2A-sin2A=2cos2A-1
=1-2sin2A
正切二倍角公式
tan2α=2tanα[1-tan2α]
推导：tan2A=
tan(A+A)=(tanA+tanA)(1-tanAtanA)=2tanA[1-tan2A]
降幂公式
cosA^2=[1+cos2A]2
sinA^2=[1-cos2A]2
tanA^2=[1-cos2A][1+cos2A]
变式：
sin2α=si
n^2(α+π4)-cos^2(α+π4)=2sin^2(a+π4)-1=1-2cos^2(α
+π4); cos2α=2sin(α+π4)cos(α+π4)
余弦定理：
a^2=b^2+c²-2bc cosA
b^2=c^2+a^2-2ca cosB
c^2=a^2+b^2-2ab cosC
定义域
实数集R
值域
[-1，1] （正弦函数有界性的体现）
最值和零点
①最大值：当x=2kπ+（π2） ，k∈Z时，y(max)=1
②最小值：当x=2kπ+（3π2），k∈Z时，y(min)=-1
零值点：（kπ,0) ，k∈Z
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形。
1）对称轴：关于直线x=（π2）+kπ，k∈Z对称
2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称
周期性
最小正周期：y=sinx T=2π
奇偶性
奇函数 （其图象关于原点对称）
单调性
在[-π2+2kπ，π2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.
在[π2+2kπ，3π2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.
3
函数及性质编辑
正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h
各常数值对函数图像的影响：
φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）
ω：决定周期（最小正周期T=2π|ω|）
A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）
h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）
作图方法运用“五点法”作图
“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π2，π，3π2，2π时y的值.
单位圆定义 <
br>图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针
的度量是负角。设一个
过原点的线，同
x
轴正半部分得到一个角θ，并与单位
圆相交。这个交点的
y
坐标等于 sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；
半径等于斜边并有长度
1，所以有了
sinθ=
y
1。单位圆可以被认为是通过改变
邻边和对边的长度并保持斜边等于 1
查看无限数目的三角形的一种方式。即
sinθ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负
sina
对于大于 2π 或小于 0
的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，
正弦变成了周期为
2π的周期函数。
[1]
4
诱导公式编辑
sin
cos tαn cot sec csc
π2（90°）-α
π2（90°）+α
π（180°）-α
π（180°）+α
3π2（270°）-α
3π2（270°）+α
cos
cos
sin
-sin
-cos
-cos
sin
-sin
-cos
-cos
-sin
sin
cot
-cot
-tαn
tαn
cot
-cot
tαn
-tαn
-cot
cot
tαn
-tαn
csc
-csc
-sec
-sec
-csc
csc
sec
sec
csc
-csc
-sec
-sec
2π（360°）-α
2kπ（k*360°）+α
-sin
sin
cos
cos
-tαn
tαn
-cot
cot
sec
sec
-csc
csc
助记方法：
“奇变偶不变，符号看象限。”（π2
的奇数倍或偶数倍，“变”就是三
角函数名的改变。）
[1]
符号、单调性
1 2 3 4 x+ y+ x- y-
sin
cos
+，+
+，-
+，-
-，-
-，-
-，+
-，+
+，+
0
1
1
0
0
-1
-1
0
tαn
cot
+，+
+，-
-，+
-，-
+，+
+，-
-，+
-，-
0
-10+
+10-
0
0
-10+
+10-
0
sec
csc
+，+
+，-
-，+
+，+
-，-
-，+
+，-
-，-
1
-10+
+10-
1
-1
+10-
-10+
-1
注：10表示不存在，+10=
10+=+∞，10-=-10=-∞，左边的符号是左趋
近，右边的符号是右趋近，第一个是符号，第
二个是单调性
四则运算
sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β
sin2α=2sin αcos α
sin（α+2kπ）=sin α
sin(-α）=-sin α
sin（π-α）=sin α
sin（π2-α）=cos α
sin α=cos（π2-α）
sin（π+α）=-sin α
sin（3π2-α）=-cos α
sin（3π2+α）=-cos α