去英国留学要考什么-银行新柜员工作总结

绵阳市开元中学高2014级高三一轮复习

《解三角形》知识点、题型与方法归纳

制卷：王小凤 学生姓名：
一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）
1．正弦定理及其变形

a
sinA

b
sin B

c
sinC
2R(R为三角形外接圆半径）

变式：
（）1a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC
(边化角公式）
< br>（2）sinA
ab
2R
,sinB
c
2R
,s inC
2R
(角化边公式）

（3）a:b:csinA:sinB:sinC

(4)
asinAas inAb
b

sinB
,
c

sinB
s inC
,
c

sinC

2．正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边；
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.
3．余弦定理及其推论
b
2
c
2
a
2
cosA
a
2
b
2
c
2
2bccosA
2bc

cosB
a
2
c2
b
2
b
2
a
2
c
2
2accosB

c
2
a
2
b
2
 2abcosC
2ac
cosC
a
2
b
2
c
2
2ab
4．余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.
注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦 定理的作
用)，统一成边的形式或角的形式.
5．常用的三角形面积公式
（1）
S
1
ABC

2
底高
； < br>（2）
S=
1
2
absinC
11abc
2
acsinB
2
bcsinA
4R

R为ABC外接圆半径


（两边夹一角）；
6．三角形中常用结论
（1）
abc,bca,acb(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

（ 2）
在ABC中，ABabsinAsinB(即大边对大角，大角对大边）

（3）在
ABC
中，
ABC

，所以 ①sin

AB

sinC
；②
cos
< br>AB

cosC
；

③
tan
< br>AB

tanC
；④
sin
ABCA
2< br>cos
2
,
⑤
cos
B
2
sin
C
2

7．实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角 、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而
方位角是相对于正北方向而 言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
如： ①北偏东

o
即由指北方向顺时针旋转

o
到达目标方向；
②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）
45

.
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）
二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）
考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用
1．在
VABC
中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝ ( )
A．43 B．23 C．3 D．
3
2

2．在
VABC
中，
a
2b
2
c
2
3bc
，则
A
等于( )
A．60° B．45° C．120° D．150°
考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
3．设
VABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
, 若
bcosCccosBasinA
, 则
VABC
的形
状为( )
A．
锐角三角形
B．
直角三角形
C．
钝角三角形
D．
不确定
4．若△ABC的三个内角满 足
sinA:sinB:sinC3:5:7
，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
1

C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5．在
ABC
中，若
cos Ab
cos B
＝
a
，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
考点三：利用正余弦定理求三角形的面积
6．在
ABC
中，
AB 3
,
AC1
,
A30

，则
ABC面积为( )
A．
3
2
B．
3
4
C．
3
2
或
3
D．
33
4
或
2

7．已知
ABC
的 三边长
a3,b5,c6
，则
ABC
的面积为( )
A．
14
B．
214
C．
15
D．
215

考点四：利用正余弦定理求角
8．在锐角中
ABC
,角
A,B
所对的边长分别为
a,b
.若
2asinB3b,则角A等于
( )
A．

12
B．

6
C．

4
D．

3

9．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有 ( )
A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定
10．在
ABC
,内角
A,B,C
所对的边长分别为
a,b,c.
asinBcosCcs inBcosA
1
2
b,
且
ab
,则
B< br> ( )
A．

6
B．

2

5

3
C．
3
D．
6

考点五：正余弦定理实际应用问题
11．
如图：A，B是海面上位于东西方向相距< br>5

33

海里的两个观测点，现位于A点北偏东
45
，B点
北偏西
60

的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西
60

且与B点相距
203
海里的C点的救援船
立 即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D点需要多长时间？
解 由题意知AB＝5(3＋3)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得< br>DBAB
sin∠DAB
＝
sin∠ADB
，
∴DB＝
AB·sin∠DAB
5(3＋sin 45°
sin∠ADB
＝
3)·
sin 105°

＝
5(3＋3)·sin 45°
＝
53(3＋1)
sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°3＋1
＝103(海里)．
2
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得CD
2
＝BD
2
＋BC
2
－2BD·BC·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×103×203×
1
2
＝900，
∴CD＝30(海里)，
∴需要的时间t＝
30
30
＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．
三、高考真题赏析
1．
（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别 为a，b，c，已知
2(tanAtanB)
tanAtan
cosB

B
cosA
.
（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值.
【解析】(Ⅰ)由
2(tanA+tanB)=
tan A
cosB
+
tanB
cosA
得

2< br>sinC
cosAcosB

sinA
cosAcosB
< br>sinB
cosAcosB
，
所以
2sinCsinBsinC
，由正弦定理，得
a+b=2c
．

（Ⅱ）
由
a< br>2
b
2
c
2
(ab)
2
2abc
2
2ab

2ab

3c
2
2ab
1
3c
2
cosC
1
3

1
．

2(
ab
1
2
)
2
22
所以
cosC
的最小值为
1
2
．
2．
（2016 年四川）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
cosA
a
< br>cosB
b

sinC
c
.
（I）证明：
sinAsinBsinC
；
2

（II）若
b
2
c
2
a
2

6
5
bc
，求
tanB
.
【解析】（
I
）证明：由正弦定理
ab
sinA

sinB

c
sinC
可知

原式可以化解为
cosA
sinA
cosBsinC
sinB

sinC
1

∵
A
和
B
为三角形内角
,
∴
sinAsinB0

则，两边同时乘以
sinAsinB，可得
sinBcosAsinAcosBsinAsinB

由和角公式可 知，
sinBcosAsinAcosBsin

AB

s in


C

sinC

原式得证。

（
II
）由题
b
2
c
2
a
2

6
b
2
c
2
a
2
5
bc
,
根据余弦定理可知，
cosA
2bc

3
5


∵
A
为为三角形内角，
A

0 ,


，
sinA0

2
则
sinA1


3

4
cosA3
5



5
，即
sinA

4


由（
I
）可知
cosAcosBs inC
sinA

sinB

sinC
1
，∴< br>cosB
sinB

1
tanB

1
4

∴
tanB4

3．
（2016年 全国I）
△ABC
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2cosC(ac osB+bcosA)c.
（I）求C；
（II）若
c7,△ABC
的 面积为
33
2
，求
△ABC
的周长．
【解析】(1) 由 正弦定理得：
2cosC

sinAcosBsinBcosA
sinC

2cosCsin

AB

sinC

∵< br>ABCπ
，
A、B、C

0，π


∴
sin

AB

sinC0

∴
2cosC1
，
cosC
1
2

∵
C

0，π

∴
C
π
3

⑵ 由余弦定理得：
c
2
 a
2
b
2
2abcosC
即
7a
2
b
2
2ab
1
2

∴

ab

2
3ab7

∵
S
133
2
absinC
3
4
ab
2< br>
∴
ab6

∴

ab

2
187

ab5

∴
△ABC
周长为
abc57

4．
(2015高考新课标2)
ABC
中，
D
是
BC
上的点，
AD
平分
BAC
，
ABD
面积 是
ADC
面积的2倍．

(Ⅰ) 求
sinB
sinC
； (Ⅱ)若
AD1
，
DC
2
2
，求
BD
和
AC
的长．

5．
（2015高考四川，理19） 如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
tan
A1 
2

cosA
sinA
;

（2）若
A C180
o
,AB6,BC3,CD4,AD5,
求
tanA
2
tan
BCD
2
tan
2
tan< br>2
的值.
D
C
AB


3

3
33
CDAC
2
由正弦定理可得，即
CD 
.


sin(120

)2sin(120

)
sinAsinADC
3

在△AEC中，∠ACE=θ+30º，∠AEC=180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，
3
33
CEAC
2
由正弦定理可得：，即
CE
，


sin(90

)2cos

sinAs inAEC
3
∴
S
DCE
CDCEsin30
113333
271



，
6． （2013级绵阳一诊，19）已知如图，在
RtABC
中，
A60

，
AB6
，
点D、E是斜边AB上两点．
(I)当点D
是线段
AB
靠近
A
的一个三等分点时，求
u
CD
uur

u
CA
uur
的值；
(II )当点
D、E
在线段
AB
上运动时，且
DCE30
< br>，设
ACD

，试用

表示
DCE
的 面积
S
，并求
S
的取值范围．
解：（1）在Rt△ABC中，AC =ABcos60º=
6
1
3
，
AD
1
AB
∵
u
CD
uur

u
CA
uur

u
AD
uur
23
2
.
，
∴u
CD
uur

u
CA
uuruuuruuuruuu ruu
|
u

ur
2
uuuruuur
CAuur
(CAAD)CACAADCA

|
2
|< br>u
AD
uur
||
u
CA
uur
|co s
u
AD
uur
，
u
CA
uur

=9+2×3×cos120º
=6.
（2）在△ACD中，∠ADC=180º-∠A-∠DCA=120º-θ，


4
242sin(120

)2cos

令f(θ) =sin(120º-θ)cosθ，0º≤θ≤60º，
∵ f(θ)=(sin120ºcosθ-cos120ºsinθ)cosθ

31
2
cos
2


2
sin

cos



3
2

1cos2

2

1
2

1
2
sin2



3
4

1
2
(
31
2
cos2< br>

2
sin2

)


3
4

1
2
sin(2

60)
，
由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，
∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1，
∴
33
4
≤f(θ)≤
1
4

2
，
∴
4(23)
≤
1
f(

)
≤
43
3
，
∴
27
27
4
(23)
≤
S
3
DCE
≤
12
．

16sin(120

)cos
