难忘的瞬间-机关作风建设总结

高中公式定理
必修1
1.元素与集合的关系

xAxC
U
A;xC
U
AxA

2.德摩根公式

C
U
(AB)C
U
A C
U
A;C
U
(AB)C
U
AC
U
A

3.包含关系（U为全集时）

ABAABBAB C
U
BC
U
AAC
U
B

4.容斥原则
card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)card(B C)

card(CA)card(ABC)
5.集合

a
1
,a
2
,...,a
n

的子集个数共有< br>2
n
个；真子集有
2
n
1
个；非空子集
2
n
1
；非空真子集有
2
n
2
个。
6. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式
f(x)ax
2
bxc(a0);

（2）顶点式
f(x)a(xh)
2
k(a0);

（3）零点式
f(x)a(xx
1
)(xx
2
)(a0) .

7. 指数运算性质
（1）
a
r
a
s
a
rs
(a0,r,sQ)

（2）
(a
r)
s
a
rs
(a0,r,sQ)

（3）
(ab)
r
a
r
b
r
(a0,b0,rQ)
8.对数运算性质
1

如果
a0,
且
a1,M0,N0,
那么 < br>（1）
log
a
(M•N)log
a
Mlog
a
N

（2）
log
a
(
M
)loga
Mlog
a
N

N
（3）
log
a
M
n
nlog
a
M(nR)

（4）换底公式
log
b
N
（5）常用推论
n
n
loglog
a
b

m
b
a

log
c
a•log
a
c1

log
a
b•log
b
c•log
c
a1

m
log
c
N
(b0,且b1;c0,且c1;N0).

log
c
b
9.函数零点的存在性定理
一般地 ，我们有：
yf(x)
在区间

a,b

上的图象是连续 不断的一条
曲线，并且有
f(a)•f(b)0
，那么，函数
yf(x)
在区间
(a,b)
内有零点，
即存在
c(a,b),
使得
f(c)0
，这个
c
也就是方程
yf(x)
的根。

必修2
1.圆柱，圆锥，圆台表面积

底面面积
侧面面积
表面积

2

圆柱
s
底


r
2

圆锥
s
底


r
2

圆台
s
上底


r
1

s
下底


r
2

2
2
s
侧
2

rl

s
侧


rl

s
侧


l(r
1
r
2
)

s
表


（r
1
2
r
2
2
lr
1< br>lr
2
)
s
表
2

r（rl)
s
表


r（rl)

2.柱体、椎体、台体的体积
柱体：
V
柱体
S< br>底
h；V
圆柱


r
2
h

11
2
VSh；V

rh

锥体底圆锥
椎体：
33

圆台：
1
1
V
台体
（S
上底
S
上底
S
下底
S下底
）h；

V

h(r
1
2
r
2
2
r
1
r
2
)

3
圆台
3
3.平面的基本性质
（1）公理
a.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平
面内。
b.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
c.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一
条过该点公共直线。
d.平行于同一直线的两条直线互相平行。
（2）三个推论
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互
补。
5.异面直线判定定理
连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点
3

的直线是异面直线。
6.直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平
行。
7.平面与平面平行判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平
行。
8.面面平行判定的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条
相交直线，则这两个平面平行。
9.直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的
交线与该直线平行。
11.平面与平面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平
行。
12.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平
面垂直。
13.平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个直线垂直。
14.直线与平面垂直的性质定理
4

垂直于同一个平面的两条直线平行。
15.面面垂直性质定理：
两个平面垂直，则平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
16.两直线平行与垂直的判定
平行：
l
1
l
2
k
1
k
2

垂直：
l
1
l
2
k
1
k
2
1

17.直线方程
点斜式：
yy
0
k(xx
0
)

斜截式：
ykxb

截距式：
x

y
ab
1

两点式：
yy
1
xx
1
yy


21
x
2
x
1
一般式：
AxByC0

18.距离公式
两点间距离公式：
p
1
p
2
(x
2
x
1
)
2< br>(y
2
y
1
)
2

点到直线距离公式：
d
Ax
0
by
0
C
A
2
 B
2

两平行直线间距离公式：
AxByC
1
0

A xByC
2
0
d
C
1
C
2
A< br>2
B
2

19.圆的方程
(xa)
2
(xb)
2
r
2

20.点与圆的位置关系
圆上
(xa)
2
(xb)
2
r
2


5

圆内
(xa)
2
(xb)
2
r
2

圆外< br>(xa)
2
(xb)
2
r
2

21.直线与圆位置关系
相交
dr

相切
dr

相离
dr
必修3
1.古典概型：
（1）试验中所有可能出现的基本件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性事
（3）相等。
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概
型。
2.数据的数字特征：
（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫作众数；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排
列，当数据有奇数个时， 处在最中间的那个数是这组数据的中位
数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的
据的中位数；
（3）平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数，
记作：
x< br>1

x
1
x
2
x
n

。
n
6


平均数是这组数

（ 4）标准差：
s
1
n
n
22
1
x
1xx
2
xx
n
x
n

 

。
2
1
x

2


xx

2


xx

2。
2
（5）方差：
s
s
2


< br>x
x
12n
1
xx
2
xx
n
x
222

3.三种抽样方式：
（1）简单随机抽样的特点：
①总体个数
N
是有限的；
②每个个体被抽到的可能性相同，都是
n
；
N
③样本是从总体中逐个抽取的，即一个一个的抽取；
④是一种不放回抽样，即不可能先后抽取到同一个个体。
（2）系统抽样的特点：
①适用于总体容量
N
较大的情况；
②剔除多余个体，在第1段抽样用简单随机抽样；
③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是（
n
为样本容量）。
（3）分层抽样：
①特点：
a.
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
n
N
b.
利用事件先掌握的信息，更充分的反映了总体情况；
c.
等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等。
②步骤：
a.
分层求抽样比：确定抽样比
k
n
；
N
b.
求各层抽样数：按比例确定每层抽取个体的个数
n
i
N
i
k
；
c.
各层抽样：各层分别用简单随机抽样或系统抽样抽取个体；
d.
组成样本：综合每层抽取的个体，组成样本。
7

4.几何概型：
在几何概型中，事件
A
的概率的计算公式如下：
P

A< br>

构成事件A的区域长度（面积或体积）
。
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
5.概率的基本性质：
（1）概率
P

A

的取值范围：任何事件的概率在
0~1
之 间，即
0P

A

1
；
（2）概率的加法公 式：如果事件
A
与事件
B
互斥，则
P

AB
P

A

P

B

；
（3）对立事件的概率公式：若事件
A
与事件
B
为对立事件，则P

A

P

B

1
。
6.回归方程：
（1）回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线
附近，就称这两个变量 之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归
直线；
（2）利用回归方程对总体进行估计：利用回归直线，我们可以进行
预测。若回归方程为
必修4
1.三角恒等变换：
（1）
sin

sin< br>
2sin





bx
0
a
。
ybxa
，则在
xx
0
处的估计值为
y


cos



22




sin
（2）
sin

 sin

2cos
；
22





cos
（3）
cos

cos

2 cos
；
22
8

；


< br>


（4）
cos

cos

2sin
2
sin
2
；
（5）
sin
< br>cos


1
2

sin




sin






；
（6）
cos

sin


12

sin





sin





；
（7）
cos
cos


1
2

cos





cos






；
（8）
sin

sin

1
2

cos





 cos






；
（9）
2tan

sin


2
； 1tan
2

2

（10）
1tan
2< br>cos



1tan
2

2
；
2
2tan

（11）
tan


2。
1tan
2

2
2.和、差、倍、半角的三角函数：
（1）和（差）角公式：
①
sin




sin

cos

cos

sin
；
②
cos





cos

cos

sin

sin

；
③
tan






ta n

tan

1tan

tan

。
（2）倍角公式：
①
sin2

2sin

cos

；
②
cos2

cos
2

sin
2< br>
2cos
2

112sin
2

；
③
tan2


2tan

1tan
2

。
（3）半角公式：

9

①
tan

2

1cos

sin

；

sin

1cos

②
sin


2tan

2
；
1tan
21tan
2
1tan
2

2


2
。
2
③
cos


3.平面向量的数量积：
（1）交换律：
a•bb•a
；

（3）分配率：< br>
ab

•ca•cb•c
；
（4）
cos


a•b
a•b
（2）结合律：

a•b
a•ba•

b
；
，
a•b0
；
（5）
a•ba•b
；
（6）若
a

x,y

，则有
ax
2
y
2
，或
ax2
y
2
。
4.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系 ：
sin
2

cos
2

1
；
（2）商的关系：
tan


sin

；
cos

2
（3）其他形式：
sin
2

1 cos
2

，
cos
2

1sin
2

，
sin

cos

tan

，

cos


sin

。
tan

5.三角函数的诱导公式：
（1）公式一：当
kZ
时，
sin


2k


sin

；
cos


 2k


cos

；
tan


2k


tan

。
（2）公式二：
s in





sin

；
cos





cos

；
tan





tan

。
10

（3）公式三：
sin



sin

；
cos


< br>
cos

；
tan



< br>tan

。
（4）公式四：
sin




sin

；
cos




cos

；
tan

< br>


tan

。
（5）公式五：
sin




2




cos

；
cos



2





sin

。
（6）公式六：
sin







2




cos

；cos


2




sin< br>
。
6.平面向量的坐标运算：
（1）加减法：
ab

x
1
x
2
,y
1
y
2
< br>；
（2）数乘向量：

a


x
1,y
1




x
1
,
< br>y
1

；
（3）数量积：
a•ba•bcos

x
1
x
2
y
1
y
2
； （4）模：
aa
2
x
22
1
y
1
；
（5）夹角：
cos


a•bx
1
x2
y
1
y
2
a•b

x
2
1
y
222
。
1
x
2
y
2
7.函数
yAsin


x


图像的基本变 换：
（1）先平移后伸缩：
函数
ysinx
的图像

向左（右）平移



个单位

函数
y sin

x


的图像

横坐标变为原来的< br>1


倍，纵坐标不变

函数
y sin


x


的图像

纵坐标变 为原来的

A倍，横坐标不变

函数
yAsin


x


的图像。
（2）先伸缩后平移：

11


函数
ysinx
的 图像

函数
ysin

x
的图像
1
横坐标变为原来的倍，纵坐标不变

函数
ys in


x


的图像
A倍，横坐标不变
纵坐标变为原来的

函数
yAsin


x


的图像。
向左（右）平移

个单位

8.向量的有关概念：
（1） 向量的长度或模：向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或
称模 ），记作
AB
。
（2）零向量：长度为0的向量叫作零向量，记作
0
。
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，叫作单位向量。
（4）相等向量：长度相等且方 向相同的向量叫作相等向量。向量
a
与
b
相等，记作
ab
。
（5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。向量
a
与
b
平行，记作
ab
。 我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意
向量
a
，都有
0a
。
（6）共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，
平行向量也叫作共线向 量。
9.弧长公式、扇形的面积公式：
11
lar
，
S
扇形
lrar
2
。其中
l
为弧长，
r
为圆的 半径，
a
为圆心
22
角的弧度数。
必修5
1.数列的通项公式与前n项和的关系:

a
n
=

( 数列{
a
n
}的前n项和为
s
n
a< br>1
a
2
a
n
) .
12

s,n1
s
n
s
n1
,n2

2.等差数列的通项公式：
a
n
a
1
( n1)d
；
其前n项和公式为：
s
n

n(a
1
a
n
)n(n1)d1
na
1
dn
2
(a
1
d)n
.
2222
3.等比数列的通项公式:
a
n
a
1
q
n1

其前n项和公式为 ：
s
n

a
1
n
•q(nN

)(q0);

q

a
1
(1q
n
)
,q1,
1q
na
1,
q1
或
s
n


a
1
a
n
q
,q1,
1 q
na
1
,q1.

4.若
m、n、p、qN,< br>且
mnpq,
那么，当数列{
a
n
}是等差数列时，有
a
m
a
n
a
p
a
q
;当数列{
a
n
}是等比数列时，有
a
m
a
n
a
p
a
q
.

5.等差数列{
an
}中，若
s
n
10,s
3n
30,s
3 n
60.

6.等比数列{
a
n
}中，若
sn
10,s
2n
30,则s
3n
70;

7.正弦定理及正弦定理与外接圆半径的关系：
a
sinA

b< br>sinB

c
sinC
2R;

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC
;
sinA
a
2R
,sinB
b
2R
,sinC
c
2R;

a:b:csinA:sinB:sinC;

abc
2R;

sinAsinBsinC
正弦定理与面积公式：
8.余弦定理：
a< br>2
b
2
c
2
2bccosA,
b
2< br>a
2
c
2
2accosB,

c
2< br>a
2
b
2
2abcosC.
11
s
A BC

1
2
absinC
2
bcsinA
2< br>acsinB,

13

b
2
c
2
a
2
cosA,
2bc
a
2
c< br>2
b
2
cosB,

2ac
a
2
b
2
c
2
cosC.
2ab
选修1-1
1.四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2.若
pq，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
pq
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
3.逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式
pq
；⑵或（or）：命题形式
pq
；
⑶非（not）：命题形式
p
.
p

q

pq

pq

p

真
真
假
假

4.椭圆的几何性质：
焦点的位
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
真
假
假
假
真
真
焦点在
x
轴上
置
焦点在
y
轴上
14

图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率

5、双曲线的几何性质：
焦点的位
焦点在
x
轴上
置
焦点在
y
轴上
x
2
y
2
1

ab0


a
2
b
2

y
2
x
2
1

ab0


a
2
b
2
axa
且
byb

bxb
且
aya


1

 a,0

、

2

a,0



1

0,b

、

2

0,b



1

0,a

、
2

0,a



1

b,0
、

2

b,0


短轴的长
2b
长轴的长
2a

F
1< br>
c,0

、
F
2

c,0
< br>
F
1

0,c

、
F
2

0,c


F
1
F
2
2c

c
2
a
2
b
2


关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e1
2

0e1


aa
图形

标准方程
范围


y< br>2
x
2
1

a0,b0


a
2
b
2
x
2
y
2
1
< br>a0,b0


a
2
b
2
xa或
xa
，
yR

ya
或
ya
，
xR

15

顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
渐近线方

1

a,0

、

2

a,0



1

0,a

、

2

0,a


虚轴的长
2b
实轴的长
2a

F
1< br>
c,0

、
F
2

c,0
< br>
F
1

0,c

、
F
2

0,c


F
1
F
2
2c

c
2
a
2
b
2


关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e1
2

e1


aa
b
x

a
a
x

b
yy
程

5.抛物线的几何性质：
标准方
程
图形

顶点
对称轴
焦点
准线方
x

p

F

,0



2

y
2
2px

y
2
2px

x
2
2py

x
2
2py


p0



p0



p0



p0






0,0


x
轴

p

F

,0



2

p

F

0,


2

y
轴
p

F

0,


2

程
离心率

p

2
x
p

2
y
p

2
y
p

2
e1

16

范围

x0

x0

y0

y0

6.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于

、

两点的线段
，即
2p
．

，称为抛物线的“通径”
7.焦半径公式：
p
2
p< br>若点


x
0
,y
0

在抛物线< br>x
2
2py

p0

上，焦点为
F，则
Fy
0

；
2
若点

< br>x
0
,y
0

在抛物线
y
2
2p x

p0

上，焦点为
F
，则
Fx
0

；
8.函数
f

x

从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
f

x
2

f

x
1


x
2x
1
0
9.导数：
f

x

在点< br>x
0
处的导数记作
y

xx
f

(x
0
)lim
x0
f(x
0
x)f(x< br>0
)
．
x
10.函数
yf

x

在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
yf

x

在点


x
0
,f

x0


处的切线的斜率．
11.常见函数的导数公式：
①
C
'
0
；②
(x
n
)
'
nx
n1
； ③
(sinx)
'
cosx
；④
(cosx)
'
sinx
；
⑤
(a
x
)< br>'
a
x
lna
；⑥
(e
x
)
'< br>e
x
； ⑦
(log
a
x)
'

12.导数运算法则：
1
1
；⑧
(lnx)
'


x
xlna

1



2



f


x

g


x

fxgx



；



f

x

g

x



f


x< br>
g

x

f

x

g


x

；

f

x



f


x

g

x

f

x

g


x

g

x

0



2


3


g

x



g

x



．
13.在某 个区间

a,b

内，若
f


x

0
，则函数
yf

x

在这个区间内单< br>调递增；
17

若
f


x

0
，则函数
yf

x

在这个 区间内单调递减．
必修1-2
1线性回归方程：

ybxa
（最小二乘法）
n

x
i
y
i
nxy


i1


bn
2
其中，

2
xnx

i< br>
i1



aybx
注意：线性回归直线经 过定点
(x,y)
.
2.相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r
(x
i1
n
i
x)(y
i
y)
n


(x
i1
n
i
x)
2

(y
i
y)
2
i1
注：⑴
r
>0 时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；
⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近
于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率
对于任何两个 事件A和B，在已知B发生的条件下，A发生的概
率称为B发生时A发生的条件概率. 记为P(A|B) , 其公式为P(A|B)
P（AB）
＝
P（A）
4相互独立事件
(1)一般地，对于两个事件A，B，如果_ P(AB)＝P(A)P(B) ，则称
A、B相互独立．
(2)如果A
1
，A
2
，…，A

n相互独立，则有P(A
1
A
2
…A
n
)＝_
P(A
1
)P(A
2
)…P(A
n
).
(3)如果A，B相互独立，则A与
－
B，
－
A与B，
－
A 与
－
B也相互独立．

18

5．独立性检验（分类变量关系）：
(1)2×2列联表
设
A,B
为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量
A:A
1
,A
2
A
1
;
变量
B:B
1
,B
2
B
1
;

通过观察得到右表所示数据：
并将形如此表的表格称为2×2列联
表．
(2)独立性检验
根据2×2列 联表中的数据判断
两个变量A，B是否独立的问题叫
2×2列联表的独立性检验．
(3) 统计量χ2的计算公式
n（ad－bc）
2
χ2=

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）


6.复数相关结论
.(1) z=a+bi
∈
R

b=0 (a,b
∈
R)

z=
z

z
2
≥0；
(2) z=a+bi是虚数

b≠0(a,b
∈
R)；
(3) z=a+ bi是纯虚数

a=0且b≠0(a,b
∈
R)

z＋z
＝0（z≠0）

z
2
<0；
(4) a+bi=c+di

a=c且c=d(a,b,c,d
∈
R)；
7．复数的代数形式及其运算
设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d
∈
R)，则：
(1) z
1
±z
2
= (a + b)± (c + d)i；
(2) z
1
·z
2
= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
19

(3) z
1
÷z
2
=
(abi)(cdi)
bdbcad
(z
≠0)


ac
2
i
(cdi)(cdi)
c2
d
2
c
2
d
2
8．几个重要的结论
(1)
(1i)
2
2i
；
1i1i
i;i;

1i1i
(2)
i< br>性质：T=4；
i
4n
1,i
4n1
i,i
4 n2
1,i
4n3
i
；
i
4n
i< br>4n1
i
42
i
4n3
0;

(3)
z1zz1z
。
9．运算律：（1）
z
m
z
n
z
mn
;(2)(z
m
)
n
z
mn
;(3)(z
1
z
2
)
m< br>z
1
m
z
2
m
(m,nN);

选修2-1
1.如果闭区间

a,b

上函数
f (x)
的图像是连续曲线，且满足
f(a)f(b)0
，
那么
f( x)
在开区间
(a,b)
内至少存在一个零点。
2.如果一条直线垂直于一个平面内两天相交直线，那么这条直线垂直
于这个平面。
3.如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线平行于另一个
平面。


4.若向量
a,b满足ab0,则ab.

1< br>z
5.
结合律：(ab)cc(ab);
交换律：abba;

6.设

、

为实数，那么

(1)< br>
aa

(

R);
(2)

(ab)

a

b,(



)a 

a

a(

R,

R);
(3)(

)a

(

a)(

R,

R).
7.空间两个向量
8.空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律：
20