9．在极坐标系中曲线C：
ρ
=2cos
θ
上的点到（1，
π
）距离的最大值为 3 ．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（ 1，
π
）的距离，进而得出最大值．
【解答】解：曲线C：
ρ
=2 cos
θ
即
ρ
=2
ρ
cos
θ
，化为直角 坐标方程：x+y=2x，
配方为：（x﹣1）+y=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．
点P（1，
π
）化为直角坐标P（﹣1，0）．
∴|CP|=2，
∴曲线C：
ρ
=2cos
θ
上的点到（1，
π
）距离的最 大值=2+1=3．
故答案为：3．

10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编 号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以
ξ
表示取到球中
的最大号码，则
ξ< br>的数学期望是 ．
22
222
【考点】离散型随机变量的期望与方差． < br>【分析】由已知得
ξ
的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出E（< br>ξ
）．
【解答】解：由已知得
ξ
的可能取值为3，4，5，
P（
ξ
=3）==，
P（
ξ
=4）==，
P（
ξ
=5）==，
∴E（
ξ
）=
故答案为：．

=．

11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的 一条渐近线的直线与双曲线
交于点P，M在直线PF上，且满足
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（
曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），
，则= ．
，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双
代入双曲线的 方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x
﹣），求得M的坐标 ，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．
的a=1，b=2，c==， 【解答】解：双曲线
可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，
）， 设过点F且平行于双 曲线的一条渐近线为y=2（x﹣
代入双曲线的方程，可得x=
可得P（，﹣），
），可得M（
，
由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣，﹣），
即有==．
故答案为：．

12．现有5位教师要带三个班级外出参加 志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师
甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 54 ．（用数字作答）
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，采用分类原理，对 甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分
别求解，最后求和即可．
【解答】解：当甲，乙带不同班时：
×=36种；

当甲，乙带相同班时，
=18种；
故共有54中，
故答案为：54．

13．若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0， +
∞
）内恰有三个相异实根，则实数m的取
值范围为 （6，） ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．
【解答】解：当x≥时，5x﹣≥0，
∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，
∴（4x+）﹣（5x﹣）=m，即﹣x+=m；
∴m≤
当0＜x＜
．
时，5x﹣＜0，
∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，
∴（4x+）+（5x﹣）=m，
即9x+=m；
∵9x+≥6；
∴当m＜6时，方程9x+=m无解；
当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；
当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；
当m=10时，方程9x+=m的解为1，；

综上所述，实数m的取值范围为（6，
故答案为：（6，

）．
）．
14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也 可用来求旋转体的体积．现
介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相 等的圆柱，然后在
圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何 体与半球
应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解
答以下问题：已知椭圆的标准方程为
何体（图2），其体积等于 ．
，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】构造一个底面半 径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球
的体积为几何体体积的2倍．
【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，
现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然 后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆
柱上底面为底面的圆锥，
根据祖暅原理得出 椭球的体积V=2（V
圆柱
﹣V
圆锥
）=2（
π
×2×5﹣
故答案为：

二、选择题
15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+
∞
）上递增的是（ ）
A．y=2 B．y=lnx C．
|x|
2
）=．
．
D．

【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．
【解答】解：A．函数y=2为偶函数，不满足条件．
B．函数的定义域为（0，+
∞
），函数为非奇非偶函数，不满足条件．
C.
D.
故选：C

16．已知直线l的倾斜角为
α< br>，斜率为k，则
“
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
”
是
“”
的（ ）
是奇函数，在（0，+
∞
）上递增，满足条件．
是奇函数，当0＜x＜1时函数为减函数，当x＞1时函数为增函数，不满足条件．
|x|
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】
“
【解答】解：
“
”
，可得0≤tan
α
＜
”
⇒0≤tan
α
＜
，
“
⇒
“
”
；反之不成立，
α可能为钝角．
”
；
反之不成立，
α
可能为钝角．
∴
“
故选：A．

17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）
A．
C．
B．
D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|

”
是
“”
的充分不必要条件．
【考点】基本不等式．
【 分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：
（t+1）≥0，即可判断出真假；
﹣=t﹣t﹣2=（t﹣2）
2

B.﹣=﹣，即可判断出真假．
C．取x=1，y=2，即可判断出真假；
D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．
【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴
﹣2）（t+1）≥0，正确；
B．∵＞
≤0，∴
C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+
，∴
≤< br>﹣
，正确．
=﹣
﹣=t﹣t﹣2=（t
2
=1﹣1=0＜2，因此不正确；
D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．
故选：C．

18．已知命题：
“
若a，b为异面直线，平面< br>α
过直线a且与直线b平行，则直线b与平面
α
的距
离等于异面直线a ，b之间的距离
”
为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间
的距离 为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（ ）
A．0条 B．1条
C．多于1条，但为有限条 D．无数多条
【考点】点、线、面间的距离计算．
【 分析】如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A
1
B
1
C
1D
1
．取AD=a，A
1
B
1
=b，假设平行平面AB CD
与A
1
B
1
C
1
D
1
之间的 距离为d．若平面BCC
1
B
1
∥a，平面CDD
1
C1
∥b，且满足它们之间的距离等于d，
其交线CC
1
满足条件．把满足 平面BCC
1
B
1
∥a，平面CDD
1
C
1
∥b，且它们之间的距离等于d的两个
平面旋转，则所有的交线CC
1
都满足条件， 即可判断出结论．
【解答】解：如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A
1
B< br>1
C
1
D
1
．
取AD=a，A
1
B
1
=b，假设平行平面ABCD与A
1
B
1
C
1
D
1
之间的距离为d．
平面BCC
1
B
1
∥a，平面CDD
1
C
1
∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC
1
满足与a，b均异
面且距离也均为d的直线c．

把满足平 面BCC
1
B
1
∥a，平面CDD
1
C
1
∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的
交线CC
1
都满足与a，b 均异面且距离也均为d的直线c．
因此满足条件的直线有无数条．
故选：D．


三、解答题
19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A
1< br>B
1
C
1
中，
动点．
（1）证明：DC
1
⊥BC；
（2）求三棱锥C﹣BDC
1
的体积．
，D是棱AA
1
上的

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）由棱锥是直棱锥 可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC
1
A
1
，进一步得到BC⊥DC
1
；
（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC
1
的体积转化为三棱锥B﹣CDC
1
的体积求解．
【解答】（1）证明：如图 ，∵直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，CC
1< br>⊥平面ABC，

∴CC
1
⊥底面ABC，又CC
1< br>⊂面ACC
1
A
1
，
∴面ACC
1
A1
⊥底面ABC，而面ACC
1
A
1
∩
底面ABC=A C，
由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACC
1
A
1
，
∴BC⊥DC
1
；
（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC
1
A
1
，
∵
∴AA
1
=2，
则
∴=

．
，


20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用 它们和两面成直角的墙OM、ON围
成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都 足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），
，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=
θ< br>，四边形OAPB的面积为S．
（1）将S表示为
θ
的函数，并写出自变量
θ
的取值范围；
（2）求出S的最大值，并指出此时所对应
θ
的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理 ，得：
（cos
θ
+sin
θ
）．再利用三角形面积计算公式即可得 出．
（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．
【解答】 解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：
（cos
θ
+sin
θ
）．
所以，S=
∪
．
22
，得OB=10
，得OB= 10
=100（sin
θ
cos
θ
+sin
θ
），
θ
∈
2
（2）S=100（sin
θ
cos
θ+sin
θ
）=50（2sin
θ
cos
θ
+2sin
θ
）
=50（sin2
θ
﹣cos2
θ
+1）=
所以S的最大值为：50

21．已知函数，其中a∈R．
+50，
θ
=．
，
（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知a＞0，函数f （x）的反函数为f（x），若函数y=f（x）+f（x）在区间[1，2]上的最
小值为1+log
2
3，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义；反函数．
【分析】（1）由
时函数为偶函数；
（2）可判断
从而解出a．
【解答】解：（1）∵
∴f（﹣x）=﹣ax+log
2
（2+1）
﹣x
﹣1﹣1
得f（﹣x）=﹣ax+log
2
（2+1）﹣x，从而可得 当a=
x
与f（x）都是增函数，从而可得f（1）+f（1）=1+log
2
3，
﹣1﹣1
，

=﹣ax+log
2
（2+1）﹣log
2
2
=﹣ax+log
2
（2+1）﹣x，
∴f（﹣x）=f（x），
即﹣ax﹣x=ax，
故a=；此时函数为偶函数，
x
xx
若a≠﹣，函数为非奇非偶函数；
（2）∵a＞0，
∴单调递增，
﹣1
又∵函数f（x）的反函数为f（x），
∴f（x）单调递增；
∴f（1）+f（1）=1+log
2
3，
即a+log
2
3+f（1）=1+log
2
3，
故f（1）=1﹣a，
即a（1﹣a）+log
2
（2
解得，a=1；
故f（2）=2+log
2
5．

22．已知椭圆C：的焦距为 ，且右焦点F与短轴的两个端点组成一
a﹣1
﹣1
﹣1
﹣1
﹣1+1）=1，
个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x
1
，y
1）、B（x
2
，y
2
），且在椭圆C上存在点M，使得：
（其中 O为坐标原点），则称直线l具有性质H．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；
（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【分析】（1）由椭圆的焦距为
由此能求出椭圆C的方程．
，右焦点 F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，
（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则 A（t，y
1
），B（t，y
2
），设M（x
m
，y
m
），求出
=﹣，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．
，
（3） 假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x
1
，y
1
），Q（x
2，y
2
），R（x
3
，y
3
），使得直线PQ、QR、
RP都具有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的
点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．
【解答】解：（1）∵椭圆C：的焦距为，∴c=，
∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=
∴a=b+c=4，
∴椭圆C的方程为．
222
，解得b=1，
（2）设直线l：x=t，（ ﹣2＜t＜2），则A（t，y
1
），B（t，y
2
），
其中y< br>1
，y
2
满足：
设M（x
m
，y
m
），
∵
∴，
（其中O为坐标原点），
=﹣，
，
，
或x=﹣．
，y
1
+y
2
=0，
∵点M在椭圆 C上，∴
∴49t+4﹣t=100，∴t=
∴直线l的方程为x=
22
证明 ：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），R（x
3
，y
3
），
使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，
∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M，使得：，

设M（x
m
，y
m
），则，y
m
=，
∵点M在椭圆上，∴+（）=1，
2
又∵，，∴=0，
①

同理： =0，
②
，，
③

1）若x
1
， x
2
，x
3
中至少一个为0，不妨设x
1
=0，则y
1
≠0，
由
①③
得y
2
=y
3
=0， 即Q，R为长轴的两个端点，则
②
不成立，矛盾．
2）若x
1
，x
2
，x
3
均不为0，则由
①②③
得=﹣＞0，矛盾．
∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．

23．已知数列{a
n
}和{b
n
}满足：
均有
（ 1）求证：数列
．
为等差数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
，且对一切n∈N，
*
（2）若
λ
=2，求数列{b
n
}的 前n项和S
n
；
（3）设
*
，记数列{c
n
}的 前n项和为T
n
，问：是否存在正整数
λ
，对一切n
∈N，均有T< br>4
≥T
n
恒成立．若存在，求出所有正整数
λ
的值；若不存在 ，请说明理由．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）化简可得，从而写出
，即
2
；
n
（2）当
λ
=2时，a
n
=n+n，从而求得b
n
=2，从而求等比 数列前n项和．

（3）仿照（2）可得
从而分类讨论以确定
λ
的值．
【解答】解：（1）证明：∵
两边除以n（n+1）得，
，b
n
=
2n+r﹣2
，从而化简c
n
=
2﹣r﹣2n
﹣（），
，
，
即，故数列为等差数列，
故，故
2
；
（2）当
λ
=2时，a
n
=n+n，
∵
∴b1
=
b
n+1
=
综上所述，b
n
=2，
S
n
==2﹣2；
n+1
n
，
=2，
==2，
n+1
（3）仿照（2）可得，
，b
n
=c
n
==
*
2n+r﹣2
，
）， ﹣=
2﹣ r﹣2n
﹣（
∵对一切n∈N，均有T
4
≥T
n
恒成立，
∴当n＞4时，c
n
≤0；
若
λ
=1，则c
n< br>=
c
5
=﹣
1﹣2n
﹣，
＞0，故T
5
＞T
4
，故不成立；
﹣2n
若
λ
=2，则c
n
=﹣，

故c
1
=﹣=0，c
2
=﹣，c
3
=﹣
c
5
=﹣＜0，
n2
＞0，c
4
=﹣＞0，
且当n≥5时，2＞n+n，
故成立；
若
λ
=3，则c
n
=
故c
1
=
﹣，
﹣＞0，c
2
=n2
﹣＞0，c
3
=﹣＞0，c
4
=﹣＞0，
故且当n≥5时，
若
λ
≥4，则c
n
=

•
2＞n+2n，故成立；
﹣，
c
4
=
令f（r）=16
﹣，
﹣16﹣4（r﹣1），
•
﹣4=4（ln4
•
﹣1）＞0， 则f
′
（r）=16
•
ln
故f（r）在[4，+
∞
）上是增函数，
故f（4）=16×2﹣16﹣4×3＞0，
故c
4
＜0，
故T
3
＞T
4
，故不成立；
综上所述，
λ
的值为2或3．