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2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷
（一）（解析 版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在 每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·长郡中学一模)已 知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x
2
－4x＋3≤0}，若A∩B＝B，则实
数a的取值围是( )
A．a>3 B．a≥3 C．a≤1 D．a<1
答案 D
解析 因为B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝B，所以a<1.故选D.
2．(2019·二模)若复数
a－2i
(a∈R)为纯虚数，则|3－ai|＝( )
1＋i
A.13 B．13 C．10 D.10
答案 A
a－2＋－a－2i
解析
＝＝，
2
1＋i1＋i 1－i
a－2ia－2i1－i
a－2i
因为复数
(a∈R)为纯 虚数，所以
1＋i
－a－2
2
≠0.


a－2＝ 0，
即

解得a＝2，


a＋2≠0.
所以| 3－ai|＝|3－2i|＝3
2
＋－2
2
＝13.故选A.



a－2
2
＝0，


< br>3．(2019·江淮十校模拟)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群
中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女
性80 人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，
其中阴影部分 表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )

A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B．是否倾向选择生育二胎与性别有关
C．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
答案 C
解析 由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎
的人员中，农村户籍人数 少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为
0.8×120＝96人，女性人数为0. 6×80＝48人，男性人数与女性人数不相同，故C错误，故
选C.
4．(2019·模拟 )设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
4
＝4，S
9
＝72，则a
10
＝( )
A．20 B．23 C．24 D．28
答案 D


a
4
＝a
1
＋3d＝4，
解析 由于 数列是等差数列，故

解得a
1
＝－8，d＝4，故a
10
＝a
1


S
9
＝9a
1
＋36d＝72 ，
＋9d＝－8＋36＝28.故选D.
5．(2019·一模)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直
线l的斜率为( )
A．－2 B．2 C．－e D．e
答案 B
解析 函数f(x)＝xln x的导数为f′(x)＝ln x＋1，设切点为(m，n)，则n＝mln m，可得切
n＋emln m＋e
线的斜率为k＝1＋ln m，∴1＋ln m＝
m
＝，解得m＝e，k＝1＋ln e＝2，故选B.
m
→
2
→→→
1
→
6．(2019·质检)如图，在△ABC中，AN＝
3
NC，P是BN上一点，若AP＝tAB＋
3
AC，则

实数t的值为( )

2213
A.
3
B.
5
C.
6
D.
4

答案 C
→→→→→→→→→→
解析 由题意及图，AP
＝AB＋BP＝AB＋mBN＝AB＋ m(AN－AB
)＝mAN
＋(1－m)AB，又

1－m＝t，
→
2
→→
2
→→
2
→→→→
1
→
A N
＝
3
NC
，∴AN＝
5
AC
，∴AP＝
5
mAC
＋(1－m)AB，又AP＝tAB＋
3
AC
，∴

21
m＝

53
，
51
m＝
6
，t＝
6
，故选C.

解得
7．(2019·一模)如图是某几何 体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何
体的体积为( )

4050
A．12 B．15 C.
3
D.
3

答案 D
解析 其直观图为四棱锥E－ABCD，由题意得

1
1

1
50

V＝
3
×

2×4×4＋
2
×2×2

×5＝
3
.故选D.


x
2
y
2
8．(2019·华师附中模拟)设 F
1
，F
2
分别是椭圆
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线
a
2
x＝
c
(其中c
2
＋b
2
＝a
2
)上存在点P，使线段PF
1
的垂直平分线经过点F
2
，则椭圆离心率的取值
围是( )

3

2

2

3

A.

0，

B.

0，

C.

，1

D.

，1


2

3

3

2

答案 C

a

解析 由题意得F
1
(－c,0)，F
2
(c,0)，设点P

c
，m

，则由中点公式可得线段 PF
1
的中点

m－0

a
2
－c2
1


，∵线段PF
1
的斜率与KF
2的斜率之积等于－1，即
2
·
22
＝－1，∴m
2
K< br>
，
m
a
2

2c
a
－c
＋c
c
2c
－c
22

a

a


c
－3c

≥0，∴a
4
－2a
2
c
2
－3c
4
≤0，∴3e
4
＋2e
2< br>－1≥0， ＝－

c
＋c

·

2
1
2
m－0
13
∴e
2
≥
3
或e
2
≤－1(舍去)，∴e≥
3
.
3
又椭圆的离心率03
≤e<1，故选C.

xe
x
，x≤0，
9．(2019·模拟)已知函数f(x)＝



2－|x－1|，x>0，
若函数g(x)＝f(x)－m有两个零点x
1
，x
2
，则x
1
＋x
2
＝( )
A．2
C．2或3
答案 D
解析 当x≤0时，f′(x)＝ (x＋1)e
x
，当x<－1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上为减
函数，当－10，故f(x)在(－1,0)上为增函数，所以当x≤0时，f(x )的最小值为
1
f(－1)＝－
e
.又在R上，f(x)的图象如图所示，
1
B．2或2＋
e

1
D．2或3或2＋
e

因为 g(x)有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m有两个不同的解，即直线y＝m与y＝f(x)
1< br>有两个不同交点且交点的横坐标分别为x
1
，x
2
，故1e
.若1111
x
1
＋x
2
＝2；若m＝0，则x
1
＋x
2
＝3；若m＝－
e，则x
1
＋x
2
＝－1＋3＋
e
＝2＋
e.综上，x
1
＋x
2
1
的值为2或3或2＋
e
，故选D.
10．(2019·模拟)如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴 影部分的
概率为( )

2
A．1－
π

2
C．
π
2

答案 A
解析 S
矩 形
＝π×1＝π，又

sinxdx＝－cosx

＝－(cosπ －cos0)＝2，

0

0
π

π
2
B．
π

2
D．1－
π
2


π－2
2
∴ S
阴影
＝π－2，∴豆子落在图中阴影部分的概率为
π
＝1－
π.故选A.
x
2
y
2
11．(2019·昌平期末)设点F< br>1
，F
2
分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C
95→→
上任意一点，若使得PF
1
·PF
2
＝m成立的点恰好是4 个，则实数m的值可以是( )
1
A.
2
B．3 C．5 D．8
答案 B
x
2
y
2
解析 ∵点F
1，F
2
分别为椭圆C：
9
＋
5
＝1的左、右焦点，即F
1
(－2,0)，F
2
(2,0)，a
2
＝

→→→→
9，b
2
＝5，c
2
＝4，c＝2，设P(x0
，y
0
)，PF
1
＝(－2－x
0
，－y< br>0
)，PF
2
＝(2－x
0
，－y
0
)，由 PF
1
·PF
2
＝m可得
2
x
2
0
＋y
0
＝m＋4，又∵P
9m－9
x
2
y
2→→
00
2
在椭圆上，即
9
＋
5
＝1，∴x< br>0
＝
4
，要使得PF
1
·PF
2
＝m
9m－9
成立的点恰好是4个，则0<
4
<9，解得112．(2019·、二模)已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为26， 球的半
径为5，则正四面体表面与球面的交线的总长度为( )
A．4π B．82π C．122π D．12π
答案 A
解析 ∵正四面体A－BCD的中心与球心O重合， 正四面体的棱长为26，取CD的中
点E，连接BE，AE，过A作AF⊥底面BCD，交BE于F，则 BE＝AE＝
2
BF＝
3
BE＝22，
26
2
－6
2
＝32，

AF＝26
2
－22
2
＝4，设正四面体切球半径为r，则(4－r)
2< br>＝(22)
2
＋r
2
，解得正四
5－1
面体切球半径 为r＝1，∵球的半径为5，∴由球的半径知球被平面截得小圆半径为r
1
＝
＝2，故 球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30°，∴正四面体
30°
 
×2π×2

＝4π.故选A.
表面与球面的交线的总长度为4×

3×
360°

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

x－y＋1≤0，
13．(2019·质检)设x，y满足约束条件

2x－y≥0，

x≤ 2，

则z＝2x＋3y的最小值为________．
答案 8
x－y＋1≤0，


画出不等式组

2x－y≥0，


x≤2
解析

表示的平面区域，如图阴影部分所示，

由图形知，当目标函数z＝2x＋3y过点A时，z取得最小值．


x－y＋1＝0，
由

求得A(1,2)，


2x－y＝0，
所以z＝2x＋3y的最小值是2×1＋3×2＝8.
14．(2019·金山中学模拟)数列{a
n
}且a
n
＝
1


n
2
＋2n
，n为奇数，


nπ


sin
4
，n为偶数，
3028答案
2019


若S
n
为数列{a
n}的前n项和，则S
2018
＝________.
解析
1


n
2
＋2n
，n为奇数，
数列{a
n
}且a
n
＝

nπ

sin

4
，n为偶数，


11

1
－
1


；
①当n为 奇数时，a
n
＝
2
＝

n
n＋2
n＋2n
2

nπ
②当n为偶数时，a
n
＝sin
4
，
1
所以S
2018
＝(a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
2017
)＋(a
2
＋a
4
＋a
6
＋…＋a
2018
)＝
2

11111

10093028


1－
3
＋< br>3
－
5
＋…＋
2017
－
2019

＋(1＋0－1＋…＋0)＝＋1＝
20192019
.

15．(2 019·二模)将多项式a
6
x
6
＋a
5
x
5＋…＋a
1
x＋a
0
分解因式得(x－2)(x＋2)
5
，则a
5
＝
________.
答案 8
解析 (x－2)( x＋2)
5
＝(x
2
－4)(x＋2)
4
，(x＋2)4
展开式中的x
3
系数为C
1
2
1
＝8.所以 a
5
＝8.
4
·
16．(2019·期末)已知函数f(x)＝s inx·cos2x(x∈R)，则f(x)的最小值为________．
答案 －1
解析 函数f(x)＝sinx·cos2x＝sinx(1－2sin
2
x)＝si nx－2sin
3
x，令t＝sinx∈[－1,1]，
则h(t)＝t－2t
3
，h′(t)＝1－6t
2
，
6

6

当－1≤t<－
6
时，h′(t)<0，h(t)在

－1，－

上单调递减；
6

66

66

当－
6
≤t<
6
时，h′(t)≥0，h (t)在

－，

上单调递增；
6

6
6

6

当
6
≤t≤1时，h′(t)≤0，h(t)在

，1

上单调递减．

6


6

所以函数的最小值是h

－

或h(1)，

6

66

6

6

h( 1)＝－1
－

＝－
6
－2

－< br>
3
＝－
9
，

6

6

故函数f(x)的最小值为－1.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必
考题，每个试 题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.设( sinB
－sinC)
2
＝sin
2
A－sinBsinC.
(1)求A；
(2)若2a＋b＝2c，求sinC.
解 (1)由已知得sin
2
B＋sin
2
C－sin
2
A＝sinBsinC，
故由正弦定理得b
2
＋c
2
－a
2
＝bc.

b
2
＋c
2
－a
2
1
由余弦定 理得cosA＝
2bc
＝
2
.
因为0°(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，
631
即
2
＋
2
cosC＋
2
sinC＝2sinC，
2
可得cos(C＋60°)＝－
2
.
2
因为0°2
，
6 ＋2
故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋ 60°)sin60°＝
4
.
18．(本小题满分12分)(2019·一模)小明 在市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公
司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪1 00元，每派送一单奖励1元；乙方
案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单 奖励12元．
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式；

(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，得到了如图所示的派送量指标的频率分布
直 方图，并发现每名派送员的日平均派送单数满足以下条件：当某天的派送量指标在

2n－1 
n


，
5

(n＝1,2,3,4,5)时， 日平均派送量为(50＋2n)单．

10

若将频率视为概率，回答下列问题：
①根据以上数据，设 一名派送员的日薪为Y(单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案中日
薪Y的分布列、数学期望及方差；
②结合①中的数据，利用统计的知识，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，
并说明你 的理由．
(参考数据：0.6
2
＝0.36,1.4
2
＝1.96 ,2.6
2
＝6.76,3.4
2
＝11.56,3.6
2
＝12.96,4.6
2
＝21.16,15.6
2
＝

243.36,20.4
2
＝416.16,44.4
2
＝1971.36 )
解 (1)甲方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式为y＝100＋n，n∈
N. < br>乙方案中派送员日薪y(单位：元)与派送单数n的函数关系式为y＝


14 0n≤55，n∈N，




12n－520n>55，n ∈N.
(2)①由已知，在这100天中，该公司的一名派送员的日平均派送单数满足下表：
派送单数
频率
所以Y
甲
的分布列为
Y
甲

P
152
0.2
154
0.3
156
0.2
158
0.2
160
0.1
52
0.2
54
0.3
56
0.2
58
0.2
60
0.1

所以E (Y
甲
)＝152×0.2＋154×0.3＋156×0.2＋158×0.2＋160×0 .1＝155.4，
2222
s
2
甲
＝0.2×(152－155 .4)
＋0.3×(154－155.4)＋0.2×(156－155.4)＋0.2×(158－1 55.4)＋
0.1×(160－155.4)
2
＝6.44；
Y
乙
的分布列为
Y
乙

P
140
0.5
152
0.2
176
0.2
200
0.1
所以E(Y
乙
)＝140×0.5＋152×0.2＋176×0. 2＋200×0.1＝155.6，
2222
s
2
乙
＝0.5×( 140－155.6)
＋0.2×(152－155.6)＋0.2×(176－155.6)＋0.1 ×(200－155.6)＝
404.64.
2
②答案一：由①可知，E(Y
甲
)乙
)，但两者相关不大，且s
甲
远小于s
2
乙
，即甲方案中日
薪的波动相对较小，所以小明选择甲方案比较合适．
答案 二：由①可知，E(Y
甲
)乙
)，即甲方案中日薪的期望小于乙方案 中日薪的期望，
所以小明选择乙方案比较合适．
19．(本小题满分12分)(2019·调 研)如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，过A，B分别作AE

⊥CD，BF⊥CD， 垂足分别为E，＝AE＝2，CD＝5，已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE，
BF同侧折起，得空间 几何体ADE－BCF，如图2.

(1)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE； < br>(2)若DE∥CF，CD＝3，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值
5
为
20
，求AP的长．
解 (1)证明：由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在题图2中，AF⊥BE，
由已知得AF⊥BD，BE∩BD＝B，∴AF⊥平面BDE，
又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF＝A，∴DE⊥平面ABFE.
(2)在题图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，即AE⊥平面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作DM∥EF交CF于点M，连接CE，
π
由题意得DM ＝2，CM＝1，由勾股定理可得DC⊥CF，则∠CDM＝
6
，CE＝2，
过E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
→→→
以E为坐 标原点，以EA，EF，EG分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

< br>13

则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1，3)，D
0，－
，

，
22

→→

13

AC
＝(－2,1，3)，AD＝

－2，－，

.
22

设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

→

n·AC
＝0，
由

→
n·AD
＝0，


－2x＋y＋3z＝0，
得

1 3
－2x－
y＋

22
z＝0，


取x＝1得n＝(1，－1，3)，
设AP＝m，则P(2，m,0)(0≤m≤2)，
→
得CP＝(2，m－1，－3)，
设CP与平面ACD所成的角为θ，
→
sinθ＝|cos〈CP
，n〉|＝
2
∴AP＝
. < br>3
20．(本小题满分12分)(2019·高考)如图，已知点F(1,0)为抛物线y
2
＝2px(p>0)的焦点．过
点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得 △ABC的重心G在x轴上，直线
AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积 分别为S
1
，S
2
.
52
＝
20
⇒m＝
3
.
2
5·7＋m－1
|m|

(1)求p的值及抛物线的准线方程；
S
1
(2)求
S
的最小值及此时点G的坐标．
2
p
解 (1)由题意得
2
＝1，即p＝2.
所以抛物线的准线方程为x＝－1.
(2)设A(x
A
，y
A)，B(x
B
，y
B
)，C(x
C
，y
C)，重心G(x
G
，y
G
)．令y
A
＝2t，t≠0， 则x
A
＝t
2
.
t
2
－1
由于直线AB 过F，故直线AB的方程为x＝
2t
y＋1，
2t
2
－1代入y
2
＝4x，得y
2
－
y－4＝0，
t