武汉警官学院-工地管理制度

平面向量知识点整理
1、概念
（1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
（2）单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与两条直线平行是不 同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,
但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有零向量)
AC
共线④三点A、B、C共线
AB、
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．
（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。
a 的相反向量是-a

（6 ）向量表示：几何表示法
AB
；字母a表示；坐标表示：a＝
ｘｉ
＋
ｙ
j＝（
ｘ
，
ｙ
）.
uuur
uuur
r
r
r
（7）向量的模：设
OAa
，则有向线段
OA的长度叫做向量
a
的长度或模，记作：
|a|
.
rr
2
r
22222
（
|a|xy,a|a|xy
。）
（8）零向量：长度为
0
的向量。
a
＝O

｜
a
｜＝O.

r r
rr
【例题】1.下列命题：（1）若
ab
，则
ab
。（2）两个向量相等的充要条件是
uuuruuur
它们的起点相同，终点相同。（3）若< br>ABDC
，则
ABCD
是平行四边形。（4）若
rrrrrrrr< br>uuuruuurrr
（5）若
ab,bc
，则
ac
。 （6）若
ab,bc
，
ABCD
是平行四边形，则
ABDC
。
rr
则
ac
。其中正确的是_______
（答：（4）（5））
uurr
rr
2.已知
a,b
均为 单位向量，它们的夹角为
60
o
，那么
|a3b|
＝_____
（答：
13
）；

2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．

C

r
a


r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等式：
ababab
．
精选
ruuuruuur

r

r
uuu
abCC


r
b


r
r
r
rr
r
r
r
rr
⑷运算性质：①交换律：
abba
；②结合律：
abcabc
；

r
rr
rr
③
a00aa
．
r
r
r
r
⑸坐标运算： 设
a

x
1
,y
1

，
b< br>
x
2
,y
2

，则
ab
< br>x
1
x
2
,y
1
y
2

．
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． < br>r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a

x
1
,y
1

，
b

x
2
,y< br>2

，则
ab

x
1
x
2< br>,y
1
y
2

．
uuur
设

、

两点的坐标分别为

x
1
,y
1
，

x
2
,y
2

，则
 

x
1
x
2
,y
1
y
2

．
【例题】
uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）①
ABBCCD
___；②
ABADDC
____；
uuur
uuur
r
uuuruuuruuuruuur
③
(ABCD)(ACBD)
_____ （答：①
AD
；②
CB
；③
0
）；

u uurruuurruuurr
rrr
（2）若正方形
ABCD
的边长为1，
ABa,BCb,ACc
，则
|abc|
＝_____
（答：
22
）；

uuruuruur
（3）已知作用在 点
A(1,1)
的三个力
F
1
(3,4),F
2
(2,5),F
3
(3,1)
，则合力
uruuruuruur
FF
1
F
2
F
3
的终点坐标是
（答：（9,1））

4、向量数乘运算：
r
r
⑴实数

与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作

a
．
rr
①

a

a
；
r
r
②当

0
时，

a
的方向与
a
的方向相同；
r
r
r
r
当

0
时，

a
的方向与
a
的方向相反；当

 0
时，

a0
．
r
r
r
r
r rrrr
⑵运算律：①



a


< br>

a
；②





a

a

a
；③

ab

a

b
．

r
r
⑶坐标运算：设
a

x,y

，则

a


x,y




x,

y

．

1

【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且
MPMN
，则点P的坐标为_______
3
7
（答：
(6,)
）；
3
r
rr
r
5、向量共线定理：向量
aa0
与
b
共线，当且仅当有 唯一一个实数

，使


rr
r
r
rr
2
rr
2
r
r
b

a
．设
a

x
1
,y
1

，
b
x
2
,y
2

，（
b0
）
(ab)(|a||b|)
。
精选

rr
rr
【例题】 (1)若向量
a(x,1),b(4,x)
，当
x
＝_____时
a
与
b
共线且方向相同
（答：2）；
rr
rrrrrr
rr
（2）已知
a(1 ,1),b(4,x)
，
ua2b
，
v2ab
，且
uv
，则x
＝
______
（答：4）；
rrrrrrrr< br>abab0|ab||ab|
x
1
x
2
 y
1
y
2
0
.
6、向量垂直：

uu uruuur
uuuruuur
【例题】(1)已知
OA(1,2),OB(3 ,m)
，若
OAOB
，则
m

3
）；
2
（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，
B90
，
则点B的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
r
rur
ur
rur
（3）已知
n(a,b),向量
nm
，且
nm
，则
m
的坐标是_______ _
（答：
（答：
(b,a)或(b,a)
）

7、平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r
o
⑴
ababcos

a0,b0,0
180
o
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
 
rr
r
r
r
r
rr
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
abab0
．②当
a
与
b
同向时，
r
r
r
r
r
r
rr
r
rrrr
2
rrr
r
abab
；当< br>a
与
b
反向时，
abab
；
aaa
2
a
或
aaa
．③
r
r
r
rabab
．
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
r
⑶运算律：①
abba
；②


a

b

aba

b
；③
abcacbc
．
 

r
r
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a

x
1
,y
1

，
b
< br>x
2
,y
2

，则
abx
1
x
2
y
1
y
2
．
r
r
r
2
若
a

x,y

，则
ax
2y
2
，或
ax
2
y
2
．
r< br>r
设
a

x
1
,y
1

，
b

x
2
,y
2

，则
a⊥ b

a·b＝0

x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0.

则a∥b

a＝
λ
b(b
≠
0)

x1
y
2
＝

x
2
y
1
.


r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，
a

x
1
,y
1

，
b
< br>x
2
,y
2

，

是
a
与
b
的夹角，则
r
r
rrrr
x
1
x
2
y
1
y
2
ab
cos


r
r

；（注
|a•b||a||b|
）
2222< br>ab
x
1
y
1
x
2
y
2


精选

【例题】
（1）△ABC中，
|AB| 3
，
|AC|4
，
|BC|5
，则
ABBC_________
（答：－9）；
rur
rrurrr

1
r
1
rr
（2）已知
a(1,),b(0,),cak b,dab
，
c
与
d
的夹角为，则
k
等
22
4

于____ （答：1）；
rrrr
rr
（3）已知
a2,b5,a
g
；
b3
，则
ab
等于____ （答：
23）
rrr
rrrr
rr
a
（4）已知
a,b
是 两个非零向量，且
abab
，则
与ab
的夹角为____
（答：
30
o
）
（5）已知
a(

, 2

)
，
b(3

,2)
，如果
a与
b
的夹角为锐角，则

的取值
41
范围是_____ _ （答：


或

0
且


）；
33
（6）已知向量
a
＝（sinx，cosx）,
b
＝（sinx，sinx）,
c
＝（－1，0）。（1）
若x＝，求向量
a
、
c
的夹角； （答：150°）；
3

r
8、
b
在
a
上的投影：即
|b|cos

，它是一个实数，但不一定大于0。
【例题】 已知
|a|3
，
|b|5
，且
ab12
，则向量< br>a
在向量
b
上的投影为
12
______ （答：)

5







精选

平面向量高考经典试题
一、选择题 rr
rr
1．已知向量
a(5,6)
，
b(6,5)，则
a
与
b

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
2、已知向量
a(1，n)，b(1，n )
，若
2ab
与
b
垂直，则
a
（ ）
A．
1
B．
2
C．
2
D．4
rr
rrrr
rrrr
3、若向量
a,b
满足|a||b|1
，
a,b
的夹角为60°，则
aaab
=______；
uuuruuuruuur
1
uuuruuur
4、在
△ABC
中，已知
D
是
AB
边上一点，若
AD2 DB，
则


（ ）
CDCA

CB
，
3
1
212
A． B． C．

D．


3
333
5、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ）
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
A．
EFOFOE
B.
EFOFOE

uuuruuuruuuruuuruuuruuur
C.
EFOFOE
D.
EFOFOE

6、已知平面向量
a(11)，，b(1，1)
，则向量
Ａ．
(2，1)

Ｃ．
(1，0)

二、填空题
1、已知向量
a=2，，4b=11，
．若向量
b(a+

b)
，则实数

的值是 ．





Ｂ．
(2，1)

Ｄ．
(1，2)

13
ab
（ ）
22

rr
rr
rrr

b
的夹角为60
，
ab1
，则
a
g
ab
．
2、若向量
a，

3、在平面直角坐标系中，正方形
OABC
的对角线
OB
的两端点分别为
O(0，0)
，
B(11)，
，则
uuuruuur
AB
g
AC

三、解答题：
．
1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4 )、B(0，0)、C(
c
，0)．
(1)若
ABgAC0
，求
c
的值；
(2)若
c5
，求sin∠A的值
tanC37
． 2、在< br>△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，
（1） 求
cosC
；
精选

uuuruuur
5
（2）若
CB
g
CA
，且
ab9
，求
c
．

2
3、在
△ABC
中，
a，b，c
分别是三个内角
A，B，C
的对边．若
a2,C
π
，
4
cos
B25

，求
△ABC
的面积
S
．
25
4、设锐角三角形ABC的内角A
，
B
，
C的对边 分别为a
，
b
，
c，
a2bsinA
．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若
a33
，
c5
，求b．
5、在
△ABC
中，
tanA
（Ⅰ）求角
C
的大 小；
（Ⅱ）若
△ABC
最大边的边长为
17
，求最小边的边长．
13
，
tanB
．
45



























精选

答案
选择题
rr
rr
rr
1、A. 已知向量
a(5, 6)
，
b(6,5)
，
ab30300
，则
a
与
b
垂直。
2、C
2ab=(3,n)
，由
2ab
与
b
垂直可得：
2

(3,n)(1,n)3n0n3
，
a2
。
rrrr
313
a
3、 解析：
aab111
，
2
22
4、A 在∆ ABC中，已知D是AB边上一点，若
AD
=2
DB
，
CD
=
CACB
，则
ur
2
uuur
uuuruuuru uuruuur
2
uuuruuur
2
uuuruuur
1
uu
2
CDCAADCAABCA(CBCA)

CACB
，=。
3
33
33
uuuruuuruuur
5、B 由向量的减法知
EFOFOE

6、
D

填空题
1
3
13
2).

ab
( 1，
22
rrrrrrr
4b=11，
．量
a
< br>b(2

,4

)
，
b(a+
< br>b)
，则1、解析：已知向量
a=2，，
2+λ+4+λ=0，实数

=
－
3．

rrrr
2
rrr
2rr
1
11
2、【解析】
a
g
abaaba abcos601
。
22
2

uuuruuur< br>3、解析：
AB
g
AC(0,1)(1,1)0(1)11 1.

解答题
uuuruuur
1、解: (1)
AB(3,4)

AC(c3,4)

uuuruuur
25
由
AB
g
AC3(c3)16253c0
得
c

3
uuuruuur
(2)
AB(3,4)

AC(2,4)

uuur uuur
25
AB
g
AC6161
2


cosA
uuu

sinA1cosA

ruuur

5
5205
AB
g
AC
< br>2、解：（1）
QtanC37，


22
sinC
37

cosC
1
．
8
1
cosC
．
8
精选
又
QsinCcosC1
解得
cosC
QtanC0
，
C
是锐角．

uuuruuur
5
（2）
Q
CB
g
C A
，
2


又
Qab9


abcosC
5
，
2
ab20
．
a
2
b
2
41
．
a
2
2abb
2
81
．
c
2
a
2
b
2
2abcosC36
．
c6
．
4
3
3、解： 由题意，得
cosB，B
为锐角，
sinB
，
5
5

sinAsin(πBC)sin

由正弦定理得
c

3π

72
，
B


410

10
111048
，


SacgsinB2
．
22757
7
4、解：（Ⅰ）由
a2bsinA
，根据正弦定理得
sinA2si nBsinA
，所以
sinB
由
△ABC
为锐角三角形得
B
2
1
，
2
π
．
6
22
（ Ⅱ）根据余弦定理，得
bac2accosB
272545
7
．
所以，
b7
．
5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关 系等解斜三角形的基本知识以及推理
和运算能力，满分12分．
13

45
1
． 解：（Ⅰ）
QCπ(AB)< br>，
tanCtan(AB)
13
1
45
3< br> 又
Q0Cπ
，
C
π
．
4
3
（Ⅱ）
QC
，
AB
边最大，即
AB1 7
．
4
又
Q
tanAtanB
，
A
，
B

0
，

，

角
A
最小，
BC
边为最小边．






sinA1

tanA，


π

由

cosA4
且
A

0，

，

2


sin
2
Acos
2
A1 ，

得
sinA
17
ABBCsinA
2
． ．由得：
BCABg
17
sinCsinAsinC
所以，最小边
BC2
．
精选