关于安全的标语-母亲节的来历简介

云南省曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）
1. 已知集合
Axylg(2x)
，集合
B

x


1

2
x
4

，则< br>AB
=（ ）

4

A．
xx2
B．
x2x2
C．
x2x2
D．
xx2

2. 若复数



2a2i
(aR)
是纯虚数，则
2a2i
在复平面内对应的点在（ ）
1i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 定义运算
ab


a（ab）
x
，则函数
f(x)12
的图象大致为（ ）

b（ab）




A． B． C． D．
4. 抛物线方程为
y4x
，一直线与抛物线交于
A、B
两点，其 弦
AB
的中点坐标为（1,1），则直
线的方程为（ ）
A．
2xy10
B．
2xy10

C．
2xy10
D．
2xy10

5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌 谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗
主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊 吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马
的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意， 牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人
扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主 人同意赔偿，但牛、马、羊吃
的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊 、马、牛的主人应该分
别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
1
2

255200
,,,,

,,,,
B．C． D．
7771477777777

6. 若
p是
q
的充分不必要条件，则
p
是
q
的（ ）
A．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31，
则①处应填的数字为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6

xy0
y3

8. 已知
x,y
满足

xy0
，则的取值范围为（ ）
x2

x1

，2]
A．
[,4]
B．
(1
)
D．
(,1)[2，)
C．
(,0][2，
，0),B( 0，3)
，若点
P
在曲线
y1x
2
上运动，则
△PAB
面积的最小值为（

）
9.
已知点
A(3

A．6 B．
3
2
9393
2
C．3 D．
2

2222
x
2
y
2
10．已知 双曲线
:
2

2
1

a0，b0

的右焦点为
F
，过原点的直线
l
与双曲线

的左 、右
ab
两支分别交于
A，B
两点，延长
BF
交右支于C
点，若
AFFB
，
CF3FB
，则双曲线
的离
心率是（

）

A．
17

3
2
B．
3

2
C．
5

3
D．
10

2
11. 已知
ylog
2
(x2x17)
的值域为
[m,)
,当正数
a,b
满足
21
m
时,则
3aba2b
7a4b
的最 小值为（ ）
A．
9
B．
5

4
C．
522
D．
9

4
2

12. 已知函数
f( x)
x
e
x
则
(xR)
,若关于
x
的 方程
f(x)m10
恰好有3个不相等的实数根，
实数
m
的取 值范围为（ ）
（
A．
1
2e2e
2e
，1）（0， ）1)
（1，1）
B． C． D．
(1，
2e2e2e
e

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）
2

13.

x
2


的展 开式中
x
4
的系数为______.
x

5
14. 在平行四边形
ABCD
中，
AB 2
，
AD1
,则
ACBD
的值为_____.
15. 在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
内有一个与其各面都相切的
O
1
，同时在三棱柱
ABCA
1B
1
C
1
外有一
个外接球
O
2
.若< br>ABBC
,
AB3
，
BC4
,则球
O
2
的表面积为______.
16. 在数列
{a
n
}
中 ，
a
1
1
，
a
n1
2na
n，则数列
{a
n
}
的通项公式
a
n

______.
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每
道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）



17.（本小题满分12分）已知函数
f(x)
(1) 当
x[0,

]
时，求函数的值域；
(2)
△ABC
的角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
且
c
最大值.



3
uuuvuu uv
3x1
sinxcos
2
,(xR)

222
3,f(C)1,
求
AB
边上的高
h
的

18.（本小题满分12分）如图，三棱锥
PABC
中，
PAPBPC3
,
CACB2,ACBC

(1) 证明：
面PAB面ABC
；
(2) 求二面角
CPAB
的余弦值．





19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市< br>场上治疗一类慢性病的特效药品
A
的研发费用
x
（百万元）和销量y
（万盒）的统计数据如下：
研发费用
x
（百万元）
销量
y
（万盒）
2
1
3
1
6
2
10
2.5
13
3.5
15
3.5
18
4.5
21
6
（1）求
y
与
x
的相关系数
r
精确到0.01，并判断
y
与
x
的 关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规
定：
r0.75
时，可用线性回归方程模 型拟合）；
（2）该药企准备生产药品
A
的三类不同的剂型
A
1< br>，
A
2
，
A
3
，并对其进行两次检测，当第一次检测
合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型
A
1
，
A< br>2
，
A
3
合格的概率分别为
第二次检测时，三类剂型
A
1
，
A
2
，
A
3
合格的概率分别为143
，，，
255
412
，，．两次检测过程相互独立，设
5 23
经过两次检测后
A
1
，
A
2
，
A3
三类剂型合格的种类数为
X
，求
X
的数学期望．
附 ：（1）相关系数
r

xynxy
ii
i1
n
2

2

n
22
xnxyny


i


i

i1

i1< br>
88
n

（2）



xyi
i1
8
i
347
，

x1308，

y
i
2
93
，
178542.25< br>．
2
i
i1i1
4

x
2< br>y
2
20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆
2

2< br>1(ab0)
的左右焦点分别为
ab
a
2
2
F
1
(c,0),F
2
(c,0)
，离心率
e,M,N< br>是直线
l:x
上的两个动点，且满足
F
1
MF
2
N0
.
2
c
(1) 若
F
1
MF< br>2
N25
，求
a,b
的值；
(2) 证明：当
M N
取最小值时，
F
1
MF
2
N
与
F1
F
2
共线．



（其中,x（0， ））
21.（本小题满分12分）设函数
f(x)(1e)ekx1
，且函 数
f(x)
在
2
x2
处的切线与直线
(e2)xy 0
平行.
-2x
(1) 求
k
的值；
(2) 若函数
g(x)xlnx
，求证：
f(x)g(x)
恒成立.




请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意
所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位 置答题.如果多做，则按所做的第一
题计分.

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

xt
已知直线
l
的参数方程：

（
t
为参数）和圆
C< br>的极坐标方程：

2sin



y12t< br>（1）将直线
l
的参数方程化为普通方程，圆
C
的极坐标方程化为直角 坐标方程；
（2）已知点
M

1,3

，直线
l
与圆
C
相交于
A
、
B
两点，求
MAMB
的值.


5

23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
已知函数
f(x)xaxb
，（其中
a0,b0
）
(1) 求函数
f(x)
的最小值
M
.
(2) 若
2cM
，求证：
ccabaccab
.


22















6

参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题 号
答 案
1
C
2
B
3
A
4
A
5
D
6
B
7
C
8
D
9
C
10
D
11 12
A D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

n(n为奇数)
13.40 14. -3 15.
29

16.



n1(n为偶数)
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17.（本小题满分12分）
解：(1)
f(x)

3111< br>sinxcosx
=
sin(x)

2222
6
0x




71

x


sin(x)1

6626
1

函数的值域为
[,1]
(6分)
2
(2)
f(C)sin(C

6
)1

C

6


2

C

3

a
2
b
2
31
cosC

a
2
b
2
3ab2ab

ab3

2ab2
S
11
333
3

3habsinC
3
224
22
3
3

h
的最大值为(12分)
2
2
h

18.（本小题满分12分）
解：(1)取
AB
中点
O
，连结
PO，OC
.
∵
PA
＝
PB
，∴
PO
⊥
AB
，
7

∵
PB=AP
＝3
∴
PO
＝2，
CO
＝1
∴∠
POC
为直角
∴
PO
⊥
0C
∴
PO
⊥平面
ABC
，∴面
PAB
⊥面
ABC
（6分）
→
(2)如图所示，建立空间直角坐标系
O
－
x yz
，则
A
(1,0,0)，
P
(0,0，2)，
C
(0,1,0)，可取
m
＝
OC
＝(0,1,0)为平面
PAB< br>的一个法向量．

设平面
PAC
的一个法向量为
n
＝(
l
，
m
，
n
)．
→→→→
则
PA
·
n
＝0，
AC
·
n
＝0，其中
P A
＝(1,0，－2)，
AC
＝(－1,1,0)，
∴


l
－2
n
＝0，

－
l
＋
m< br>＝0.


∴


n
＝
2
2
l
，



m
＝
l
.

不妨取
l
＝2，则
n
＝(2，2，1)．
cos〈
m
，
n
〉＝
m
·
n
|
m
||< br>n
|

＝
0×2＋1×2＋0×110
0
2
＋1
2
＋0
2
·2
2
＋2
2
＋1
2
＝
5
.
∵
C
－
PA
－
B
为锐二面角，
∴二面角
C
－
PA
－
B
的余弦值为
10
5
.（12分）
19.（本小题满分12分）
【详解】

解：（
1
）由题意可知
r
x
2361021131518
8
11
，

ur
y
1122.563.53 .54.5
8
3
，

由公式
r
3478 113
34021

83
21785
0.98
，
8

Qr0.980.75
，∴
y
与< br>x
的关系可用线性回归模型拟合；

（
2
）药品
A
的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为

142412322
P
A
1

，
P
A
2

，
P
A
3

，
< br>255525535
由题意，
X
:
B

3
,


，


2


5

26
E

X

3
.
55
20.（本小题满分12分）
解：由e＝
2222
，得b＝c ＝
a，所以焦点F
1
(－a,0)，F
2
(a,0)，直线
l
的方程为x＝2a，设
2222
M(2a，y
1
)，N(2a，y
2
)，
19
2
＝20，a
2
＋y
2＝20，消去y，y，得a
2
＝4，故a＝2，b＝2. (1)∵|F
1
M|＝|F
2
N|＝25，∴a
2
＋y
2112
22（6分）
22
(2)|MN|
2
＝(y
1
－y
2
)
2
＝y
2
1
＋y
2
－2y
1
y
2
≥－2y
1
y
2
－2y
1
y
2
＝－4y
1
y
2
＝6a.
→→
当且 仅当y
1
＝－y
2
＝
→→
66
a或y
2< br>＝－y
1
＝a时，|MN|取最小值6a，
22
→→→→
3 22
此时，F
1
M＋F
2
N＝(a，y
1
)＋(a ，y
2
)＝(22a，y
1
＋y
2
)＝(22a,0)＝2 F
1
F
2
，故F
1
M＋F
2
M与F
1
F
2
22
共线.（12分）

21.（本小题满分12分）
2x
解：(1)
f

(x)(1e)ek

f

(2)(1e
2
)e
2
ke
2< br>2
，解得
k1
.(4分)
(2)
f(x)g(x)
得
(1e)ex1xlnx
，变形得
9
-2x

(1e
-2
)e
x
1xxlnx

令函数
h(x)1xxlnx

h

(x)2lnx

令
2lnx0
解得
xe

当
x(0,e )
时
h

(x)0
，
x(e,)
时
h

(x)0
.
22
2

函数
h(x)
在
(0,e
2
)
上单调递增，在
(e
2
,)
上单调递减

h(x)h(e
2
)1e
2

而函数
F(x)(1e)e
在区间
(0,)
上单调递增
-2x

F(x)F(0)(1e
2
)


F(x)F(0)(1e
2
)h(x)1xxlnx

即
(1e)e1xxlnx

即
(1e)e1xxlnx

2x
2x

f(x)g(x)
恒成立（12分）

22．（本小题满分10分）
解：（
1
）消去参数
t
，得 直线
l
的普通方程为
y2x1
，

2
2
将

2sin

两边同乘以

得

 2

sin

，
x

y1

1
，

2
2
∴圆
C
的直角坐标方程为
x 

y1

1
；

2

5< br>x1t


xt

5
（
2
） 经检验点
M

1,3

在直线
l
上，
< br>可转化为

①，

y12t


y3 
25
t

5

1 0

5

25
2
tt21
，

将①式代入 圆
C
的直角坐标方程为
x
2


y1

1
得

1


5
5

化简得
t
2
25t40
，
设
t
1
,t
2
是方程
t
2
25t 40
的两根，则
t
1
t
2
25
，
t
1
t
2
4
，

∵
t
1
t
2
40
，∴
t
1
与
t
2
同号，

由
t
的几何意义得
MAMBt
1
t
2
t
1
t
2
25
.
22

23.（本小题满分10分）
解: (1)
xaxb(xa)(xb)abab

Mab

(2)证明：为要证
ccabaccab.

只需证
 cabac
22
22
2
c
2
ab
， 即证
acc
2
ab
，
也就是
(ac)cab
，即证
a
2
2acab
，即证
2aca(ab)
，
∵
a0,2cab,b0
，
∴
c
ab
ab
，故
c
2
ab
即有
c
2< br>ab0
，
2
又 由
2cab
可得
2aca(ab)
成立，
∴ 所求不等式
ccabaccab
成立．


22
11