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三角函数
知识定位

三角函数的知识无论是在高考，自招还是竞赛中 都是必考知识。有时三角函数会以单独
题目出现，如解三角形，证明三角恒等式、不等式等，也有时是解 决其他问题的必经之路或
是辅助工具，如数列问题，平面几何问题，复数问题等等。
本节将介绍三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
（注：本章中A，B，C同时出现即默认为三角形ABC的三个内角）

知识梳理


三倍角公式
sin3

3sin

4sin
3

4sin

sin(

)s in(

)
33
cos3

4cos
3

3cos

4cos

cos(

)c os(

)

33
3tan

tan
3

tan3

tan

tan(
< br>)tan(

)
33
13tan
2



三角形的一些简单的恒等式


tanAtanBta nCtanAtanBtanC
cotAcotBcotBcotCcotCcotA1
ABCABC
cotcotcotcotcotcot
222222
sin2 Asin2Bsin2C4sinAsinBsinC
ABBCCA

tan tantantantan1
222222
ABC
sinAsinBsinC 4coscoscos
222
ABC
cosAcosBcosC14sin sinsin
222
cos
2
Acos
2
Bcos2
C2cosAcosBcosC1
tan

三角不等式
ABC1
sinsin< br>2228
ABC1
coscoscos
2228
1cosAco sBcosCsinAsinBsinC
sin
tanAtanBtanCco tAcotBcotC
1cosAcosBcosC
sinAsinBsin C
33
2
3
2


例题精讲
一．三倍角公式
【例1】
【题目来源】
【题目】设x为锐角，并且满足
【难度系数】1







cos3x1
sin3x

，求的值。
sinx
cosx3

【例2】
【题目来源】
【题 目】证明：
sin3

4sin

sin(
【难度系数】 2










【例3】
【题目来源】
【题目】证明：
tan3
< br>tan

tan(
【难度系数】2







【例4】
【题目来源】
【题目】求
cot15cot25cot35cot85
的值。
【难度系数】3

3


)sin(

3


)


3


)tan(

3


)

二．三角形的一些简单的恒等式
【例5】
【题目来源】
【题目】证明：
tanAtanBtanCtanAtanBtanC

【难度系数】1
（PS：由本题结论即推得
cotAcotBcotBcotC cotCcotA1
）












【例6】
【题目来源】

【题目】证明：
tan
【难度系数】1
ABBCCA
tantantantantan1

222222
ABCABC
cotcotcotcotcot
)
222222
（PS：由本题结论即推得
cot







【例7】
【题目来源】
【题目】证明：
sin2Asin2Bsin2C4sinAsinBsinC

【难度系数】2








【例8】
【题目来源】
【题目】证明：
cosAcosBcosC14sin
【难度系数】2



ABC
sinsin

222

【例9】
【题目来源】
【题目】已知正实数a， b，c满足
abcabc
，求证：
1
1a
2
1
1b
2

1
1c
2

3

2
【难度系数】3














【例10】

【题目来源】
sin(


【题目】证明：
sin

sin(



)sin(

n

)
nn1

)sin

22< br>sin

2

【难度系数】4
















【例11】
【题目来源】
【题目】证明：对任一 自然数n及任意实数
x
m

（k=0,1,2,…，n，m为任一实数）有
k
2
111
n
cotxcot2x.

sin2xsin4x
sin2
n
x
【难度系数】3

【例12】
【题目来源】
【题目】证明：
sin
【难度系数】3















3

3sin
3



3
n1
sin
3


1
(3
n
s in

sin

)

3
3
2
3
n
4
3
n

三．三角不等式
【例13】
【题目来源】
【题目】证明：
1cosAcosBcosC
【难度系数】2










【例14】
【题目来源】
【题目】证明：
cosAcosBcosC
【难度系数】2







3

2
1

8

【例15】
【题目来源】
【题目】证明：
sin
【难度系数】2









【例16】
【题目来源】
【题目】证明：
sinAsinBsinC
【难度系数】2








【例17】
ABC1
sinsin

2228
33

2

【题目来源】
【题目】证明：
tanAtanBtanCcotAcotBcotC

【难度系数】3








【例18】
【题目来源】嵌入不等式
【题目】证明：
x
2

y
2

z
2
2yzcosA2xzco sB2xycosC

【难度系数】3













【例19】

【题目来源】1990年国家集训队测试题
【题目】证明：已知实数x,y,z满足0
，证明：
2

2
2sinxcosy2sinycosxsin2xsin2ysi n2z









习题演练
【练1】
【题目来源】
【题目】证明：
sin1s in2sin3sin89()
【难度系数】3
（提示：用三倍角公式）









1
45
610

4

【练2】
【题目来源】
【题目】证明：
sinAsinBsinC4cos
【难度系数】2









【练3】
【题目来源】
【题目】证明：
cos
2
Acos
2Bcos
2
C2cosAcosBcosC1

【难度系数】2







ABC
coscos

222

【练4】
【题目来源】
【题目】证明：
tan

tan 2

tan2

tan3

tan(n1)
tann


【难度系数】3










【练5】
【题目来源】
【题目】证明：在锐角三角形ABC中，
1cosAcosBc osCsinAsinBsinC

【难度系数】3








tann

n

tan


【练6】
【题目来源】2004年福建省竞赛题
【题目】证明：
|sinxcosxtanxcotxsecxcscx|22 1

【难度系数】3










【练7】
【题目来源】第三届澳门数学竞赛题
【题目】证明：在锐角三角形ABC中，有
tanAtanBtanC3
【难度 系数】3
nnn
n
1
2
，n为自然数。