初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-辅助圆
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初中数学竞赛辅导讲义---辅助圆
在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．
而我们需要的圆并不存在
(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并
不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用
已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出
来，添补辅助圆的常见方法有：
1．利用圆的定义添补辅助圆；
2．作三角形的外接圆；
3．运用四点共圆的判定方法：
(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．
(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．
(3)若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆．
(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则
它
的四个顶点共圆．
【例题求解】
【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切
于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距
离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为
．
思路点拨 连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、
D、
B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．
注：圆具有丰富的性质：
(1)圆的对称性；
(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；
1
(3)与圆相关的角；
(4)圆中比例线段．
适当发现并添出辅助
圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，
有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无
圆，心中有圆”．
【例2】 如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点
P，且PB=4，PD=3，则
AD·DC等于( )
A．6 B．7
C．12 D．16
思路点拨 作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．
注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．
【例3】 如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ
，
求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．
思路点拨
先作出△ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等．
2
【例4】 如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D．求
证：
PBPC
．
PDCD
思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD与△PCD相似证
明．PA
2
=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D共圆，这样连OB，就得多对相似三角形，以此
达到证明的目的．
注：四
点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和
相似三角形有着同等
重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中
或转移，而且可直接运．用圆的性
质为解题服务．
【例5】如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G为
△ABC内的一
点，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．
思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=<
br>∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四
点共圆，运用圆中角转化灵活的特点
证明．
3
注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．
学力训练
1．如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm
2
，
P为正方形内一点，且∠OPB=45°，
PA：PB=5：14，则PB的长为
．
2．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点P
l
、P<
br>2
，…P
100
，记
m
i
AP
i
2
BP
i
P
i
C
（i=1，2，…100），则
m
1
m
2
m
100
=
．
3．设△ABC三边上的高分别为AD、BE、CF，且其垂心H不与任一顶点重合，则由点A、<
br>B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有( )
A．3个
B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，已知OA=OB=OC，且∠AOB
=
k
∠BOC，则∠ACB是∠BAC的( )
A．
k
倍 B．是
k
倍 C．
2k
D．
1
2
1
k
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB
∥CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P在线段
AD上，满足条件的∠BPC=
90°的点P的个数为( )
A．0 B．1 C．2
1 D．不小于3的整数
4
6．如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，S
△
ABC
=
18，S
△
DEC
=2，则COSC等于( )
3
12
A．3 B． C．
D．
4
3
3
7．如图；已知H是△ABC三条高的交点，连结DF，DE，
EF，求证：H是△DEF的内心．
8．如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC．
求证：(1)∠AHD=∠AHE；(2)
9．如图，已知在凸四边形ABCDE中，∠BAE=3<
br>
，BC=CD=DE，且∠BCD=∠
CDE=
180
2
．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK，
10．如图，P是⊙O外一点，PA和PB是⊙O的切线，A，B为切点，P
O与AB交于点M，
过M任作⊙O的弦CD．求证：∠CPO=∠DPO．
BHCH
BDCE
5
11．如图
，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，
交⊙O
A、B两点，与ST交于点C．求证：
1111
()
PC2PAPB
参考答案
6
7