京江学院-论语感悟

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高中数学二级结论
1、任意的简单
n
面体内切球半径为
简单
n
面体的表面积)
2、在任意
△ABC
内，都有t
a
n
A
+t
a
n
B
+t
a
n
C
=t
a
n< br>A
·t
a
n
B
·t
a
n
C
3、若
a
是非零常数，若对于函数y＝f(
x
)定义域内的任一变量
x
点有下
3V
(
V
是简单
S
表
n
面体的体积，
S
表
是
列条件之一成立，则函数y＝f(
x
)是周期函数，且2|
a
|是它的一个周期。
①f(
x
＋
a
)＝f(
x
－
a
) ②f(
x
＋
a
)＝－f(
x
) ③f(
x
＋
a
)＝1f(
x
) ④f(
x
＋
a
)＝－1f(
x
)
4、若函数y＝ f(
x
)同时关于直线
x
＝
a
与
x
＝b轴 对称，则函数f(
x
)必
为周期函数，且T＝2|
a
－b| 5、若函数y＝f(
x
)同时关于点（
a
，0）与点（b，0）中心对称 ，则函数
f(
x
)必为周期函数，且T＝2|
a
－b|
6、若函数y＝f(
x
)既关于点（
a
，0）中心对称，又关于直线
x
＝b轴对
称，则函数f(
x
)必为周期函数，且T＝4|
a
－b|
7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的
2
倍
4
8 、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过
椭圆相应的焦点
9、导数 题常用放缩
e
x
x1
、

1
x
x 1
lnxx1
、
e
x
ex(x1)

x
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x
2
y
2
10、椭圆
2

2
1(a0,b0)
的面积ab
S
为
Sπab

11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导
推论：①过圆
(xa)
2< br>(yb)
2
r
2
上任意一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
(x
0
a)(xa)(y0
b)(yb)r
2

x
2
y
2
②过椭圆
2

2
1(a0,b0)
上任意一点
P( x
0
,y
0
)
的切线方程为
ab
xx
0< br>yy
0
1

2
ab
2
x
2y
2
③过双曲线
2

2
1(a0,b0)
上任意一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
ab
xx
0
yy
0
1

2
ab
2
12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方
程叫做曲线的切点弦方 程
①
x
0
xy
0
y
圆
x
2
y
2
DxEyF0
的切点弦方程为
x
0
xyy
D
0
EF0

22
x
2
y
2
xxyy
②椭圆
2

2
1(a0,b0 )
的切点弦方程为
0
2

0
2
1
ab
ab
x
2
y
2
xxyy
③双曲线
2

2
1(a0,b0)
的切点弦方程为
0
2

0
2
1

ab
ab
④抛物线
y2
2px(p0)
的切点弦方程为
y
0
yp(x
0
x)

⑤
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方程为二次曲线的切点弦

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Ax
0
x B
x
0
yy
0
xxxyy
Cy
0
yD
0
E
0
F0

222
x
2< br>y
2
13、①椭圆
2

2
1(a0,b0)< br>与直线
AxByC0(A·B0)
相切的条件是
ab
A
2
a
2
B
2
b
2
C
2
< br>x
2
y
2
②双曲线
2

2
1(a 0,b0)
与直线
AxByC0(A·B0)
相切的条件是
ab
|A
2
a
2
-B
2
b
2
|=C< br>2

14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为
x
0
的点
P
的
距离)公式
r
1,2
aex
0
（左加右减）

15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为
x
的点P到焦点的距离)公式，
且F
1
为左焦点，F
2
为右焦点，e 为双曲线的离心率。
│PF
1
│=|
a
+e
x
| ，│PF
2
│=|
a
-e
x
|（对任意
x
而言，左加右减）
16、任意满足
ax
n
by
n
r
的二次方程，过函数上 一点
(x
1
,y
1
)
的切线方程为
ax
1
x
n1
by
1
y
n1
r

17、平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和
18、在锐角三角形中
sin AsinBsinCcosAcosBcosC

19、y=kx+m
2mb
2

222
akb
x
2
y
2
与椭圆
2

2
1(ab0)
相交于两点，则纵坐标之和为
ab
20、圆锥曲线的第二定义：
椭圆的第二定义：平面上到定点
F
距离与到定直线间距离之比为常数
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e
(即椭圆的偏心率，
e
)的点的 集合(定点
F
不在定直线上，该常数为小于
1的正数)
双曲线第二定义：平 面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为
常数的点的轨迹称为双曲线
21、到角公式 ：若把直线
l
1
依逆时针方向旋转到与
l
2
第一次重合时所 转
的角是

，则
tan
θ=
k
2
k1

1k
1
k
2
c
a
x
2
y
2
22、过双曲线
2

2
1(a0,b 0)
上任意一点作两条渐近线的平行线，
ab
与渐近线围成的四边形面积为
a b

2
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点
a
2
构成的直线斜率乘积为定值

2
(ab0)
b
23、抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦
点弦
24、双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值
a
(长半轴长)
推论 ：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘
a
2
积为定值

2
(ab0)

b
25、面积射影定理：如图，设平面α
外的△
ABC
在平面
α
内的射影为△
ABO
，
分别记△
ABC
的面积和△
ABO
的面积为
S
和
S′
，记△
ABC
所在平面和平面
α
所成的二面角为θ
，则cos
θ
=
S′
:
S

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26、角平分线定理：三角形一 个角的平分线分其对边所成的两条线段与
这个角的两边对应成比例
角平分线定理逆定理：如果 三角形一边上的某个点分这条边所成的两条
线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点 的连线是三角
形的一条角平分线
27、数列不动点：
定义：方程
f(x)x
的根称为函数
f(x)
的不动点
利用递推数列
f(x)
的不动点，可将某些递推关系
a
n
f(a< br>n1
)
所确定的数
列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点 法
定理1：若
f(x)axb(a0,a1),
p
是
f( x)
的不动点，
a
n
满足递推关系
a
n
f(a< br>n1
),(n1)
，则
a
n
pa(a
n1
p)
，即
{a
n
p}
是公比为
a
的等 比数列.
定理2：设
f(x)
axb
(c0,adbc0)，
{a
n
}
满足递推关系
cxd
a
n
f(a
n1
),n1
，初值条件
a
1
f(a1
)

(1)
(2)
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若
f(x)
有两个相异的不动点
p,q
，
则
a
n
pap
apc
k
n1
（这里
k
）
a
n
qa
n1
q
a qc

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(2)若
f(x)
只有唯一不动点p
，则
11
2c
k
（这里
k
）
a
n
pa
n1
p
ad
28、三余弦定理： 设
A
为面上一点，过
A
的斜线
AO
在面上的射影为
AB
，
AC
为面上的一条直线，那么∠
OAC
,∠
BAC< br>,∠
OAB
三角的余弦关系为：cos∠
OAC=
cos∠
B AC
·cos∠
OAB
(∠
BAC
和∠
OAB
只能 是锐角)
29、在Rt△
ABC
中，
C
为直角，
内角< br>A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，
则△
ABC
的内切圆半径为
abc
2

30、 立方差公式：
a
3
b
3
(ab)(a
2
a bb
2
)
立方和公式：
a
3
b
3
( ab)(a
2
abb
2
)

31、向量与三角形四心 ：在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边 分别是
a
，
b
，
c

(1)
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心 (2)
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的 垂心
(3)
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心
(4)
OAOBOC

O
为
ABC
的外心
32、正弦平方差公式：
sin
2

sin
2

sin(



)sin(


)

33、对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为
定值 ，则两交点连线所在直线过定点
34、点(
x
,
y
)关于直线
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Ax+
B
y+
C
=0的对称点坐标为

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2A(AxByC)2B(AxByC)

,y

x


2222
ABAB

35、

a
n

为公差为
d
的等差数列，

b
n< br>
为公比为
q
的等比数列，若数列

c
n

c
n1
q
2
c
n
c
1
满足
c
n
a
n
b
n
，则数列

c
n

的前
n
项和
S
n
为
S
n


2
(q1)
（错位相减法）
36、若圆的直径端 点
A

x
1
,y
1

,B
x
2
,y
2

，则圆的方程为

xx
1

xx
2



yy
1

yy
2

0

37、过椭圆上一点做斜率互为相 反数的两条直线交椭圆于
A
、
B
两点，
则直线
AB
的斜率为定值
38、二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：
kC
n
k
nC
n
k


1
1

39、三角形五心：
(1)三角形的重心：中线的交点（1、重心到顶点的距离与重心到对边 中
点的距离之比为2︰1。2、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的
算术平均数，即 其重心坐标为（（X1+X2+X3）3，（Y1+Y2+Y3）3。3、以
重心为起点，以三角形三顶 点为终点的三条向量之和等于零向量。）
(2)三角形的垂心：高线的交点
(3)三角形的外心：中垂线的交点(外接圆圆心，正弦定理求外接圆半径）
(5)三角形的内心：角平分线交点（内切圆圆心，面积法求内切圆半径）
a
2b
2
c
2
40、在△
ABC
中，角
A，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，< br>c
，则
ABAC

2
41、洛必达法则：若函数
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和 满足：

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，
42、圆锥曲线弦长公式

；则
d =

= =
=
d
=


43、抛物线焦点弦长公式：
=2p
x
，过焦点直线交抛物线于A(x
1,y1）和B(
x
2,y2）两点，则AB
弦长：d=p+
x
1+
x
2
44、三垂线定理：平面内搭一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射
影垂直，那么它也就和这条斜线垂直。由于定理中涉及三条与平面内已知直
线有垂直关 系的直线（如图，PA⊥
a
，PB⊥
a
，AB⊥
a
），故称 为三垂线定理。

45、向量法解立体几何公式总结
一、 基本知识点
直线
l,m
的方向向量分别为
a,b
，平面

,

的法向量分别为
n
1
,n
2
（若只涉及一个
平面

，则用
n
表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面< br>文案大全

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内的情况。

3、夹角问题
1）异面直线
AB,CD
所成的角

cos

cosAB,CD
AB

（范围：
C
0


D

2
）
ABCD


2）线面角

（范围：
0



2
），
sin< br>
cosa,n
an
an




2
a,n

a,n

2
3）二 面角

（范围：
0




）




n
1,n
2

cos


4、距离问题
1） 点
A
到点
B
的距离：
AB(x
A
x
B
)(y
A
y
B
)(z
A
z
B)

2）点
A
到线
l
的距离
d

在直线
l
上任取点
B

222

n< br>1
,n
2

cos



n
1
n
2
n
1
n
2
n
1
n
2
n
1
n
2

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cos

cosAB,a
ABa
ABa
，
sin

1cos
2

，

dAB sin


3）点
A
到面

的距离
d

在平面

上任取点
B

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cos

cosAB,n
ABn
ABn
dABcos

AB
ABn
ABn

AB n
n

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