中国学位-高考最牛班

三角函数及解三角形解答题
1
在
XABC
中，内角
A, B, C
所对的边分别是
a, b, c,
己知
A=
》，
b
2
~a
2
=^ c
2
.
⑴ 求
tanC
的值；
（2）
若
ZXABC
的面积为
3,
求
b
的值.

三角函 数及解三角形解答题
1
参考答案
解 ⑴白沪一=討及正弦定理得
sin2
B—|=|sin
2
C,
所以一
cos2B=sin
2
C.
兀
3
又由
4=
才，即
B+C=^7
T




得一
cos23=co
-C
二
sin2C=2sinCcosC,
解得
tanC=2.
? Is
,cosC^.
(2)
由
tanC=2, Ce(O,
兀)得
sinC=
它一
疇
2
由正弦定理得
c
又因为
sinB=sin(A+C)=sinfCj,
所以
sinB=
又因为
A=
扌，如
csin4 = 3,
所以
bc=6&,
故
b=3.

三角函数及解三角形解答题
2
△ABC
的内角
A, B, C
所对的边分别为
a,b, c.
向量
m = {a,
书
b
）
与
n=（cosA, sinB）
平行.
（1）
求
A；
⑵若
a=
护,b=2,
求
ZVIBC
的面积.

解
(1)因为
mn
y
所以
asinB—*5?
COS
A=0,

由正弦定理，得
sinAsinB—
羽
sinBcosA=0,
又
sinBHO,
从而
tart4=
羽，
JI
由于
0<4<
兀，所以
4
=亍
(2)
解法一：由余弦定理，得
a
2
=b
2
+ c
2
—2bccosA,
及
ci
=
yfl, b=2,
人=亍，
得
7=4+
C
2
-2
C,
即
?-2c-3=0,
因为少
0,
所以
c=3.
故△
ABC
的面积为如
sinA=
爭.
解法二：由正弦定理，得
1=
佥，从而
sinB=^,

所以
8BC
的面积为鬆
sinC=^2

三角函数及 解三角形解答题
3
设
△ABC
的内角
A, B, C
所对边的长分别是
a, b, c,
且
b=3, c= 1, A=2B.
⑴求
a
的值；
（2）
求
sin（A+
另的值.

三角函数及解三角形解答题
3
参考答案 解
(1)
因为
A=2B,
所
以
sin＞4 = sin23=2sinBcosB.
a
2
+c
2
-b
2

由正弦定理、余弦定理得
a=2b
・
—药一. 因为
b=3, c=l,
所以
=12, a=2©
?
2
+c
2
—a
2
9+1 — 12 1
(2)
由余弦疋理侍
cosA =
页 = =—亍 由于
0＜
人＜兀，
、 、

所以
=y] 1 — cos
2
A =
1-
£=羊・故
sin(A+3
9 3
= sinAcos^+cosAsin
》=^^
X
xW

si nA

三角函数及解三角形解答题
4
在
ZXABC
中，内角
A, B, C
的对边分别为°,
b, c,
且
Qc.
已知
BA BC=2. cosB=*, b=3.
求：
(l)a
和
c
的值;
(2)cos(B-C)
的值.

三角函数及解三角形解答题
4
参考答案 解
（1）
由
BA BC=2,
得
C
・
QCOS
B=2.
又
cosB=*,
所以
ac=6.
由余
弦定理，得
a2
+c
2
=b
2
+2accosB.
又
b=3,
所以
O
2
+
C
2
=9+2X2=13.
解
7 ?
'
a +c =13,
得
ci=2
、
c=3
或
a=3, c=2.
因为
Q
>
C
,
所以
Q
=3,
C
=2.
2
2y[2
(2)
在
△ABC
中
，sinB=^l-cosZ?=^1 -(*}=
由正弦
3
，

定理，得
sinC=
》
sinB=#xZ^=*^2
因为
a = b>c,
所
以
C
为锐角，
因此
cosC=1—sir?C=
血
2_Z
9
丿
于是
cos(B—C)=cosBcosC + sinBsinC
=
丄乂
z
丰泌
2
乂铤=空
_3 9
十
3 9 _27・

三角函数及解三角形解答题
5
JT |
如图，在
ZVIBC
中，
ZB=y AB=8,
点
D
在
BC
边上，且
CD=2, cosZAZ)C=y.
(1)
求
sinZBAD
；
(2)
求
BD, AC
的长.

三角函数及解三角形解答题
5
参考答案 解 ⑴在厶
ADC
中，因为
cosZADC=|,
所以
sin ZADC=^~^.
所以
sinZBAD=sin(ZADC-ZB)
=sin ZADCcosB—cos Z ADCsinB=
在厶
ABC
中，由余弦定理得
7 2 7 2
一
14 ・
3
书
8X
14
】十八、仙卡
AB-sinZBAD
(2)
在
△ABD
中,
由正弦定理得
仙厶沏
4-J3
AC
2
=AB
2
+BC
2
-2AB

BC
COS
B=8
2

+

5
2
-2X8X5
X
|=49.
所以
AC=7.


三角函数及解三角形解答题
6
设
ZSABC
的内角
A, B, C
的对边分别为c
b, c, a=btanA,
且
B
为钝角.

(1)
证明：
B~A=^
；
(2)
求sin4+sinC
的取值范围.

三角函数及解三角形解答题
6< br>参考答案
解
（1）
证明：由
a=bVanA
及正弦定理，得 詈拎=》=詈务，所以
sinB=cosA,
即
sin
〃=
sin
（号
+4
又
B
为钝角，因此号
+AW（*,
71
故
B=#+A,
即
B—A=
号.


（2）
由
（1）
知，
C=
TI
-{A

+

71 —
2A+
勿=号一
2A>0,
所以
AW
于是
B
）

=


siriA + sinC= sinA + sin = sinA+cos2A =
—2si
『
A+sinA+l
因为
0<4
寻 所以
OvsinA
因此
¥<_2（sinA_£）2+^W.
由此可知
sinA + sinC
的取值范围是（芈，|
三角函数及解三角形解答题
7
△ABC
中，
D
是
BC
上的点，
4D
平分
ZBAC, ABD
面积是
△AQC
面积的
2
倍.
2 +
■

9-8

--4

⑴求
C
； (2)
若
AD=1, DC=¥，
求
BD
和
AC
的长.

三角函数及解三角形解答题< br>7
参考答案 解
(1 )54
加=另^
8
AZ)sin ZBAD,
S
Z

ADC
=^AC・ ADsdn Z CAD.
因为
S0Bf>=2S“Dc，ZBAD=ZCAD,
所以
AB=2AC,
丄
T
井宀询
— sinZB 4C 1
由正弦疋理可
^~2c=^=r
(2)
因为
S
UBD
:

Swc=BD : DC,
所以
BD=
返
.
在
△ABD
和
△ADC
中，由余弦定理知，
AB
2
=AD
2
+ BD
2
-2AD- BDcos ZADB,
A C
2
=AD
2
+DC
2
-2AD- DCcos ZADC.
故
AB
2
+2AC
1
=3AD
1< br>+BD
1
+2DC
2
=6.
由
(1)
知
AB=2AC,
所以
AC=.