39

40

41

42

2010年江苏高考数学试题

一、填空题

43

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a
2
+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________
简析：由集合中元素的互异 性有a+2=3或a
2
+4=3，a=1或a
2
=－1(舍) a=1
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲___ _____
6+4i(6+4i)(2+3i)26i
简析：由题意z====2i|z|=2 1313
2－3i
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球 ，两只球颜色不同
的概率是_▲__
1
简析：
2
4、某棉纺厂为 了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维
的长度是棉花质量的重要指 标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，
则其抽样的100根中，有_▲ ___根在棉花纤维的长度小于20mm。
简析：观察频率分布直方图，知有0.06×5×100=30根长度小于20mm
5、设函 数f(x)=x(e
x
+ae
-x
),(x∈R)是偶函数，则实数a=__ _____▲_________
R

简析：由偶函数f(－x)=f(x)  x(e
x
+ae
-x
)=－x(e
-x
+ae
x< br>) x(e
x
+e
-x
)(1+a)=0
x∈
a=－1
频率
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
长度m
O
51015
20
2530
35
40
组距

x
2
y
26、在平面直角坐标系xOy中，双曲线－=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双
412曲线右焦点的距离是___▲_______
简析：法一——直接运用焦半径公式求。因焦半径知识课本中未作介绍，此不重点说明；
法二——基本量法求解。由题意知右焦点坐标为F(4,0)，M点坐标为(3,±15)MF=4
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______
简析：读图知 这是计算S=1+2
1
+2
2
+…+2
n
的一个算法，由S =2
n
－133且n为正整数知n=5
时跳出循环，此时，输出S=1+2
1
+2
2
+…+2
5
=63

n←n+1

否

是
S←1
n←1
输出S
S←S+2
n

S≥33

开始

8 、函数y=x
2
(x>0)的图像在点(a
k
,a
k
2)处的切线与x轴交点的横坐标为a
k+1
,k为正整数，a
1
=16，
则a
1
+a
3
+a
5
=____▲_____
简析：对原函数求导得y=2x (x>0)，据题意，由a
1
=16=2
4
依次求得a
2
=8，a
3
=4，a
4
=2，a< br>5
=1，

44
结束

所以a
1< br>+a
3
+a
5
=21

9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x
2
+y
2
=4四个点到直线12x－5y+c=0的距离为1， 则
实数c的取值范围是______▲_____
简析：若使圆上有且仅有四点到直线12x －5y+c=0距离为1，则圆心到该直线之距应小于1，
|c|
即<1，解得c(－13, 13)
13

10、定义在区间(0,)上的函数y=6cosx的图像与y=5t anx的图像的交点为P，过点P作PP
1
2
⊥x轴于点P
1
,直线 PP
1
与y=sinx的图像交于点P
2
,则线段P
1
P< br>2
的长为_______▲_____
简析：由题意知线段P
1
P< br>2
长即为垂线PP
1
与y=sinx图像交点的纵坐标。

22

y=6cosx
x(0,
)
22

由
y=5tanx
6cosx=5tanx6cosx=5sinx6sinx+5s inx－6=0
2
sinx= P
1
P
2
=

33

x
2
+1，x0
11、已知函数f(x)=
,则满足不等式f(1－x
2
)>f(2x)的x的范围是____▲____

1 ，x<0
简析：设t=1－x
2
，当x<－1时，t<0， 2x<－2；f(1－x
2
)=1，f(2x)=1 f(1－x
2
)= f(2x)；
当x>1时，t<0，2x>2，f(1－x
2
)=1， f(2x)=(2x)
2
+1>5，显然不满足f(1－x
2
)>f(2x)
当－1x<0时，t0，2x<0，所以f(1－x
2
)=(1－x
2< br>)
2
+11，f(2x)=1，f(1－x
2
)>f(2x) (x
－1)；
当0x1时，t0，2x0，所以f(1－x
2
) =(1－x
2
)
2
+11，f(2x)=(2x)
2
+1 ，
由f(1－x
2
)>f(2x) (1－x
2
)
2< br>+1>(2x)
2
+1x
4
－6x
2
+1>00 x<2－1
综上，x(－1,2－1)
x
2
x
3
12、设实数x,y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则
4
的最大值是_____▲_ ___
yy
2
简析：由题意知x,y均为非0的正实数。
111x
2
11x
2
1x1x
2
x
由3xy8  
2
 ，又49  
2
·3，即
3
3  4×·
3
9×3
8xy3y2xyy2y2yy
2
x
3
27
y
4
batanCtanC
13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a
、< br>b
、
c，+=6cosC，则+=__
abtanAtanB
▲ sin
2
A+sin
2
B
简析：据正、余弦定理，由已知等式， 角化边得3c=2a+2b ①，边化角得=6cosC
sinAsinB
222
②
tanCtanCcosAcosBsin(A+B)sin
2
C
因为+= tanC( + )=tanC· = ③
tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinBcosC
至此，③式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题。
6sin
2
C6c
2
6sin
2
C6c
2
据②式，③式=
2
= ，又据①式，③式=
2
==4
si nA+sin
2
Ba
2
+b
2
sinA+sin
2
Ba
2
+b
2
14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边 的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
(梯形的周长)
2
S=
梯形的面积,则S的最小值是_______▲_______
简析：如图，△ABC是边长为1的正△，EF∥BC，四边形BCFE为梯形；

45

设AE=x (02
)
所以据题意知：
(3－x)
2
4(3－x)
2
S== (033(1－x
2
)
2
(1－x)
4
1
对S(x)求导，令S(x)=0，联系03
11
又00
33
11323
所以x=时S(x)有最小值S()=
333


二、解答题
15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长
→→→
(2)设实数t满足(AB－t
·
OC)·OC=0=0，求t的值
简析：⑴据题意，本小问解法不唯一，如利用平行四边形性质求出第四点D，
→
然后运 用两点间距离公式求两对角线；又如，亦可利用向量知识，求向量AB
→
与AC和、差的模；
两对角线长为210,42
11
→→→→→
⑵因为AB=(3,5), OC=(－2,－1)，所以由(AB－tOC)·OC=0知t=－
5
1－x
3
，
4
A
x
EF
B
C

16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB= 2,AB∥DC，
∠BCD=90
0

(1)求证：PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离
P
P
F
D
C
D
E
C
A
16题图
B

AB

简析：⑴证：因PD⊥底面ABCD，BC在底面上，所以PD⊥BC；
又因∠BCD=90
0
，所以BC⊥DC；又PD、DC相交于D，所以BC⊥平面PDC

46

又PC在平面PDC上，所以BC⊥PC，即PC⊥BC
⑵在底面ABCD上作AE∥BC交CD延长线于E，则E在平面PDC上；
在平面PDC上作EF⊥PC交PC于F，结合⑴推知EF⊥平面PBC，
所以垂线段EF长就是点A到平面PBC的距离。
在△PEC中，利用面积的等积性有 EC·PD＝PC·EF
2×1
所以EF==2，所以点A到平面PBC之距为2
2
此法求解，主要依据线面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等；另外，本题也可以
通过 构造三棱锥，利用等积法来求点面距；如三棱锥A－PBC与三棱锥P－ABC实为同一
11
个 锥，而三棱锥P－ABC的底面积=AB·BC=1，高=PD=1；三棱锥A－PBC的底面积=
22
PC·BC=
2
，
2
所以可求得三棱锥A－PBC的高为2，亦即点A到平面PBC的距离为2
17、 （14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆
BC高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24, tanβ=1.20,,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到 电视塔的距离d（单位m），使α与
β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m， 问d为多少时，α－β最
大
E
C
D

h
B

d
A
解析：⑴⑵


17题图

x< br>2
y
2
18.（16分）在平面直角坐标系
xoy
中，如图， 已知椭圆+=1的左右顶点为A,B，右焦点
95
为F，设过点T(t,m)的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M(x
1
,y
1
)，N(x
2
,y
2
)，其中m>0,y
1
>0,y
2
<0.
⑴设动点P满足PF
2
－PB
2
=4,求点P的轨迹
1
⑵设x
1
=2,x
2
=，求点T的坐标
3

47

⑶设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)



19．（16分）设各项均为正数的数列{a
n
}的前n项和为 S
n
，已知2a
2
=a
1
+a
3
，数列{ S
n
}是公
差为d的等差数列.
⑴求数列

a
n

的通项公式（用
n,d
表示）
⑵设c为实数，对满足m+n=3 k且mn的任意正整数m，n，k，不等式S
m
+S
n
>cS
k< br>都成立。
9
求证：c的最大值为
2

20.（16分）设f(x)使定义在区间(1,+)上的函数，其导函数为f (x).如果存在 实数a和函数
h(x)，其中h(x)对任意的x(1,+)都有h(x)>0，使得f (x)]=h(x)(x
2
－ax+1)，则称函数f(x)
具有性质P(a).
b+2
⑴设函数f(x)=h(x)+ (x>1)，其中b为实数
x+1
①求证：函数f(x)具有性质P(b)
②求函数f(x)的单调区间 < br>⑵已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x
1
,x
2
(1,+ )，x
1
2
，设m为实数，=mx
1
+(1－m)x
2
，
=(1－m)x
1
+mx
2
，且>1， >1，若|g()－g()|<|g(x
1
)－g(x
2
)|,求m的取 值范围



【理科附加题】
21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）
⑴几何证明选讲 AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，
求证 AB=2BC

48

D
A
O
B
C
⑵矩阵与变换
在平面 直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=

k0

01

,N=,


01

10

点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A
1< br>,B
1
,C
1
,△A
1
B
1
C1
的面积是△ABC面积的2
倍，求实数k的值
⑶参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值
⑷不等式证明选讲
已知实数a,b≥0，求证：a
3
+b
3
ab(a
2
+b
2
)



22 、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，
一等品 90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则
要亏损1万元；生 产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。
设生产各种产品相互独立
⑴记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列
⑵求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率


23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数
⑴求证cosA是有理数
⑵对任意正整数n，求证cosnA也是有理数
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2009年普通高等学校招生全国统一考试（江 苏卷）
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49

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案
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填写在答题 卡相应的位置上.
．．．．．．．．．
1.若复数
z
1
429i ,z
2
69i
，其中
i
是虚数单位，则复数
(z
1
z
2
)i
的
实部为
★
.
学科网2.已知向量
a
和向量
b
的夹角为
30
，
|a |2,|b|3
，则向量
a
和向量
b
的数量积
ab< br>
★
.
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3.函数
f(x)x
3< br>15x
2
33x6
的单调减区间为
★
.< br>学科网
4.函数
yAsin(

x

)(A,< br>
,

为常数，
A0,

0)
在闭区间
[

,0]
上
的图象如图所示，则



★
.
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5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别
为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽
取2根竹竿，则它们的 长度恰好相差0.3m的概
率为
★
.
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y
1




2

3


3

O 1 x
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，
4，5的学生进行投篮练习，每人投10 次，投中的次数如下表：
学生
甲班
乙班
1号
6
6
2号
7
7
3号
7
6
4号
8
7
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5号
7
9

50

则以上两组数据的方差中较小的一个为
s
2


★
.
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开始
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的
W

★
.
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S0

T1

ST
2
S

8.在平面上，若两个正三角形的连长的比为1：2 ，
则它们的面积比为1：4，类似地，在宣传部，若两
个正四面体的棱长的比为1：2，则它们 的体积比为
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TT2

N
9.在平面直角坐标系
xoy
中，点P在曲线
S10

Y
C:yx10x
上，
3
且在第二象限内，已知曲线C
在点P处 的切线的斜率为2，则点P的坐标为
★
.
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3
WST

输出
W

10.已知
a
51
，函数
f(x)a
x
，若实数< br>m,n
满足
2
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f(m)f(n)
，则
m,n
的大小关系为
★
.
结束
11.已知集合
A

x|log
2
x2

，
B(,a)，若
AB
则实数
a
的取值
范围是
(c,)
，其中
c

★ .
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12.设

和

为不重合的两个平面，给出下列命题：
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（1）若

内的两条相交直线分别平行于

内的两条直线，则

平行
于

；
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（2）若

外一条直线
l
与

内的一条直线平行，则
l
和

平行；
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（3 ）设

和

相交于直线
l
，若

内有一条 直线垂直于
l
，则

和

垂
直；
学科网< br>（4）直线
l
与

垂直的充分必要条件是
l
与

内的两条直线垂直.
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上面命题中，真命题的序号
★
（写出所有真命题的序号）.
．．．
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13．如图，在平面直角坐标系< br>xoy
中，
A
1
,A
2
,B
1
,B
为椭圆
2
x
2
y
2

2
1(a b0)
的四个顶点，
F
为其右焦点，直线
A
1
B
2
与直线
2
ab

51

B
1< br>F
相交于点T，线段
OT
与椭圆的交点
M
恰为线段
O T
的中点，则
该椭圆的离心率为
★
.
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14．设

a
n

是公比为< br>q
的等比数列，
|q|1
，令
b
n
a
n
1(n1,2,)
若数列

b
n

有连续四项 在集合
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y
T
B
2
M

53,23,19,37,82

中，则
6q

★
.
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二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在
答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明或演算步骤.
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A
1
O A
2
x
15．（本小题满分14分）
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设 向量
a(4cos

,sin

),b(sin
,4cos

),c(cos

,4sin

)< br>学科网
（1）若
a
与
b2c
垂直，求
tan(


)
的值；
（2）求
|bc|
的最大值 ;
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（3）若
tan

tan

16
，求证：
a
∥
b
.
16．（本小题满分14分）< br>学科网
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如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1< br>C
1
中，
E,F
分别是
A
1
B,AC
点
D
1
的中点，
在
B
1
C
1
上 ，
A
1
DB
1
C
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求证：（1）
E F
∥
平面ABC
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A
C
1
D
（2 ）
平面A
1
FD平面BB
1
C
1
C
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F
B
1
17．（本小题满分14分）
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设

a
n

是公差不为零的等差数列，
S
n
为其前
n
项和，满足
aaaa,S
7
7
2
22
3
2
4
2
5
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E
A C < br>（1）求数列

a
n

的通项公式及前
n
项 和
S
n
；
（2）试求所有的正整数
m
，使得
B < br>学科网
a
m
a
m1
为数列
S
n
中 的项.
a
m2
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52

18．（ 本小题满分16分）
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在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆
C< br>1
:(x3)
2
(y1)
2
4
和圆
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C
2
:(x4)
2
(y5)
2
4< br>学科网
y
（1）若直线
l
过点
A(4,0)
，且被 圆
C
1
截得的弦长
为
23
，求直线
l
的方 程；
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.
.
1
O 1
x
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P的无
穷多对互相垂的直线
l
1
和l
2
，它们分别与圆
C
1
和圆
C
2
相交，且直线l
1
被圆
C
1
截得的弦长与直线
l
2
被
圆
C
2
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P
的坐标.
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19.(本小题满分16分)
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按照某学者的理论，假设一个人生产某产 品单件成本为
a
元，如
果他卖出该产品的单价为
m
元，则他的满意度 为
该产品的单价为
n
元，则他的满意度为
m
；如果他买进
m a
n
.如果一个人对两种交易
na
(卖出或买进)的满意度分别为
h
1
和
h
2
，则他对这两种交易的综合满意
度为
h
1
h
2
.
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现假设甲生产A、B两种产品的单件成 本分别为12元和5元，乙生
产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的
单价分别为
m
A
元和
m
B
元，甲买进A与卖出B的综合满 意度为
h
甲
，
乙卖出A与买进B的综合满意度为
h
乙
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(1)
3
求
h
甲
和
h
乙
关于
m
A
、
m
B
的表达式；当
m
A
m
B
时，求证：
h
甲
=
h
乙
；
5
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(2)
3
设
m
A
m
B
，当
m
A
、
m
B
分别为多少时，甲、乙两人的综合满意< br>5
53

度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3 )
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记(2)中最大的综合满意度为
h
0
，试问能否适当选取< br>m
A
、
m
B
的值，
使得
h
甲
h
0
和
h
乙
h
0
同时成立，但等号不同时成 立？试说明理由。
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20．(本小题满分16分)
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设
a
为实数，函数
f(x)2x
2
(xa)|xa|
.
(1)
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1.若
f(0)1
，求
a
的取 值范围；
2.求
f(x)
的最小值；
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(2)< br>(3)
3.设函数
h(x)f(x),x(a,)
，直接写出(不需给 出演算步骤)不
．．．．
等式
h(x)1
的解集.
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2008年普通高等学校招生全国统一考试
（江苏卷）
数 学
本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题
卡上，在本 试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的
准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2.选择题答案使用2B
铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

54

题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅 笔在答题卡上把所选题目对应的标
号涂黑．
参考公式:
样本数据
x
1
,
x
2
,,
x
n
的标准差
锥体体积公式
22
1

sxxx
2
x

1
n


x
n
x





2
1
VSh

3
其中
S
为底面积，
h
为高


球的表面积、体积公式
其中
x
为样本平均数
柱体体积公式 4
S4

R
2
，
V

R
3

VSh

3
其中
S
为底面积，
h
为高
其中R为球的半径

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1.
f

x

cos


x




6


的最小正周期为

，其中
0
，则

= ▲ ．
5
2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．
3.1i
表示为
abi

a,bR

，则
a b
= ▲ ．
1i
2
4.A=

x< br>
x1

3x7

，则A Z 的元素的个数 ▲ ．
5.
a
，
b
的夹角为
120
，
a 1
，
b3
则
5ab
▲ ．

6.在平面直角坐标系
xoy
中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，
E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的
概率是 ▲ ．
7.某地区为了解70-80岁老人 的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了50为老人进行调
查，下表是这50为老人日睡眠时间的频 率分布表。
序号
（i）
1
2
3
4
5
分组
（睡眠时间）
[4，5]
[5，6]
[6，7]
[7，8]
[8，9]
组中值
（G
i
）
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
频数
（人数）
6
10
20
10
4
频率
（F
i
）
0.12
0.20
0.40
0.20
0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是 ▲ 。
8.设 直线
y
1
xb
是曲线
ylnx

x0
的一条切线，则实数b＝ ▲ ．
2
55

9在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，
p）在线段AO 上的一点（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别与边AC ,
AB 交于点E、F ，某同学已正确求得OE的方程：


11


11



x



y0
，请你完成

bc


pa

直 线OF的方程：（ ▲ ）
x


11



y0
.
pa

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，数阵中第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．
y
2
11.已知x,y,zR
，满足
x2y3z0
，则的最小值是 ▲ ．
xz

x
2
y
2
12.在平面直角坐标系xOy中 ，设椭圆
2

2

1(
ab
0)的焦距为2 c，以点O为圆心，
ab

a
2

a
为半径作圆M ，若过点P

则该椭圆的离心率为
e
=
,0

所作圆M的两条切线互相垂直，

c

▲ ．

13．满足条件AB=2, AC=
2
BC 的三角形ABC的面积的最大值是 ▲ ．
14.设函数
f

x

ax3x1
（x∈R），若对于任意
x

1 ,1

，都有
f

x

≥0 成立，则
3
实数
a
= ▲ ．

二、解答题： 本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步 骤．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角

,
，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点，已知A、B 的
横坐标分别为
225
,
．
105
（Ⅰ）求tan(



)的值；

56

（Ⅱ）求

2

的值．

16．如图，在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，点E 、
F分别是AB、BD 的中点，
求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ；
（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD ．

17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶
点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，
为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含
边界），且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，
并铺设三条排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为
y
km．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： < br>①设∠BAO=

(rad)，将
y
表示成

的函数 关系式；
②设OP
x
(km) ，将
y
表示成
x
的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函 数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度
最短．

18．设平面直角 坐标系
xoy
中，设二次函数
f

x

x2x b

xR

的图象与两坐标轴
2
有三个交点，经过这三 个交点的圆记为C．
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

19. （Ⅰ）设
a
1
,a
2
,,a
n
是各项均不为零的等 差数列（
n4
），且公差
d0
，若将此数
列删去某一项得到的数 列（按原来的顺序）是等比数列：
①当n =4时，求
a
1
的数值；②求
n
的所有可能值；
d
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
b
1
,b
2
,






,b
n
，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
20.若f
1

x

3
xp
1
，
f
2

x

23
xp
2
，
xR,p
1
,p
2
为常数，函数f (x)定义为：对每个

57

给定的实数x，
f

x





f
1

x

,f
1

x

f
2

x




f
2

x

,f
1
x

f
2

x

（Ⅰ）求
f

x

f
1

x

对所有实数x成立 的充要条件（用
p
1
,p
2
表示）；
（Ⅱ）设
a ,b
为两实数，满足
ab
，且
p
1
,p
2
∈

a,b

,若
f

a

 f

b

，求证：
f

x

在< br>区间

a,b

上的单调增区间的长度之和为

b a
（闭区间

m,n

的长度定义为
nm
）．
2

58

2008年普通高等学校招生全国统一考试
（江苏卷）

数学参考答案

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1. 【答案】10
【解析】本小题考查三角函数的周期公式.
T
2．【 答案】
2




5


10

1

12
31


6612
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)
共3 个，故
P
3. 【答案】1 1i

1i

【解析】本小题考查复数的除法运算．∵∴
a
＝0，因此
ab1

b
＝1，
i
，
1i2
4. 【答案】0
2
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二 次不等式．由
(x1)3x7
得
x5x80
,
2
2
∵Δ＜0，∴集合A 为

，因此A
5. 【答案】7
Z 的元素不存在．
【解析】本小题考查向量的线性运算．
5ab5ab
=
2511013


6. 【答案】
2
2

2
25a10abb

2 2

1

2

349
，
5ab< br>7
2



16
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），
区域E 表示单位圆及其内部，因此．
P
7. 【答案】6.42
8. 【答案】ln2－1
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的 求法．
y
（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．

59
'

1
2
44


16

1
11
，令

得
x2
，故切点
xx2

9【答案】
11


cb
11
．事实上，由截距
cb
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性 可猜想填
式可得直线AB：

x
b
xy
y

11


11

直线CP：
1
，两式相减 得



x



y0
，< br>1
，
cp
a

bc


pa
显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的
方程．
n
2
n6
10．【答案】
2
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（ n
n
2
nn
2
n
－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为
22
n
2
n6
．
2
11. 【答案】3
y
2
x3z
【解析】本小题考查 二元基本不等式的运用．由
x2y3z0
得
y
，代入得
x z
2
x
2
9z
2
6xz6xz6xz
3
，当且仅当
x
＝3
z
时取“＝”．
4xz4xz
12. 【答案】
2

2
【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直 角三角
c2
a
2
2a
，解得
e
形，故．
a2
c
13．【答案】
22

【解析】本小题考查三角形面 积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝
x
，则AC＝
2x
，
根据面积公式得
S
ABC
=
1
ABBCsinBx1cos< br>2
B
，根据余弦定理得
2
AB
2
BC
2
AC
2
4x
2
2x
2
4x
2cosB

，代入上式得
2ABBC4x
4x

60

128

x
2
12
< br>
4x
2

S
ABC
=
x1




16

4x

2

2xx2
由三角形三边关系有

解得
222x22 2
，


x22x
故当
x22
时取得< br>S
ABC
最大值
22

14. 【答案】4
【解 析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论
a
取何值，
f
< br>x

≥0显然成
立；当x＞0 即
x

1,1< br>
时，
f

x

ax
3
3x 1
≥0可化为，
a
31


x
2
x3
3

12x

31

1

'
设
g

x


2

3
，则
g

x


， 所以 在区间
gx


0,

上单调递增，在区
x
4
xx

2

间

,1

上单调递减，因此
g< br>
x

max
g


1


2


1


4
，从而
a
≥4；
2

当x＜0 即

1,0

时，
f

x

ax3x1
≥0可化为
a
3
3

12x

31
'
gx
，

0


4
23
x
xx
g

x

在区间

1,0

上单调递增 ，因此
g

x

man
g

1

4
，从而
a
≤4，综上
a
＝4
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．
解：由已知 条件及三角函数的定义可知，
cos


225
,cos


，
105
因为

,

为锐角，所以< br>sin

=
因此
tan

7,tan
< br>
（Ⅰ）tan(



)=
725
,sin



105
1

2
tan

tan

3

1tan

tan

（Ⅱ）
tan2


2tan

4tan

tan2

tan

2

1
，所以

2
1t an

31tan

tan2

∵

,

为锐角，∴
0

2


3

3

，∴

2

=
24
16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

61

解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，
∵EF

面ACD ，AD

面ACD ，∴直线EF∥面ACD ．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.
又EF

17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
解：（Ⅰ）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=

(rad) ，则
CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD

面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．
AQ10
, 故

cos

cos

1 0
，又OP＝
1010tan

10－10ta

， < br>OB
cos

1010
所以
yOAOBOP1 010tan

，
cos

cos

OA
所求函数关系式为
y


2010sin


10

0




4

cos


②若OP=
x
(km) ，则OQ＝10－
x
，所以OA =OB=
2

10x

2
10
2
x
2
20x200

所 求函数关系式为
yx2x20x200

0x10


（Ⅱ）选择函数模型①，
y
令
y
0 得sin

当



0,
'
'
10cos< br>
cos



2010sin

< br>sin


10

2sin

1



cos
2

cos
2

1


，因为
0


，所以

=，
46
2
'




6
< br>
时，
y0
，
y
是

的减函数；当





,

时，
y
'
0
，
y
是

的增函

64

数，所以当

=

时，
y
min
10103
。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
6
103
km处。
3
18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
解：（Ⅰ）令
x
＝0，得抛物线与
y
轴交点是（0，b）；
令
f

x

x2xb0
，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
2

62

2
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
x
yDxEyF0

2
令
y
＝0 得
xDxF0
这与
x2xb
＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝
b
．
令
x
＝0 得
yEy
＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为
xy2x(b1)yb0
.
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0
2
＋1
2
＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边
＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
19.【解析】本小题主要 考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方
法进行探索分析及论证的能力，满分1 6分。
解：首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d
0
=0
事 实上，设这个数列中的连续三项a-d
0
,a,d+d
0
成等比数列，则
a
2
=(d-d
0
)(a+d
0
)
由此得d
0
=0

（1）(i) 当n=4时, 由于数列的公差 d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a
2
或
a
3
< br>①若删去
a
2
，则由a
1
,a
3
,a
4
成等比数列，得(a
1
+2d)
2
=a
1
( a
1
+3d)
因d≠0，故由上式得a
1
=－4d，即
足题设。
②若删去a3
，则由a
1
,a
2
,a
4
成等比数列，得 (a
1
+d)
2
=a
1
(a
1
+3d)
因d≠0，故由上式得a
1
=d，即
综上可知，
22
222
a
1
=－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满
d
a
1
=1，此时数列为d, 2d, 3d, 4d，满足题设。
d
a
1
的值为－4或1。
d
(ii)若n≥6，则从满足 题设的数列a
1
,a
2
,……,a
n
中删去一项后得到的数 列，必有原数
列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a
1
,a
2
,……,a
n
的公差必为0，这与题设矛盾 ，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n

63

≥4，故n=4或5.
当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。
当n=5时，若存在满足题设的数列 a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
，则由“基本事实”知，删去的项只能
是a
3
，从而a
1
, a
2
,a
4
,a
5
成等比数列，故
(a
1
+d)
2
=a
1
(a
1
+3d)
及
(a
1
+3d)2
=(a
1
+d)(a
1
+4d)
分别化简上述两个 等式，得a
1
d=d
2
及a
1
d=－5d,故d=0，矛盾 。因此，不存在满足题设的项
数为5的等差数列。
综上可知，n只能为4.
（2） 假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b
1
,b
1
+ d′,……，b
1
+(n-1)
d′(b
1
d′≠0)，其中三项b
1
+m
1
d′,b
1
+m
2
d′,b
1
+m
3
d′成等比数列，这里0≤m
1
2
3
≤n-1，< br>则有
(b
1
+m
2
d′)=(b
1
+m
1
d′)(b
1
+m
3
d′)
化简得
(m
1
+m
3
-2m
2
)b
1
d′=(
m
2
-m
1
m
3
) d′ (*)
2
2
2
由b
1
d′≠0知，m
1
+m
3
-2m
2
与
m
2
-m
1
m
3
或同时为零，或均不为零。
若m
1
+m
3
- 2m
2
=0且
m
2
-m
1
m
3
= 0，则有
(
2
2
2
m
1
m
3
2
)
-m
1
m
3
=0，
2
即(m
1
-m
3
)=0，得m
1
=m
3
，从而m
1
=m
2
=m
3
，矛盾。
因此，m
1
+ m
3
-2m
2
与
m
2
-m
1
m< br>3
都不为零，故由（*）得
2
m
2
m
1
m
3
b
1


'
d
m
1
m
3
2m
22
因为m
1
，m
2
，m
3
均为非负整数，所以 上式右边为有理数，从而
b
1
是一个有理数。
d
'
于是， 对于任意的正整数n≥4,只要取
b
1
为无理数，则相应的数列b
1
,b
2
,……,b
n
就是满足要
d
'
求的数列，例 如,取b
1
=1, d′=
2
，那么，n项数列1,1+
2
,1+2
2
,……,
1(n1)2
满足
要求。

20.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．
（Ⅰ）< br>f

x

f
1

x

恒 成立

f
1

x

f
2
x


3
xp
1
23
xp
2< br>
3
xp
1
xp
2
3
log
3
2


64


xp
1xp
2
log
3
2
（*）
因为
xp
1
xp
2


xp
1



xp
2

p
1
p
2
< br>所以，故只需
p
1
p
2
log
3
2（*）恒成立
综上所述，
f

x

f
1< br>
x

对所有实数成立的充要条件是：
p
1
p2
log
3
2

（Ⅱ）1°如果
p
1
p
2
log
3
2
，则的图像关于直线
xp
1
对称．因为
f

a

f

b

，所以
区间

a,b

关于直线
xp
1
对称．
因为减区间为

a,p
1

，增区间 为

p
1
,b

，所以单调增区间的长度和为
2° 如果
p
1
p
2
log
3
2
.
xplog2
xp



3
1
,x
p
1
,b


3
23
,x

p
2
,b

（1）当
p
1
p
2
log
3
2
时.
f
1

x



px
，
f
2

x


pxlog2

23
1
3,xa,p
3,xa,p

1


2




ba

2
当
x

p
1
,b

，
f
1

x

3p
2
p
1
log
3
2
3
01,
因为
f
1

x

0,f
2< br>
x

0
，所以
f
2

x

f
1

x

f
2

x
，
故
f

x

f
1

x

=
3
当
x

a,p
2
，
xp
1

f
1

x

3
p
1
p
2
log
3
2
 3
0
1,
因为
f
1

x

0 ,f
2

x

0
，所以
f
2

x

f
1

x

f
2

x


故
f

x

f
2

x

=
3
p
2
xlog
3
2

因为
f

a

f
< br>b

，所以
3
bp
1
3
p
2< br>alog
3
2
，所以
bp
1
p
2< br>alog
3
2,
即
abp
1
p
2
log
3
2
当
x

p
2
,p
1

时，令
f
1

x

f
2

x
，则
3
当
x

p
2
,
p
1
x
3
xp
2
log
3
2
，所以< br>x
p
1
p
2
log
3
2
，
2


p
1
p
2
log
3< br>2

xp
2
log
3
2
3
时， ，所以=
fxfxfxfx

122

2

pp
2
log
3
2

x< br>
1
,p
1

时，
f
1

x

f
2

x

，所以
f
< br>x

f
1

x

=
3
p
1
x

2


65

f

x

在区间

a,b

上的单调增区 间的长度和
bp
1

=
b
p
1
p< br>2
log
3
2
p
2

2
p1
p
2
log
3
2
abba

b
222
xplog2
xp



3
1
,x

p
1
,b


3< br>23
,x

p
2
,b

（2）当
p
2
p
1
log
3
2
时.
f
1

x



px
，
f
2
x



pxlog2

23
1
3,xa,p
3,xa,p

1


2




当
x

p
2< br>,b

，
f
1

x

3
p
2
p
1
log
3
2
3
0
1,
因为
f
1

x

0,f
2

x

0
，所以
f
2

x

f
1

x

f
2

x

，
故
f

x

f
2
x

=
3
当
x

a,p
1

，
xp
2
log
3
2

f
1

x

所以
f
1

x

f
2

x


3
p
1
p
2
log
3
2
3
0
1,
因为
f
1

x

0,f
2

x

0
，
f
2

x

p
1
x
故
f

x

f
1

x
=
3

p
1
a
因为
f

a

f

b

，所以
33
b p
2
log
3
2
，所以
abp
1
p
2
log
3
2

xp
1
当
x

p
1
,p
2

时，令
f
1

x

f
2

x

，则3
当
x

p
1
,
3
p
2
xlog
3
2
，所以
x
p
1
p< br>2
log
3
2
，
2


p1
p
2
log
3
2

xp
1< br>3
时， ，所以=
fxfxfxfx

121< br>
2


pp
2
log
3
2< br>
x

1
,p
1

时，
f
1

x

f
2

x

，所以
f

x

f
2

x

=
3
p
2
xlog
3
2

2

f

x

在区间

a,b

上的单调增区间的长度和
bp
2

=
b
p
1< br>p
2
log
3
2
p
1

2< br>p
1
p
2
log
3
2
abba
b
222
ba

2
综上得
f

x

在区间

a,b

上的单调增区间的长度 和为



绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
（江苏卷）

66

参考公式
：
kk
p(1p)
nk

n
次独立重复试验恰有
k
次发生的概率为：
P
n
(k)C
n
一、选择题：本大题 共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有
．．
一项是符合题目要 求的。
．．
1．下列函数中，周期为
A．
ysin

的是（D）
2
xx
B．
ysin2x
C．
ycos
D．
ycos4x

24
2
2．已知全集
UZ
，
A{1,0,1,2},B{x|xx}< br>，则
AC
U
B
为（A）
A．
{1,2}
B．
{1,0}
C．
{0,1}
D．
{1,2}

3．在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线中心在原 点，焦点在
y
轴上，一条渐近线方程为
x2y0
，则它的离心率为（A）
A．
5
B．
5
C．
3
D．
2

2
4．已知两条 直线
m,n
，两个平面

,

，给出下面四个命题：（C）
①
mn,m

n

②



,m

,n

mn

③
mn,m

n

④



,mn,m

n


其中正确命题的序号是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
5．函数
f(x)sinx3cosx(x[ 

,0])
的单调递增区间是（B）
A．
[

,
5

5


]
B．
[,]
C．
[,0]
D．
[,0]

66636
x
6．设函数
f(x)
定义在实数集上，它的图像关于直线
x1
对称，且当
x1
时，
f(x)31
，
则有（B）
132231
323323
213 321
C．
f()f()f()
D．
f()f()f()

332233
A．
f()f()f()
B．
f()f()f()

323
7．若对于任意实数
x
，有
xa
0
a
1
(x2)a
2
(x2 )a
3
(x2)
，则
a
2
的值为（B）
A．
3
B．
6
C．
9
D．
12


67