沈阳专科学校-新教师培训心得

【好题】高中三年级数学下期中试题含答案(3)

一、选择题
1 ．等差数列

a
n

中，
a
3
a
4
a
5
12
，那么

a
n

的前
7
项和
S
7

（

）

A
．
22
B
．
24
C
．
26
D
．
28

2．“干支纪年法”是中国 历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总
称，把干支顺序相配正好六十为一周，周 而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干， 子、丑、寅、卯、辰、巳、
午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元
1984年农历为甲子年，公元
1985
年农历为乙丑年，公元
1986
年农历为 丙寅年，则公元
2047
年农历为

A
．乙丑年

3．在
R
上定义运算
B
．丙寅年

：
A
C
．丁卯年
D
．戊辰年

BA< br>
1B

，若不等式

xa

13a

22

xa

1
对任意的
D
．

实数
xR
恒成立，则实数
a
的取值范围 是( )

A
．
1a1
B
．
0a2
C
．

31
a
< br>22
6
，4．在
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是角
A
，
B
，
C
的对边，若< br>b2c
，
a
cosA
7
，则
ABC
的面积为（ ）

8
B
．3
C
．
15

2
A
．
17
D
．
15

2
5．在
VABC
中，
A，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，c
，
cos
定是( )

A
．直角三角形
B
．等边三角形

Cab

，则
VABC
的形状 一
22a
D
．等腰直角三角形

C
．等腰三角形

6．在
ABC
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b ,c
，且
acosB

4cb

cosA
，则
cos2A
（ ）

7
A
．

8
A
．
2018

B
．
1

8
C
．

7

8
D
．


1
8
7．已知等差数列

a
n

中，
a
1010
3
，
S
2017
2017
，则
S
2018

（ ）

B
．
2018
C
．
4036
D
．
4036

8．在斜
ABC
中，设角
A,B ,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
asinAbsinBcsinC 4bsinBcosC
，
CD
是角
C
的内角平分线，且
CD b
，则
cosC=
（ ）

3
11
2
A
．
B
．
C
．
D
．

3
86
4
9．若关于
x
的不等式
x
2
ax20
在区间

1,5

上有解,则
a
的取值范围是（

）

A
．



23

,



5

B
．



23

,1


5

C
．

1,

D
．

,


23


5< br>

10．在
ABC
中，
a,b,c
分别是角A,B,C
的对边,若
bsinA3acosB0
,且
bac，则
A
．2

2
ac
的值为( )

b
B
．
2
C
．
2

2
D
．4

1
,q2
，则
a
4
与
a
8
的等比中项是（ ）

8
1
1
A
．±4
B
．4
C
．

D
．

4
4
12．若
0 a1
，
bc1
，则
(

)

1 1．等比数列

a
n

中，
a
1

A
．
()1

b
c
a
B
．
cac


bab
C
．
c
a1
b
a1
D
．
log
c
alog
b
a

二、填空题

13．若正数
a,b
满足
abab3< br>，则
ab
的取值范围
_______________
。

14．△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若
acosB＝
5bcosA
，
asinA
﹣
bsinB
＝
2sinC
，
则边
c
的值为
_______
．
< br>15．若正项数列

a
n

满足
a
n1< br>a
n
1
,
则称数列

a
n
< br>为
D
型数列
,
以下
4
个正项数列

a
n

满足的递推关系分别为
:
①
a
2
n 1
a
n
11
-=1
a
a1

②

③
n1

2
a
n
1a
n+1
a
n
2
n
2
④
a
n 1
2a
n
1
，则
D
型数列

an

的序号为
_______
.

12n2n
16．设
(1x)(1x)L(1x)a
0
a
1
x a
2
xLa
n
x
，其中
nN

， 且
n2
，若
a
0
a
1
a
2
La
n
1022
，则
n
=
_____
17．已知对满足
4x4y54xy
的任意正实数
x
，
y
，都有
x
2
2xyy
2
axay10
，则实数
a
的取值范围为
______
．

18．设
x0,
(x1)(2y1)
y0,x2y5
，则的最小值为
_ _____
.

xy
2
19．已知数列

an

的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
2nn1，nN
,求
a
n
=.
__________
．

xy30,
20．设不等式组
{x2y30,
表示的平面区域为

1
，平面区域

2
与

1
关于直线
x1
2xy0
对 称，对于任意的
C
1
,D
2
，则
CD
的最 小值为
__________
．

三、解答题

21 ．在
△ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的 边分别为
a
，
b
，
c.
已知
bsinAacos

B
（
1
）求角
B
的大小；

（
2
）设
a=2
，
c=3
，求
b
和
sin

2AB

的值
.

22．
V ABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
.已知
VABC
的面积
S
(
1
)证明:
b 3ccos A
;

(
2
)若
c1,a





.

6

1
2
btanA


6
3
,
求
S
.

23．在
△AB C
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，且
bs in2Aasin

AC

0
．

（1）求角
A
；

（2）若
a3
，
△A BC
的面积为
11
33
，求

的值．

b c
2
24．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示
的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝
5
百米，且△BCD是以D为直角顶点 的等腰直角
三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝

，


(

，

)
．

2

（1）当cos

＝

5
时，求小路AC的长度；

5
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

1
sinA3cosA
共线，其中
A
是△
ABC
的内角．

25．已知向量
msinA，
2
与
n3，



（
1
）求角
A
的大小；


（
2
）若
BC=2
，求△
ABC
面积
S
的 最大值，并判断
S
取得最大值时△
ABC
的形状
.

26．已知等比数列

a
n

的各项均为正数，
a
2
8，a
3
a
4
48
．

(Ⅰ
)
求数列

a
n

的通项公式；

(
Ⅱ
)
设
b
n
log
4
an
.
证明：

b
n

为等差数列，并求

b
n

的前
n
项和
S
n
．< br>

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一、选择题

1．D
解析：
D

【解析】

试题分析：由等差数列的性质
a
3
a
4
a
5
123a
4
12a
4
4
，则

考点：等差数列的性质

2
．
C
解析：
C

【解析】

记公元1984年为第一年，公元2 047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，
地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公 元2047年农历为丁卯年.

故选
C.

3．C
解析：
C

【解析】

【分析】

根据新运算的定义
,


xa

【详解】


xa

x
2
xa
2
a
,
即求
x
2
xa
2
a1
恒成
立,整理后利用判别式求出
a范围即可

Q
A
BA

1B


22
1xaxaxa1xxaa


 

xa

=

xa




xa

Q

xa
< br>xa

1
对于任意的实数
xR
恒成立,
x
2
xa
2
a1
,即
x
2xa
2
a10
恒成立,

1
2
4

1



a
2
a1
0
,

13
a

22
故选：C

【点睛】

本题考查新定义运算
,
考查一元二次不等式中的恒成立问题
,
当
xR
时
,
利用判别式是解题
关键

4．D
解析：
D

【解析】

【分析】

三角形的面积公式为
S
ABC

【详解】

1< br>bcsinA
，故需要求出边
b
与
c
，由余弦定理可以解得< br>b
与
c
.

2
b
2
c
2
a
2
7
解：在
ABC
中，
cosA

2bc8
4c
2
c
2
67
将
b 2c
，
a6
代入上式得

，

2
4c8
解得：
c2

2
7
7

15

由
cosA
得
sinA1


8
88

所以，
S
ABC

故选
D.

【点睛】

111515

b csinA24
2282
三角形的面积公式常见形式有两种：一是
111< br>（底

高），二是
bcsinA
.借助（底

222
高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助
及其夹角的正弦值.

1
bcsinA
时，需要求出三角形两边
2
5．A
解析：
A

【解析】

【分析】

Ca b

得到
sinAcosC=sinB
，结合三角
22a
形 内角和定理化简得到
cosAsinC0
，即可确定
VABC
的形状．
【详解】

利用平方化倍角公式和边化角公式化简
cos
2< br>Qcos
2

Ca+b
=

22a
1+cos CsinA+sinB
=
化简得
sinAcosC=sinB

22sinA
QB=p-(A+C)

sinAcosC=sin(A+C)
即
cosAsinC0

QsinC0

cosA0
即
A = 90
0

VABC
是直角三角形

故选
A

【点睛】

Cab

时，将边 化
22a
为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简
cos
2
6．C
解析：
C

【解析】

【分析】

根据题 目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得
sinA
，
进而利用二倍角余
弦公式得到结果
.

【详解】

∵
acosB

4cb

cosA
．

∴
sinAcosB
＝
4sinCcosA
﹣
sinBco sA

即
sinAcosB+sinBcosA
＝
4cosAsinC

∴
sinC
＝
4cosAsinC

∵
0
＜
C
＜π，
sinC
≠
0
．

∴
1
＝
4cosA
，即
cosA

2
1
，< br>
4
那么
cos2A2cosA1
故选
C

【点睛】

7
．

8
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．

7．D
解析：
D

【解析】

分析：由题意首先 求得
a
1009
1
，然后结合等差数列前
n
项和公式求解 前
n
项和即可求得
最终结果
.

详解：由等差数列前
n
项和公式结合等差数列的性质可得：

S2017

a
1
a
2017
2a
2017 
1009
20172017a
1009
2017
，

22
则
a
1009
1
，据此可得：

a
1
a
2018
20181009

a
100 9
a
1010

100944036
.

2
本题选择
D
选项
.

S
2017


点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前
n
项和公式等 知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力
.

8．A
解析：
A

【解析】

【分析】

2b< br>cosC
，由
cosC0
可得
a2b
；利用
a< br>C3
S
ABC
S
ACD
S
BCD
可构造方程求得
cos
，利用二倍角公式求得结果
.

24
【详解】

利用正弦定理角化边可构造方程
cosC
由正弦定理得：
a
2
b
2
c
2
4b
2
cosC

a
2
b
2
c
2
4b
2
cosC2b
则
cosCcosC

2ab2aba
QABC
为斜三角形

cosC0

a2b

11C1C
QSABC
S
ACD
S
BCD

b2bsinCbbsinb2bsin

22222
CCC
即：
2sinC4sincos3sin

222
QC

0,



cosC2cos
2
C



CC3
< br>
0,


sin0

cos

2

2

224
C91
121

2168
本题正确选项：
A

【点睛】

本题考查 解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积
公式的应用、二倍角公式 求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解
出半角的三角函数值
.

9．A
解析：
A

【解析】

【分析】

利用分离常数法得出不等式
a
22
，
x
在
x

15
上成立，根据函数
f

x

x
在

xx
x

15，

上的单调性，求 出
a
的取值范围

【详解】

关于
x
的不 等式
x
2
ax20
在区间
1,5
上有解


，

上有解

ax2x
2
在< br>x

15

即
a
2
，
x
在
x

15

上成立，

x
2
，
x
，
x

15


x设函数数
f

x


f


x


2
10
恒成立

x
2f

x

在
x

15，

上是单调减函数

，1


且
f

x< br>
的值域为



5

要
a
23

223
，


x
在
x

15
上有解，则
a

x5

23

,



5

即
a< br>的取值范围是


故选
A

【点睛】
本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离
含参量，然 后求出结果，属于基础题．

10．A
解析：
A

【解析】

【分析】

由正弦定理，化简求得
sinB3 cosB0
，解得
B

3
，再由余弦定理，求得
4b< br>2


ac

，即可求解，得到答案．

【详解】

在
ABC
中，因为
bsinA3acosB 0
,且
b
2
ac
，

由正弦定理得
sinBsinA3sinAcosB0
，

因为
A(0,

)
，则
sinA0
，

所以
sinB3cosB0
，即
tanB3
，解得
B 
22222
2

3
，

222
由余弦定 理得
bac2accosBacac(ac)3ac(ac)3b
，

即
4b
2


ac

，解得
【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以 很好地解决三
角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边< br>的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运
2
ac
2
，故选
A
．

b

用余弦定理求解
.

11．A
解析：
A

【解析】

【分析】

利用等 比数列

a
n

的性质可得
a
6
＝a4
a
8
，即可得出．

2
【详解】

设
a
4
与
a
8
的等比中项是
x
．

由等比数列

a
n

的性质可得
a
6
＝a
4
a
8
，
xa
6
．

2
∴
a
4
与
a
8
的等比中项
x a
6
24．


故选
A
．

【点睛】

本题考查了等比中项的求法，属于基础题．

1
8
5
12．D
解析：
D

【解析】

【分析】

运用不等式对四个选项逐一分析

【详解】

a
b

b

对于
A< br>，
Qbc1
，
1
，
Q0a1
，则

1
，故错误

c

c

对于
B
，若
误

对于
C
，
Q0a1
，
a10
，
Qb c1
，则
c
a1
b
a1
，故错误

对于
D
，
Qbc1
，
log
c
alog
b
a
，故正确

故选
D

【点睛】

本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．

cac

，则
bcabcbca
，即
a

cb

0
，这与
bc1
矛盾，故错
bab
二、填空题

13．【解析】【分析】先根据基本不等式可知a+b≥2代入题设等式中得关于不
等式a+b的方程进而求得a+b的范围【详解】∵正数ab满足a+b≥2∴ab≤又
ab=a+b+ 3∴a+b+3≤即（a+b）2﹣4（a
解析：

6,


【解析】

【分析】

先根据基本不等式可知
a+b≥2
ab
，代入题设等式中得关于不等式a+b
的方程，进而求得
a+b
的范围．

【详解】

2

ab

．∵正数a，b满足
a+b≥2
ab
，∴
ab≤


2


ab

，即（
a+b
）
2
﹣
4
（
a+b
）﹣
12≥0
．又ab=a
+b+3
，∴
a+b+ 3≤




2

解得
a+b≥6
．

故答案为：
[6
，
+∞
）．

【点睛】

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生对基本不等式的整体把握和
灵活运 用．

2
14．3【解析】【分析】由acosB＝5bcosA得由asinA﹣b sinB＝2sinC得解方程
得解【详解】由acosB＝5bcosA得由asinA﹣bsinB ＝2sinC得所以故答案：3
【点睛】本题主要
解析：3

【解析】

【分析】

由
acosB
＝
5 bcosA
得
ab
【详解】

22
2
2
c
，由
asinA
﹣
bsinB
＝
2sinC
得
a
2
b
2
2c
，解方程得解
.
3
a
2
c
2
b
2
b
2
 c
2
a
2
2
由
acosB
＝
5bcos A
得
a5b,a
2
b
2
c
2
.

2ac2bc3
由
asinA
﹣
bsinB
＝
2sinC
得
a
2
b
2
2c
，

2
2
c2c,c3
.

3
故答案：
3

【点睛】

所以
本题主要 考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和
分析推理能力
.

15．①②③④【解析】【分析】根据D型数列的定义逐个判断正项数列是否
满足即 可【详解】对①因为且正项数列故故所以成立对②故成立对③成立对
④故成立综上①②③④均正确故答案 为：①②③④【点睛】本题主要考
查了新定
解析：①②③④

【解析】

【分析】

根据
D
型数 列的定义,逐个判断正项数列

a
n

是否满足
a
n1
a
n
1
即可
.

【详解】
< br>22
对①
,
因为
a
n1
a
n
 1
,
且正项数列

a
n

.

2 22
,
aa
n
1
.
所以
a
n1a
n
1
成立
.

故
a
n1a
n
1a
n
2a
n
1

a
n
1

故
n1
2
对②
,
111
-=1?
a
n+1
a
n
a
n+1
a
1
+1Þa
n+1
=
n
,

a
n
a
n
+1
22
a
n
a
n
an
a
n
a
n
a
n
01
成立
.

故
a
n1
a
n

a
n
1a
n
1a
n
1
对③
,
a
n1


1

a
n
a
n< br>aaaa1

01
成立

n1nnn
222
a
n
1a
n
1

an
1

2
222
.
对④
,
an1
2a
n
1a
n1
2a
n
1 a
n
2a
n
1

a
n
1


故
a
n1
a
n
1
,
a
n1
a
n
1
成立
.

综上
,
①②③④均正确.

故答案为：①②③④

【点睛】

本题主要考查了新定义的问题
,
需要根据递推公式证明< br>a
n1
a
n
1
.
属于中等题型
.
16
．
9
【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详 解】由题：
记函数即故答案为：
9
【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整 体代
入求解体现出转化与化归思想

解析：
9

【解析】

【分析】

12n2n
记函数
f(x) (1x)(1x)L(1x)a
0
a
1
xa
2
xLa
n
x
，

f(1)a
0
a
1
a
2
La
n
22
2
L2
n
，利用等比数列求和公式即可求解
.

【详解】

2n12n
由题：记函数
f(x)a
0
a
1
xa< br>2
xLa
n
x(1x)(1x)L(1x)
，
2(12
n
)
，

f(1)a
0
a
1
a
2
La
n
22L2
1 2
2n
即
2
n1
21022
，
2
故答案为：
9

【点睛】

n1
1024,n9

此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想
.

17
．（﹣
∞
【解析】【分析】由正实数
xy
满足可求得
x+y≥5
由
x2+2xy+y2
﹣
ax
﹣< br>ay+1≥0
恒成立可求得
a≤x+y+
恒成立利用对勾函数的性质即可求得实 数
a
的取
值范围【详解】因为正实数
xy
满足而
4x
解析：（﹣
∞
，
【解析】

【分析】

由 正实数x，y满足
4x4y54xy
，可求得x
+y≥5
，由x
2
+2xy+y
2
﹣
ax
﹣
ay+1≥
0恒成立
26
]

5
1
可求得a
≤x+y+
恒成立 ，利用对勾函数的性质即可求得实数a的取值范围．

xy
【详解】
因为正实数x，y满足
4x4y54xy
，而4xy
≤
（
x+y
）
2
，

代入原式得（x
+y
）
2
﹣
4
（
x+y
）﹣
5≥
0，解得x
+y≥ 5
或x
+y≤
﹣
1
（舍去），

由x
2< br>+2xy+y
2
﹣
ax
﹣
ay+1≥
0可得a（x< br>+y
）
≤
（
x+y
）
2
+1
，
即a
≤x+y+
1
，令t=x
+y
∈
[5< br>，
+∞
），

xy
1
t
则问题转化为a
≤t+
，

因为函数y=t
+
在
[5
，
+∞
）递增，

所以y
min
=5+
所以a
≤
1
t
126
=
，

55
26
，

5
26
]

5
故答案为（﹣
∞
，
【点睛】

本题考查基本不等 式，考查对勾函数的单调性质，求得x
+y≥5
是关键，考查综合分析与运
算的能力， 属于中档题．

18．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且
仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证
等号是否能够成立
解析：
43

【解析】

【分析】

把分子展开化为
2xy6
，再利用基本不等式求最值．

【详解】

Q
(x1)(2y1)2xyx2y1
,

xyxy
y0,x2y5,xy0,

Qx0,
2xy6
223xy
43
，

xyxy
当且仅当
xy3
，即
x3,y1
时成立，

故所求的最小值为
43
．

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

19．【解析】分析：根据 可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达
式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的 关系可得代入化简得经检
验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最

4,n1
解析：
a
n


.

4n1,n2

【解析】

分析：根据
a
n< br>S
n
S
n1
可以求出通项公式
a
n
； 判断
S
1
与
a
1
是否相等，从而确定
a
n
的表
达式。

2
详解：根据递推公式，可得
S
n 1
2(n1)(n1)1


由通项公式与求和公式的关系，可得
a
n
S
n
S
n1

，代入化简得

a
n
2n
2
n12(n 1)
2
(n1)1


4n1

< br>经检验，当
n1
时，
S
1
4,a
1
3



所以
S
1
a
1


4,n1
所以

a
n


.

4n1,n2

点睛：本题考查了利用递推公式
a
n
S
n
S
n1< br>求通项公式的方法，关键是最后要判断
S
1
与
a
1
是 否相等，确定
a
n
的表达式是否需要写成分段函数形式。

20．【 解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC构成其
中作出直线显然点A到直线的距 离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为
点A到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区 域内的点与区
解析：
25

5
【解析】

作出不等式组所表示的可行域

1

，如图阴影部分，由三角形ABC
构成，其中

A(1，1),B(3，0),C(1，2)

，作出直线
2xy0

，显然点
A
到直线
2x y0
的距离最近，
由其几何意义知，区域

1
,
2< br>
内的点最短距离为点
A
到直线
2xy0
的距离的
2
倍，由
点到直线的距离公式有：
d
21
2
2
1
2

5

，所以区域

1

内的点与区域

2

内的点之
5
间的最近距离为
25
25

，即
CD
.

5
5

点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题
.
巧妙识别
目标函数的几何意义是解答本题的关键
.

三、解答题

21．(Ⅰ)

33
.

；
(Ⅱ)
b7
，
3
14
【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得
tanB
B=< br>3
，则
π
．

3
（Ⅱ）在△
ABC
中，由余弦定理可得
b=
7
．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
sin

2AB


33

．
14
详 解：（Ⅰ）在△
ABC
中，由正弦定理
又由
bsinAacos

B
即
sinBcos

B
ab

， 可得
bsinAasinB
，

sinAsinB

< br>π

π

asinBacosB
，得
< br>，

6

6



π


，可得
tanB3
．

6

又因为< br>B

0，π

，可得
B=
π
．

3

（Ⅱ）在△
ABC
中，由余弦定理及
a=2
，
c=3
，
B=
有
b
2
a
2
c
2
2accosB7
，故
b=
7
．

由
bsinAacos

B
π
，

3


2
π

3
cosA
a ，可得．因为，故．

sinA

6

7
71
43
2


，
cos2A2cosA1．
7
7
4311333

．
727214
因此
sin2A2sinAcosA
所 以，
sin

2AB

sin2AcosBcos2Asin B

点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题
中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用
正、余弦 定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

22．(1)证明解析,(2)
【解析】

【分析】

（1 ）由正弦定理面积公式得：
S
（2）因为
c1
，
a
2

2
11sinA
bcsinAb
2
tanA
， 再将
tanA
代入即可.

26cosA
3
，得到
b3cosA
.代入余弦定理
a
2
b
2
c
2
2bccosA
得
cos
2
A
【详解】
< br>2
6
2122
，
cosA
，
b6
S 6
.

tanA
3
2622
3
（1）由
S
因为
tanA
11
bcsinAb
2
ta nA
，得
3csinAbtanA

26
sinAbsinA
，所以
3csinA
，

cosAcosA
又
0A

，所以
sinA0
，因 此
b3ccosA
.

（2）由（1）得
b3ccosA
.

因为
c1
，
a3
，所以
b3cosA
.

由余弦定理
a
2
b
2
c
2
2bccosA
得：

(3)9cosA16cosA
,解得：
cosA
因为
b 3cosA
，所以
cosA0
，
cosA
222
22
.

3
6
.

3
tanA
2
，
b6
.

2

1122
.

Sb
2
tanA6
6622
【点睛】

本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应
用，属于中档题 .

23．（1）
【解析】

【分析】

（1）可 通过化简
bsin2Aasin

AC

0
计算出< br>cosA
的值，然后解出
A
的值。

（
2
）可通过计算
bc
和
bc
的值来计算
【详解】

（1）由
bsin2Aasin

AC

0
得
bsin2AasinBbsinA
，


又
0A π
，所以
sinA0
，得
2cosA1
，所以
A< br>（
2
）由
nABC
的面积为

3
；（2）< br>
3
2
11

的值。

bc

3
。


133

33< br>及
A
得
bcsin
，即
bc6

，

3
2232
又
a3
，从而由余弦定理得b
2
c
2
2bccosA9
，所以
bc33
，


所以
11bc3
。


bcbc2
【点睛】

本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。

24．（1）
AC
【解析】

【分析】

（1） 在△
ABD
中，由余弦定理可求
BD
的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinθ，根
据正弦定理可求sin∠
ADB

37
；（
2
）
BD26

3
，进而可求cos∠
ADC
的值 ，在△
ACD
中，利用余弦定理可求
5
AC
的值．

（2）由（1）得：
BD
＝14﹣6
5
cosθ，根据三角形面积公式，三 角函数恒等变换的应用
可求．
S
ABCD
＝7

2
15

sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ

时，四边形
ABCD
的面积最
22
大，即θ＝φ

【详解】

21
，此时cosφ

，sinφ

，从而可求
BD< br>的值．

55
2
（1）在
ABD
中，由
B D
2
AB
2
AD
2
2ABADcos
< br>，

得
BD
2
1465cos

，又
cos


5
，∴
BD25
．

5
2




5

2
∵



,


∴
sin

1cos
2

1





5



2

5
253
BDAB3

sinADB
由得：
2
，解 得：，

sinADB
sinBADsinADB5
5
∵BCD
是以
D
为直角顶点的等腰直角三角形 ∴
CDB
∴
cosADCcos

ADB

2
且
C DBD25





3
sinADB



2

5
在
ACD
中，
AC
2
AD
2
DC
2
2ADDCcosADC



5
2
25

2

3

2525



37
，


5

解得：
AC37


（2）由（ 1）得：
BD
2
1465cos

，

11< br>35
S
ABCD
S
ABD
S
BCD
35sin

BD
2

7sin

35cos


22
2
21
3515
sin

cos


，此时，， 且
7

sin

2cos


7 sin





55
22



0,






2

当





2
时，四边形
ABCD
的面积最大，即





2
， 此时
sin


1
，
5
cos


2
2

5
∴
BD1465cos

1465




2


26
，即
BD26


5

答：当
cos< br>

5
时，小路
AC
的长度为
37
百米； 草坪
ABCD
的面积最大时，小路
5
BD
的长度为
26百米．

【点睛】

本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式 ，正弦定理，三角形面积公式，三角
函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合 应用，考查了计算能
力和转化思想，属于中档题．

25．（
1
）
A
【解析】

π
（
2
）△
ABC
为等边三角形

3urr
分析：（
1
）由
mn
，得
sinA(sinA 3cosA)
求解
sin

2A
3
0
，利 用三角恒等变换的公式，
2


π


1
，进而求解角
A
的大小；

6

22
（
2
）由余弦定理，得
4bcbc
和三角形的面积公式，利用基本不等式求得bc4
，即可判定当
bc
时面积最大，得到三角形形状．

详解：（
1
）因为
mn,
所以
sinAsinA3cosA
所以

3
0
.

2
1cos2A3 331
sin2A0
，即
sin2Acos2A1
，


22222


π


1
.



6

即

sin

2A
因为
A

0,π

,
所以< br>2A
故
2A
π

π11π



，

.

6

66

πππ

，
A
.

623
22
（
2
）由余弦定理，得

4bcbc



又
S
ABC

13
bcsinAbc
，


24
133
bcsinAbc43
.

244

而
b
2
c
2
2bc bc42bcbc4
，（当且仅当
bc
时等号成立）


所以
S
ABC

当△
ABC
的面积取最大值时，
bc
.
又
A
π
，故此时△
ABC
为等 边三角形

3
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问 题，对于解三角
形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关< br>系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利
用正、 余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积
公式，结合正、余弦定 理解题.

26．（Ⅰ）

a
n
2
【解析】

【分析】

2
（
1
）利用
a
3
a
4
a
2
qa
2
q48
及
a
2
8
求得
q，从而得到通项公式．

n1
n
2
3n
（Ⅱ）见解析，

4

（
2
）利用定义证明

b
n

等差数列，并利用公式求和．

【详解】

（Ⅰ）设等比数列

a
n

的公比为
q
， 依题意
q0
．

2
由
a
2
8,a3
a
4
48
得
8q8q48
，解得
q =2
．

n2
2
n1
．

故a
n
82
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得
b
n
log< br>4
a
n
log
4
2
故
b
n
b
n1

n1

n1
．

2< br>1
1
，所以

b
n

是首项为1，公差为的 等差数列，

2
2
n

n1

1n2
3n
所以
S
n
n1
．


224
【点睛】

一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个 角度去考虑：（
1
）证明
a
n
a
n1
d；
（
2
）证明：
2a
n
a
n1
 a
n1
.