税法宣传-农村空巢老人

若要功夫深，铁杵磨成针！

最新高考数学一模试卷（理科）


一、选择题（本大题共8小题，每小题 5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C．
π
D．2
π

2．设函数
A．﹣6 B．0 C．4
，则f[f（1）]的值为（ ）
D．5
3．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y+4的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．27
，则
D．
=（ ） 4．若
α
是第二象限角，
A． B． C．
33
5．已知f（x） =ax+b+4（a，b∈R），f[lg（log
3
2）]=1，则f[lg（log
2
3）]的值为（ ）
，，则=（ ）
A．﹣1 B．3 C．7 D．8
6．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中

A．1 B．2 C．t D．2t
=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在7．已知双曲线
另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3 的值取到最大值8．已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且AB与平面BCD成60
°
角 ．当
时，二面角A﹣CD﹣B的大小为（ ）
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！

A．30
°
B．45
°
C．60
°
D．90
°


二、填空题（本大题共7小题，共36分）
9．设全集U=R，集合A={x|1＜x≤3} ，B={x|x≥2}，则A
∩
B=______，A
∪
B=______， A
∩
（∁
R
B）
=______．
10．已知命题p：< br>“
若a=b，则a=b
”
，则命题p的否命题为______，该否命题是一个 ______
命题．（填
“
真
”
，
“
假
”
）
11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角 形，
该几何体的表面积为______，体积为______．
22

12 ．若函数f（x）是幂函数，则f（1）=______，若满足f（4）=8f（2），则=______．
13．空间四点A、B、C、D满足|AB|=1，|CD|=2，E、F分别是AD、BC的中点，若 AB与CD
所在直线的所成角为60
°
，则|EF|=______．
14．已知F
1
，F
2
分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左 右焦点，A是其上顶点，且△
AF
1
F
2
是等腰直角三角形，延长A F
2
与椭圆C交于另一点B，若△AF
1
B的面积为6，则椭圆C
的 方程为______．
15．已知等差数列{a
n
}满足a
9
＜0 ，且a
8
＞|a
9
|，数列{b
n
}满足b
n=a
n
a
n+1
a
n+2
（n∈N），{b
n
}的前n
项和为S
n
，当S
n
取得最大值时，n的值为__ ____．

三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，
（
Ⅰ
）若B=60
°
，求sinC的值；
（
Ⅱ
）若，求cosC的值．
*
17．如图，平行四边形ABCD ⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60
°
，AD⊥DE
（
Ⅰ
）求证：DE⊥平面ABCD；
（
Ⅱ
）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！


18．已知函数f（x）=x+ax+1，
（
Ⅰ
）设g（x）=（2x﹣3 ）f（x），若y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值
集合；
（
Ⅱ
）求函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．
19．过离心率 为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C
2
交于不同的两点A、B，设|FA|=λ
|FB|，T（2，0）．
（
Ⅰ
）求椭圆C的方程；
（
Ⅱ
）若1≤
λ
≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．
20．数列{a
n
}各项均为正数，a
1
=，且对任意的n∈N，都 有a
n+1
=a
n
+ca
n
（c＞0）．
（1）求
（2）若c=
请说明理由．

++的值；
*
*2
，是否存在n∈N，使得a
n
＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存 在，
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！


参考答案与试题解析


一、选择题（本大题共8小题，每小题 5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C．
π
D．2
π

【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由已知利用两角 和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+
用三角函数的周期公式即可求值得解 ．
【解答】解：∵
∴最小正周期T=
故选：C．

2．设函数，则f[f（1）]的值为（ ）
=
π
．
=2sin（2x+），
），利
A．﹣6 B．0 C．4 D．5
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】直接利用分段函数化简求解即可．
【解答】解：函数
故选：A．

，则f[f（1）]=f（1﹣4）=f（﹣3）=﹣6．
3．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y+4的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．27
【考点】简单线性规划．
【分析】由约 束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，
联立方程组求得最优解的坐 标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！


联立，解得A（2，1），
化目标函数z=2x+3y+4为
由图可知，当直线
故选：B．

4．若
α
是第二象限角，
A． B． C． D．
，
过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为11．
，则=（ ）
【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】由条件利用同角三角的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得
的值．
【解答】解：∵
α
是第二象限角， =，∴+
α
为第三项
象限角．
∵
求得
故选：A．

5．已知f（x）=ax+b
33
+
=﹣，
=1，sin（）＜0，cos（）＜0，
+4（a，b∈R），f[lg（log
3
2）]=1，则f[lg（log
2
3）]的值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．7 D．8
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的值．
【分析】易判lg（ log
2
3）与lg（log
3
2）互为相反数，构造函数f（x）=g（x ）+4，即g（x）
=ax+b
33
，利用g（x）的奇偶性可求结果．
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！

【解答】解：∵lg（log
2
3）+lg（ log
3
2）=lg （log
2
3
•
log
3
2）=lg1=0，
∴lg（log
2
3）与lg（log
3
2）互为相反数，
令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax+b
33
，易知g（x）为奇函数，
则g（lg（log
2
3））+g（lg（ log
3
2））=0，
∴f（lg（log
2
3））+f（lg（ log
3
2））=g（lg（log
2
3））+4+g（lg（ log
3
2））+4=8，
又f（lg（log
2
3））=1，∴f（lg（ log
3
2））=7，
故选：C．

6．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中，，则=（ ）

A．1 B．2 C．t D．2t
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】可连接CD，CB，从 而得到CD⊥AD，BC⊥AB，这便可得到
，从而得出
便可求出
【解答】解：如图， 连接CD，CB；
∵AC为直径；
∴CD⊥AD，BC⊥AB；
∴
=
=
=
=t+2﹣（t+1）
=1．
故选A．




的值．
=，带入
，
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！



7．已知双曲线=1（a＞0， b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在
另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心 率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析 】首先求出F
1
到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另
一条渐近线y=﹣x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），
设一条渐近线方程为y=x，则F
1
到渐近线的距离为=b．
设F
1
关于渐近线的对称点为M，F
1
M与渐近线交于A，∴|MF
1
| =2b，A为F
1
M的中点，
又焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，
∴OA∥F
2
M，∴∠F
1
MF
2
为直角，
∴△MF
1
F
2
为直角三角形，
∴由勾股定理得4c=c+4b
∴3c=4（c﹣a），∴c=4a，
∴c=2a，∴e=2．
故选：B．

8．已知三棱锥ABCD中，A B⊥CD，且AB与平面BCD成60
°
角．当
时，二面角A﹣CD﹣B的大小为（ ）
&知识就是力量&
22222
222
的值取到最大值

若要功夫深，铁杵磨成针！

A．30
°
B．45
°
C．60
°
D．90
°

【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】根据直线和平面所成的角，求出的值取到最大值时的条件，进行求解即可．
【解答】解：过A作AO⊥平面BCD，连接BO并延长交CD，于E，连接AE，
则BE是AB在底面BCD上的射影，
则∠ABE=60
°
，
∵AB⊥CD，AO⊥CD，
∴AO⊥平面ABE，即AE⊥CD，
则∠AEB是二面角A﹣CD﹣B的平面角，
则==，
要使的值取到最大值，则取得最大，
由正弦定理得=，
∴当sin∠BAE取得最大值，即当∠BAE=90
°
时取最大值．
此时∠AEB=30
°
，
故选：A


二、填空题（本大题共7小题，共36分）
9．设全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x≥2}，则A
∩
B= {x|2≤x≤3 ，A
∪
B= {x|x＞1} ，
A
∩
（∁
R
B）= {x|1＜x＜2} ．
【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集，并集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：∵ 全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x≥2}，即∁
R
B={x|x＜2} ，
∴A
∩
B={x|2≤x≤3}，A
∪
B={x|x＞1}，A
∩
（∁
R
B）={x|1＜x＜2}，
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！

故答案为：{x|2≤x≤3}，{x|x＞1}，{x|1＜x＜2}

222 2
10．已知命题p：
“
若a=b，则a=b
”
，则命题p的否命题 为 若a≠b则a≠b ，该否命题
是一个 真 命题．（填
“
真
”
，
“
假
”
）
【考点】四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系．
【分析】根据命题：
“若p，则q
”
的否命题为
“
若￢p，则￢q
”
，写出它 的否命题，再判定真
假性．
【解答】解：命题p：
“
若a=b，则a=b
”
，
22
则命题p的否命题为
“
若a≠b，则a≠b
”
，
22
该否命题是一个真命题．
22
故答案为：
“
若a≠b，则a≠b
”
，真．

11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，
该几何体的表面积为 ，体积为 ．

【考点】由三视图求面积、体积．
【分 析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，底面△ABC是等腰直角三角形，
△PBC是边 长为2的正三角形，且平面PBC⊥底面ABC．利用三角形面积计算公式、三棱锥
的体积计算公式即可 得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，底面△ABC是等腰直角三角
形，
△PBC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥底面ABC．
∴该几何体的表面积为=
=4++，
=
+；
．
．
+++×
体积V=
故答案分别为：4+
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！



12．若函数f（x）是幂函数，则f（1）= 1 ，若满足f（4）=8f（2），则
【考点】函数的值．
【分析】设f（x）=x
α
，由幂函数的性质能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）是幂函数，∴设f（x）=x
α
，
∴f（1）=1，
∵满足f（4）=8f（2），
∴4
α
=8×2
α
，解得
α
=3，
∴==
．
．
= ．
故答案为：1，

1 3．空间四点A、B、C、D满足|AB|=1，|CD|=2，E、F分别是AD、BC的中点，若AB与CD
所在直线的所成角为60
°
，则|EF|=
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO∥ CD，且|EO|=1，FO∥AB，且|FO|=，∠
EOF（或其补角）是异面直线AB与CD所成 的角，由此能求出EF．
【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，
∵四面体ABCD 中，|AB|=1，|CD|=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所
成的角为 60
°
，
∴EO∥CD，且|EO|=1，FO∥AB，且|FO|=，
∴∠EOF（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角，
∴∠EOF=60
°
或120
°
，
∴∠EOF=60°
，EF=
∠EOF=120
°
，EF=
故答案为：或．
=
=，
．
或 ．
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！



14．已知F
1
，F
2
分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左 右焦点，A是其上顶点，且△
AF
1
F
2
是等腰直角三角形，延长A F
2
与椭圆C交于另一点B，若△AF
1
B的面积为6，则椭圆C
的 方程为 =1 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由△AF
1
F2
是等腰直角三角形，可得b=c，可设椭圆的标准方程为：
（b＞0）．在Rt△ABF
1
中，由勾股定理可得：
设|BF
2
|=m，则|BF
1< br>|=2a﹣m=2
=×
b﹣m，2b+
2
=1
+|AB| =
=
2
，|AF
2
|=|AF
1
|=
，又
b，
=6，联立解出即可得出．
【解答】解：∵△AF
1
F
2
是等腰直角三角形，
∴b=c，
可设椭圆的标准方程为： =1（b＞0）．
2
在Rt△AB F
1
中，由勾股定理可得：
|AF
2
|=|AF
1
|=
+|AB|=
b﹣m，
，
b，设|BF
2
|=m ，则|BF
1
|=2a﹣m=2
2
代入可得：2b+=，
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若要功夫深，铁杵磨成针！

又
2
=×=6，
联立解得b=，
∴椭圆的标准方程为： =1．
故答案为：

=1．
15．已知等差数列{a
n
}满 足a
9
＜0，且a
8
＞|a
9
|，数列{b
n}满足b
n
=a
n
a
n+1
a
n+2
（n∈N），{b
n
}的前n
项和为S
n
，当S
n
取得最大值时，n的值为 8 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{a
n
}的公差为d，由满足a
9
＜0，且a
8
＞|a
9
|，可得d＜0，a
8
＞﹣a
9
＞0，因
此当n≤8时， a
n
＞0；当n≥9时，a
n
＜
0．S
n
=a1
a
2
a
3
+a
2
a
3
a< br>4
+
…
+a
6
a
7
a
8
+ a
7
a
8
a
9
+a
8
a
9
a
10
+a
9
a
10
a
11
+
…
+a
n
a
n+1
a
n+2
，当n≤6时，Sn
的每一项都大于
0，当n≥9时，a
n
a
n+1
a< br>n+2
＜0，只要计算a
7
a
8
a
9
+a< br>8
a
9
a
10
与0的关系即可得出．
【解答】解： ∵设等差数列{a
n
}的公差为d，∵满足a
9
＜0，且a
8
＞|a
9
|，
∴d＜0，a
8
+a
9
＞0，a
8
＞﹣a
9
＞0，
∴当n≤8时，a
n
＞0；当n≥9时，a
n
＜0．
S< br>n
=a
1
a
2
a
3
+a
2
a
3
a
4
+
…
+a
6
a
7
a
8
+a
7
a
8
a
9
+a
8< br>a
9
a
10
+a
9
a
10
a
11
+
…
+a
n
a
n+1
a
n+2，
当n≤6时，S
n
的每一项都大于0，当n≥9时，a
n
a
n+1
a
n+2
＜0，
而a
7
a
8a
9
＜0，a
8
a
9
a
10
＞0，
并且a
7
a
8
a
9
+a
8
a9
a
10
=a
8
a
9
（a
7
+a
10
）=a
8
a
9
（a
8
+a
9
）＞0，
因此当S
n
取得最大值时，n=8．
故答案为：8．

三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，
&知识就是力量&
*

若要功夫深，铁杵磨成针！

（
Ⅰ
）若B=60
°
，求sinC的值；
（
Ⅱ
）若，求cosC的值．
【考点】正弦定理．
【分析】（< br>Ⅰ
）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角
可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的
值．
（
Ⅱ
）设a=2t，b=3t，由已知可求
【解答】（本题满分为14分）
解：（
Ⅰ
）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB
又∵ B=60
°
，代入得3sinA=2sin60
°
，解得
∵a：b= 2：3，∴A＜B，即
∴
（
Ⅱ
）设a=2t，b=3t，则，
．
…


．
…

．
，利用余弦定理即可得解cosC的值．
则

17．如图，平行四边形A BCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60
°
，AD⊥DE
（
Ⅰ
）求证：DE⊥平面ABCD；
（
Ⅱ
）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．

【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．
【分析】（
Ⅰ
） 过A作AH⊥DC交DC于H．证明AH⊥DE，AD⊥DE，然后证明DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ
）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．说明∠CNM就是< br>所求二面角的一个平面角．然后求解即可．
【解答】（本题满分15分）
证明：（
Ⅰ
）过A作AH⊥DC交DC于H．
∵平行四边形ABCD⊥平面CDE
&知识就是力量&

若要功夫深，铁杵磨成针！

∴AH⊥平面CDE
又∵DE⊂平面CDE
∴AH⊥DE
…①
由已知AD⊥DE
…②
，AH
∩
AD=A
…③

由
①②③
得，DE⊥平面ABCD；
…

解：（
Ⅱ
）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，
连接MN．
由（
Ⅰ
）得DE⊥平面ABCD，
又∵DE⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABCD．
∴CM⊥AE，
又∵CN垂直AE，且CM
∩
CN=C．

∴AE⊥平面CMN，得角CNM就是所求二面角的一个平面角．
又∵，，
∴所求二面角的余弦值为．
…



18．已知函数f（x）=x+ax+1，
（
Ⅰ
）设g（x）=（2x﹣3 ）f（x），若y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值
集合；
（
Ⅱ
）求函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
&知识就是力量&
2

若要功夫深，铁杵磨成针！

【分析】（
Ⅰ
）分类讨论，从而由f（ x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；
（
Ⅱ
）分类讨论，从而确定 二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上
的最大值．
【解答】解：（
Ⅰ
）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，
即a﹣4=0，解得a=±2；
（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，
代入得
故；
．
，
2
综上所述，a的取值集合为
（
Ⅱ
）（1）若，即a≥0时，
函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，
故y
max
=f（1）=2+a；
（2）若
2
，即﹣2＜a＜0时，
此时△=a﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；
故，
（3）若，即a≤﹣2时，
此时f（1）=2+a≤0，
，
综上所述，．

19．过离心率为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C
交于不同的两点A、B，设|FA|=
λ
|FB|，T（2，0）．
（
Ⅰ
）求椭圆C的方程；
（
Ⅱ
）若1≤
λ
≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．
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若要功夫深，铁杵磨成针！

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（
Ⅰ
）由题意可得，c=1，a=b+c，联立解出即可得出．
2 22
（
Ⅱ
）当直线l的斜率为0时，不成立．于是可设直线l的方程为：my=x﹣1 ，设A（x
1
，y
1
），
B（x
2
，y
2
），与椭圆方程联立可得：（m+2）y+2my﹣1=0，由|FA|=
λ
|FB| ，可得y
1
=﹣
λ
y
2
，再
利用根与系数的关系代 入可得：﹣2=，由1≤
λ
≤2，可得0≤，利用
22
AB边上的中线长为< br>性即可得出．
【解答】解：（
Ⅰ
）∵
∴=b，
=，及其二次函数的单调
，c=1，a=b+c，
222
∴椭圆C的方程为：．
（
Ⅱ
）当直线l的斜率为0时，显然 不成立．因此可设直线l的方程为：my=x﹣1，设A（x
1
，
y
1
），B（x
2
，y
2
），
直线l的方程与椭圆方程联立可得：（m+2）y+2my﹣1=0，
22
∴，，
由|FA|=
λ
|FB|，可得y
1
=﹣
λ
y2
，
∵，
∴，
∴﹣2=，
∵1≤
λ
≤2，∴
∴0≤，
∈，
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又AB边上的中线长为
===
，
∵0≤
2
，∴=t∈
﹣
．
∈
．
． ∴f（t）=2t﹣7t+4=2
∴
∴△ABT中AB边上中线长的取值范围是

．
20．数列{a
n
}各项均为正数，a
1
=，且对任意 的n∈N，都有a
n+1
=a
n
+ca
n
（c＞0）．
（1）求
（2）若c=
++的值；
*
*2
，是否存在n∈ N，使得a
n
＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，
请说明理由．
【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．
【分析】（1）由a
1
=，且 对任意的n∈N，都有a
n+1
=a
n
+ca
n
（c＞0） ，可得a
2
=
a
3
=（2+c）（4+2c+c）．代入化简整理即 可得出．
2
2
*2
=，
（2）a
n+1
=an
+ca
n
，c=
++
…
+
，变形为
=
=
+
，可得
+
…
+=
．通过
“
放缩法
”
即可得出结论．
【解答】解：（1）∵a
1
=，且对任意 的n∈N，都有a
n+1
=a
n
+ca
n
（c＞0）， < br>∴a
2
=
∴+
=，a
3
=
+=+
= +c=（2+c）（4+2c+c）．
2
*2
+
=++
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=
2
=2．
（2）∵a
n+1
=a
n
+ ca
n
，c=
∴a
n+1
＞a
n
＞0．
∴
∴
+
．
∴＜+
+
…
+
，
，即=，
=++
…
+=
+
…
+=．
当 n=2016时，
当n=2017时，2﹣
*
＜1，可得a
2017
＜1．
＞++
…
+=1，可得a
2018
＞1．
因此存在n∈N，使得a
n
＞1．

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2016年9月29日
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