甘肃招警-笑声作文

解三角形知识点总结及典型例题
一、 知识点复习
1、正弦定理及其变形

abc
2R
sinAsinBsinC

(R为三角形外接圆半径）

（）1a2RsinA,b2RsinB,c2R sinC
(边化角公式）
（2）sinA
abc
(角化边公式）

,sinB,sinC
2R2R2R
asinAasinAbsinB

,,
（3）a:b:csinA:sinB:sinC
(4)
bsi nBcsinCcsinC
2、正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）
已知
a
，
b
和
A
，求
B
时的解的情况:
如果
sinA sinB
，则
B
有唯一解；如果
sinAsinB1
，则B
有两解；
如果
sinB1
，则
B
有唯一解；如果
sinB1
，则
B
无解.
3、余弦定理及其推论
b< br>2
c
2
a
2
cosA
222
2bc< br>abc2bccosA
a
2
c
2
b
2222
bac2accosB

cosB

2ac
c
2
a
2
b2
2abcosC
a
2
b
2
c
2
cosC
2ab
4、余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.
5、常用的三角形面积公式
（1）S
ABC

（2）
S
ABC
1
底高< br>；
2
111
absinCbcsinAcasinB
（两边夹一角）.
222
6、三角形中常用结论
（1）
abc,bca,acb (即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
；
（2）
在ABC中，AB absinAsinB(即大边对大角，大角对大边）
.
（3）在△ABC中，
ABC

，所以
sin(AB)sinC
；
cos(A B)cosC
；
tan(AB)tanC
.

sin



ABCABC
cos,cossin
.
2222
1

二、典型例题
题型1 边角互化
[例1 ]在
ABC
中，若
sinA:sinB:sinC3:5:7
，则角
C
的度数为
【解析】由正弦定理可得
a:b:c3:5:7
，,令
a、b、c
依次为
3、5、7
，
a
2
b
2
c
2
3
2
5
2
7
2
1
则
cosC
===


2ab235
2
因为
0C
，所以
C
2


3
222222
[例2 ] 若
a
、
b
、
c
是
ABC
的三边，
f(x)bx(bca)xc
，则 函数
f(x)
的图象与
x
轴( )
A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点
【解析】由余弦定理得bca2bccosA
，所以
222
f(x)b
2
x< br>2
2bccosAxc
2
=
(bxccosA)
2c
2
c
2
cos
2
A
，因为
co s
2
A

1,所以
c
2
c
2
c os
2
A

0，因此
f(x)

0恒成立，所以其 图像与
x
轴没有交点。
题型2 三角形解的个数
[例3]在
ABC
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A、
a7
，
b14
，
A30
；
C、
b4
，
c5
，
B30
；
题型3 面积问题
[例4]
ABC
的一个内角为
120
，并且三边构成公差为
4
的等差数列，则
ABC
的面积为
【解析】设△ABC的三边分别：
x4,x,x4
，
∠C=120°， ∴由余弦定理得：
(x4)(x4)x2x(x4)cos120
，解得：
x10
，
∴
ABC
三边分别为6、10、14，
2220
B、
b25
，
c30
，
C150
；
D、
a6
，
b3
，
B60
。
0
S
ABC

113
absinC610153
.
222
2222
题型4 判断三角形形状
[例5] 在
AB C
中，已知
(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)
,判断该 三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：
a[sin(AB)sin(AB)]b[sin(AB)sin(AB)]

22
2a
2
cosAsinB2b
2
cosBsinA

由正弦定理，即知
sinAcosAsinBsinBcosBsinA

22
sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0

sin2Asin2B

由
02A,2B2

，得
2A2B
或
2A

2B
,
即
ABC
为等腰三角形或直角三角形.
2

方法二：同上可得
2acosAsinB2bcosBsinA

222
b
2
c
2
a
2
2
acb
ba
由正、余弦定理，即得：
ab

2bc2ac
222
a
2
(b
2
c
2
a
2)b
2
(a
2
c
2
b
2
)
即
(ab)(cab)0

22222
ab或
c
2
a
2
b
2
,
即
ABC
为等腰三角形或直角三角形.
【点拨】判断三角形形状问题，一 是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等
方法化简得到边与边关 系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之 间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定
理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的 形状。（边化角）
题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在
ABC< br>中，
a,b,c
分别为角
A.B,C
的对边，且
sinAs inCpsinB(pR)
且
ac
（1）当
p
1
2
b

4
5
,b1
时，求
a,c
的值；
4
（2）若角
B
为锐角，求
p
的取值范围。
【解 析】（1）由题设并由正弦定理，得
ac
5111
,ac
，解得，a1,c
或
a,c1

4444
1
2
1
2
222
222
（2）由余弦定理，
bac2accosB
=
(ac)2ac2accosBpbbbcosB

22313
22
即
pcosB
，因为
0cosB1
，所以
p(,2)
，由题设知
p0
，
222
所以
6
p2
.
2
三、课堂练习： < br>1、满足
A45
，
c6
，
a2
的
 ABC
的个数为
m
，则
a
m
为 .
2、已知
a5,b53
，
A30
，解三角形。







3

3、在
ABC
中，已知
a4
cm
，
bx
cm
，
A60
，如果利用正弦定理解三角形有两解，则
x
的取值范围是( )
A、
x4
B、
0x4
C、
4x
83

3
D、
4x
83

3
4、在
ABC
中，若
S






1
2
(ab
2
c
2< br>),
则角
C
.
4
22
5、设< br>R
是
ABC
外接圆的半径，且
2R(sinAsinC)(2a b)sinB
，试求
ABC
面积的最大值。













6、
在
ABC
中，
D
为边
BC
上一点，
BD33
，
sinB











7、在
ABC
中 ，已知
a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边，若
53
，< br>cosADC
，求
AD
.

13
5
acosB

，试确定
ABC
形状。
bcosA



4

8、在
ABC
中，
a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边，已知
cosA2cosC2ca


cosBb
sinC
；
sinA
1
（2）若< br>cosB,b2,
求
ABC
的面积。
4
（1）求






四、课后作业
1、在
ABC
中，若
(abc)(bca )3bc
，且
sinA2sinBcosC
，则
ABC
是
A、等边三角形
C、直角三角形
2、
ABC
中若面积S=
B、钝角三角形
D、等腰直角三角形
1
2
(ab
2
c
2
)
则角
C 

4
3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔
AB
，在塔顶
A
处测得山下水平面上一点
C
的俯角为
，在塔底
B
处
测得点
C
的俯角为

，若铁塔的 高为
h
m
，则清源山的高度为
m
。
A、
C、
hsin

cos


sin(



)
hsin

sin


sin(



)
B、
D、
hcos
sin


sin(



)hcos

cos


sin(



)
4、
ABC
的三个内角为
A、B、C
，求当
A
为何值时，
cosA2cos








BC
取得最大值，并求出这个最大值。
2
5、在
ABC
中，
a,b,c
分别为角
A、B、C
的对 边，且满足
csinAacosC

（1）求角
C
的大小
（2）求
3sinAcos(B




4
)
的最大值，并求取得最大值时角
A,B
的大小。

5