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2018年普通高等学校招生全国统一考试卷3
理科数学
注意事项：


1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每 小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案 标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（2018全国新课标3卷理）已知集合
Axx10
，
B

0,1,2

，则
AB
（ ）
A．

0


【答案】C
【解析】由A得，
x1
，所以
AB

1,2


【考点】交集的运算法则+补集的运算法则
【难度】★★★
2．（2018全国新课标3卷理）
(1+i)(2i)
=（ ）
A．
3i

【答案】
D
.
B.
3i
C.
3i
D.
3i

B.

1

C.

1,2

D.

0,1,2



【解析】原式=
2i2 ii
2
=
2i1
=
3i
，故选
D
.
【考点】复数及其运算性质
【难度】★★★

3．（2018全国新 课标3卷理）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分
叫卯眼，图中木 构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则
咬合时带卯眼的 木构件的俯视图可以是（ ）

【答案】A
【考点】三视图
【难度】★★★

4．（2018全国新课标3卷理）若
sin


8

9
【答案】
B

A． B．
7

9
2
9
1
，则
cos2


（ ）
3
7
C．


9
D．

8

9
【解析】
cos2

12sin
2

1

7
9
【考点】三角函数二倍角公式
【难度】★★★

5. （2018全国新课标3卷理）
(x)
的展开式中
x
的系数为（ ）
A.
10

【答案】C

r
2
2
x
5
4
B.
20
C.
40
D.
80

【解析】由
T
r 1
C
5
(x)
25r
2
()
r
C< br>5
r
x
102r
2
r
x
r
C
5
r
2
r
x
103r
，令
10 3r4
，则
r2
所以
x
C
5
r
2
r
C
5
2
2
2
40

【考点】二项式定理
【难度】★★★
6．（2018全国新课标3卷理）直线xy20
分别与
x
轴，
y
轴交于
A
，< br>B
两点，点
P
在圆

x2

2
 y
2
2
上，则
ABP
面积的取值范围是（ ）
B．

4,8

C．

2,32

A．

2,6


【答案】
A


D．

22,32



Q
直线
xy20
分别与
x
轴，
y
轴分别交于
A
，
B
两点
A(2,0),B(0,2)
，

AB22
，【解析】
Q
点
P
在圆

x2
y
2
2
上，

圆心为

2,0

，设圆心到直线的距离为
d
1
，则
d
1

故点
P
到直线
xy20
的距离
d
2
的范围是

2,32

，则
S
ABP

2
202
2
22
，

1
AB
d
2


2,6

.
2
【考点】直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式

【难度】★★★★


7．（2018全国新课标3卷理）函数
yxx2
的图像大致为（ ）
42


【答案】
D

【解析】当
x0
时，
y2
，排除A，B；
y

4x
3
2x2x(2x
2
1)
，
x 0.1
时，
y

0
，故选
D
.
【考点】函数奇偶性与单调性、导函数的应用
【难度】★★★★

8．（2018全国新课标3卷理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为
p
，各成 员的支付方式相互独
立，设
X
为该群体的
10
位成员中使用移动支付 的人数，（ ）
DX2.4
，
P(X4)P(X6)
,则< br>p
A．
0.7

【答案】
B

B．
0.6
C．
0.4
D．
0.3

【解析】∵
DXnp(1p)
，
p0.4
或者
p0 .6
，
46
P(X4)C
10
p
4
(1p )
6
P(X6)C
10
p
6
(1p)
4< br>，可知
p0.5

故选
B
.
【考点】概率与二项分布
【难度】★★★★


9．（2018全国新课标3卷理）
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
ABC
的面积为
a
2
b
2
c< br>2
，则
C
（ ）
4
A．


2


B．


3
C．


4
D．


6
【答案】C
【解析】由三角形面积公式知：
S
ABC
222
1a
2
b
2
c
2
absinC，
24
由余弦定理得：
abc2abcosC
,
si nCcosC
,
C

4

【考点】解三角形、余弦定理、三角形面积公式
【难度】★★★

10． （2018全国新课标3卷理）设
A
，
B
，
C
，
D
是同一个半径为4的球的球面上四点，
ABC
为等边
三角形且其面积为93
，则三棱
锥
DABC
体积的最大值为（ ）
A.
123
B.
183
C.
243
D.
543

【答案】B
【解析】如图所示，点
M
为
ABC
的重心，
E
为
AC
中点，
当
DM
平面
ABC
时，三棱锥
D ABC
体积最大（
O
是球心），
此时，
ODOBR4
,
QS
VABC

3
AB
2
93
,
AB6

4
BM
22
BE3323

33
Rt BOM
中，有
OMOB
2
BM
2
2
,
DMODOM426
,
1


V
D ABC

max
936183
.
3
故选B选项.

【考点】几何体外接球

【难度】★★★★★



x
2
y
2
11．（2018全国新课标3卷理）设
F
1
,F< br>2
是双曲线
C:
2

2
1(a0,b0)的左、右焦点，
O
是坐标原
ab
点，过
F
2
作
C
的一条渐近线的垂线，垂足为
P
，若
PF
1
6 OP
，则
C
的离心率为（ ）
A．
5

【答案】
C

【解析】
B．
2
C．
3
D．
2


∵
PF
2
b
，
OF
2
c
，
POa

在
RtPOF
2
中，
cos


P F
2
b

；
OF
2
c

Q
在
PF
1
F
2
中 ，
cos


PF
2
F
1
F
2
PF
1
2PF
2
F
1
F
2
222
b


c
b
2
4c
2
(6a)
2
b


b
2
4c
26a
2
4b
2


4c
2
6a
2
3c
2
3a
2

2b2cc

c
2
3a
2


e3
.

【考点】双曲线的性质及综合问题
【难度】★★★★★


12. （2018全国新课标3卷理）设
alog
0.2
0.3
,
blog
2
0.3
,则（ ）
A．
abab0

C．
ab0ab

【答案】B






B．
abab0

D．
ab0ab

【解析】< br>Qalog
0.2
0.3,blog
2
0.3


11
log
0.3
0.2
,
log
0.3
2

ab
1111ab
log
0.3
0.4
,
01
即
01

ababab
又
Qa0,b0

ab0
即
abab0
，故选B
【考点】对数比较大小、不等式
【难度】★★★★★

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. （2018全国新课标3卷理 ）已知向量
a(1,2)
，
b(2,2)
，
c(1,

)
，
c(2ab)
,则
v
v
v
vv
v


。
1

2< br>1




2ab2(1,2)(2,2)(4 ,2)c(2ab)
，故有
4

210
，
< br>
.
【解析】，又
2
【答案】
【考点】平面向量共线、向量的加减
【难度】★★★

14．（2018全国新课标3卷理）曲线
y

ax1

e
在点

0,1

处的切线 的斜率为
2
，则
a
= ．
x
【答案】
a3

【解析】
y

ae

ax 1

e
,则
f


0

a 12
，所以
a3

xx

【考点】导数
【难度】★★★
15．（2018全国新课标3卷理）函数
f(x)cos(3x
【答案】 3个

6
)
在

0,


的零点个数 为 .
19


666



3

4


5

7

由图可知
3x
得
x
，
3x
得
x
，
3x
得
x
.
629629629
【解析】Q0x

，
03x3

,

3x 




【考点】三角函数的零点个数
【难度】★★★★

16．（2018全国新课标3卷理）已知点
M(1 ,1)
和抛物线
C:y4x
,过
C
的焦点且斜率为
k的直线与
C
交于
A,B
两点，若
AMB90
，则
k=
_______.
【答案】
k=2

【解析】
2

设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),

2


y
1
4x
1

2

y
2
4x
2

y
1
2
y
2
2
4(x
1
x
2
)

k
y
1
y
2
4


x1
x
2
y
1
y
2
QAMB90，取
AB
中点
M

(x
0
,y
0)
,分别过点
A,B
作准线
x1
的垂线，垂足为
A

,
B


111
AB(AFBF)(AA

BB

)

222
又
M

为
AB
中点
则
MM

平行于
x
轴
MM


y
0
1

y
1
y
2
2

k2

【考点】直线与抛物线的综合问题
【难度】★★★★★

三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作 答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（2 018全国新课标3卷理）等比数列

a
n

中，
a
1
1
，
a
5
4a
3
.


（1）求

a
n

的通项公式；
（2）记
S
n
为

a
n

的前
n
项和， 若
S
m
63
,求
m
.
n1
n1
【答案】(1)
a
n
2
或
a
n
(2)
；(2)
m6
.
【解析】（1）
Qa
1
1
，
a
5
4a
3










q
4
4q
2
，q
2
(q
2
4)0

q2


a
n
2
n1
或
a
n
(2)< br>n1

1(12
m
)
63
（2）1.当
q2
时，
S
m

12

2
m
64
，
m6

2.当
q 2
时，
S
m

m
1


1( 2)



1(2)
63


(2)
m
188
，
m
无解
综上所述：
m6

【考点】等比数列通项公式和求和公式
【难度】★★★

18．（2018全国新课标3卷理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完 成某项生产任务的
两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取
40
名工人， 将他们随机分成两组，每组
20
人，第
一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二 种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min
）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；
（2）求
40
名工人完成生产任务所需时间的中位数
m
，并将完成生产任务所需时间超过
m
和不超过
m
的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式
第二种生产方式

（3）根据（2）的列联表，能否有
99%
的把握认为两种生产方式的效率有差异？
超过m


不超过m


P(K
2< br>k)0.0500.0100.001
附：
K=
，
k3.8416 .63510.828

ab

cd

ac
bd

2
n

adbc

2
【答案】（1）第二种生产方式的效率更高；
（2）
m80


第一种生产方式
第二种生产方式
超过m
15
5
不超过m
5
15
（3）有
99%
的把握认为两种生产方式的效率有差异.

【解析】（1）第二种生产方式效率更高，因为第二组多数数据集中在
70min:80min
之间，第一组多数
数据集中在
80min:90min之间，所以第一组完成任务的平均时间大于第二组，
E
1

20

t
i1
20
i
20
=84
，
E
2


t
i1
i
20
=74.7
，< br>E
1
E
2
，则第二种生产方式的效率更高．
7981
80

2
超过m
15
5
不超过m
5
15
（2）中位数
m

第一种生产方式
第二种生产方式
2
40(22525)
2
106.635
（3）
K
20202020

有
99%
的把握认为两种生产方式的 效率有差异.
【考点】茎叶图、二联表
【难度】★★★

19. （2 018全国新课标3卷理）如图,边长为
2
的正方形
ABCD
所在的平面与半 圆弧
CD
所在的平面垂直,
M
是弧
CD
上异于
C
,
D
的点.
(1)证明:平面
AMD
平面
BMC
;
(2) 当三棱锥
MABC
体积最大时,求面
MAB
与面
MCD
所 成二面角的正弦值.

【解析】

证明：
Q
正方形
ABCD
半圆面
CMD


AD
半圆面
CMD
,

AD
平面
MCD

Q
CM
在平面
MCD
上
,


A DCM
,
又
Q
半圆
CD
,

CMMD


CM
平面
ADM
,
QCM
在平面< br>BCM
上
,

平面
BCM
平面
ADM

（2）如图建立坐标系：

QS
VABC
面积恒定
MOCD
,
V
MABC
最大
MABMCD
，
A(2,1,0)
，
B(2,1,0)
，
C(0,1,0)< br>，
D(0,1,0)

设面
MAB
的法向量为
m( x,y,z)
，设面
MCD
的法向量为
n(x,y,z)

111222

uuur
uuuruuuur
uuuur
MA( 2,1,1)
，
MB(2,1,1)
，
MC(0,1,1)，
MD(0,1,1)

ur

2x
1
y
1
z
1
0
m(1,0,2)


2x
1
y
1
z
1
0
r
1525

同理
n(1,0,0)
，
cos

,sin


55
5
【考点】空间立体几何的证明、二面角
【难度】★★★★


x
2
y
2
1
交于
A,B
两点，线段
AB
的20. （2018全国新课标3卷理）已知斜 率为
k
的直线
l
与椭圆
C:
43
中点为
M (1,m)(m0)

（1）证明：
k
uuuruuuruuur< br>uuuruuuruuur
（2）设
F
为
C
的右焦点，
P
为
C
上一点，且
FPFAFB0
，证明：
FA< br>，
FP
，
FB
成等差
数列，并求该数列的公差.
【 解析】（1）法一：设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)

1

;
2

x
1
2
y
1
2
1L①
43
则
2

2
x
2
y

2
1L②
43
由①②得，
则
(x
1
x
2
)(x
1
x
2
)(y
1
y
2
)(y
1
y
2
)
0

43
y
1
y2
3
xx

12

x
1
x
2
4y
1
y
2
其中
x
1
x
2
2,y
1
y
2< br>2m

∴
k
y
1
y
2
3


x
1
x
2
4m
又∵ 点
M(1,m)
为椭圆内的点，且
m0

当
x1
时，椭圆上的点的纵坐标
y
33
，
m(0,)

22
31
(-,-)

4m2
1

k

2

k
法二:设直线
l
方程为
ykxt

设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)


ykxt

2
联立消
y
得

4k
2
3

x
2
8ktx4t
2
120


xy
2< br>1


3

4
则
=64k
2< br>t
2
44t
2
1234k
2
0

得
4k3tL①

且
x
1
x
2< br>
22

8kt
2
2
34k

y
1
y
2
k(x
1
x
2
) 2t
6t
2m
2
34k

Qm0t0
，

k0

34k
2
L②
且
t
4k

(34k
2
)
2
由①②得
(4k3)

16k
2
2
1
1
或
k

22
∵
k0

1
∴
k
2

uuuruuuruuurr
（2）
FPFAFB0

∴
k
uuuruuuurr

FP2FM0

∵
M(1,m)
∴
P
的坐标为
(1,2m)

14m
2
1
由于
P
在椭圆上 ∴

43
3
3
∴
k1

4m
4
3
直线
l
方程为
y(x1)

4
7
即
yx

4
∴
m
7

yx


4
∴

2

2
xy

1

3< br>
4
28x
2
56x10

x
1
x
2
2,x
1
x
2

uuuruuu r
c1
FAFB2a(x
1
x
2
)423

a2
1

28
uuur
33
FP( 1)
2
(0)
2

22

uuuruuuruuur
∴
FAFB2FP
uuuruuuruuu r
∴
FA
，
FP
，
FB
为等差数列
uu uruuur
ccc
2dFAFBax
1
ax
1
x
1
x
2

aaa

=

1
2

x
1
x
2

2
4x
1
x
2

11321
4
2714

d
321
28

【考点】直线与椭圆的位置关系、点差法、不等式的证明、等差数列
【难度】★★★★★


21. （2018全国新课标3卷理）已知函数
f(x)(2xax)ln(1x)2x
.
（1）若
a0
，证明：当
1x0
时，
f(x)0
，当
x0
时，
f(x)0
；
（2）若
x0
是
f(x)
的极大值，求
a
.
2
【答案】（1）见解析；（2）
a
1

6
【 解析】（1）
f

(x)ln(1x)
2x1
11
，
2ln(1x)1
，
f

(x)
2< br>x11x
x1

x1

令
f
< br>(x)0x0
，
x0
时
f

(x)
递增，
1x0
时
f

(x)
递减.
又当
x0
时，
f

(x)0
，
f

(x)0
恒成立，又
f(x)0
，所以得证；当
1 x0
时，
f(x)0
，
当
x0
时，
f(x )0
；
1ax
2
1
， （2）
f

(x)(2ax1)ln

x1


x1
2ax 12ax(x1)ax
2
1
f

(x)2aln(x 1)0
，
2
x1

x1

2a(x 1)
2
ln(x1)

2ax1

(x1)ax
2
2ax10

2a(x1)
2
ln(x1) 3ax
2
4axx0

a

2(x1)
2
ln(x1)3x
2
4x

x

设h

x

2

x1

ln

1x

3x
2
4x
;
h
< br>
x

4

x1

ln
1x

2

x1

6x4
;
h


0

60
,
2
h

0

0
;

在
x0
邻域内,
x0
时，
h

x

0
.
x0时，
h

x

0
.

x0
时，
a

x
2

x1

ln

1x

3x
2< br>4x
x
2

x1

ln

1 x

3x
2
4x
1

6
2
2
由洛必达法则得
a
1
，
6< br>x0
是，
a
由洛必达法则得
a
1
.
6
综上所述：
a
【考点】导数的相关性质与不等式的证明、求极值
【难度】★★★★★

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一 题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. （2018全国新课标3卷理）在直角坐标系< br>xOy
中，
eO
的参数方程


xcos

（

为参数），过点

ysin

(0,2 )
且倾斜角为

的直线
l
与
eO
交于
A, B
两点.
(1) 求

的取值范围；
(2) 求
AB
中点
P
的轨迹的参数方程.

2tan

x


3




3


1tan
2



(,)
） 【 答案】（1）



,
；（2）（为参数，

< br>44

44

2

y

1t an
2


【解析】（1）解：圆的方程为
xy1

当斜率不存在时，直线方程为
x0
，符合题意
设直线
l
为
ykx2
.
22
由题意得直线< br>l
与圆相交时
d
2
1k
2
1
k

,1

(1,)
，又
Qkta n




3





,

44




(2)设
A
、
B
两点坐标分别为
(x
1
,y
1
)、
(x
2
,y
2
)
，
P
点坐标为(x
0
,y
0
)

22


xy1
22
联立

，化解 得：
(1tan

)x22tan

x20



ytan

x2

< br>由韦达定理得：
x
1
x
2

22
22ta n

yy
，，
12
2
2
1tan
1tan

x
0

x
1
x< br>2
y
1
y
2
2tan

2
y 
，
0
21tan
2

21tan
2

2tan


x

3


1tan
2


点P得轨迹得参数方程为

)
）. （

为参数，

(,
44
2

y

1tan
2


【考点】参数方程
【难度】★★★★


23．（2018全国新课标3卷理）设函数
f(x)2x1x1.

（1）画出
f(x)
的图像；
（2）当
x

0 ,

时，
f(x)axb
，求
ab
的最小值.
【答案】(1)见解析 (2)5
1

3x,x

2

1

【解析】（1）
f(x)

x 2,x1
，如下图
2


3x,x1



（2）由（1）中可得：
a3
，
b2
，当
a3
，< br>b2
时，
ab
取最小值，
ab
的最小值为5.

【考点】绝对值不等式
【难度】★★★★