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三角函数的图形


各三角函数值在各象限的符号


sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα

三角函数的性质
函数
y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx
定义域
R R
｛x｜x∈R且x｛x｜x∈R且

x≠kπ,k∈Z｝
≠kπ+,k∈Z｝
2
值域

［-1,1］
时
x=2kπ时
2
y
max
=1 y
max
=1

x=2kπ+π时
x=2kπ- 时y
min
=-1
y
min
=-1
2

［-1，1］x=2kπ+
周期为2π
奇函数
周期为2π
偶函数
R
无最大值
无最小值
R
无最大值
无最小值

周期性
奇偶性
周期为π
奇函数
周期为π
奇函数
在(kπ，kπ+
π)内都是减
函数(k∈Z)
单调性

,2kπ+ ］
22
上都是增函数；在［2k

2
π+ ,2kπ+π］上
23
都是减函数(k∈Z)
在［2kπ-

在［ 2kπ-π，
在(kπ-，kπ
2kπ］上都是增
2

函数；在［2 k
+)内都是增
π，2kπ+π］
2
上都是减函数函数(k∈Z)
(k∈Z)

反三角函数的图形

反三角函数的性质
名称 反正弦函数
y=sinx(x∈


〔-, 〕的反
22
函数，叫做反正
弦函数，记作
x=arsiny
反余弦函数 反正切函数 反余切函数
y=cotx(x∈(0,
π))的反函数，
叫做反余切函
数，记作
x=arccoty
定义

y=cosx(x∈〔0,
y=tanx(x∈(- ,
π〕)的反函
2
数，叫做反余

)的反函数，叫
弦函数，记作
2
x=arccosy
做反正切函数，记
作x=arctany
理解
arcsinx表示属于


［-,］
22
且正弦值等于x
的角
arccosx表示属arctanx表示属于< br>

于［0，π］，
(-,)，且正切
且余弦值等于
22x的角 值等于x的角
arccotx表示属
于(0，π)且余
切值等于x的
角
定义域 ［-1，1］ ［-1，1］
［0，π］
(-∞，+∞)
(-
(-∞，+∞)
(0，π)
在(-∞，+∞)上
是减函数
arccot(-x)=π
-arccotx
cot(arccotx)=x(x
∈R)
arccot(cotx)=x(x
∈(0,π))


，］
22
性
在〔-1，1〕上是
单调性
质
增函数
arcsin(-x)=-arcsinx
奇偶性
值域
［-
周期性 都不是同期函数
sin(arcsinx)=x(x∈
［-1 ，
1］)arcsin(sinx)=x
恒等式

(x∈［-,］)
22
互余恒等
式



，)
22
在［-1，1］上在(-∞，+∞)上是
是减函数 增数
arctan(-x)=-arctan
arccos(-x)=π
-arccosx x
cos(arccosx)=x(tan(arctanx)=x(x
x∈［-1,1］) ∈
arccos(cosx)=x(R)arctan(tanx)=x


x∈［0,π］)
（x∈(-,)）
22
arcsinx+arccosx=

(x∈［-1,1］)
2
arctanx+arccotx=

(X∈R)
2

三角函数公式
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB- cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) =
tanAtanB

1-tanAtanB
tan(A-B) =
tanAtanB

1tanAtanB
cot(A+B) =
cotAcotB-1

cotBcotA
cot(A-B) =
cotAcotB1

cotBcotA
倍角公式
tan2A =
2tanA

1tan
2
A
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A = Cos
2
A-Sin
2
A=2Cos
2
A-1=1-2 sin
2
A
三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)
3

cos3A = 4(cosA)
3
-3cosA
tan3a = tana·tan(

+a)·tan(

-a)
33

半角公式
sin(
A
)=
2
1cosA
2
1cosA
2
1cosA
1cosA
1cosA
1cosA
sinA




sinA

1cosA
cos(
A
)=
2
tan(
A
)=
2
cot(
A
)=
2
2
tan(
A
)=
1cosA
=
和差化积
sina+sinb=2sin
ab
cos
ab

22
sina-sinb=2cos
ab
sin
ab

22
cosa+cosb = 2cos
ab
cos
ab

22
cosa-cosb = -2sin
ab
sin
ab

22
tana+tanb=
sin(ab)

cosacosb
积化和差
sinasinb = -
1
[cos(a+b)-cos(a-b)]
2
cosacosb =
1
[cos(a+b)+cos(a-b)]
2
sinacosb =
1
[sin(a+b)+sin(a-b)]
2
cosasinb =
1
[sin(a+b)-sin(a-b)]
2

诱导公式
sin(-a) = -sina
cos(-a) = cosa
sin(

-a) = cosa
2
cos(

-a) = sina
2
sin(

+a) = cosa
2
cos(

+a) = -sina
2
sin(π-a) = sina
cos(π-a) = -cosa
sin(π+a) = -sina
cos(π+a) = -cosa
tgA=tanA =
sina

cosa
万能公式
a
2
sina=
a
1(tan)
2
2
a
1(tan)
2
2
cosa=
a
1(tan)2
2
a
2tan
2
tana=
a
1(tan)
2
2




2tan

其它公式
b
a•sina+b•cos a=
(a
2
b
2
)
×sin(a+c) [其中tanc=]
a
a•sin(a)-b•cos(a) =
(a
2
b
2
)
×cos(a-c) [其中tan(c)=
a
]
b
aa
1+sin(a) =(sin+cos)
2

22
aa
1-sin(a) = (sin-cos)
2

22

其他非重点三角函数
1

sina
1
sec(a) =
cosa
csc(a) =
双曲函数
e
a
-e
-a
sinh(a)=
2
e
a
e
-a
cosh(a)=
2
tg h(a)=
sinh(a)

cosh(a)
公式一
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα

公式二
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）= -sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）= tanα
cot（π＋α）= cotα
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα

公式六

3

±α及±α与α的三角函数值之间的关系：
22

sin（+α）= cosα
2

cos（+α）= -sinα
2

tan（+α）= -cotα
2

cot（+α）= -tanα
2

sin（-α）= cosα
2

cos（-α）= sinα
2

tan（-α）= cotα
2

cot（-α）= tanα
2
3

sin（+α）= -cosα
2
3

cos（+α）= sinα
2
3

tan（+α）= -cotα
2
3

cot（+α）= -tanα
2
3

sin（-α）= -cosα
2
3

cos（-α）= -sinα
2
3

tan（-α）= cotα
2
3

cot（-α）= tanα
2
(以上k∈Z)
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用
A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =
A
2
B
2
2ABcos(



)
×
sin

tarcsin[(Asi n

Bsin

)
AB2ABcos(



)
22

三角函数公式证明（全部）
公式表达式
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)2a -b-b+√(b2-4ac)2a
根与系数的关系
X1+X2=-ba
X1*X2=ca
注：韦达定理
判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有一个实根
b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根

三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB

某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB
注：角B是边a和边c的夹角
正切定理
[(a+b)(a-b)]={[Tan(a+b)2][Tan(a-b)2]}
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程
y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积
S=c*h
斜棱柱侧面积
S=c'*h
正棱锥侧面积
S=12c*h'
正棱台侧面积
S=12(c+c')h'
圆台侧面积
S=12(c+c')l=pi(R+r)l
球的表面积
S=4pi*r2
圆柱侧面积
S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积
S=12*c*l=pi*r*l
弧长公式
l=a*r
a是圆心角的弧度数r >0

扇形面积公式
s=12*l*r
锥体体积公式
V=13*S*H
圆锥体体积公式
V=13*pi*r2h
斜棱柱体积
V=S'L
注：其中,S'是直截面面积，
柱体体积公式
V=s*h
圆柱体
V=pi*r2h








L是侧棱长

---------------------- -------------------------------------------------- --------------------
三角函数 积化和差 和差化积公式
记不住就自己推，用两角和差的正余弦：
cos(A+B)=cosAcosB- sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]2
相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]2
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]2
相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]2
这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了
不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下
正加正 正在前
正减正 余在前

余加余 都是余
余减余 没有余还负

正余正加 余正正减
余余余加 正正余减还负

.
3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)
(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A2)cos(B2)cos(C2)
(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A2)·sin(B2)·sin(C2)+1
(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC
(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1
...........................
已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)(1-m)tanβ
解:sinα=m sin(α+2β)
sin(a+β-β)=msin(a+β+β)
sin(a+β)cosβ- cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ
sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)
tan(α+β)=(1+m)(1-m)tanβ