我的青春宣言-给老师拜年短信

绝密★启用前
试题类型：新课标Ⅲ
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选 择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. < br>1．已知集合
A

x|x10

，
B

0,1,2

，则
AIB
( )

A．

0


B．

1


C．

1,2


D．

0,1,2


【答案】C
【解析】A:x1
，
AIB

1,2


【考点】交集
2．

1i

2i


( )

A．
3i

B．
3i

C．
3i

D．
3i

【答案】D < br>2
【解析】

1i

2i

2i i3i

【考点】复数的运算
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构 件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，
图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构 件与某一带卯眼的木构件咬合成
长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
( )

俯
视
方
向

A.
B.
C.
D.

【答案】A
【解析】注意咬合，通 俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小
长方体的一个面，而B答案能看见小 长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左
面和前面，D答案本身就不对，外围轮廓不可能有 缺失
【考点】三视图
4.若
sin


1
，则
cos2


( )

3
A．
8778

B．

C．


D．


9999
【答案】B
【解析】
cos2

12sin
2


【考点】余弦的二倍角公式
5.某群体中的成员只用现金支 付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，
则不用现金支付的概率为
( )

A．
0.3

B．
0.4

C．
0.6

D．
0.7

【答案】B
【解析】
10.450.150.4

【考点】互斥事件的概率
6.函数
f

x


7

9
tanx
的最小正周期为( )
1tan
2
x

A．



B．

C．


D．
2


42
【答案】C
tanxtanxcos
2
x1

fxsinxcosxsin2xxk


【解析】

，
22
1tanx
2

1tan
2
x

cos
2
x

T
2



(定义域并没有影响到周期)
2
【考点】切化弦、二倍角、三角函数周期
7.下列函数中，其图像与函数
ylnx
的图像关于直线
x1
对称的是
A．
yln

1x


B．
yln

2x


C．
yln

1x


D．
yln

2x


【答案】B
【解析】采用特殊值法，在
ylnx
取一点
A

3,ln3

，则
A
点关于直线
x1
的对称点
为
A'
1,ln3

应该在所求函数上，排除A，C，D

【考点】函数关于直线对称
2
8．直线
xy20
分别与x
轴、
y
轴交于点
A,B
两点，点
P
在圆
x2

y
2
2
上，则
ABP
面积的取值范围是
( )


A．

2,6


B．

4,8


C．


2,32


D．

22,32


【答案】A
【解析】A

2,0

,B

0,2

，
AB22
，可设
P22cos

,

2si n

，则

d
PAB


42si n




4






222sin






2,32

4


2

1
AB d
PAB
2d
PAB


2,6


2
S
ABP

注：
d
PAB
的范围 也可以这样求：设圆心为
O
，则
O

2,0

，故
4

d22
，
d
PAB

d
PAB


d2,d22,32

，而
OAB
OAB

OAB


2
【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)

42
9．
yxx2
的图像大致为
( )
< br>y
1
A.
O
1
y
1
x
B.
O
1
x
y
C.
1
O
1
D.
y1
O
1

x
x
【答案】D

32< br>【解析】
f

1

2
，排除A、B；
y' 4x2x2x12x
，故函数在


0,

除C

2


单增，排
2


【考 点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考
虑)
x
2
y
2
10.已知双曲线的
C:
2

2
1

a0,b0

的离心率为
2
，则点
4,0

到
C
的渐近线的
ab
距离为
A．
2

B．2

C．
【答案】D
32

D．
22

2
cb
2
【解析】
e1
2
2ab

a
a

渐近线为
xy0

故
d
4
2
22

【考点】双曲线的离心率、渐近线之间的互相转化

22 2
abc
11.
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别 为
a,b,c
，若
ABC
的面积为，则
4
C
( )

A．



B．

C．

D．
2346
【答案】C
【解析】
S
ABC
1a
2
b
2
c
2
a2
b
2
c
2
，而
cosC

 absinC
242ab
故
absinC
1
2
2abc osC1

abcosC
，
C

424
【考点】三角形面积公式、余弦定理
12.设
A,B,C,D
是同一个半径为4的球的球面上四点，
ABC
为等边三角形且其面积为
93
，则三棱锥
DABC
的体积最大值为
( )

A．
123

B．
183

C．
243

D．
543

【答案】B
【解析】如图，
O
为球心，
F
为等边
ABC
的重 心，
易知
OF
底面
ABC
，当
D,O,F
三点共线，
O
D
即
DF
底面
ABC
时，三棱锥
D ABC
的高最大，体积也
最大. 此时：
F
A
E
C
ABC等边



AB6
，
S
ABC
93


在等边
ABC
中，
BF
B
23
BEAB23
，
33
在
RtOFB
中 ，易知
OF2
，
DF6
，故

V
DABC

max
936183

【考点】外接球、椎体体积最值
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
1
3
rrr
rr
r
a1,2c1,

b2,2
c2ab
，则

_______.


，


. 若

，

13. 已知向量


【答案】
1

2
rr
【解析】
2ab

4,2

，故
24


【考点】向量平行的坐标运算
14. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价 有较大差异，为了解客户的评价，
该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样，分层 抽样和系统抽样，则
最适合的抽样方法是______.
【答案】分层抽样
【解析 】题干中说道“不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异”，所以应该按照年龄进
行分层抽样
【考点】抽样方法的区别

2xy30

1
15. 若变量
x,y
满足约束条件

x2y40
，则
zx y
的最大值是_________.
3

x20

【答案】
3

【解析】 采用交点法：(1)(2)交点为

2,1

，(2)(3)交点为

2,3

，(1)(3)交点为

2,7


分别代入目标函数得到

，
3
，

，故最大值为3 (为了严谨可以将最大值点

2,3

代入
方程(1)检验一下可行 域的封闭性)
本题也可以用正常的画图去做
【考点】线性规划
16. 已知函数
f

x

ln
【答案】
2

【解析】令
g

x

ln
5
3
1
3

1x
2
x1
，
f

a

4
，则
f

a

______ _.



1x
2
x
，则
g

x

ln


1x
2
xg

x

，

f

a

g

a

14
，而
f

a
g

a

1g

a
< br>12

【考点】对数型函数的奇偶性

三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，
每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17. (12分)
等比数列

a
n

中，
a
1
1,a
5
4a
3
.
(1)求

a
n

的通项公式；
(2)记
S
n
为

a
n

的前
n
项和. 若
S
m
63
，求
m
.
n 1
【答案】(1)
a
n
2
或
a
n
< br>
2

n1
；(2)
m6

n1< br>2n1
【解析】(1)
a
5
4a
3
a
3
q
，
q2
，

a
n
2
或
a
n


2


(2) 当
q2
时，
S
m
11

2

1m

m

63
，解得
m6

m< br>当
q2
时，
S
m
综上：
m6
11

2

3

63
，得

2

188
无解
【考点】等比数列通项公式与前
n
项和公式
18. (12分)
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产
方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第
一组工人用第一 种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作
时间(单位：min)绘制了 如下茎叶图：
第一种生产方式

9
7 6 5 4
2 1

6
7
8
9
第二种生产方式
8 9
2 3 4 5
5



9 8 7

8
7 6 2
3 3 2
1 0 0
5 5 6
0 1 2
1 4 4
0

6 6 8


(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产 任务所需时间的中位数
m
，并将完成生产任务所需时间超过
m
和不超过
m
的工人数填入下面的列联表：
超过
m
不超过
m

第一种生产方式
第二种生产方式




(3)根据(2)中的列联表，能否有
99%
的把握认为两种生产方式的效率有差异？
n

adbc

附：
K
，
abc dacbd

2
2
P

K
2
k

0.050 0.010 0.001
k

3.841 6.635 10.828
【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；
【解析】(1)第二组 生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min
之间，而第一组数据 集中在80min~90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组
数据平均值，事实上< br>68727677798283838485868787888990 90919192
84
20
同理
E
2
74.7
，
QE
2
E
1
，故第二组生产方式效率更高
E
1

(2)由茎叶图可知，中位数
m

第一种生产方式
第二种生产方式
7981
80
，且列联表为：
2
超过
m

15
5
不超过
m

5
15
(3) 由(2)可知
K
2

40

15
2
5< br>2

2
20202020
106.635
，
故有
99%
的把握认为两种生产方式的效率有差异
【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验
19．(12分)
»
所在的平面垂直，
M
是
CD
»
上如图，边长为2的正方形
ABCD
所在的平面与半圆弧
CD
异于
C,D
的点．
(1)证明：平面
AMD
平面
BMC
；
(2)在线段< br>AM
上是否存在点
P
，使得
MC
平面
PBD
？说明理由.

M
D
C

A
B
【答案】(1)见解析；(2)
P
为
AM
中点

ABCDCDM

BCDCMBCDM

< br>BCCD

【解析】(1)

DMBMCADNBMC
MCDM


(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试 还需要写一些具体的内容)
(2)当
P
为
AM
的中点时，
MC
平面
PBD
. 证明如下
连接
BD
，
AC< br>交于点
O
，易知
O
为
AC
中点，取
AM中点
P
，连接
PO
，则
POAC
，又
MC< br>平面
PBD
，
PO
平面
PBD
，所以
MC
平面
PBD

M
D
P
C
O

A
B
【考点】面面垂直的判定、线面垂直、存在性问题
20. (12分)
x
2
y
2
已知斜率为
k
的直线
l
与椭圆
C:1
交于
A,B
两点，线段
AB
的中点为43
M

1,m

m0

.
(1)证明：
k
1
；
2
uuuruuuruuur< br>uuuruuuruuurr
(2)设
F
为
C
的右焦点，P
为
C
上一点，且
FPFAFB0
. 证明
2FPFAFB
.
【答案】(1)见解析；(2)见解析


x
1
2
y
1
2
1


43
【解析】(1) 点差法：设
A

x
1
,y
1

,B

x
2
,y
2

，则

2
相减化简可得：
2
x
2

y
2
1

3

4< br>y
1
y
2
y
1
y
2
3
3

，
k
OM
k
AB

(此公式 可以作为点差法的二级结论在选填题中直接
x
1
x
2
x
1
x
2
4
4
31
1
1m
2
用)， 易知中点
M
在椭圆内，

代入可得
k
或
k< br>，又
m0
，
m
，
1
，
43
4k2
2
1
k0
，综上
k

2

x
2
y
2

1
3
联立法：设直线方 程为
ykxn
，且
A

x
1
,y
1< br>
,B

x
2
,y
2

，联立
4
可得，


ykxn

8kn< br>
xx
12

4k
2
3
6n
222
4k3x8knx4n120
，则

yykxx 2n
，

1212
2
2
4n12
4k3

xx
12

4k
2
3


4kn

x1


M
3
4k
2
3


，两式相除可得
m
，后续过程和点差法一 样(如果用

算的话比
3n
4k

ym
M
4k
2
3

较麻烦)
uuuruuuruuur ruuuruuuurr
14m
2
Q
P1,2m

，
(2)
FPFAFB0
，
FP2FM0
，即

1
，
43
m
37
m0


k1,nmk
，

44
1
0
，
4
由(1)得联立后方程为
7x
2
14x
uuuruu ur
c

a
2

c

a
2

c
FAFB

x
1


< br>x
2

2a

x
1
x
2< br>
3
(椭圆的第二定义)
a

ca

a

c

uuur
(或者
FA

x
1
2

x

x
1
1

y

x
1
1

3

1
4
2
2
1
代入椭圆方程消掉
y
1


2
2
1
2
uuuruuuruuur
x
2< br>xx
2
同理
FB2
，
FAFB4
1< br>3
)
22
uuur
3
而
FP

2

uuuruuuruuur
FAFB2FP

【考点】点差法、直线 与椭圆联立求解、向量的坐标运算、利用椭圆方程消
y
1
,y
2

21. (12分)
ax
2
x1
已知函数
f

x


.
e
x
(1)求曲线
yf< br>
x

在点

0,1

处的切线方程；
(2)证明：当
a1
时，
f

x

e 0
.
【答案】(1)
2xy10
；(2)见解析
【解析 】(1)
f'

x


ax
2


2a1

x2
e
x
,f'

0< br>
2

因此曲线
yf

x

在 点

0,1

处的切线方程为：
2xy10

2x1
e
x
(利用不等式消参) (2) 当
a1
时 ，
f

x

exx1e

2x1x 1x1
令
g

x

xx1e
则
g'

x

2x1e
，
g''

x

2e0
，
g'

x

单调 增，又
g'

1

0
，
故当
x 1
时，
g'

x

0
，
g
< br>x

单减；当
x1
时，
g'

x

0
，
g

x

单增；
故
g

x

g

1

0

因此
f

x

e0

【考点】切线方程、导数的应用
(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题 作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. 选修
44
：坐标系与参数方程(10分)

xcos

eO
的参数方程为

在平面直角坐标系
xOy
中，(
< br>为参数)，过点
0,2
且
ysin


倾斜角为

的直线
l
与
eO
交于
A,B
两点.

(1) 求

的取值范围；

(2) 求
AB
中点
P
的轨迹的参数方程.

x 2sin2





3





3


,


【答案】( 1)



,
；(2)



4
,
4




22
44


cos2



y
22

【解析】(1)当



时，直线
l:x0
， 符合题意；
2
当


2

1
，即k

,1

U

1,

，时，设直线
l:ykx2
，由题意得
d
2
2
k1




3


又
kta n

，




,

U

,



42

24

< br>
3


综上，



,



44


xtcos





3





(2)可 设直线参数方程为



4
,
4

，代入圆的方程可得：
y2tsin






t
2
22tsin

10

t
P

t
1
t
2
2sin


2



x2sin

cos
< br>

3






< br>
4
,
4







y22sin

sin



2
sin2


x
,
2
即点
P
的 轨迹的参数方程为


y2cos
2


< br>

3






< br>4
,
4





(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况)
【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程

23. 选修
45
：不等式选讲(10分)
已知函数
f

x

2x1x1
.
(1)画出
yf

x

的图像；

(2)当
x

0,

时，
f

x

axb
，求
ab
的最小值 .
【答案】(1)见解析；(2)5
1

3x,x
2

1

【解析】(1)
f

x
< br>

x2,x1
，图象如下
2


3x,x1


y
3
2
1.5
-0.5O1< br>
x
(2)由题意得，当
x0
时，
axb
的图象 始终在
f

x

图象的上方，结合(1)中图象可知，
a 3,b2
，当
a3,b2
时，
ab
最小，最小值为5，
【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题