动物食物链-幼儿教师辞职信

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福建省永春县第一中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题
理
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和 第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分
钟.
2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做
在 第Ⅰ卷
的无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题：本大题共12小题, 每小题５分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知 集合
A

x
2
1

，
B

x(x2)(x1)0

，则
AIB
等于（ ）
x

A．
(2,2)
B．
(0,2)
C．
(1,2)
D．
(,2)U(0,)

2．若

～
B(10 ,)
，则
P


A．
1
2
2

等于（ ）
3
B． C． D．
14
2
3．已知随机变量
X
服从正态分布
N(2,

)
且
P(x4)0.88
，则
P(0x4)< br>（ ）
A．
0.88
B．
0.76
C．
0.24
D．
0.12

4．数学与文学之间 存在着许多奇妙的联系，诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天
光山外树”，
倒过来 读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数
学中也有回
文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，
称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！
二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；
三位的回文数有101，111，121，131，，969，979，989，999，共90个；
1
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四位的 回文数有1001，1111，1221，，9669，9779，9889，9999，共90个；
由此推测：7位的回文数总共有（ ）个
A．90 B．900 C．9000 D．90000
5．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，
已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为（ ）
A．
275
B． C．
3912
2 014
D．
5

9
a
2 014
6．若(1－2
x
)＝
a
0
＋
a
1
x
＋…＋
a
2 014
x
2 014
(
x
∈R)，则＋
2
＋
3
＋…＋
2 014
的值为( )
2222
D．1
a
1
a
2
a
3
A．－2 B．－1 C．0
7．
f(x)
是
R
上奇函数， 对任意实数
x
都有
f(x)f(x)
，当
x(,)
时，
3
2
13
22
f(x)log
2
(2x1 )
，则
f(2018)f(2019)
（ ）
A．
1
B．
0
C．
1
D．
2

8．下列命题中，正确的是（ ）
A．已知
x
服从正态分布
N0，

B．
x< br>0
R,sinx
0
cosx
0


2< br>
，且
P

-2x2

0.6
，则< br>P

x2

0.2

a
1

b
3

2
C．已知
a
，
b
为实数 ，则
ab0
的充要条件是
D．命题：“
xR,x
2
x10
”的否定是“
x
0
R,x
0
2
 x
0
10
”

9．下列命题正确的个数是（ ） < br>（1）函数
ycosaxsinax
的最小正周期为

的充分不必 要条件是“
a1
” ．
（2）设
a{1,1,,3}
，则使 函数
yx
的定义域为
R
且为奇函数的所有
a
的值为
1,1,3
．
（3）已知函数
f(x)2xalnx
在定义域上为 增函数，则
a0
．

A．0 B．1 C．2 D．3

10．对于不等式
n
＋
n
＜
n
＋1(
nN
)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
2
22
1
2
a
*
（1）当
n
＝1时，1＋1＜1＋1，不等式成立 ．
2
（2）假设当
n
＝
k
(
kN,且k1< br>)时，不等式成立，即
k
＋
k
＜
k
＋1，则当
n
＝
k
＋1时，
2
*
2
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(k1)
2
(k1)k2
3k2(k
2
3k2)(k2)(k2)
2
＝(
k
＋1)＋1，
∴当
n
＝
k
＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．
n
＝1验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从
n
＝
k
到
n
＝
k
＋1的推理不正确
11．已知函数
f

x

ln
（ ）
A．
(1,1)
B．

1,1

C．
[1,]
D．
(1,)


12．已知定义在
R
上的函数yf

x

满足：函数
yf

x1
的图象关于直线
x1
对称，
且当
x

 ,0

时
f

x

xf'

x

0
（
f'

x

是函数
f

x

的导函数）成立.若
1x1y
，若
x,y
满足
f

x

f(y)0
，则的取值范围是
1x2x3
1
2
1
2
1

a
sin


2

1

1

1



f

sin

,
b

ln2

f

ln2

，
c

log
2

f

log
2

，则
a,b,c
的大小
4

4

2



关系是( )
A．
cab
B．
bac
C．
abc
D．
acb

第II卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. < br>13．复数
za1(a1)i
为纯虚数（
i
为虚数单位），其 中
aR
，则
2
ai
的实部为_____．
2ai< br>14．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺 序
不变）的概率为________．
15．设
a


0
(cosxsinx)dx
，则二项式
(ax
22
1
x
)
6
的展开式中含
x
2
项的系数为______． 22
16．若
x,a,b
均为任意实数，且
(a2)(b3)1
，则
(xa)(lnxb)
的最小值为
______．

三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）在
△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
（1）求
cosC
；
（2）若
ab20
，且
ab9
，求
△ABC
的周长．
3
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a,b,c,
tanC26
．

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18．（本小题满分 12分）如图，在四棱锥
P
—
ABCD
中，
PB
⊥底面ABCD
，底面
ABCD
为梯形，
AD
∥
BC
，
AD
⊥
AB
，且
PB
＝
AB
＝
AD
＝3，
BC
＝1．
（1）求二面角
B
—
PD
—
A
的大小；
（2）在线段
PD
上是否存在一点
M
，使得
CM
⊥
PA
?
若存在，求出
PM
的长；若不存在，说明理由．




19．（本小题满分12分）
习近平总书记在党的十九大工 作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在
这一号召的引领下，全国人民积极工作， 健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代
名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万 步”活动.界定日行步数不足
4
千步的人为
“不健康生活方式者”，不少于
1 0
千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式
者”.某日，学校工会随机抽取了 该校
400
名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得
到频率分布直方图如图所 示：
（1）求
400
名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数

（千步）服从正态分布
N(

,

)
，其中

为
样本平均数，标准差

的近似值为
2.5
，求该校被抽取的
400
名教职工中日 行步数（千步）
2

(2,4.5)
的人数（结果四舍五入保留整数）；
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职
工中随机抽取
2
人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，
规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人
“一般生活方式者”奖励金额每人
100
元；“超健康生
0
元；< br>活方式者”奖励金额每人
200
元.求工会慰问奖励金额
X
的
分布列和数学期望.
附：若随机变量

服从正态分布
N(

,

)
，
2
4
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则
P(








)0.6826
，
P (

2





2
)0.9544
.


x
2
y
2
20．（本小题满分12分）已知椭圆
C:
2

2
1
过点
A

2,0

,B

0,1

两 点．
ab
（1）求椭圆
C
的方程及离心率；
（2）设
P
为第三象限内一点且在椭圆
C
上，直线
PA
与
y
轴 交于点
M
，直线
PB
与
x
轴
交于点
N，
求证：四边形
ABNM
的面积为定值．


21 ．（本小题满分12分）已知函数
f

x

eaxbx
．
x2
（1）当
a0
，
b0
时，讨论函数
f

x

在区间

0,

上零点的个 数；
（2）当
ba
时，如果函数
f

x
恰有两个不同的极值点
x
1
，
x
2
，证明：



（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一
题计分。

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
x
1
x
2

ln

2a
< br>．
2

x33t
4
已知曲线
C
的极坐标 方程为


，直线
l
的参数方程为

（
t
为
13sin
2



yt
2
参数），
P(23
,1)，直线
l
与曲线
C相交与
A
，
B
两点．
（1）求曲线
C
和直线
l
的平面直角坐标方程；
（2）求
PAPB
的值．





5
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23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设
f(x)x1x1
．
（1）求
f(x)x2
的解集；
（2）若不等式
f(x)
a12a1
，对任意实数
a0
恒成立，求实数
x
的取值范围．
a
永春一中高二年（下）期末考数学（理）科试卷参考答案
一、选择题： 1—4：CDBC 5—8：DBBA 9—12：CDAA
二、填空题：13．
1
1
14． 15．192 16．
1962

18
5
三、解答题：共70分。解答应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．解：（1）


sinC
26
，………………………………1分
cosC
1< br>又
Qsin
2
Ccos
2
C1
，解得
c osC
．…………………………3分
5
1

Qtan C0
，
C
是锐角．
cosC
………………………………5分
5
tanC26
,

（2）
Qab20
．又< br>Qab9


a
2
2abb
2
81
．
a
2
b
2
41
．
c
2
a
2
b
2
2abcosC33

c33
．……………………………10分
△ABC
的周长为：
abc933
……………………………………12分
18．解：
（ 1）因为梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
ADA B
, 所以
BCAB
.
因为
PB
平面
ABC D
，所以
PBAB，PBBC
,
如图，以
B
为原点，
BC,BA,BP
所在直线为
x,y,z
轴建立空间直角坐标系, …………….1分
所以
C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3)
.
rur
设平面
BPD
的一个法向量为
n(x,y,z)
， 平面
APD
的一个法向量为
m(a,b,c)
,
uuuruuur
因为
PD(3,3,3),BP(0,0,3),

uuurr


3x3y3z0

PDn0rr
所以

uuu
，即

，
3z0< br>


BPn0
r
取
x1
得到
n(1,1,0)
,
6
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ur
同理可得
m(0,1,1)
, ………………4分
rur
rur
nm1
r

, N 因为二面角
BPDA
为锐角， 所以
cosn,m
ru
2
|n||m|
π
. ………………….6分
3
uuuuruuur
（2）假设存在点
M
，设
PM

PD(3

,3

,3

)
，
uuuuruuuruuuur
所以
CMCP

PM(13

,3

, 33

)
, ……10分
所以二面角
BPDA
为
uuuruuuur
1
所以
PACM9

3(3 3

)0
，解得


,
2
所以存在点
M
，且
PM

19．（本小题满分12分）
解：（1）
133
. ……….12分
PD
22
x0.0410.0830.1650.447
0.1690.1110.02136.967
.……3
分
（2） ∵

:N(7,2,5)
，∴
P(4.5

9.5) 0.6826
，
P(2

12)0.9544
，
∴
P(2

4.5)

1
(P(2

12)
P(4.5

9.5))0.1359
.
2走路步数

(2,4.5)
的总人数为
4000.135954< br>人. …………………………6分
（3）由题意知
X
的可能取值为
4 00
，
300
，
200
，
100
，
0， …………………………7分
1
0.120.760.1824
，
P(X400)
C
2
2
0.12
2
0.0 144
，
P(X300)
C
2
12
0.120.1 2C
2
0.76
2
0.6064
，
P(X200 )
C
2
1
0.120.760.1824
，
P(X 0)
0.12
2
0.0144
.（正确一个给0.5
P(X 100)
C
2
分）
则
X
的分布列为：
X

P

0

0.0144

100

0.1824

200

0.6064

300

0.1824

400

0.0144


………………………………10分

EX4000.01443000.18 242000.60641000.182400.0144200
.……
7
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12分
x
2
y
2
1
， 20．解：（1）由题意得，
a2,b1
，所以椭圆
C
的方程为
4
又
ca
2
b
2
3
,所以离心率
e
c3

． ．．．．．．．．．．5分
a2
22
（2）设
P

x0
,y
0

x
0
0,y
0
0< br>
，则
x
0
4y
0
4
，
又< br>A

2,0

,B

0,1

，所 以直线
PA
的方程为
y
y
0

x2

，
x
0
2
令
x0
，得
y
M

2y
0
2y
0
，从而
BM1y
m
1
，
x
0
2x
0
2
y
0
1x
x1
．令
y0
，得
x
N

0
，从而
x
0
y
0
1
直线
PB
的方程为
y
AN2x
N
2
x
0
，
y
0
1
所以四边形
ABNM
的面积：
22
x
0

2y
0

x
0
4y< br>0
4x
0
y
0
4x
0
8y
0
4
11


SANBM

2
 
1


22

y
0
1

x
0
2

2

x
0
y
0
x
0
2y
0
2



2 x
0
y
0
2x
0
4y
0
4
2
从而四边形
ABNM
的面积为定值．．．．．．．．．．．． 12分 < br>x
0
y
0
x
0
2y
0
221．（本小题满分12分）
（1）当
a0
，
b0
时，函 数
f

x

在区间

0,

上的零点的个数即方程
e
x
ax
2
根的个
数．
e
x
由
eaxa
2
， ………………………………1分
x
x2
xe
x

x2< br>
e
x

x2

e
x
令
h

x


2
h


x


， …………………………2分

3
2
2xx

x

则
h

x

在< br>
0,2

上单调递减，
h

x

在

2,

上单调递增．

e
2
所 以
h

2

是
yh

x
的极小值即最小值，即
h

2



4
8
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精选文档 可编辑修改 
e
2

所以函数
f

x

在区间

0,

上零点的个数，讨论如下：当
a
< br>0,

时，有
0
个零点；

4


e
2

e
2
当
a
时，有
1< br>个零点；当
a

,

时，有
2
个零点 ． …………5分
4

4

（2）由已知
f
x

eaxax
，

f


x

e2axa
，
x2x
Q
x
1
，
x
2
是函数
f

x

的两个不 同极值点（不妨设
x
1
x
2
），

a0（若
a0
时，
f


x

0至多只有一个根，即
f

x

至多只有一个零点，与已知矛盾） ，
x
且
f


x
1

0，
f


x
2

0
．
< br>e
1
2ax
1
a0
，
e
2
 2ax
2
a0
……………6分
x

e
x1
e
x
2
两式相减得：
2a
，
x< br>1
x
2
x
1
x
2
12
eex
1
x
2
x
于是要证明，两边同除以
e
2< br>，
ln

2a

，即证明
e
2

2
x
1
x
2
x
1
x
22
x
1
x
2
x
1
x
2
e
x
1
x
2
1
xx
，即证

x
1
x
2

e
2
e
12
1
，即证

x
1
x
2

e
2e
x
1
x
2
10
，

x
1
x
2
t
2
xx
即证
e
t< br>令
x
1
x
2
t
，
t0
．即证 不等式
tee10
对于
t0
时恒成立． ………9分
t
tt

1
t

t

t
设


t

tee1
，




t

etee

1

e
2
e
e
2

e
2
2

2


t
2
t
t
2
t
2

t




1


．

2


tt

1
2
11
< br>2
t

设
h

t

e1，

h

t

e

e1
，当
t0
，
h


t

0
，
2
222

t
2

t

h

t

单调递减，所以
h

t

h

0

0
，即
e

1

0
，




t
0
，

2

t
2



t

在
t0
时是减函数．



t

在
t0
处取得最小值


0
< br>0
．



t

0
，得证．

< br>（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题 计分。
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
9
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x
1
x
2
ln

2a

． ………………………12分
2

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解：(1)曲 线
C
的极坐标方程为


2
4
222
< br>3

sin

40
，即
2
13s in

x
2
y
2
1
∴曲线
C
的平面直角坐标方程为
4
直线
l
的平面直角坐标方程为
x33 y
，即
x3y30
……5分

(2)易知点
P在直线
l
上，∴
PAPBAB

3
x3t


2
（
t

为参数）又直线
l< br>过
F
(3
,0)，直线
l
的参数方程可改为

，代入

t

y

2
x
2
7124

t
2


，t
1

t
2



y
2
1
得
t

2
3t

10
，
t
1
4
477

t
2

< br>∴
t
1

t
2

)
2
 4t
1

t
2

(t
1
16

7
16
……………………10分
7

t
2

∴
PAPBAB
t
1








23．（解）：（1）由
f

x

x2
有 < br>
x20

x20

x20
 ………3分
或

1x1或

x1

x1

1xx1x2

1xx1x2

x1x1x2


解得
0x2
，
所求解集为

0,2

……5分
（2 ）
a12a1
a


1
1111
2 123
………7分
aaaa
当且仅当

1
10
1

1

2

0
时取等号.
a

a

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由不等式
f(x)
a12a1
对任意实数
a0
恒成立，可得
x1x13

a
解得
x
33
或x
………10分
22







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