河北省2020届高三上学期第一次大联考数学(理)试题
埃及金字塔资料-大唐发电集团招聘
…
…
…
线
…
…
…
…
○…
…
…
…
…
…
…
线
……
…
…
○
…
…
…
…
河北省2020届高三上学期第一次大联考数学（理）试题
题号
得分
一
二
三
总分
…
…
○
_
_
○
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
○
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
：
名
…
装
姓
装
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
…
…
…
…
…
…
…
…
外
内
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
评卷人
得分
一、选择题
本大题共12道小题。
1.
1
设
alog
2019<
br>2020,blog
2020
2019,c2019
2020
，则
a，b，c的大小关系是（
A.
abc
B.
acb
C.
cab
D.
cba
答案及解析：
1.C
12
1
2
log2020
11
2019
20
19alog
2019
2
log
2019
2020
2
log
2
2019
20191
；
0blog
2020
2019
1
log
11
1
2020
2
019log
2020
2020;
c2019
2020
222
1.
2.
如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为
1
，则该多
面体的侧面最大面积为（
）
A
．
23
B
．
22
C
．
6
D
．
2
答案及解析：
2.
B
由三视图可知多面体是棱长为
2
的正方体中的三棱锥
PABC
，
第1页，总15页
）
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
A
P
C
B
故
AC1
，
PA2
，
BCPC5
，
AB2
2
，
PB23
，
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
∴
S
ABC
S
PAC
1
2
211
，
S
1
2
22222
，
S
1PAB
PBC
2
2326
，
∴该多面体的侧面最大面积为
22
．故选
B
．
3.
已知
xR
，复数
z
1
1xi
，
z
2
2i
，若
z
1
z
2
为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．－2
B．
1
2
C．
2
或
1
2
D．1
答案及解析：
3.A
由
z
1
z
2
(1xi)(2i
)=2x(2x1)i
，由
z
1
z
2
为纯虚数，
则
2x0
，解得
x2
.故选
2x10
A.
4.
如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团
活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频
率．已知该校高一、高二年级学生人数均为
600
人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中
按分层抽样的方式抽取
4
5
人，则抽取的高二学生人数为（
）
A.9
B.18 C.27 D.36
答案第2页，总15页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
…
※
※
…
…
在
※
…
…
※
…
装
要
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
内
外
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
答案及解析：
4.
C
根据等高条形
图可知，参加社团的高一和高二的人数比为
2:3
，由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为
45
5.
下列有关命题的说法正确的是（
）
A
．若
“
3
27
人，故选
C
．
5
pq
”
为假命题，则
“
pq
”
为假
命题
…
…
○
_
_
○
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
○
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
：
名
…
装
姓
装
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
…
…
…
…
…
…
…
…
外
内
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
B
．
“
x1
”
是
“
x
2
5x60
”
的必要不充分条件
C
．命题
“
若
x1
，则
1
x
1
”
的逆否命题为真
命题
D
．命题
“
x0
，
2019
x
20190
”
的否定是
“
x
0
0
，
2019
x
0
20190
”
答案及解析：
5.
C
A.
若
“
pq
”
为假命题，则
p,q
中至少有一个假命题，则
“
pq
”
可
真可假，所以该选项是错误的；
B. “
x1
”
是
“
x
2
5x60
”
的充分不必要条件，因为由
x
2
5x60
得到
“
x1
或
x6
”<
br>，
所以该选项是错误的；
C.
命题
“
若
x1,
则
1
x
1
”
的逆否命题为真命题，因为原命题是
真命题，而原命题的真假性和其逆否命
题的真假是一致的，所以该选项是正确的；
D.
命题
“
x0
，
2019
x
2
0190
”
的否定是
“
x
0
0
，
2
019
x
0
20190
”
，所以该选项是错误的
.
6.
等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为<
br>S
n
，已知
a
2
a
5
3a
3，且
a
4
与
9a
7
的等差中项为
2
，
则
S
5
（
）
A
．
112
121
3
B
．
112 C
．
27
D
．
121
答案及解析：
6.
D
∵数列
<
br>a
3
n
是等比数列，
a
2
a
5<
br>3a
3
，∴
a
4
a
1
q3
．
∵
a
4
与
9a
7
的等差中项为
2
，
81[1(
1
∴
a
4
9a
7
a
4
(19q)4
，解得
q
3
)
5
]
3
1
3
，
a
1
81
．∴
S
5<
br>121
．故选
D
．
1
1
3
7.
第3页，总15页
……
…
线
…
…
…
…
○
…
……
…
x
2
y
2
已知直线
2xy40
经过椭圆
2
2
1
（
ab
0
）的右焦点
F
2
，且与椭圆在第一象限的交点为
ab
A<
br>，与
y
轴的交点为
B
，
F
1
是椭圆的左焦点
，且
|AB||AF
1
|
，则椭圆的方程为（
）
x
2
y
2
A．
1
4036
x
2
y
2
B．
1
201
6
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
．
x
2
10
y
2
C
6
1
D．
x
2
5
y
2
1
答案及解析：
7.
D
直线
2xy40
与x
轴和
y
轴的交点分别为
F
2
(2,0)
，<
br>B(0,4)
，所以
c2
，
又
2a|AF1
||AF
2
||AB||AF
2
||BF
2
|25
，所以
a5
，从而
b
2
541<
br>，所以椭圆方程
x
2
为
5
y
2
1
，故选
D
．
8.
已知O为△ABC的外心，若
uAO
uur
u
BC
uur
u
BC
uur
2
，则△ABC为（ ）
A. 锐角三角形B.
直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定
答案及解析：
8.C
设
M
为边
BC
的中点，并设角
A,B,C
所对应的边分别为
a,b,c
，则
uuuru
BC
uur<
br>(
u
AM
uuur
u
MO
uuur)
u
BC
uur
u
AM
uuur
u
BC
uur
1
2
(
u
AB
uur
u
AC
uur
)(
u
AC
uur
u
AB
uur
)
b
2
c<
br>2
AO
2
，
故
b
2
c
2a
2
c
2
b
2
2
ab
2c
2
2a
2
，所以
cosB
2ac
<
br>a
2
2
2ac
0
，从而角
B
为钝角.
所以
ABC
为钝角三角形．
9.
为了得到函数
yc
os2x
的图象，可以将函数
ysin(2x
4
)
的
图象（ ）
答案第4页，总15页
…
…
○
…※
○
※
…
…
题
※
…
…
※…
答
…
※
…
订
※
内
订
…※
…
…
※
线
…
…
※
…
※…
订
…
○
※
※
○
…
装
…※
…
※
…
…
在
※
…
…
※装
要
…
※
装
…
※
不
…
…※
…
※
…
请
…
…
※
※
…○
○
…
…
…
…
…
…
…
…内
外
…
…
…
…
…
…
…
…○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
A．向左移
个单位
4
B．向左移
8
个单位
C．向右移
个单位
D． 向右移
48
个单位
答案及解析：
9.B
∵
y
sin(2x)cos(2x)cos2(x)
，所以要得到函数
ycos2x
的图象，只需要将函数
448
…
…○
_
_
○
…
_
_
_
……
_
_
_
…
_
…
_
_
…：
…
号
…
订
考
_
订
_
…_
_
…
_
…
_
_
_
…
…_
_
_
…
…
：
级
…
○
班○
_
…
_
_
_
…
…
_
__
…
_
…
_
_
…
_
…
：名
…
装
姓
装
…
_
_
_
…_
…
_
_
…
_
…
_
_
_…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
…
…
…
…
…
…
外
内
……
…
…
…
…
…
…
○
○
……
…
…
…
…
…
…
ysin(2x
4
)
的图象向左平移
8
个单位．故选B．
10.
已知函
数
f(x)sin(
x)(
0)
在
(0,
1)
上恰有一个极值点和一个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
(
,
3
2
]
B．
[
,
3
2
)
C．
(
2
,
]
D．
[
2
,
)
答案及解析：
10.A
作出函数
f(x)sin(
x)(
0)
的图像，依题意可得
3
1
2<
br>
，解得
3
2
．
11.
已知集合
A{x|y1x
2
}和集合
B{y|yx
2
}
，则A∩B等于（ ）
A．{(0,1),(1,0)} B．[0,+∞) C．[－1,1]
D．[0,1]
答案及解析：
11.
D
由已知
A{x
1x1}
，
B{yy0}
，则
AIB[0,1]
，故选<
br>D .
12.
过双曲线
x
2
y
2
uu
uruuur
a
2
b
2
1
（
ab
0
）右焦点
F
的直线交两渐近线于
A
、
B
两点，若
OAAB0
，
O
为坐
第5页，总15页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
……
…
…
标原点，且
OAB
内切圆半径为
31
a
，则该双曲线的离心率为（
）
2
43
D
．
31
3
A
．
23
3
B
．
3
C
．
答案及解析：
12.
A
ab0
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
因为，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为
M，则
M
在
AOB
平分线
Ox
上，
过点
M
分别作
MNOA
于
N
，
MTAB
于
T
，
由
FAOA
得四边形
MTAN
为正方形，由焦点到渐近线
的距离为
b
得
FAb
，又
OFc
，所以
OAa
，
NAMN
31
2
a
，所以<
br>NO
33
2
a
，
所以
b
a<
br>tanAOF
MN
NO
3
3
，得
e
1(
b
a
)
2
23
3
.
故选
A.
评卷人
得分
一、填空题
本大题共4道小题。
13.
如图，已知三棱锥A-BCD的四个顶点A、B、C、
D都在球O的表面上，
ACD
是正三角形，
BCD
是
等腰直角三
角形，
BCBD2
，若二面角
ACDB
的余弦值为
3
3
，则球O到平面BCD的距离
为________．
答案及解析：
13.1
取CD的中点E，连接AE，BE，
答案第6页，总15页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
※
…
请
…
…
※
※
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
内
外
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
由题可得：
BE2,AE6
，
3
，
3
因为二面角
ACDB
的余弦值为
在
ABE
中，由余
弦定理得
AB26226(
2
3
)12
，∴
AB23
,
3
0
所以
ADBACB90
，线
段
AB
为的球
O
直径，故
R3
，
…
…
○
_
_
○
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
○
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
：
名
…
装
姓
装
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
…
…
…
…
…
…
…
…
外
内
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
延
长BE
，
过点A作AG垂直于BE的延长线于点G，∴
AG6
6
3
2
，
所以球心
O
到平面
BCD
的距离为1．
14.
已知函数
f(x)
a
x
b,x0
g(x),x0
是奇函数，且
f(log
4
2)1
，则
g(2)
；
答案及解析：
14.－15
因为函数
f(x)
是奇函数，所以<
br>f(0)a
0
b0
，解得
b1
．
11<
br>又
f(log
1
4
2)1
，即
f(
2)1
，所以
a
2
11a
2
2
，解得
a4
．
所以
f(x)
4
x1,x0
(x),x0
，故
g(2)f(2)f(2)(4
2
1)15
．
g
15.
已知函数f(x)4sinx
1
x
3
在
x0
处的切线与直
线
nxy60
平行，则
(x
2
)
n
3x<
br>的展开式中常数
项为 ；
答案及解析：
15.24 <
br>解析由题意知，
f'
x
4cosxx
2.由题意知
f'
0
n
，即
n4
.
第7页，总15页
…
…
…
线
……
…
…
○
…
…
…
…
222
22
(x)
n
(x)
4
， 其常数项
为
T
3
C
4
x()
2
24
.
xxx
16.
在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若
c
3absinC
，则当
2
ba
取最大值时，
ab
cosC
；
答案及解析：
213
…
…<
br>…
线
…
…
…
…
○
…
…
…<
br>…
16.
13
在
ABC
中由余弦定理可得
c
2
a
2
b
2
2abcosC
，
所以
baa
2
b
2
c
2
2abcosC3a
bsinC
a
b
ab
ab
2abcosC
ab
3sinC2cosC
13sin(C<
br>
)
，其中
sin
213
13
，
cos
313
13
，
当
b
a
a
b
取得最大值
13
时，
C
<
br>
213
2
，∴
cosCcos(
2
)sin
13
．
评卷人
得分
二、解答题 本大题共7道小题。
17.
已知函数
f(x)e
x
x
．
（Ⅰ）讨论
f(x)
的单调性；
（Ⅱ）若
f(x
xx1
)f(x
2
)
，
x
1
x
2，求证：
e
1
e
2
2
．
答案及解析：
17.（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
（Ⅰ）函数
f
x
定义域为
R,
f
x
e
x
1
， 令
f
x
0
得
x
0,
，令
f
x
0
得
x
,0
，
故
f
x
在
0,
单调递增，在
,0
单调递减. ……………4分
f
x
<
br>,
不妨设
x
x
e
x
2
e
x
1
（Ⅱ）
1
f
x
2
2
x
1
，则
e
1
x
x
1
e
2<
br>x
2
,
x
1
，
2
x
1
答案第8页，总15页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
※
…
请
…
…
※
※
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
内
外
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
要证：
e
1
e
xx
2
2,
即证：
x
2
x
1
x
2
x
1
，
ee 2
……（*）
x
2
x
1
ee
x< br>2
x
1
e
x
2
x
1
1
x
2
x
1
而
x
，令
tx
2
x
1
,t
0,
，
ee
x
2
x
1
x
2
x
1
e
2
e
x
1
e1< br>e
t
1
（*）等价于
t
t
2t
< br>e
t
1
2e
t
20,t
0,
，……………8分
e1
设
g
t
te12e2,t
0,
，
tt
…
…
○
_
_
○
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
○
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
：
名
…
装
姓
装
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
…
…
…
…
…
…
…
…
外
内
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
g
t
t1< br>
e
t
12e
t
t1
e
t
1,
令
h
t
t1
e
t
1,
∵
h'
t
te
t
0
在
t
0,
恒成立，
则
g
t
在
t
0,
单调递增，故
g
t
g
0
0，故
g
t
在
t
0,
单调递增，
故
g
t
g
< br>0
0
，故原命题得证．……………12分
18.
已知 等比数列
{a
n
}
的首项
a
1
2
，且< br>a
2
、
a
3
2
、
a
4
成 等差数列．
（
Ⅰ
）求
{a
n
}
的通项公式；
（
Ⅱ
）若
b
n
log
1
2
a
2n1
，求数列
{
b
}
的前
n
项和
T< br>n
．
n
b
n1
答案及解析：
18.
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
（Ⅰ）设等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，依题意有
a
2
a
4
2(a
3
2)
，
即
2q2q
3< br>2(2q
2
2)
，解得
q2
，所以
a
n
2
n
；
………………………5
分
（Ⅱ）由（ Ⅰ）可得
b
n
2n1
，设
c
n
1< br>bb
，
nn1
则
c
1
n
2n1
2n1
11
2
(2n1
1
2n1
)
，………………………9分
∴
T
n
c
1
c
2
L
c< br>1
2
[(1
1
3
)(
1
n
< br>3
1
5
)
L
(
11
2n1
2n1
)]
11n
2
(12n1
)
2n1
．………………………………………………12分
19.
近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大 养猪场正
第9页，总15页
…
…
…
线
…<
br>…
…
…
○
…
…
…
…
<
br>面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在
逐
步显现．
现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长
阶段
如下表．
猪生长的三个阶段
阶段 幼年期 成长期 成年期
…<
br>…
…
线
…
…
…
…
○
…
…<
br>…
…
重量（Kg） [2,18) [18,82) [82,98]
根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布
X~N
(50,16
2
)
.
由于我国有关部门加强对大型
养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了
养出健康的成年活猪，甲、乙两
养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．
已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通
过质检合格的概率分别为
4
5
，
3
4
．
（Ⅰ）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；
（Ⅱ）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利400元，若为不合格的猪，
则亏损200元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利500元，若为不合<
br>格的猪，则亏损100元．记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y
的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．
（参考数据：若
Z~N(
,
2
)
，则
P(
Z
)0.6826
，
P
(
2
Z
2
)0.95
44
，
P(
3
Z
3
)0.9974
）
答案及解析：
19.（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
（Ⅰ）由于猪的体重
X
近似服从正态分
布
N(50,16
2
)
，设各阶段猪的数量分别为
n
1,n
2
,n
3
∴
P(2x18)P(503
16x50216)
0.99740.9544
2
0.0215，
∴
n
1
100000.0215215
（头）；……
………2分
同理，
P(18x82)P(50216x50216)0
.9544
，
∴
n
2
100000.95449544（头）；……………4分
答案第10页，总15页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
…
※
※
…
…
在
※
…
…
※
…
装
要
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
内
外
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
…
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
P(82x98)P(50216x50316)
∴n
3
100000.0215215
（头）.
0.99740.9544
0.0215
，
2
所以，甲、乙两 养猪场各有幼年期猪
215
头，成长期猪
9544
头，成年期猪
21 5
头。……………6分
（Ⅱ）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概 率分别为
能取值为
900
，
300
，
300
.
43
，，随机变量
Y
可
54
43341137111
，
P(Y=300)
，
P(Y=900)
，
P( Y=300)
5455454205420
所以
Y
的分布列为：< br>
学
校
:
_
_
_
_
_
_< br>_
_
_
_
_
姓
名
：
_
_< br>_
_
_
_
_
_
_
_
_
班< br>级
：
_
_
_
_
_
_
_
_< br>_
_
_
考
号
：
_
_
_
_< br>_
_
_
_
_
_
_
Y
P
900
300
300
3
5
7
20
1
20
所以
E(Y)900
371
，
30030 0630
（元）
52020
由于各养猪场均有
215
头成年猪， 一头猪出售的利润总和的期望为
630
元，则总利润期望为
6302151354 50
（元）. …………………………………12分
20.
已知抛物线
y 2x
，过点
P(1,1)
分别作斜率为
k
1
，
k
2
的抛物线的动弦AB、CD，设M、N分别为线段
AB、CD的中点．
（Ⅰ）若P为线段AB的中点，求直线AB的方程；
（Ⅱ）若
k
1
k
2
1
，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
2
答案及解析：
20.（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
第11页，总15页
…
…
…
线
…
…
…
…
○…
…
…
…
2
（Ⅰ）设
A(x1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
y
1
2
2x
1
①，
y
2
2x
2
②．
①－②，得
(y
1
y
2
)(y
1
y
2
)2(x
1
x
2
)
．
又因为
P(1,1)
是线段
AB
的中点，
所以
y
1
y
2
2
所以，
k
1
y
2
y
1
=
2
1
．
x
2
x
1
y
2
y
1
又直线<
br>AB
过
P(1,1)
，所以直线
AB
的方程为
yx
；…………………………………5分
（Ⅱ）依题设
M(x
M
,y<
br>M
)
，直线
AB
的方程为
y1k
1
(x
1)
，即
yk
1
x1k
1
，
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
亦即
yk
(2k
2
1
xk
2<
br>，代入抛物线方程并化简得
k
2
1
x
2
1
k
2
2)xk
2
0
．
所以，
x
1
x
2k
1
k
2
222k
1
k2
2
k
2
k
2
…………………
………………7分
11
于是，
x
1k
1
k
2<
br>1
M
k
2
，
y
M
k
1
x
M
k
2
k
k
1
k
2<
br>1
2
k
2
1
．
1k
1
k
1
同理，
x
1k
1
k
2
N
k
2
，
y
1
N
．…………………………………9
2
k
分
2
易知
ky
M
y
N
1
k
2
0
，所以直线<
br>MN
的斜率
k
k
2
k
1
xk
．
M
x
N
1
2
k
1
故直线
M
N
的方程为
y
1
kk1k
1
k
2
k<
br>
21
(x
2
)
，
1
1k
2
k
1
k
1
即
y
k
2
k
1
1kk
x1
．此时直线过定点
(0,1)
．
21<
br>故直线
MN
恒过定点
(0,1)
．…………………………………12分
21.
如图，四棱锥P-ABCD中，
ABAD2BC2
，
BC
AD
，
ABAD
，
PBD
为正三角形，且
PA23
.
（Ⅰ）证明：直线AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）若四棱锥P-
ABCD的体积为2，E是线段CD的中点，求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.
答案第12页，总15页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
※
…
请
…
…
※
※
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
内
外
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
……
线
…
…
…
…
○
…
…
……
…
…
…
线
…
…
…
…○
…
…
…
…
答案及解析：
21.（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
（Ⅰ）
QABAD
，且
QA
BAD2
，
BD22
，
又
PBD
为正三角形，所以
PBPDBD22
，
又
QAB2
，
PA23
，所以
ABPB
，又
QABAD
，
BC
AD
，
…
…
○
_
_
○
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
○
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
：
名
…
装
姓
装
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
…
…
…
…
…
…
…
…
外
内
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
ABBC
，
PBIBCB
，所以
AB
平面
PBC.………4分
（Ⅱ）设点
P
到平面
ABCD
的距离
为
h
，则
V
PABCD
1
3
[1
2
(12)2]hh
，依题可得
h2
.以
A
为原点，直线
AB
、
AD
分别为
x
轴，
y
轴，建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)
,
B(2,0,0),
D(0,2,0)
,
C(2,1,0)
,则
E(1,
3
2
,0)
，设
P(x,y,2)
,由
PA23
，
x
2
y
2
412
PBPD22，可得
x
2
(y2)
2
48，解得
x2
，
y2
，即
(x2)<
br>2
y
2
48
P(2,2,2)
。…………………………
………8分
所以
u
PE
uur
(1,
1
uuur
2
,2)
，又由（Ⅰ）可知，
AB(2,0,0)是平面
PBC
的一个法向量，
∴
cos
u
PEuur
,
u
AB
uur
12
2221
,
2(1)
2
(
121
21
2
)
2
(2)
2
所以直线
PE
与平面
PBC
所成角的正弦值为
221
21
.…………………………
………12分
22.
第13页，总15页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
设函数
f
x
2x1x3
．
（Ⅰ）解不等式
f
x
0
；
（Ⅱ）
若
f
x
3x3a
对一切实数x均成立，求实数a
的取值范围．
答案及解析：
22.（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
1
…<
br>…
…
线
…
…
…
…
○
…
…<
br>…
…
（Ⅰ）解法一：当
x
2
时，
f(x)2x
1(x3)x40
，解得
x4
；
当
3x
1
2
时,
f(x)2x1(x3)3x20
，解得3x
2
3
；
当
x3
时，
f(x
)2x1(x3)x40
，解得
x3
，
综上,原不
等式的解集为
{x|x
2
3
或
x4}
；
……………5分
解法二：
f
x
0
2x
1x3
，两边平方整理得，
3x
2
10x80
，解得x
2
3
或
x4
，
所以，原不等式的解集为
{x|x
2
3
或
x4}
；……………5分
（Ⅱ）
f(x)3x32x12x3|2x1(2x6)|7
，当
3x
1
2
时等号成立，所以
a7
．
故实数
a
的取值范围为
(,7]
．
……………10
分
23.
x1
1
t
已知直线l的参数方程
2
（
t
为参数），曲线
C:
(x1
)
2
y
2
4
1
.
<
br>y3
3
3
2
t
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴且具有相同单位长度建立极坐标系，求直线l和曲线C的
极坐标方程；
（Ⅱ）直线l与曲线
C交于M、N两点，求
1
|OM|
1
|ON|
值.
答案及解析：
23.（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
（Ⅰ）
由
y
3(1
1
2
t)3x
得
y3x
.
直线
l
的极坐标方程为
3
R<
br>
.
……2
分
答案第14页，总15页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
…
※
※
…
…
在
※
…
…
※
…
装
要
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
内
外
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
(x1)
2
y
2
22
由
1
，得
3x6x4y90
.
43
由xy
22
2
及
x
cos
,y
sin
.
可化为
3
2
6
cos
2
sin
2
90
.
2
所以曲线
C
的极坐标方程为<
br>(3sin
（Ⅱ）将
)
2
(6cos
)
90
.
……………5
分
3
代入，得
5
4
1
20
.
2
由极坐标几何意义，设
M(
,
)
,
N(
,)
，
0,
0
…
…
○
_
_
○
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
○
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
：
名
…
装
姓
装
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
…
…
…
…
…
…
…
…
外
内
…
…
…
…
…
…
…
…
○
○
…
…
…
…
…
…
…
…
1
3
2
3
不妨设
12
，
则
4
1
2
5
，
12<
br>1
2
5
，
即
11
(
4
)
2
4(
12
)
OM
ON
1
1
2
<
br>
1
55
4
.
……………10
分
1
2
1
2
12
3
5
第15页，总15页