地震怎么办-小学家长会材料

2020届高三年级第二学期期初联考试卷
数学试题

命题单位：丹阳高级中学 审核单位：金陵中学 无锡一中
Ⅰ试题
一、填空题 （本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在
答题纸的指定位置上）
1
．已知集合
A
＝
{1
，
2
，
3 }
，
B
＝
{2
，
4}
，则
A∪B
＝
▲
．

2．已知复数z
1
＝－2＋i，z< br>2
＝a＋2i（i为虚数单位，a∈R），若z
1
z
2
为纯虚 数，则实数a的
值为 ▲ ．
3
．函数
f(x)
＝
ln(x
－
1)
的定义域为
▲
．

4
．某人
5
次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为
12
，x
，
10
，
11
，
9
．已知这组数
据 的平均数为
10
，方差为
2
，则
x
的值为
▲
．

5
．已知抛物线
y
2
＝
4x
上一点的距离到焦点的距离为
5
，则这点的坐标为
▲
．

6
．已知命题
p
：－
1－
a<1
，命 题
q
：
(x
－
4)(8
－
x)>0
，若< br>p
是
q
的充分不必要条件，则实
数
a
的取值范围是< br> ▲
．


7
．等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
4a
1
，
2a
2
，
a
3
成等差数列，
a
1
＝
1
，则
S
7
＝
▲
．8．函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数，当0x
，则f (－7)＝ ▲ ．

高三数学试卷 第 1 页 共 26 页

9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S
1
、S< br>2
，则S
1
：
S
2
＝ ▲ ．
1 0
．在等腰△
ABC
中，已知底边
BC
＝
2
，点< br>D
为边
AC
的中点，点
E
为边
AB
上一点且 满
1
→→→
·
→
＝
▲
．
< br>足
EB
＝
2AE
，若
BD·AC
＝－
2，则
ECAB
11．已知函数f(x)＝－x
2
＋ax＋b（a，b∈R ）的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)>c
－1的解集为(m－4，m)，则实数c的值 为 ▲ ．
12
．在锐角△
ABC
中，已知
sinC＝
4cosAcosB
，则
tanAtanB
的最大值为
▲
．

13
．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
∠ABC
＝
120
°，
∠ABC
的平分线交
AC
于点
D
，且
BD
＝
1
，则< br>4a
＋
c
的最小值为
▲
．

1 4
．设函数
f(x)
＝
ax
＋
sinx
＋
cosx
．若函数
f(x)
的图象上存在不同的两点
A
，
B
，使得曲线
y
＝
f(x)
在点
A
，
B处的切线互相垂直，则实数
a
的取值范围为
▲
．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．
（1）求证：EF∥平面ABD；
（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．
A


D

高三数学试卷 第 2 页 共 26 页
B
E
（第15题）
F
C

16．（本小题满分14分）
4
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
5
sinB
（1）若c＝2a，求的值；
sinC
π
（2）若C－B＝，求sinA的值．
4



17．（本小题满分14分）
如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区 域（以O为圆心，AB为直径），现
计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后
的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m
2
．设∠AOC＝x rad．
（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．


高三数学试卷 第 3 页 共 26 页
C
A
O
B
D

18．（本小题满分16分）
x
2
y
2
在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆E：
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)过点
1，
6
，其离心率
ab
2
2
等于．
2

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E
于点P．
uuuruuuur
①求证：
OPOM
为定值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．






高三数学试卷 第 4 页 共 26 页

19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝ax
2
＋lnx，g(x)＝－bx，设h(x)＝f(x)－g(x)．
1
2
（1）若f(x)在x＝
2
2
处取得极值，且f ′(1)＝g(－1)－2，求函数h(x)的单调区间；
（2）若a＝0时，函数h(x)有两个不同的零点x
1
，x
2
．
①求b的取值范围；
②求证：x
1
·
x
2
>e
2
．





20．（本小题满分16分）
已知数列{an
}前n项和为S
n
，数列{a
n
}的奇数项是首项为1的等差 数列，偶数项是首
项为2的等比数列，且满足S
5
＝2a
4
＋a5
，a
9
＝a
3
＋a
4
．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）若a
m
am
＋
1
＝a
m
＋
2
，求正整数m的值；
（3）是否存在正整数m，使得

S
2m
恰好为数列{a
n
}中的一项？若存在，求出所有满
S
2m1
高三数学试卷 第 5 页 共 26 页

足条件的m值，若不存在，说明理由．

金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中2020届高三年级第二学期
期初联考试卷
数学试题点评与参考答案
Ⅰ试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计 70分．不需写出解答过程，请把答案写在
答题纸的指定位置上）
1
．已知集合A
＝
{1
，
2
，
3}
，
B
＝
{2
，
4}
，则
A
∪
B
＝
▲
．

【点评】集合并集的运算，简单题。
【答案】1．{1，2，3，4}
2．已知复数z
1
＝－2＋i，z
2
＝a＋2i（i为虚数单位，a∈R），若z
1
z
2
为纯虚数， 则实数a的
值为 ▲ ．
【点评】复数的概念，简单题。此题源自于南京二模改编。

【答案】
2
．－
1
3
．函数
f(x)
＝
ln(x
－
1)
的定义域为
▲
．

【点评】函数的定义域，简单题。

【答案】
3
．
(1
，＋
∞)

高三数学试卷 第 6 页 共 26 页

4
．某人
5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为
12
，
x
，
10< br>，
11
，
9
．已知这组数
据的平均数为
10
，方差为
2
，则
x
的值为
▲
．

【点评】平均数与方差的计算，简单题。此题为改编题。

【答案】
4
．
8
5
．已知抛物线
y
2< br>＝
4x
上一点的距离到焦点的距离为
5
，则这点的坐标为
▲
．

【点评】抛物线的性质，简单题。注意上下两个点，学生容易出错。

【答案】
5
．
(4
，±
4)
6
．已知命 题
p
：－
1－
a<1
，命题
q
：(x
－
4)(8
－
x)>0
，若
p
是
q
的充分不必要条件，则实
数
a
的取值范围是
▲
．

【点评】逻辑用语，中等题。此题为改编题。

【答案】
6
．
[5
，
7]

7
．等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n< br>，若
4a
1
，
2a
2
，
a
3
成等差数列，
a
1
＝
1
，则
S
7
＝ ▲
．
【点评】等比数列公式的考查，中等题。
【答案】7．127
8．函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数，当0x
， 则f(－7)＝ ▲ ．
【点评】奇函数与周期函数的性质，中等题。
【答案】8．－2
9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为 S
1
、S
2
，则S
1
：
S
2
＝ ▲ ．

高三数学试卷 第 7 页 共 26 页

【点评】空间几何体相关量的计算，中等题。

【答案】
9
．
3
：
2
10
．在等腰△< br>ABC
中，已知底边
BC
＝
2
，点
D
为边< br>AC
的中点，点
E
为边
AB
上一点且满
1
足
EB
＝
2AE
，若
·
＝－
2
，则
·
＝
▲
．

【点评】向量的相关运算，中等题。此题为改编题。
【答案】10．
11．已知函 数f(x)＝－x
2
＋ax＋b（a，b∈R）的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f( x)>c
－1的解集为(m－4，m)，则实数c的值为 ▲ ．
【点评】函数值域与不等式的简单综合，中等题。此题为改编题。

【答案】
11
．－
3
12
．在锐角△
ABC中，已知
sinC
＝
4cosAcosB
，则
tanAtanB
的最大值为
▲
．

【点评】以正切为切入点的最值问题，中等题。此题有较多变式，后续教学应重点关注。

【答案】
12
．
4
13
．在△
ABC
中 ，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，b
，
c
，∠
ABC
＝
120
°，∠
A BC
的平分
线交
AC
于点
D
，且
BD
＝< br>1
，则
4a
＋
c
的最小值为
▲
．

【点评】三角形中的最值问题，中等题。

【答案】
13
．
9
14
．设函数
f(x)
＝
ax
＋
sinx
＋
cosx
．若函数
f(x)
的图象上存在不同的两点
A
，
B
，使得曲线
y

高三数学试卷 第 8 页 共 26 页
4
3

＝
f(x)
在点
A
，
B
处的切线互相垂直，则实数
a
的取值范围为
▲
．

【点评】函数与导数综合，以切线为切入点，难题。此题源自南京二模。

【答案】
14
．
[
－
1
，
1]
【填空题总评】本次考试填空题难度不大，关注基本点的考查，考生在本部分如低于
60
分，需 要加强相关基本题的训练。此外，本次填空有多题为各市前几年的二模真题或改编
题，难度略低，但考点 覆盖较全面，针对近两年难度的下降，填空题难度的下降也会成为
趋势。

二、解答题 （本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤，请把答案写在答题纸 的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．
（1）求证：EF∥平面ABD；
（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．
【点评】本题考 查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，简单题。在阅卷时，应严
格按照评分标准进行阅卷。对于 考生在此部分答题的不规范，应严格判分。
【答案】
解：（1）因为BD∥平面AEF，BD平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，
所以BD∥EF．………………3分
因为BD平面ABD，EF平面ABD，所以EF∥平面ABD．………………6分

高三数学试卷 第 9 页 共 26 页
B
A
D
E
15题）（第

（2）因为AE⊥平面BCD，CD平面BCD，
所以AE⊥CD．………………8分
因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，………………10分
又AE∩EF＝E，A E平面AEF，EF平面AEF，所以CD⊥平面AEF．………………12
分
又CD平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．………………14分
16．（本小题满分14分）
4
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
5
sinB
（1）若c＝2a，求的值；
sinC
π
（2）若C－B＝，求sinA的值．
4
【点评】本题 考查正弦定理与余弦定理，三角函数的相关运算，中等题。注意考生的答题
规范。
【答案】
解：（1）解法1：
a
2
＋c
2
－b
2
44
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2分
52ac5
c()
2
＋c
2
－b
2
2
4b
2
9b35
因为c＝2a，所以＝，即
2
＝，所以＝．………………4分
c5c20c10
2c×
2

高三数学试卷 第 10 页 共 26 页

sinBbsinB35
又由正弦定理得＝，所以＝．………………6分
sinCcsinC10
解法2：
43
因为cosB＝，B∈(0，π)， 所以sinB＝1－cos
2
B＝．………………2分
55
因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
68
所以sin C＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分
55
25
又因为sin
2
C＋cos
2
C＝1，sinC＞0， 解得sinC＝，
5
sinB35
所以＝．………………6分
sinC10
47（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos
2
B－1＝．………………8分
525
3
又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos
2
B＝，
5
3424
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分
5525
ππ3π
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
444
3π
3π3π312
所以sinA＝sin(－2B)＝sincos 2B－cossin2B＝．………………14分
44450
17．（本小题满分14分）
如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现
计划对 其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后
的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m
2
．设∠AOC＝x rad．

高三数学试卷 第 11 页 共 26 页

（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．
【点评】应用题，以三角 函数为基底进行考查，中等题。此题源自南京市零模，难度不大。
在高考中，预测应用题也会以三角函数 为基底进行考查，关注导数或不等式。
【答案】
解：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，
所以扇形AOC的面积S
x·OA
2
扇 形
AOC
＝
2
＝800x，0＜x＜π．………………2分
在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
所以S
△COD＝
1
2
·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600s inx．………………4分
从而 S＝S
△COD
＋S
扇形
AOC
＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．………………6分
（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．
C
S′(x)＝1600cos x＋800＝1600(cosx＋
1
2
)．………………8分
A
O
B
由 S′(x)＝0，解得x＝
2π
（第17题）
3
．
从而当0＜x＜
2π
3
时，S′(x)＞0；当2π
3
＜x＜π时，S′(x)＜0 ．
因此 S(x)在区间(0，
2π
3
)上单调递增；在区间(
2π
3
，π)上单调递减．………… ……11分
所以 当x＝
2π
3
，S(x)取得最大值．

高三数学试卷 第 12 页 共 26 页
D

2π
答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．………………14分
3
18．（本小题满分16分）
x
2
y
2
在平面 直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)过点
1，
6
，其离心率
ab
2
2
等于．
2

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E
于点P．
uuuruuuur
①求证：
OPOM
为定值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．
【点评】本题考查 解析几何，关注向量的运算，在二模中属于热度题，中等题。定点定值
题，一定要算到底，注意方法优化 ，本题应注意一题多解。
【答案】
3


1

2
1，
2




a4，

22
222
b
解：（1）由题得

a
且
cab
，解得

2< br>



c

b2，
2


a

2
，

x
2
y
2
所以椭圆
E
的方程为
+=
1
．………………4分
42
y
0
)
，
P(x
1
， y
1
)
， （2）设
M(2，

高三数学试卷 第 13 页 共 26 页

y
0
2
2
y
0
2
y
0
2
y
0
y
0
x
①直线< br>MA
的方程为
y
，代入椭圆得
1xx40
， < br>42
822

由
2x
1

4

y
0
2
8

y
0
2
8
得
x
1

2

y
0
2
8< br>
y
0
2
8
，
y
1

8 y
0
，………………8分
y
0
2
8
uuuru uuur

2

y
0
2
8

8y
0

4

y
0
2
8
< br>8y
0
2
所以
OPOM

，
2
(2， y
0
)
2
4
．……………10分
2
y0
8

y
0
2
8y
0
8

y
0
8

②直线
MQ
过定点
O(0 ， 0)
，理由如下：
8y
0
y
0
2
8
由题得
k
PB

2

y
0
2
8

y
0
2
8
2

2
， ………………12分
y
0
由
MQPB
得
k
MQ

y
0
，
2
y
0
y
(x2)
，即
y
0
x
，………………14分
2
2
则
MQ
的方程为
yy
0

所以直线
MQ
过定点
O(0， 0)
．………………16分
19．（本小题满分16分） 已知函数f(x)＝ax
2
＋lnx，g(x)＝－bx，设h(x)＝f(x)－g(x )．
1
2
（1）若f(x)在x＝
2
2
处取得极值，且f ′(1)＝g(－1)－2，求函数h(x)的单调区间；
（2）若a＝0时，函数h(x)有两个不同的零点x
1
，x
2
．
①求b的取值范围；
②求证：x
1
·
x
2
>e
2
．

高三数学试卷 第 14 页 共 26 页

【点评】本题考查函数与导数， 中等题。零点问题注意零点存在定理的使用，如不使用得
分会较低。第三问考查点较为基础，在教学过程 中教师应注意这类题的证法。在高考中，
不会再出现这样的陈题、旧题，但这样的方法与思想应该牢牢把 握。
【答案】
解：（1）因为
f

(x)ax
1< br>x
，所以
f

(1)a1
，由
f
(1)g(1)2
可得
ab3
．
又因为
f(x)在
x
2
2
处取得极值，所以
f

(
2
2
)
2
2
a20
，
所以
a2,b1
．………………2分
所以
h(x)x< br>2
lnxx
，其定义域
(0,)
．
h(x)2 x
12x
2
x1
x
1=
x

 (2x1)(x1)
x
，
令
h(x)0
得
x< br>1
1

2
,x
2
1
，当
x(0 ,1)
时，
h(x)>0
，当
x(1,)
时，
h (x)<0
，
所以函数h(x)在区间
(0,1)
上单调增，在区间
(1,)
上单调减．………………4分
（2）当
a0
时，
h (x)lnxbx
，其定义域为
(0,)
．
①由
h(x) 0
得
b-
lnx
x
，记

(x)
lnxlnx1
x
，则

(x)
x
2
， < br>所以

(x)
lnx
x
在
(0,e)
单 调减，在
(e,)
单调增，
所以当
xe
时，
(x)
lnx
x
取得最小值

1
e
．…… …………6分
又

(1)0
，所以
x(0,1)
时，

(x)0
，而
x(1,)
时，

(x) 0
，

高三数学试卷 第 15 页 共 26 页
为

所以b的取值范围是
(,0)
．………………10分
注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过3分．
②由题意得
lnx
1
bx
1
0,lnx
2
bx
2
0
1
e
，所以
lnx
1
x
2
b(x
1
x
2
)0,lnx
2
lnx
1
 b(x
2
x
1
)0
，
所以
lnx
1
x
2
xx

12
，………………12分
lnx
2
lnx
1
x
2
x
1
x
1< br>x
2
(lnx
2
lnx
1
)2
， < br>x
2
x
1
不妨设x
1
2
，要 证
x
1
x
2
e
2
，只需要证
lnx1
x
2

即证
lnx
2
lnx
1< br>
2(x
2
x
1
)
．………………14分
x
2
x
1
设
t
x
2
2(t1)4
(t1)
，则
F(t)lntlnt2
，
x
1
t1t1
14(t1)
2
所以
F(t)0
，函数
F(t)
在
(1,)
上单调增，
t(t1)
2
t(t1)
2
而
F(1)0
，所以
F(t)0< br>，即
lnt
2(t1)
，
t1
所以
x
1
x
2
e
2
．………………16分
20．（本小题满分16分）
已知数列{a
n
}前n项和为S
n< br>，数列{a
n
}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首
项为2的等比数列 ，且满足S
5
＝2a
4
＋a
5
，a
9
＝a
3
＋a
4
．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）若a
m
a
m
＋
1
＝a
m
＋
2
，求正整数m的值；

高三数学试卷 第 16 页 共 26 页 < /p>

（3）是否存在正整数m，使得
S
2m
恰好为数列{a
n
}中的一项？若存在，求出所有满
S
2m1
足条件的m值，若不存在，说 明理由．
【点评】等差数列、等比数列的综合，难题。前两问较基础，注重公式的考查，第三问对于考生的解题思维有较大挑战，不求满分，只求多得分。
【答案】
解：（1）设
a
1
,a
3
,a
5
,,a
2k1
的 公差为
d
，
a
2
,a
4
,a
6
, a
2k
的公比为
q
，
则
a
4
a2
q2q,a
3
a
1
d1d,a
9
14d

由


S
5
2a
4
a
5

a
4
S
3

d2




，………………2分

a
1
 4da
1
d2q

q3

a
9
 a
3
a
4

n,n为奇数

n
所以a
n


．………………4分
2
1

23,n为偶数
（2）若
m2k1(kN)
，则
(2 k1)23
k1
2k123
k1
1

2
，
2k1
因为
23
k1
为正整数，所以
2
为正整数，
2k1
0
即
2k11k1
，此 时
233
，不成立，舍去．………………6分
若
m2k(kN)< br>，则
2k13k1
，
m2
，成立，
综上，
m2
．………………8分


高三数学试卷 第 17 页 共 26 页

（3）若
S
2m
S
为{a
n
}
中的一项，则
2m
为正整数，
S
2 m1
S
2m1
因为
S
2m1
(a
1
a
3
a
2m1
)(a
2
a
4a
2m2
)

m(12m1)2(3
m1
1)
3
m1
m
2
1
，………………10分
231
S
2m
S
2m1
a
2m
2( m
2
1)
所以
3
m1
3
，
2
S
2m1
S
2m1
3m1
S
2m
为
{a
n
}
中的某一项，只能为
a
1
,a
2
,a
3
．………………12分
S
2m1
故若
2(m
2
1)
1m

， ①若
3
m 1
3m
2
1
2(m
2
1)
23
m1
1m
2
0m2
， ②
3
m12
3m1
2(m
2
1)
2
3m1m1
，… ……………15分 ③
3
m12
3m1
综上，
m1
或
m2
．………………16分
【解答题总评】本次解答题难度中等，涉及考点较 全面。在本次作答过程中，考生应注意
对答题思维的培养与答题规范的重视，不应拘泥于分数的高低。



高三数学试卷 第 18 页 共 26 页

期初联考试卷 数学试题参考答案及评分标准
Ⅰ试题
一、填空题< br>（本大题共
14
小题，每小题
5
分，计
70
分
．
不需写出解答过程，请把答案写在
答题纸的指定位置上）

1
．
{1
，
2
，
3
，
4} 2
．－
1 3
．
(1
，＋
∞) 4
．
8 5
．
(4
，±
4)
4
6
．
[5
，
7] 7
．
127 8
．－
2 9
．
3
：
2 10
．
3

11
．－
3 12
．
4 13
．
9 14
．
[
－
1
，
1]

二、解答题（本大 题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤，请把答案写在答题纸的指定 区域内）
15．（本小题满分14分）
解：（1）因为BD∥平面AEF，BD平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，
所以BD∥EF．………………3分
因为BD平面ABD，EF平面ABD，所以EF∥平面ABD．………………6分
（2）因为AE⊥平面BCD，CD平面BCD，
所以AE⊥CD．………………8分
因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，………………10分
又AE∩EF＝E，A E平面AEF，EF平面AEF，所以CD⊥平面AEF．………………12
分

高三数学试卷 第 19 页 共 26 页

又CD平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．………………14分
16．（本小题满分14分）
解：（1）解法1：
a
2
＋c2
－b
2
44
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2 分
52ac5
c
()
2
＋c
2
－b
2< br>2
4b
2
9b35
因为c＝2a，所以＝，即
2
＝， 所以＝．………………4分
c5c20c10
2c×
2
sinBbsinB 35
又由正弦定理得＝，所以＝．………………6分
sinCcsinC10
解法2：
43
因为cosB＝，B∈(0，π)， 所以sinB＝1－cos
2
B＝．………………2分
55
因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
68
所以sin C＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分
55
25
又因为sin
2
C＋cos
2
C＝1，sinC＞0， 解得sinC＝，
5
sinB35
所以＝．………………6分
sinC10
47（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos
2
B－1＝．………………8分
525
3
又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos
2
B＝，
5

高三数学试卷 第 20 页 共 26 页

3424
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分
5525
ππ3π
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
444
3π
3π3π312
所以sinA＝sin(－2B)＝sincos 2B－cossin2B＝．………………14分
44450
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，
x·OA
2
所以扇形AOC的面积S
扇形
AOC
＝＝800x，0＜x＜π．……… ………2分
2
在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
1< br>所以S
△COD
＝
·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x) ＝1600sinx．………………4分
2
从而 S＝S
△COD
＋S扇形
AOC
＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．………………6分
（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．
1
S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．………………8分
2
2π
由 S′(x)＝0，解得x＝．
3
2π2π
从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时，S′(x)＜0 ．
33
2π2π
因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．………………11分
33
2π
所以 当x＝，S(x)取得最大值．
3

高三数学试卷 第 21 页 共 26 页

2π
答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．………………14分
3
18．（本小题满分16分）
3


1

2
1，
2




a4，

22
222
b
解：（1）由题得

a
且
cab
，解得

2< br>



c

b2，
2


a

2
，

x
2
y
2
所以椭圆
E
的方程为
+=
1
．………………4分
42
y
0
)
，
P(x
1
， y
1
)
， （2）设
M(2，
y
0
2
2< br>y
0
2
y
0
2
y
0
y
0< br>x
①直线
MA
的方程为
y
，代入椭圆得
1x x40
，
42
822

由
2x
1
4

y
0
2
8

y
0< br>2
8
得
x
1

2

y
0
2
8

y
0
2
8
，
y1

8y
0
，………………8分
y
0
28
uuuruuuur

2

y
0
28

8y
0

4

y
0
2
8

8y
0
2
所以
OPOM
< br>，
2
(2， y
0
)
2
4
．……………10分

22< br>y
0
8

y
0
8y
0
8
y
0
8
②直线
MQ
过定点
O(0， 0)
，理由如下：
8y
0
y
0
2
8
2
由题得
k
PB

2

y
0
8

y
0
2
8
2

2
，…… …………12分
y
0
由
MQPB
得
k
MQ
y
0
，
2
则
MQ
的方程为
yy
0


y
0
y
(x2)
，即
y
0
x
，……… ………14分
2
2
高三数学试卷 第 22 页 共 26 页

所以直线
MQ
过定点
O(0， 0)
．………………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）因为
f

(x)ax
1
，所以
f

(1)a1
，
x
由
f

(1)g(1)2
可得
ab3
．
222
处取得极值，所以
f

()a20
， 22
2
又因为
f(x)
在
x
所以
a2, b1
．………………2分
所以
h(x)x
2
lnxx< br>，其定义域为
(0,)
．
12x
2
x1(2x1)(x1)
，
h(x) 2x1=
xxx
1
令
h(x)0
得
x
1
,x
2
1
，当
x(0,1)
时，
h(x )>0
，当
x(1,)
时，
h(x)<0
，
2< br>所以函数h(x)在区间
(0,1)
上单调增，在区间
(1,)
上 单调减．………………4分
（2）当
a0
时，
h(x)lnxbx< br>，其定义域为
(0,)
．
lnxlnxlnx1
，记

(x)
，则

(x)
，
xxx
2①由
h(x)0
得
b-
所以

(x)
lnx
在
(0,e)
单调减，在
(e,)
单调增，
x
所以当
xe
时，

(x)
lnx1
取得最小 值

．………………6分
xe
又

(1)0
， 所以
x(0,1)
时，

(x)0
，而
x(1, )
时，

(x)0
，

高三数学试卷 第 23 页 共 26 页

所以b的取值范围是
(,0)
．………………10分
注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过3分．
②由题意得
lnx
1
bx
1
0,lnx
2
bx
2
0
，
1
e
所以
lnx
1
x
2
b(x
1
x
2
)0,lnx
2
lnx
1
b(x
2
x
1
)0
，
lnx
1< br>x
2
xx

12
，………………12分
lnx< br>2
lnx
1
x
2
x
1
x
1x
2
(lnx
2
lnx
1
)2
， x
2
x
1
所以
不妨设x
1
2< br>，要证
x
1
x
2
e
2
，只需要证
lnx
1
x
2

即证
lnx
2
lnx< br>1

2(x
2
x
1
)
．………………14 分
x
2
x
1
设
t
x
2
2( t1)4
(t1)
，则
F(t)lntlnt2
，
x
1
t1t1
14(t1)
2
所以
F(t) 0
，函数
F(t)
在
(1,)
上单调增，
t(t 1)
2
t(t1)
2
而
F(1)0
，所以
F( t)0
，即
lnt
2(t1)
，
t1
所以
x
1
x
2
e
2
．………………16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）设
a
1
,a
3< br>,a
5
,,a
2k1
的公差为
d
，
a< br>2
,a
4
,a
6
,a
2k
的公比为
q
，
则
a
4
a
2
q2q,a
3< br>a
1
d1d,a
9
14d


高三数学试卷 第 24 页 共 26 页

由


S
5
2a
4
a
5

a
4
 S
3

d2




，………………2 分

a
1
4da
1
d2q

q 3

a
9
a
3
a
4

n, n为奇数

n
所以
a
n


．…………… …4分
2
1


23,n为偶数
（2）若
m 2k1(kN)
，则
(2k1)23
k1
2k123
k1
1

2
，
2k1
因为
2 3
k1
为正整数，所以
2
为正整数，
2k1
即
2k11k1
，此时
23
0
3
，不成立，舍去．…… …………6分
若
m2k(kN)
，则
2k13k1
，
m2
，成立，
综上，
m2
．………………8分
< br>（3）若
S
2m
S
2m
为
{a
n
}
中的一项，则为正整数，
S
2m1
S
2m1
因为S
2m1
(a
1
a
3
a
2m1
)(a
2
a
4
a
2m2
)

m(12m1)2(3
m1
1)
3
m1
 m
2
1
，………………10分
231
S
2m
S
2m1
a
2m
2(m
2
1)
所以
3
m1
3
，
2
S
2m1
S
2m1
3m1
S
2m
为
{a
n
}
中 的某一项，只能为
a
1
,a
2
,a
3
．…………… …12分
S
2m1
高三数学试卷 第 25 页 共 26 页
故若

2(m
2
1)
1m

， ①若3
m1
3m
2
1
2(m
2
1)m12
231m0m2
， ②
3
m12
3 m1
2(m
2
1)
3m
2
1m1
，………………15分 ③
3
m12
3m1
综上，
m1< br>或
m2
．………………16分


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