武汉信息传播职业学院-荷兰签证中心

2020届山东省泰安肥城市高三适应性训练


数 学 试 题（一）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选 择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合
Ax|x
2
3x 20
,
B=

x||x1|1

,则
A
B

A.

x|0x2

B.

x|0x1

C.

x|x2

D.

x|1x2


2. 已知
z
< br>2i

i
,则
2i
z
=
1

2
A.
3
B.
2
C.
1
D.
3. 下列结论正确的是
A. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.
B. 在线性回归模型中,相关指数
R=0.96
,说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为
96%
.
C. 已知随机变量
X
2
N(2,

2
)
，若
P(0X2)0.4
，则
P(X4)0.2
.
D. 设
a,b
均为不等于1的正实数，则“
log
b
2log
a
2
”的充要条件是“
ab1
”.
3

4. 若

x

的展开式中各项系数之和 为
256
，则展开式中
x
的系数是
x

A. 54 B. 81 C. 96 D. 106
5. 若圆锥的侧面展开图是半径为
l
的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是
A.
n
345
B．
2
C． D．
233
- 1 -

6. 已知点
M(x
0
,y
0
)
在直线
3xy20
上，且满足
x
0
y
0
1
，则
A．
( 3,]
B．
(,3）(,)

C．
(,3]
y
0
的取值范围为
x
0
1
3
1
3
11
(,+)
D．
(3,)

33
cos(x)
2
7. 函数< br>f(x)
在区间

3,0

x
lg|22x
|


0,3

上的大致图像为

8. 已知函数
f(x)x
4a
b,x[b,)
，其中
b0,aR
，记
M
为
f(x)
的最小值，
x
则当
M2
时，
a
的取值范围为
A．
a
1

3
B．
a
111
C．
a
D．
a

344
二、多项选择 题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全
部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 大衍数列，来源于《乾坤谱 》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极
衍生原理.数列中的每一项， 都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中
隐藏着的世界数学史上第一道数 列题.其前10项依次是
0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是
A. 此数列的第20项是200 B. 此数列的第19项是182
D. 此数列的前
n
项和为
S
n
n(n1)

2
C. 此数列偶数项的通项公式为
a
2n
2n

y
2
x
2
1
的上、下焦点，点
M
是该双曲线 的一条渐近线上的一点,并且以10. 已知
F
1
、
F
2
是 双曲线
C:
42
线段
F
1
F
2
为直径的圆 经过点
M
,则下列说法正确的是
A. 双曲线
C
的渐近线方程为
y2x

B. 以
F
1
F
2
为直径的圆的方程为
xy2

C. 点
M
的横坐标为
2

- 2 -
22

D.
MF
1
F
2
的面积为
23

11. 已 知定义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(x)+f(x)0,f( x6)f(x)
，且对
x
1
,x
2


3,0

，当
x
1
x
2
时，都有x
1
f(x
1
)x
2
f(x
2
) x
1
f(x
2
)x
2
f(x
1
)
，则以下判断正确的是
A. 函数
f(x)
是偶函数 B. 函数
f(x)
在

9，6

单调递增
C.
x3
是函数
f(x)
的对称轴 D. 函数
f(x)
的最小正周期是12
12. 如图四棱锥
PABCD
,平面
PAD
平面
ABCD
,侧面
PAD
是边长为26
的正三
角形, 底面
ABCD
为矩形，
CD23
，点
Q
是
PD
的中点，则下列结论正确的是
A.
CQ平面PAD

B.
PC
与平面
AQC
所成角的余弦值为
P
22

3
Q
A
B
C. 三棱锥
BACQ
的体积为
62

D. 四棱锥
QABCD
外接球的内接正四
面体的表面积为
243

D
C
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成 ▲ 个三位正整数.
14. 函数
f(x)sin(

)cos
x
2
xx
sin2
在
[0,

]
上的最小值是 ▲ .
22
15. 已知一袋中装有红,蓝,黄,绿小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回. 当四
种颜色的小球全部取出时即停止，则恰好取6次停止的概率为 ▲ .
16.
已知圆
F
：
x
2


y3
< br>1
，直线
l:y2
，则与直线
l
相切且与圆
F< br>外切的圆的圆心
M
的轨迹方
程为 ▲ .点
P
是 圆心
M
轨迹上的动点,点
A
的坐标是

0,3
< br>，
2
则使
|PF|
取最小值时的点
P
的坐标为 ▲ .


|PA|
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列

a
n

各项均为正 数，
a
1
1
，
a
n
为等差数列，公差为2. < br>2

（1）求数列

a
n

的通项公式.
（2）求
S
n
=2a
1
2a
2
+2a< br>3

18. (12分)
- 3 -
222322
2
n
a
n
.

22 2
在
ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c< br>,且
(2bc)(bac)2abccosC
.
（1）求角
A
的大小.
（2）若
B
19.（12分）


3
，
D
为
ABC
外一点，
BD2,CD1
,四边形
ABDC
的面积是
53
2
， 求
a
.
4
4
.
3
21
条件②：图（1）中
ADABAC
.
33条件①：图（1）中
tan2B
条件③：图（2）中三棱锥
ABCD
的体积最大.
从以上三个条件中任选一个，补充在问题（2）中的横线上，并加以解答.
如图（1）所示，在
ABC
中,
ACB45
，
BC3
，过点
A
作
ADBC
，垂足
D
在线段
BC上，沿
AD
将
ABD
折起，使
BDC90
(如图（2）)，点
E,M
分别为棱
BC,AC
的中点．
（1）求证：
CDME
.
（2）已知_____________,试在 棱
CD
上确定一点
N
，使得
ENBM
，并求锐二面角
MBNC
的余弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.






20.（12分）
B D
图（1）
C
B
A
A
M
D
•
E
C
图（2）
x
2
y
2
1
已知椭圆
C:
2

2
1

ab0

的离心率为，左、右焦点分别是
F
1
、
F
2
，不经 过左焦点
F
1
的
ab
2
直线
xy20
上有且只有一个点
A
满足
F
1
AF
2
90< br>.
（1）求椭圆
C
的标准方程.
（2）与圆
xy2< br>相切的直线
l
：
ykxm
交椭圆
C
于
P
、
Q
两点，若椭圆上存在点
M
满足
22
OM
OPOQ


0

，求四边形
OPMQ
面积的取值范围.
21.（12分）
已知函数
f(x)xlnx1ax
(aR)
.
- 4 -


（1）讨论
f(x)
的零点个数.
（2） 正项数列

a
n

满足
a
1

求 证：
22.（12分）
书籍是人类的智慧结晶和进步阶梯，阅读是一个国家的文化根基和创造 源泉.2014年以来，“全民阅读”连
续6年被写入政府工作报告.某学校为提高师生阅读书籍的热情 ，举行了“博雅杯”科技知识大奖赛，比赛
分两个阶段进行：第一阶段由评委给所有参赛选手评分，并确 定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛选手由
组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了 统计分析，这些分数
x
都在

70,100

内，以5a+1
2

，
a
n1
ln
n
+1
(
nN
)，
32
111
n1
.
a
1
a2
a
n
“
为组距画频率分布直方图时（设
频率
Y”< br>），发现
Y
满足：
组距
109
，n16
8n
300
,
nN,5nx5(n1)
.
Y

1k
，n16

1520n

（1）试确定n
的所有取值，并求
k
.
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于< br>85
分的参赛选手无缘获奖也不能参加附加赛；分数在

95,100

的参赛选手评为一等奖；分数在

90,95

的参赛选手评为二 等奖，但通过附加赛有
1
的概率提
11
升为一等奖；分数在

85,90

的参赛选手评为三等奖，但通过附加赛有
1
的概率提升为二等 奖（所有参加
7
附加赛的获奖选手均不降低获奖等级）.已知
A
和
B
均参加了本次比赛，且
A
在第一阶段评为二等奖.
（ⅰ）求
B
最终获奖等级不低于
A
的最终获奖等级的概率.
（ⅱ）已知
A
和
B
都获奖，记
A
、
B
两 位参赛选手最终获得一等奖的人数为

，求

的分布列和数学
期望.
- 5 -

2020年高考适应性训练
数学（一）参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
答案
1
D
2
C
3
B
4
A
5
A
6
B
7
C
8
D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的
得3分，有选错的得0分.
题号
答案
9
AC
10
ACD
11
BCD
12
BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 100 14.

21
75
2
15. 16.
x12y


6,3


2
512
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分） 解：（1）
a
1
1
，
a
1
1
，< br>a
n
为等差数列，公差为2,
2

a
n
= a
1
2
(n1)2=2n1
, ……………………………2分
2

2
a
n
0
，

通项公式
a
n
2n1
. ………………………………4分
（2）
S
n
=2a
1
2 a
2
+2a
3

222322
+2
n
a< br>n
,
S
n
=1232
2
52
3
（2n1）2
n

2S
n
12
2
32
3
52
4

以上两式相减，得
(2n1)2
n+1
………………………………6分
S
n
1222
2
22
3
22
n
(2n1)2
n+1
………………………………8分
2 2
n2
2
3
(2n1)2
n+1
6(2n 3)2
n+1
……………………………9分
∴
S
n
6+(2n3)2
18.（12分）
解：（1）∵角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且

2bc

bac
22
n+1
. ………………………………10分

2

2abccosC
,
∴

2bc


b
2
c
2< br>a
2

2bc
acosC
, ……………………………2分
由余弦定理得：
（2bc)cosAacosC
, ……………………………3分
由正弦定理得：
2sinBcosAsinCcosAsi nAcosC
，又
ABC

,
- 6 -

∴
2sinBcosAsinCcosAcosCsinAsin

CA

sinB
, ……………………5分
∵
sinB0< br>，∴
cosA
∵
A

0,


,∴
A
1

2

3
. ……………………………6分
222
（2）在
BCD
中，
BD 2,CD1
,由余弦定理得：
BC12212cosD54cosD
,
又
AB
∴
C

3
,

3
∴
ABC
为等边三角形， ………………………………8分
∴
S
ABC

1
53
1
3cosD
，又
S
BDC
=BDDCs inDsinD
，
BC
2
sin
=
4
232
∴
S
四边形
ABDC

5353

53

2
, …………10分
sinD3cosD2sin

D

=
4
443


5< br>
, ……………………………11分
sin(D) 1
，
D(0,

)
D
36
5
BC
2
54cosD54cos5+23
,
6
BC523
， 即
a523
. ………………………………12分
19.（12分）
解：（1）
CDAD,CDBD,ADBDD
,
CD平面ABD
,
AB平面ABD
,
CDAB
. ………………………………………………2分
又
M,E
分别为
AC,BC
的中点，
MEAB,

CDME.
…………………………………3分（2）方案一：
选①
在图(1)所示的
ABC< br>中，由
tan2B
解得
tanB2
或
tanB42tanB
,

2
31tanB
1
(舍去).
2
ADx
2
,
BD3x
设
ADCDx
，在
RtABD
中，
tanB
解得
x2
，< br>
BD1
. …………………………………5分
以点
D
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
Dxyz
,

z
A
- 7 -

1
D(0,0,0),B( 1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0)
，则
BM(1,1,1)
.
2
1
设
N(0,a,0)
, 则
EN(,a1,0)
.
2
ENBM,ENBM0
,
111
,a1,0)( 1,1,1)0
，

a
，

N(0,,0)
,
222
1

当
DN
(即
N
是
CD
的靠近
D
的一个四等分点）时，
ENBM
. ………8分
2
1
取平面
BNM
的一个法向量
n(x,y,z)
,且
BN(1,,0)
,
2
即
（

< br>2xy0

nBN0
由

,得

，令
x1
，则
n(1,2,1)
.


n BM0

xyz0
取平面
BNC
的一个法向量
m(0,0,1)
, …………………………………10分
cosm,n
mn(0,0,1)(1,2,1)6

, …………………………………11分
z
222
|m||n|6
12(1)
A
6
M
. …………………………………12分
6
D N

E
C
y

锐二面角
MBNC
的余弦值为
方案二：选②
在图(1)所示的
ABC
中，
B
BD

BC,ADABBDAB

BCAB
x


(ACAB)(1

)AB

AC< br>,
又因为
AD
211
ABAC
,由平面向量基本定理知


，即
BD1
. ……………5分
333
以点
D
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
Dxyz
,







z
A
M
B
x
D N

E
C
y
- 8 -

1
D(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0)
，则
BM(1,1,1 )
.
2
1
设
N(0,a,0)
,则
EN(, a1,0)
.
ENBM,ENBM0
.
2
111
即
（,a1,0)(1,1,1)0
，

a
，

N(0,,0)
,
222
1

当
DN
(即
N
是
CD
的靠近
D
的一个四等分点)时,
ENBM
. …………8分
2
1
取平面
BNM
的一个法向量
n(x, y,z)
,且
BN(1,,0)
,
2


 2xy0

nBN0
由

,得

，令x1
，则
n(1,2,1)
.


nBM 0

xyz0
取平面
BNC
的一个法向量
m(0 ,0,1)
, …………………………………10分
cosm,n
mn(0,0,1)(1,2,1)6

, …………………………………11分
222
|m||n|6
12(1)
6
. …………………………………12分
6

锐二面角
MBNC
的余弦值为
方案三：选③ 在图(1)所示的
ABC
中，设
BDx(0x3)
，
则
CD3x
,
∵
ADBC,ACB45
，∴
A DC
为等腰直角三角形，∴
ADCD3x
,
折起后
ADDC,ADBD
,且
BDDCD
，
∴
AD平面BCD
.又
BDC90
，

S
BCD

1
x(3x)
,
2< br>V
ABCD

令
f(x)
1111
ADSBCD
(3x)x(3x)(x
3
6x
2
9x )
,
x(0,3)
,
3326
1
3
1
(x6x
2
9x)
，
fx)(x1)(x3)
, < br>62
当
0x1
时，
f(x)0
，当
1x 3
时，
f(x)0
,
∴
xBD1
时，三棱锥
ABCD
体积最大. …………………………………5分
以点
D
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
Dxyz
,
z

A


M


D N

y
C

B
E
- 9 -
x

1
D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A( 0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0)
,则
BM(1,1,1)
.
2
1
设
N(0,a,0)
,则
EN(,a1,0)< br>.
ENBM,ENBM0
,
2
111
即
（ ,a1,0)(1,1,1)0
，

a
，

N (0,,0)
,
222
1

当
DN
(即N
是
CD
的靠近
D
的一个四等分点)时,
ENBM< br>. ………8分
2
1
取平面
BNM
的一个法向量n(x,y,z)
,且
BN(1,,0)
,
2


2xy0

nBN0
由

,得
< br>，令
x1
，则
n(1,2,1)
.

xyz0

nBM0
取平面
BNC
的一个法向量< br>m(0,0,1)
, …………………………………10分
cosm,n
mn(0,0,1)(1,2,1)6

, …………………………………11分
222
|m||n|6
12(1)
6
. …………………………………12分
6

锐二面角
MBNC
的余弦值为
20.（12分）
解：（1）直线
xy20
上有且只有一个点
A
满足
 F
1
AF
2
90
,
222

直线xy20
与圆
xyc
相切，

002
1
2
+

1

2
c
,

c1
. ………………………………………1分
c1
又

,

a 2
，

b
2
a
2
c
2
3
,
a2
x
2
y
2
1
. ………………………………………3分

椭圆
C
的方程为

43
22
（2）直线
l
：
ykxm
与圆
x y2
相切，

m
1k
2
2
，
即< br>m21k
2

2

，且
m
2
 2
. ………………………………………4分
设
P< br>
x
1
,y
1

，
Q

x
2
,y
2

，
M

x
0
,y
0



ykxm

222
由< br>
x
2
y
2
消去
y
得,

4k3

x8kmx4m120
,
1

3

4
2
8km
4m12

x
1
x
2

2
，
x
1
x
2

,
2
4k3
4k3
- 10 -