热爱生命的名人名言-农村社会实践报告

2016年海南省海口市高考数学模拟试卷（理科）

一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。 1．设全集U=R，集合A={x|7﹣6x≤0}，集合B={x|y=lg（x+2）}，则（∁
U
A）∩B等于（ ）
A．（﹣2，） B．（，+∞） C．[﹣2，） D．（﹣2，﹣）
2．设复数z
1
=2﹣i，z
2
=a+2i（i 是虚数单位，a∈R），若x
1
x
2
∈R，则a等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
3．命题p：若a＜b，则ac
2
＜ bc
2
；命题q：∃x
0
＞0，使得x
0
﹣1﹣lnx0
=0，则下列命题为真
命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
4．设S
n
为等比数列{a
n
}的 前n项和，a
2
﹣8a
5
=0，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．17
5．当双曲线：﹣=1的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（ ）
A．±1 B． C．
2
D．
，若将其图象沿x轴向6．已知函数f（x ）=sin（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为
右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称， 则实数a的最小值为（ ）
A． B．
2
C．
10
D．
6
7．若（x﹣a）（x+）的展开式x的系数为30，则a等于（ ）
A． B． C．1 D．2
8．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）

A． B． C． D．

1

9．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
10．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，点E 、F分别在边BC、DC上，BC=2BE，CD=λCF．若
•=﹣9，则λ的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C： += 1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在
椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角 ，若α∈（
圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，]
，]，则椭
12．已知曲线f（x）=ke
﹣2x
在点x=0处 的切线与直线x﹣y﹣1=0垂直，若x
1
，x
2
是函数g（x）
= f（x）﹣|1nx|的两个零点，则（ ）
A．1＜x
1
x
2
＜ B．＜x
1
x
2
＜1 C．2＜x
1
x
2
＜2 D．＜x
1
x
2
＜2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知随机变量X服从正态分布N （3，δ
2
），若P（1＜X≤3）=0.3，则P（X≥5）= ．
14．执行如图的程序框图，则输出的i= ．

15．半径为2的球O 内有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱
的侧面积最大时，球的表面积与该 四棱柱的侧面积之差是 ．
16．设数列（a
n
}的前n项和为S
n
，且a
1
=1，a
n
+a
n+1
=（n=1， 2，3，…），则S
2n+3
= ．

三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，a，b，c 分别是角A，B，C的对边，已知（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA）．
（1）求的值；

2

（2）若c=a，求角C的大小．
18．汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆
汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 5 10 30 35 15 3 2
B型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 14 20 20 16 15 10 5
（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰
好 是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出 租天数
恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要 从A，B两种车型中购买
一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理 由．
19．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=
∠BAF= ，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．
，ABEF为直角梯形，BE∥AF，
（1）求证：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

20．如图，在平面 直角坐标系xoy中，抛物线y
2
=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过
点 M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x
1
，y
1
）到准线l的距离d= 2λp（λ＞0）
（1）若y
1
=d=3，求抛物线的标准方程；
（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．

21．已知函数f（x）=mlnx﹣x
2
+2（m∈R）．
（Ⅰ）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；
（Ⅲ）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范围．


3

请考生在22、23、24三题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：
几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O 的直径，弦CD⊥AB于点M，点E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，
3ED=4OM，E F切圆O于F，BF交CD于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）求线段MG的长．


[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为 （t为参数），在直角坐标系xOy中，以O
22
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线M的方程为ρ（1+sinθ）=1．
（1）求曲线M的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．

[选修4-5：不等式选讲]．
24．设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +

=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．

4

2016年海南省海口市高考数学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R，集合A={x |7﹣6x≤0}，集合B={x|y=lg（x+2）}，则（∁
U
A）∩B等于（ ）
A．（﹣2，） B．（，+∞） C．[﹣2，） D．（﹣2，﹣）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先化简集合A、B，求出A在U中的补集∁U
A，再计算（∁
U
A）∩B．
【解答】解：全集U=R，集合A={x|7﹣6x≤0}={x|x≥}=[，+∞），
集合B={x|y=lg（x+2）}={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），
∴∁
U
A=（﹣∞，），
∴（∁
U
A）∩B=（﹣2，）．
故选：A．

2． 设复数z
1
=2﹣i，z
2
=a+2i（i是虚数单位，a∈R），若x1
x
2
∈R，则a等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求得a值．
【解答】解：∵z
1
=2﹣i，z
2
=a+2i，
∴z
1
z
2
=（2﹣i）（a+2i）=2a+2+（4﹣a）i，
又z
1
z
2
∈R，
∴4﹣a=0，即a=4．
故选：C．

3．命题p：若a＜b，则ac
2
＜bc
2
；命题q：∃x
0
＞0，使得x
0
﹣1﹣lnx
0
=0，则下列命题为真
命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p： 取c=0时是不成立，因此是假命题；命题q：取x
0
=1，满足x
0
﹣1﹣ lnx
0
=0，
即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：若a＜b，则ac
2
＜bc
2
，c=0时是不成立， 因此是假命题；
命题q：取x
0
=1，满足x
0
﹣1﹣lnx0
=0，因此是真命题．
则下列命题为真命题的是（￢p）∧q，
故选：C．

4．设S
n
为等比数列{a
n
}的 前n项和，a
2
﹣8a
5
=0，则的值为（ ）

5

A． B． C．2 D．17
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a
n
}的公比为q，
∵a
2
﹣8a
5
=0，∴=0，解得q=．
则===．
故选：B．

5．当双曲线：﹣=1的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（ ）
A．±1 B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可 得6﹣2m＞0，即有m＜3，由c
2
=m
2
+8+6﹣2m=（m﹣1）< br>2
+13，可得m=1取得
最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．
【解答】解：由题意可得6﹣2m＞0，即有m＜3，
222
由c=m+8+6﹣2m=（m﹣1）+13，
可得当m=1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程为﹣=1，
即有渐近线方程为y=±x．
渐近线的斜率为±x．
故选：B．
< br>6．已知函数f（x）=sin
2
（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿 x轴向
右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．

6

【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期 性，求得ω的
值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、 余弦函
数的奇偶性，求得a的最小值．
【解答】解：∵f（x）=sin
2
（ωx）﹣
=﹣
=﹣cos2ωx，
∴=，解得：ω=2，
∴f（x）=﹣cos4x，
∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=﹣cos
（4 x﹣4a），
∴cos4a=0，
∴4a=kπ+，k∈Z，
． 当k=0时，a的最小值为
故选：D．

7．若（x﹣a）（x+）的展开式x的系数为30，则a等于（ ）
A． B． C．1 D．2
2106
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据题意求出（x+）展开 式中含x项、x项的系数，得出（x﹣a）（x+）
的展开式中x
6
的系数，再列出方 程求出a的值．
【解答】解：（x+）
10
展开式的通项公式为：
Tr+1
=•x
10﹣r
1046210
•=•x
10﹣2r；
；
；
令10﹣2r=4，解得r=3，所以x项的系数为
令10 ﹣2r=6，解得r=2，所以x
6
项的系数为
4
所以（x
2
﹣a）（x+）
10
的展开式中x
6
的系数为：
﹣a=30，
解得a=2．

7

故选：D．

8．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）

A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧 面与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数
据，可得答案．
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，
底面为边长为4的正方形如图：
其中PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，
PE⊥AD，DE=1，AE=3，PE=4，
PE⊥底面ABCD，连接CE，BE，
在直角三角形PBE中，
PB===；

在直角三角形PCE中，
可得PC=
又PA=
PD==
=
=
．
=
=5；
．
=；
几何体最长棱的棱长为
故选：C．


9．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（ ）

8

A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，
要使z=y﹣x的最小值为﹣12，
即y=x﹣12，
则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，
先作出对应的图象，
由得，即C（12，0），
同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，
则12k+3=0，得k=﹣，
故选：D．


10．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30° ，点E、F分别在边BC、DC上，BC=2BE，CD=λCF．若
•=﹣9，则λ的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】以A C所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立直角坐标系．由题意可得A（﹣3，
0），B（0，3） ，C（3，0），D（0，﹣3），运用向量共线的坐标表示和向量的数量积的
坐标表示，解方程即可得 到所求值．
【解答】解：以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立直角坐标系．
由题意菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，
可得A（﹣3，0），B（0，3），C（3，0），D（0，﹣3），
BC=2BE，可得 E（，
CD=λCF，即有（﹣3，﹣3
可得F（，﹣
），
）=λ（x
F
﹣3，y
F
﹣0），
），

9

由•=﹣9，可得
）•（
+
，﹣
（﹣
﹣3
﹣3
）=﹣9， （，
即有•）=﹣9，
解得λ=3．
故选：B．


11．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在
椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（
圆C的离心率的取值范围 为（ ）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，]
，]，则椭
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知设M（x，﹣），N（x，） ，代入椭圆方程，得N（
直线ON的倾斜角，得cotα=
b，），由α为
，由此能求 出椭圆C的离心率的取值范围．
【解答】解：∵OP在y轴上，且平行四边形中，MN∥OP，
∴M、N两点的横坐标相等，
纵坐标互为相反数，即M，N两点关于x轴对称，MN=OP=a，
可设M（x，﹣），N（x，），
代入椭圆方程得：|x|=b，得N（b，），
α为直线ON的倾斜角，tanα==，cotα=，
α∈（，]，∴1≤cotα=≤，

10

，∴，
∴0＜e=≤．
∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，]．
故选：A．

12．已知曲 线f（x）=ke
﹣2x
在点x=0处的切线与直线x﹣y﹣1=0垂直，若x
1，x
2
是函数g（x）
=f（x）﹣|1nx|的两个零点，则（ ）
A．1＜x
1
x
2
＜ B．＜x
1
x
2
＜1 C．2＜x
1
x
2
＜2 D．＜x
1
x
2
＜2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出f（x）的导数，求得在x=0处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之
积 为﹣1，可得k的值，令g（x）=0，则|lnx|=e
﹣2x
，作出y=|lnx|和y= e
﹣2x
的图象，可
知恰有两个交点，设零点为x
1
，x
2
且|lnx
1
|＞|lnx
2
|，再结合零点存在定理，可得结论．
【解答】解：f（x）=ke
﹣2x
在的导数为f′（x）=﹣2ke
﹣2x
，
在点x=0处的切线斜率为k=﹣2k，
由切线与直线x﹣y﹣1=0垂直，可得﹣2k=﹣1，
解得k=，则f（x）=e
﹣2x
，
令g（x）=0，则|lnx|=e
﹣2x
，
作出y=|lnx|和y=e
﹣2x
的图象，
可知恰有两个交点，
设零点为x
1
，x
2
且|lnx
1
|＞|lnx
2
|，0＜x
1
＜1，x
2
＞1，
故有
又g（< br>＞x
2
，即x
1
x
2
＜1．
）=﹣＜0，
g（1）＞0，
∴＜x
1
＜1，
，
＜x
1
x
2
＜1．
∴x
1
x
2
＞
即有
故选：B．

11

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
2
13．已知随机变量X服从 正态分布N（3，δ），若P（1＜X≤3）=0.3，则P（X≥5）= 0.2 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布， 可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得
P（X≥5）．
2
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，δ），
∴正态曲线的对称轴是x=3，
∵P（1≤X≤3）=0.3，
∴P（X≥5）=P（X≤1）=0.5﹣0.3=0.2．
故答案为：0.2．

14．执行如图的程序框图，则输出的i= 4 ．

【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S＜1，
退出循环 ，输出i的值为4．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=100，i=1
第一次执行循环体后，S=20，i=2
不满足条件S＜1，再次执行循环体后，S=4，i=3
不满足条件S＜1，再次执行循环体后，S=，i=4
满足条件S＜1，退出循环，输出i的值为4．
故答案为：4．

15 ．半径为2的球O内有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱
的侧面积最大时 ，球的表面积与该四棱柱的侧面积之差是 16π﹣16 ．
【考点】球内接多面体．

12

【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a
2
+h
2
=16≥2ah，可得正四棱柱的侧面
积最大值，即可求出球的表面积与该四 棱柱的侧面积之差．
【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a
2
+ h
2
=16≥2ah，
∴ah≤4，当且仅当h=a=时取等号，
∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤16，
∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=2，a=2，
∴球的表面积与该四棱柱的侧面积之差是4π•2
2
﹣16=16π﹣16．
故答案为：16π﹣16．

16．设数列（a
n
}的前n项和 为S
n
，且a
1
=1，a
n
+a
n+1
=
【考点】数列的求和．
【分析】通过分组可知S
2n+3
表示的是以1为首 项、为公比的等比数列的前n+2项和，进而
计算可得结论．
【解答】解：依题意，S
2n+3
=a
1
+（a
2
+a
3
）+（a
4
+a
5
）+…+（a
2n+2
+a
2n+3
）
=1+
=1++
++…+
+…+

（n=1，2，3，…），则S
2n+3
= ．
=
=，
故答案为：．

三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（a﹣3b）cosC=c（3cosB ﹣cosA）．
（1）求的值；
（2）若c=a，求角C的大小．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角整理化简条件式子，得出sinA和sinB的关系；
（2）用a表示b，c，使用余弦定理求出cosC．
【解答】解：（1）∵（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA），
∴sinAcosC﹣3sinBcosC=3cosBsinC﹣cosAsinC，
即sinAcosC+cosAsinC=3cosBsinC+3sinBcosC，
∴sin（A+C）=3sin（B+C），即sinB=3sinA，

13

∴
（2）∵
=3．
=3，∴b=3a．
∴cosC===．
∴C=．

18．汽车租赁公司为了调查A，B两 种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆
汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数 ，统计数据如下表：
A型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 5 10 30 35 15 3 2
B型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 14 20 20 16 15 10 5
（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限 A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰
好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期 的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数
恰好为4天的概率；
（ Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买
一辆，请你根据 所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
【考点】离散型随机变量及其分布 列；互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率；离散
型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）该公司一辆A型车，一辆B型 车一周内合计出租天数恰好为4天分为以下三种情况：
A型车1天B型车3天；A型车B型车都2天；A 型车3天B型车1天，利用互斥事件和独
立事件的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）从数学期望和方差分析即可得出结论．
【解答】解：（ I）∵出租天数为3天的汽车 A型车有30辆，B型车20辆．从中随机抽取
一辆，这辆汽车是A型车的概率约为=0.6．
（ II）设“事件A
i
表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，
“事件B
j
表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2，…，7．
则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
P（A
1
B
3
+A
2
B
2
+A
3
B
1
）=P（A
1
B
3
）+P（A
2
B
2
）+P（A
3
B
1
）
=P（A
1
）P（ B
3
）+P（A
2
）P（B
2
）+P（A
3
）P（B
1
）
=
=．


14

该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为．
（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6 7
P 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02
设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为

Y 1 2 3 4 5 6 7
P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05
E（X）= 1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3 .62．
E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6 ×0.10+7×0.05=3.48．
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62 天，B类车型一个星期出租天数的
平均值为3.48天．
从出租天数的数据来看，A型车出租 天数的方差大于B型车出租天数的方差，综合分析，选
择A类型的出租车更加合理．
19．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=
∠BAF=，BE=2 ，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．
，ABEF为直角梯形，BE∥AF，
（1）求证：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面ABEF；
（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】 证明：（1）∵AB=1，BC=2，∠CBA=
∴AC
2
=AB
2
+BC
2
﹣2AB•BCcos
，
=1+4﹣2×2×1×=3，
则AC=，满足BC
2
=AB
2
+AC
2
，
即△CAB是直角三角形，
则AC⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面ABEF；
（2）建立以A为坐标原点，AB，AF，AC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵BE=2，
AF=3，

15

∴C（0，0，），B（1，0，0），E（ 1，2，0），F（0，3，0），D（﹣1，0，
则平面ABCD的一个法向量为=（0，1，0），
设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），
则=（1.3．﹣），=（﹣1，1，0），
则
令x=
得
，则y=
，
，z=4，即=（
=
，，4），
=，
），
则cos＜，＞=
即平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值是．


2
20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=2px（p＞0）的准线 l与x轴交于点M，过
点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x
1
，y
1
）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）
（1）若y
1
=d=3，求抛物线的标准方程；
（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．

【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF ⊥x轴，即有p=3，进而得到抛
物线的方程；
（2）设B（x
2
，y2
），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得x的方程，运用判别式大
于0和求 根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x
2
﹣x
1
，解方程即可得到 所求定值．
【解答】解：（1）抛物线y=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，
则|AF|=y
1
，可得AF⊥x轴，
则x
1
=，即有d=+=3，即p=3，
则抛物线的方程为y
2
=6x；

16
2

（2）证明：设B（x
2
，y
2
），AB：y=k（x+），代入 抛物线的方程，可得
kx+p（k﹣2）x+
22242
222
=0，
2
由△=p（k﹣2）﹣kp＞0，即为k＜1，
x
1
=，x
2
=，
由d=2λp，可得x
1
+=2λp，
由+λ=，M（﹣，0），
可得x
1
+=λ（x
2
﹣x
1
），
即有2p=x
2
﹣x
1
=，
解得k=
2
．
故直线AB的斜率的平方为定值．

2
21．已知函数f（x）=mlnx﹣x+2（m∈R）．
（Ⅰ）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；
（Ⅲ）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．
【分析】 （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），求出函数的导数，利用f′（x）=0，求出极
值点判断函数 的单调性，求出单调区间．
（Ⅱ）利用f（x）在x=1时取得极大值，求出m，令g（x）=f（x ）﹣f′（x）﹣4x+3，通
过函数的导数，求出函数的最值即可．
（Ⅲ）令，求出导函数 ，通
过当m≤2时，g′（x）＜0，当2＜m≤8时，求出g（x）取得最大值．然后求解2≤m≤8 ．…．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，…
解f′（x）=0，得
当
．当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．…
上单调递增，在上单调递减．… 综上，当m=1时，f（x）在

17

（Ⅱ）若f（x）在x=1时 取得极大值，则
此时f（x）=2lnx﹣x+2，
令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x +3，
则
2
，则m=2．…
．
.
．…
令g′（x）=0，得x=±1．列表得
x （0，1） 1 （1，+∞）
g′（x） + 0 ﹣
g（x） ↗ 极大值 ↘
…
由上表知，g< br>max
（x）=g（1）=0，所以g（x）≤0，即f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3．…
（Ⅲ）令…
则①．
当m≤2时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上 单调递减，所以当x≥1，g（x）≤g
（1），
故只需g（1）≤0，即﹣1﹣2﹣m+5≤0，即m≥2，所以m=2．…
②当2＜m≤8时，解g′（x）=0，得
当
当
所以当
．
时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
时，g（x）取得最大值．
故只需，即，
令
，
，则，
所以h′（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h′（1）=﹣2＜0，h′ （4）=ln4﹣1＞0，以∃x
0
∈（1，4），h′（x
0
）=0，
所以h（x）在（1，x
0
）上单调递减，
在（x
0
，4 ）上递增，而h（1）=﹣1﹣4+5=0，h（4）=4ln4﹣4﹣8+5=8ln2﹣7＜0，

18

所以x∈[1，4]上恒有h（x）≤0，
所以当2＜m≤8时，．
综上所述，2≤m≤8．…

请考生在22、 23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：
几何证明选讲]
22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，点E是CD延长线上一点，AB=10，CD= 8，
3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）求线段MG的长．

【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1 ）由EF为圆的切线得∠EFG=∠BAF，由垂直关系可知点A、M、G、F四点共圆，
从而得∠FG E=∠BAF，所以∠EFG=∠FGE
（2）由已知及切线长定理可得，EF=EG=4，从而MG=EM﹣EG=8﹣4．
【解答】解：（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，
∴∠FGE=∠BAF，
∵EF⊥OF，
∴∠EFG=∠FGE，
∴EF=EG，
（2）由AB=10，CD=8可得OM=3，
∴ED=OM=4 ，EF
2
=ED•EC=48，EF=EG=4
连接AD，则∠BAD=∠BFD，
∴MG=EM﹣EG═8﹣4．
，


[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐 标系xOy中，以O
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的方程为ρ
2
（ 1+sin
2
θ）=1．
（1）求曲线M的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．

19

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利 用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ
2
=x
2
+y
2
， 进行代换即可得出其直角坐标方程；
（2）求出直线l的直角坐标方程，联立方程组，根据△=0，得 到关于tanα的方程，解出
即可．
22
【解答】解：（1）曲线M的方程为ρ（1+sinθ）=1，
∵ρcosθ= x，ρsinθ=y，ρ
2
=x
2
+y
2
，
∴x
2
+2y
2
=1；
（2）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴y=tanα（x﹣），
由，得：x+2
2
，
即（1+2tanα）x﹣2tanαx+5tanα﹣1=0，
若直线l与曲线M只有一个公共点，
则△=
解得：tanα=±
∴α=或．
，
﹣4（1+2tan
2
α）（5tan
2
α﹣1）=0，
2222

[选修4-5：不等式选讲]．
24．设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．
【考点】分段函数的应用；基本不等式．
【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．
（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，
即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，
当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；
当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，
当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，
综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，
由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．
即得a=1，

20

即+=a=1，（m＞0，n＞0），
）=1+2++≥3+2=2+3． 则m+4n=（m+4n）（+
当且仅当
故m+4n≥2


=，即m
2
=8n
2
时取等号，
+3成立．

21