三角函数基本题型及解题方法

温柔似野鬼°
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2020年08月16日 11:22
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三角函数基本题型及解题方法
关于三角函数的很多问题，特别是一些创新 型问题，对绝大多数的同学来说是陌生
的，也主要考查学生对重要数学思想方法的掌握情况，以及考试时 对自己心态的调整．但解
决这些问题有一把“利剑”，就是特殊化方法．特殊化方法的解题依据是，题目 所叙述的一
般情形成立，则对特殊情形也应该成立，若不成立，则必然选项是错误的．特殊化方法一般< br>有赋特殊值，特殊函数等．
一、单调性类问题
例1（１）若
A,B
是锐角
ABC
的两个内角，则点
P(cosBsinA,sinBcosA)< br>在
（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（２） 设

,

是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（ ）．
A．
tan

tan

1
B．
sin

sin


C．
cos

cos

1
D．
2

1




tan





tan
22
分析：这是依托基本的几何图形三角形，创新型的考查三 角函数的单调性等重要性质的
题目，常规解法运算繁杂，用特殊化方法则可出奇制胜．对（１），赋AB60
，可知
选Ｂ．对（２），赋



3 0
，可知选Ｄ．
例２若A，B，C是△ABC的三个内角，且
ABC(C
是（ ）．
A．
sinAsinC
B．
cosAcosC
C．
tanAtanC


2
)
，则下列结论中正确 的
D．
cotAcotC

分析：赋
A30,B70,C 80
，可知
B,D
错；赋
A30,B50,C100
，
知
C
错．故选Ａ．
例３函数
yxcosxsinx
在下面哪个区间内是增函数（ ）．
A．
(

3

22
,)
B．
(

,2

)
Ｃ．
(
3

5

,)
D．
(2

,3

)

22
分析：所给函 数的定义域显然是
R
，又令
f(x)xcosxsinx
，则

< p>

5

3


f()f()1
，
f(

)

，
f()1
，
f(2

)2

．如对选项Ａ，
x
从
,
2222
3

到，
y
从
1
，

到１，不合题意，同理可排除Ｃ、Ｄ．
2
例4 函数
y2sin(
A．
[0,

6
2x)(x [0,

])
为增函数的区间是（ ）．

3
]
B．
[

12
,
7

]

12
C．
[

3
,
5

]

6
D．
[
5

,

]

6
分析：只 需考虑区间端点处的函数值，有①
x0,y1
；②
x

12< br>,y0
；③
x

3
,y2
；④
x
7

5

,y0
；⑤
x,y2
；⑥
x

,y1
．①③知
A
错；②
126
④知
B
错；由⑤⑥知
D
错．选C．
例５ 已知
sin(



)0,cos(




)0
，则下列不等关系中必定成立的是（ ）．
A．
tan
C．
sin

2
cot

2
B．
tan

2
cot

2


cos

22

D．
sin

cos

22

分析：已知即
sin

0,cos

0
，则

在第Ⅱ象限， 取

120
和

480
验证可知
选
B
．
二、周期类问题
例６ 函数
ysinxcosx
的最小正周期为
A．
42
（ ）．
D．2




4
4
B．
2


2
2
C．


224
分析：由
ysin xcosx(1cosx)cosxcosxsinxf(x)
，将选项
B代入 验证，有
f(x
2

2
)f(x)
成立，故

一定是周期，但是否最小呢？又
f(0)1
，而
2

3< br>
f()
，二者不相等，故一定不是周期，故选B．
44
4
三、图象类问题
例７ 函数
yxcosx
的部分图象是（ ）．


分析：显然，函数是奇函数，故排除Ａ、Ｃ，又由
x
故选D．
例８为了得到函数
ysin(2x



2
, y0
及
x

4
,y
2

，
8

6
)
的图象，可以将函数
ycos2x
的图象（ ）．
B．向右平移

个单位长度
6

C．向左平移个单位长度
6
A．向右平移

个单位长度
3

D．向左平移个单位长度
3

分析：平移前的点(0,1)
，与平移后的点
(,1)
是一对对应点，故选Ｂ．
3
sin(

30)sin(

30)
的值为 .
cos

四、求值或范围类问题
例９
分析：赋

0
，知填１．
例10 已知点
P(sin

cos

,tan

)
在第一象 限，则在
(0,2)
内α的取值范围是

3

5


5

A．
(,)(

,)
B．
(,)(

,)

244424

3

5

3


3

C．
(,)

(,)
D．
(,)(,

)

2442424
分析：只要考虑正确选 项要满足
tan

0
这个局部条件，即可知选Ｂ．

五、综合类问题
nx



0

在区间

a,b

上是增函数，且

例11 函数
f

x

Msi


f

x< br>
M,f

b

M
，则函数
g

x

Mcos


x


在

a,b

上（ ）．
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值M D．可以取得最小值
M

分析：考虑符合条件的特殊函数
f(x)sin x
，特殊区间
[
易确定选Ｃ．


,]
，则
g(x)cosx
，很容
22

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