广西电力学院-干部考核总结

向量-三角函数知识点归纳

平面向量知识归纳
向量
r
0
向量
平行
向量
向量
重
的模
要
两点若
A

x,y

,B

x,y

，则
|AB|

x x



yy


概
间的
念
距离
平
起点放在一点的两向量所成的角，范围是
面
rr
r r
向量

0,


。
a,b
的夹角记为< br>a,b
。
向
rrrrrrrr
rrrr
夹角
a,b
锐角
ab0
,
a,b
不同向；
a,b
为直角
ab0
；
a,b
量
rr
rr
钝角
ab0
,
a,b
不反向. < br>rr
r
rr
a,b

，
bcos
< br>叫做
b
在
a
方向上的投影。【注
投影
意：投影是数量】
rr
e,e
不共线，存在唯一的实数对
(

,

)
，使
基本
rrr
rr
a
e

e
。若
e,e
为
x,y
轴上 的单位正交向量，
重
定理
r
(

,

)
就是向量
a
的坐标。
要
一般表示 坐标表示

法
rr
rr
则
共线
ab
（
b0
共线
存在唯一实
xyyx
＝0
rr
定
条件 数

，
a

b

理
垂直
rrrr
xyxy0
。
abagb0
。
条件
22
2
222
22
既有大小又有方向的量，表示向量 的有向
线段的长度叫做该向量的模。
r
长度为
0
，方向任意的向量 。【
0
与任一非零
向量共线】
方向相同或者相反的两个非零向量叫做平
行向量，也叫共线向量。
rrr
|a|xy,a|a|xy

1122
2121< br>12
12
12
1212
1122

加
法
法
则
运
算
算
律
减
法 法
运则
算
各
种
运
数
概
算
乘
念
运
算
算
律
概
念
主
要
性
质
算
律
rruuuruuuruuur
uurruuurr
设
u
ABa,BCb
，那么
ab ABBCAC
；
向量加法的三角形法则可
rr
推广至多个向量相加：
ab(xx,yy)
。
uuuruuur
uuur
uuu ruuuruuur
LPQQR
AR
，但这时
ABBCCD必须“首尾相连”。
rrrr
abba
，结合律交换律
rrrrrr

(ab)ca(bc)

用“三角形法则”：设
uuurruuu rr
rr
ABa,ACb,
那么ab

uuuruuuruu ur
ABACCA
，由减向量的终点
rr
ab(xx,yy)

指向被减向量的终点。注
意：此处减向量与被减向量
的起点相同。
rr

a
为向量，

0
与
a
方向相
r

a(

x,

y)

同，
r
rr

0
与
a
方向相反，

a

a
。
分配律

(

a)(
)a
，与数乘运算有
同样的坐标表
(



)a

a

a
，
分配律

(ab)

a

b
示。
1212
1212
rrrrrr
agbabcosa,b

rr
agbx
1
x
2
y
1
y
2
。
数
量
积
运
算
rrr
2
agaa
，|a·b|≤|a||b|
rr
2
r
|a|x
2
y
2
,a|a|
2
 x
2
y
2

rrrr
agbbga
，分配律< br>rrrrrr
(ab)gcagcbgc
，
rrrrrr
(
a)gbag(

b)

(agb)
。

三角形的四个“心”
重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三 边垂直
平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相
交于一点.垂心：三角形三边上的高 相交于一点.




平面向量高考要求

知识要求
内容
平
面
向
量
平向平面向量的线性运算
面 量及其几何意义
向的
量 线
性
运
算
平平面向量的基本定理 √
平面向量的线性运算
的性质及其几何意义
√
√
平面向量的相关概念 √
了解理解掌握
（A） （B） （C）

面平面向量的正交分解
向及其坐标表示
量
用坐标表示平面向量
√
的
的加法、减法与数乘运
基
算
本
定
理
及
用坐标表示平面向量
坐
共线的条件
标
表
示
平
面
向
量
的
数
量
积
平面向量数量积的概
念
数量积与向量投影的
关系
数量积的坐标表示
用数量积表示两个向
量的夹角
用数量积判断两个平
面向量的垂直关系

√




√
√
√


√
√


√

向
量
的
应
用
三角函数、三角变换、解三角形高考要求

用向量方法解决简单
问题
√
内容
任意角的概念、弧度
制
任意角的正弦、余
弦、正切的定义
三
诱导公式、同角三角
角
函数的基本关系式
函
周期函数的定义、三
数
角函数的周期性
三角函数
ycosx
ysinx
知识要求
了解理解掌握
（A） （B） （C）
√


√

√
√





，


√
√


，
ytanx
的图象和
的图
性质
函数
yAsin(

x

)

象和性质
三角函数模型的简
单应用
三
两角和与差的正弦、
角
余弦、正切公式
恒二倍角的正弦、余
等 弦、正切公式
变
简单的三角恒等变
换
换
解正弦定理、余弦定理
三
解三角形及其简单
角
应用
形







√


√

√

√
√

√

三角函数，三角恒等变换，解三角形知识归纳
ysinx

ycosx

ytanx

图
象

定
义
域
值

1,1



1,1


R

R

R




xxk

,k


2


域
当
最
x2k




k

2
时，
当
x 2k


k

时，
既无最大值也无最小值
值
周
期
性
奇
偶
性
y
max
1
；当
x2k


2

y
max
1
；当
x2k





k

时，
y
min
1
．


k

时，
y
min
1
．


2


2




奇函数


2k

,2k




22

在
是

偶函数

奇函数
在
单
调

k

上是增函数；在
< br>3


2k

,2k


< br>
22


2k



,2k



k

上
增函数；在
在

k





2
,k






2

性

2k< br>
,2k





k
上是

k

上是增函数．
减函数．

k

上是减函数．
对
对称中心

k

,0

k


称
对称轴
xk


2

k


性



三
角
函
数
的
基
本角概念的
问推广
题

对称中心

k



< br>

,0


k


2

对称中心

无对称轴

k


,0


k


2

对称轴
xk


k


1.
终边与

终边相同




2k

(kZ)
；习惯上x轴正半轴作为角起始
边，叫角的始边;
2. 象限角 的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始
边与
x
轴的非负半轴重合， 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象
限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何 象限。

图
象
与
性
质



图
象
变
换
11

弧度制的

l
R
；弧长公式
l|

|r
；扇形 面积公式：
S
扇形
lr|

|r
2
；
22
定义
1
弧度(
1rad
)≈
57.3
.
任意角的
设
|OP|r
则：
sin


y
,cos


x
,

tan


y

三角函数
角

中 边上任意一点
P
为
(x,y)
，
x
rr
定义
sin

同角三角
sin
2

cos
2

1,tan


cos

函数关系 360

,180

，


，
90

,270

， “奇变偶不变，符号看象
诱导公式
限”．
上下平
yf(x)
图象平移
k
得
yf (x)k
图象，
k0
向上，
k0
向
移
下。
平移变换

0
向左，

0
向
左右平
yf(x)
图象平移

得
yf(x

)图象，
移
右。
1
yf(x)
图象各点把横坐标变为原来< br>
倍得
yf(x)
的图
x
轴方

向
象。
伸缩变换
y
轴方
yf(x)
图象各点纵坐标变为 原来的
A
倍得
yAf(x)
的图
向 象。
中心对
yf(x)
图象关于点
(a,b)
对称图象的解析式是
y2bf(2 ax)

称
对称变换
yf(x)
图象关于直线
xa
对称图象的解析式是
轴对称
yf(2ax)
。
(1)若
x(0,)
，则
sinxxtanx
；(2) 若
x(0,)
，则
1sinxcosx
≤
2
；
22

sinx
(3)
|sinx||cosx|
≥< br>1
；(4)
f(x)
在
(0,

)
上是减 函数；（5）若
sinx,cosx1,sinx,cosx1

x

三
角
恒
等
变
换
和差角公式
变
换
公
余弦
式
正切
辅助
角公
式
正弦
sin(


)
sin

cos

cos

sin
cos(



)
cos

co s

msin

sin

tan(

< br>
)



a
ab
b
22tan

tan

1mtan

tan
< br>2tan

1tan
2

sin2

2 sin

cos


1tan
2

co s2


cos2

cos
2

si n
2

1tan
2

1cos2

 2cos
2

112sin
2

sin
2< br>


2
1cos2


2tan


tan2


cos
2

2
倍角公式
sin2


1tan

2

ab
ab
期中
cos

,sin

,tan


. 特别的，
a
a
2
b
2
a2
b
2

;

，
sinAcosA2s in(A)sinx3cosx2sin(x)
43
asin

b cos

a
2
b
2
(sin

b
22
cos

)sin(



)
，
3sinxcosx2sin(x)
等.
6

解
三
角
形
a

b

c
。
正
定理
sinAsinBsinC
弦
定
变形
a2RsinA,b2 RsinB,c2RsinC
（
R
外
接圆半径）。
理

射影定理：
abcosCccosB

bacosCccosA

cacosBbcosA

余
弦
定
理
面
积
公
式
定理
a
2
b
2
c
2
2bccosA,b
2
a
2
c
2
2acc osB,c
2
a
2
b
2
2abcosC
。
b
2
c
2
a
2
(bc)
2
a
2
变形
cosA1
等。
2bc2bc

111111
基本
Sah
a
bh
b
c h
c
absinCbcsinAacsinB
。
公式
222222
abc1
导出
（
R
外接圆半径）；
S(abc)r
（
r
内切圆半径）。
S
公式
4R
2

角的
ABC
；；．；
cosAco s(BC)tanAtan(BC)
sinAsin(BC)
sincos变换
22
cos
A
2
因为在
ABC
中，< br>ABC

（三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.
sin

2
BC
2
；
tancot
2
ABC
2
.
锐角
ABC
AB

sinAcosB,s inBcosC,sinCcosA
，
a
2
b
2
 c
2
；
常
见
的
结
论

中 两内
角与
在
ABC
中，
abABsinAsinB

cos2Bcos2A
其正

弦值
视线在水平线以上 时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平
仰角
线所成的角。


视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平
俯角
线所成的角。
常用
方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向
术语
方向角 作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，
如北偏西30°）。
某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平
方位角
夹角。