2015中秋节-员工评语大全

三角函数的综合问题
命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其 他问题的一种数学工
具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对 三角函
数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、
减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数
与数列相交 汇时，常常用到数列的基本性质．
题型1 三角函数图象与性质的综合
π

例1 (2019·揭阳模拟)已知函数
f
(
x)＝4cos
ωx
·sin

ωx
＋

(ω
>0)的最小正周期为
4

π.
(1)求
ω
的值；

π

(2)讨论
f
(
x
)在区间

0，

上的单调性．
2

π

解 (1)
f
(
x
)＝4cos
ωx
·sin

ωx
＋


4

＝22sin
ωx
·cos
ωx
＋22cos
ωx

＝2(sin2
ωx
＋cos2
ωx
)＋2 π

＝2sin

2
ωx
＋

＋2 .
4

2π
因为
f
(
x
)的最小正周 期为π，且
ω
>0，从而有＝π，
2
ω
故
ω
＝1.
π

(2)由(1) 知，
f
(
x
)＝2sin

2
x
＋

＋2.
4

πππ5π
若0≤
x
≤，则≤ 2
x
＋≤.
2444
当
当
ππππ
≤2
x
＋≤，即0≤
x
≤时，
f
(
x
)单调递增； < br>4428
ππ5πππ
≤2
x
＋≤，即≤
x
≤时，< br>f
(
x
)单调递减．
24482
2

π< br>
ππ

综上可知，
f
(
x
)在区间
0，

上单调递增，在区间

，

上单调递 减．
8

82

[冲关策略] 解决此类问题，一般先由图象 或三角公式确定三角函数
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)
＋
b
(或
y
＝
A
cos(
ωx
＋
φ
)＋
b
等)的解析式，然后把
ωx
＋
φ
看成一个整体研究函数的性质．
变式训练1 (2019·浙江高考)设函数
f< br>(
x
)＝sin
x
，
x
∈R.
(1)已知
θ
∈[0,2π)，函数
f
(
x
＋
θ
)是 偶函数，求
θ
的值；


π

2

π

2
(2)求函数
y
＝

f< br>
x
＋

＋

f

x
＋

的值域．
4

12

解 (1 )因为
f
(
x
＋
θ
)＝sin(
x
＋θ
)是偶函数，
所以对任意实数
x
都有sin(
x
＋
θ
)＝sin(－
x
＋
θ
)，
即sin
x
cos
θ
＋cos
x
sin
θ
＝－sin
x
cos
θ
＋cos
x
sin
θ
，
故2sin
x
cos
θ
＝0，所以cos
θ
＝0.
π3π
又因为
θ
∈[0,2π)，因此
θ
＝或
θ< br>＝.
22

π

2

π
 
2
(2)
y
＝

f

x
＋
＋

f

x
＋


4

12

π

π

2

2

＝sin

x
＋

＋sin
x
＋


4

12

π

π

1－cos

2
x
＋

1－cos

2
x
＋

6

2

＝＋
22
1

33

＝1－< br>
cos2
x
－sin2
x


2

22

＝1－
π

3

cos

2
x
＋

.
3

2

因此，所求函数的值域是

1－


33

，1 ＋

.
22

题型2 解三角形与数列的综合问题
2π
例2 (2020·广东深圳外国语学校第一次热身)已知△
ABC
中∠
ACB
＝，角
A
，
B
，
C
的
3< br>对边分别为
a
，
b
，
c
.
(1)若
a
，
b
，
c
依次成等差数列，且公差为2，求
c
的值；
(2)若△
ABC
的外接圆面积为π，求△
ABC
周长的最大值．
解 (1)∵
a
，
b
，
c
依次成等差数列，且公差为2， ∴
b
－
a
＝
c
－
b
＝2，∴
b
＝
c
－2，
a
＝
c
－4，
2π
∵∠
ACB
＝，由余弦定理得
3
2π
a＋
b
－
cc
－4＋
cos＝＝
32
ab
2
c
－2
2
2222
c
－2
2
－
c
2
1
＝－，
c
－42
整理得
c
－9
c
＋14＝0，解得
c
＝7或
c
＝2，
又
a
＝
c
－4>0，则
c
>4，∴
c
＝7. (2)设
B
＝
θ
，外接圆的半径为
R
，则π
R
＝π，
解得
R
＝1，由正弦定理可得
2

a
sin
A
∴
＝＝＝2
R
＝2，
sin
B
sin
C
bc
＝＝＝2，
sin
θ
π2π

sin

－
θ

sin< br>3

3

bac

π

可得
b
＝2sin
θ
，
a
＝2sin

－
θ

，
c
＝3，

3


π
∴△
ABC
的周长＝2sin
θ
＋2sin

－
θ

＋3，

3

ππ
＝2sin
θ
＋2sincos
θ
－2cossin
θ
＋3
33
π

＝sin
θ
＋3cos
θ
＋3＝2si n

θ
＋

＋3，
3

ππ2π
π

又
θ
∈

0，

，∴ <
θ
＋<，
3

333

πππ
∴当< br>θ
＋＝，即
θ
＝时，
f
(
θ
)取得最大值2 ＋3.
326
[冲关策略] 纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数 列为出发
点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列
的外衣， 抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．
变式训练2 在△
ABC< br>中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，面积为
S
，已知
a
cos＋< br>2
2
C
A
3
c
cos
2
＝
b
.
22
(1)求证：
a
，
b
，
c成等差数列；
π
(2)若
B
＝，
S
＝43，求
b
.
3
解 (1)证明：由正弦定理，
3
2
C
2
A< br>得sin
A
cos＋sin
C
cos＝sin
B
，
222
1＋cos
C
1＋cos
A
3
即sinA
·＋sin
C
·＝sin
B
，
222
∴s in
A
＋sin
C
＋sin
A
cos
C
＋ cos
A
sin
C
＝3sin
B
，
即sinA
＋sin
C
＋sin(
A
＋
C
)＝3sin
B
.
∵sin(
A
＋
C
)＝sin
B< br>，∴sin
A
＋sin
C
＝2sin
B
，即
a
＋
c
＝2
b
，
∴
a
，
b
，
c
成等差数列．

13
(2)∵
S
＝
ac
sin
B
＝
a c
＝43，∴
ac
＝16.
24
又
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
＝
a
＋
c
－
ac
＝(
a
＋
c
)－3
ac
，
由(1)得
a
＋
c
＝2
b
，∴
b
＝4
b
－48，∴
b
＝16，即
b
＝4.
题型3 三角变换与解三角形的综合
例3 (2019·全国卷Ⅲ)△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，< br>b
，
c
.已知
a
sin
222
222222
A
＋
C
2
＝
b
sin
A
.
(1)求
B
；
(2)若△
ABC
为锐角三角形，且
c
＝1，求△
ABC
面积的取值范围．
解 (1)由题设及正弦定理得s in
A
sin
因为sin
A
≠0，所以sin
A
＋
C
2
＝sin
B
sin
A
.
A
＋
C
2
＝sin
B
.
由
A< br>＋
B
＋
C
＝180°，可得sin
故cos＝2sincos .
222
A
＋
C
＝cos，
22
B
B BB
BB
1
因为cos≠0，故sin＝，因此
B
＝60°. 222
(2)由题设及(1)知△
ABC
的面积
S
△
A BC
＝
由正弦定理得
a
＝
3
a
.
4c
sin
A
sin120°－
C
31
＝＝＋.
sin
C
sin
C
2tan
C
2
由于△
ABC
为锐角三角形，故0°<
A
<90°，0°<
C
<90°.
由(1)知
A
＋
C
＝120°，
133
所以30 °<
C
<90°，故<
a
<2，从而<
S
△
ABC
<.
282
因此，△
ABC
面积的取值范围是

3

3
，

.
2

8
[冲关策略] 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、 余弦定理先确定三角
形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关 键．
变式训练3 (2019·江西吉安一模)在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
2
c
cos
B
＝2
a
＋
b
.
(1)求角
C
的大小；
π

C
 
α

(2)若函数
f
(
x
)＝2sin

2
x
＋

＋
m
cos2
x
(< br>m
∈R)图象的一条对称轴方程为
x
＝且
f

＝< br>6

2

2


6
，求co s(2
α
＋
C
)的值．
5
解 (1)由题意，根据正弦定理，可得
2sin
C
cos
B
＝2si n
A
＋sin
B
，
又由
A
＝π－(
B
＋
C
)，所以
sin
A
＝sin(
B
＋
C
)＝sin
B
cos
C
＋cos
B
sin
C
，
可得2sin
C
cos
B
＝2sin
B
cos
C
＋2cosB
sin
C
＋sin
B
，
即2sin
B
cos
C
＋sin
B
＝0，
又因为
B
∈(0，π)，则sin
B
>0，
12π
可得cos
C
＝－，因为
C
∈(0，π)，所以
C
＝.
23
(2)由(1)可得
f
(
x
)＝2sin

2
x
＋

＋
m
cos2
x
6


π


ππ
＝2sin2
x< br>cos＋2cos2
x
sin＋
m
cos2
x
66
＝3sin2
x
＋(
m
＋1)cos2
x
，
因为函数
f
(
x
)的图象的一条对称轴方程为
x＝，所以
f
(0)＝
f

π
3

2π

，


3

4π4π
得
m< br>＋1＝3sin＋(
m
＋1)cos，即
m
＝－2，
33< br>π

所以
f
(
x
)＝3sin2
x
－cos2
x
＝2sin

2
x
－

，
6

π

6

α

又因为< br>f

＝2sin

α
－

＝，
6

5

2

π

3

所以sin

α
－

＝，
6

5
2π

π

所以cos(2
α
＋
C
)＝cos

2
α
＋

＝－cos

2
α
－


3

3

π

π

7

2

＝－cos
2

α
－

＝2sin

α－

－1＝－.
6

6

25

题型4 三角函数与平面向量的综合
例4 (2019·龙岩模拟)已知向量
a
＝(3，1) ，
b
＝(sin2
x,
2sin
x
－1)，
x∈R.
(1)若
a
∥
b
，且
x
∈[0，π] ，求
x
的值；
π
(2)记
f
(
x
)＝< br>a
·
b
(
x
∈R)，若将函数
f
(
x
)的图象上的所有点向左平移个单位得到函数
6
2

g
(
x
)的图象．当
x
∈

0，

时，求 函数
g
(
x
)的值域．
2


π


解 (1)因为
a
∥
b
，所以3(2sin
x
－1)－sin2
x
＝0，即s in2
x
＝－3cos2
x
.
若cos2
x
＝0 ，则sin2
x
＝0，与sin2
x
＋cos2
x
＝1矛盾 ，故cos2
x
≠0.所以tan2
x
＝－3，
2π5ππ5π又
x
∈[0，π]，所以2
x
∈[0,2π]，所以2
x
＝或2
x
＝，即
x
＝或
x
＝，即
x
的值
3336
π5π
为或.
36
π

(2)因为< br>f
(
x
)＝
a
·
b
＝(3，1)·(sin 2
x
，－cos2
x
)＝3sin2
x
－cos2
x
＝2sin

2
x
－

，
6

π


π

π


所以< br>g
(
x
)＝2sin

2

x
＋< br>
－

＝2sin

2
x
＋
，
6

6

6



π

1

π

π

2
x
＋
π
∈

π
，
7π

，
< br>当
x
∈

0，

时，所以sin

2
x
＋

∈

－，1

，所以2sin< br>
2
x
＋

2

6

6

2

6

6

6
< br>∈[－1,2]，
22
2

π

即当
x< br>∈

0，

时，函数
g
(
x
)的值 域为[－1,2]．
2

[冲关策略] (1)题目条件给出的向量坐标中含有三 角函数的形式，运用向量共线或垂直
或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2 )给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题
思路是经过向量的 运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
变式训练4 已知
a
＝(s in
x
，3cos
x
)，
b
＝(cos
x
，－cos
x
)，函数
f
(
x
)＝
a
·< br>b
＋
(1)求函数
y
＝
f
(
x
)图 象的对称轴方程；
1
(2)若方程
f
(
x
)＝在(0，π )上的解为
x
1
，
x
2
，求cos(
x
1
－
x
2
)的值．
3
解 (1)
f
(x
)＝
a
·
b
＋
3

2
3

2
3
.
2
＝(sin
x
，3cos
x
)·(cos
x
，－cos
x
)＋< br>＝sin
x
·cos
x
－3cos
x
＋
2< br>3

2
π

13

＝sin2
x< br>－cos2
x
＝sin

2
x
－

.
3

22

ππ5π
k
π
令2
x
－＝
k
π＋(
k
∈Z)，得
x
＝＋(
k
∈Z)，
32122
5π
k
π
即函数
y
＝
f
(
x
)图象的对称轴方程为
x
＝＋(
k∈Z)．
122

5π5π
(2)由(1)及已知条件可知(x
1
，
f
(
x
1
))与(
x
2
，
f
(
x
2
))关于
x
＝对称，则x
1
＋
x
2
＝，
126
∴cos(
x
1
－
x
2
)＝cos

x
1
－




5π
－
x
1




6

π

π

5π



＝cos

2
x
1
－< br>
＝cos


2
x
1
－

－


3

2

6


π

1

＝sin

2
x
1
－

＝
f
(
x
1
)＝.
3

3

题型5 解三角形与平面向量的综合
例5 (2 019·昆明模拟)已知角
A
，
B
，
C
是△
ABC
的内角，
a
，
b
，
c
分别是其所对边，向

量
m
＝

23sin，cos

，
n
＝

cos，－2

，
m
⊥
n
.
22

2

2
AAA
(1)求角
A
的大小；
(2)若
a
＝2，cos
B
＝
3< br>，求
b
的长．
3

解 (1)已知
m
⊥
n
，所以
m
·
n
＝

23sin，c os

·

cos，－2

＝3sin
A
－(cos
A
＋1)
22

2

2
A AA
＝0，

π

1
即3sin
A
－c os
A
＝1，即sin

A
－

＝.
6

2

ππ5π
因为0<
A
<π，所以－<
A
－<.
666
πππ
所以
A
－＝，所以
A
＝.
663
π3
(2)在△
ABC
中，
A
＝，
a
＝2，cos
B
＝，
33
sin
B
＝1－cos
B
＝
2
16
1－＝.
33
由正弦定理知＝，
sin
A
sin
B
2×
6
3
42
＝. < br>3
3
2
ab
所以
b
＝
a
sinB
＝
sin
A
[冲关策略] 解决解三角形与平面向量综合问题的关键： 准确利用向量的坐标运算化简
已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．
变式训练5 (2 019·成都模拟)锐角三角形
ABC
中，角
A
，
B
，C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.
已知< br>c
tan
B
是
b
tan
A
和
btan
B
的等差中项．

(1)求角
A
的大小；
(2)若
m
＝(sin
B
，sin
C
)，
n
＝(cos
B
，cos
C
)，求
m
·
n
的取值范围．
解 (1)由题意知
b
tan
A
＋
b
tan
B
＝2
c
tan
B
，
sin< br>A
sin
B
sin
B
∴sin
B
＋sin< br>B
＝2sin
C
·，
cos
A
cos
B< br>cos
B
∵sin
B
≠0，∴sin
A
cos
B
＋cos
A
sin
B
＝2sin
C
cosA
，
1
∴sin
C
＝2sin
C
cosA
，∵sin
C
≠0，∴cos
A
＝，
2
π
又0<
A
<π，∴
A
＝.
3
11
(2)
m
·
n
＝sin
B
cos
B
＋sin
C
cos
C
＝sin2
B
＋sin2C

22
π

11

4π
3

－2
B

＝sin2
B
＋sin

＝s in

2
B
－

，

6
22

3

2



π
∵< br>
0<
C
<，
2
2π

B
＋
C
＝，

3
∴

π
0<
B
<，
2

ππ
∴<
B
<.
62
33
3

3
<
m
·
n
≤，即
m
·
n
的取 值范围是

，

.
42
2

4