重庆市第二师范学院-新疆艺术学院分数线

标准文案
2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长
方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则 咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
（ ）

A． B． C． D．
4．（5分）若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.1 5，则不用现金
支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
6．（5分）函数f（x）=
A． B．
的最小正周期为（ ）
C．π D．2π
7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（ ）
A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）
8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在 圆（x﹣2）+y=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．[2，6] B．[4，8] C．[
42
22
，3] D．[2，3]
9．（5分）函数y=﹣x+x+2的图象大致为（ ）
大全

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A． B．
C．
10．（5分）已知双曲线C：

﹣
D．
=1（a＞0，b＞0）的离心率为

，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．2
，则C=（ ） 11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为
A． B． C． D．
12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三 角形且面积为9
体积的最大值为（ ）
A．12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
B．18 C．24 D．54 < br>，则三棱锥D﹣ABC
13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）． 若∥（2+），则λ= ．
14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的 评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行
抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、 分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 ．
15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是 ．
16．（5分）已知函数f（x）=ln（

﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）= ．
三、解答题：共70分。解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作
答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）等比数列{a
n
}中，a
1
=1，a
5
=4a
3
．
（1）求{a
n
}的通项公式；
大全

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（2）记S
n
为{a
n
}的前n项和．若S
m
=6 3，求m．
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的 两种新的生产方式．为比较两种
生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人． 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用
第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位 ：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产 任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面
的列联表：

第一种生产方式
第二种生产方式
超过m 不超过m




（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K=
P（K≥k）
k
2
2
，
0.050
3.841
0.010
6.635
所在平面垂直，M是
0.001
10.828
上异于C，D的点． 19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

20．（ 12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且
21．（12分）已知函数f（x）=．
++=，证明：2||=||+||．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
大全

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（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[ 选修4-4：坐
标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中， ⊙O的参数方程为
的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α












大全

标准文案
2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．
故选：C．

2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．
故选：D．
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件 右边的小长方体是榫头．若如
图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木 构件的俯视图可以是（ ）

A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知 ，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，< br>内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．

故选：A．

4．（5分）若sinα=
A． B．
，则cos2α=（ ）
C．﹣ D．﹣
大全

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【解答】解：∵sinα=
2
，
=． ∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×
故选：B．

5．（5分）若某群体中 的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率 为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【解答】解：某群体中的成 员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，
所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4．
故选：B．

6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，
故选：C．

7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（ ）
A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）
【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象，
则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．
由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．
则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．
即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．
故选：B．

8．（5分） 直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）
2
+y
2
=2上，则△ABP面积的取值范围是（
A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]
【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，
∵点P在圆（x﹣2）
2
+y
2
=2上，∴设P（2+，），
∴点P到直线x+y+2=0的距离：
大全
）

标准文案
d==，
∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，
∴△ABP面积的取值范围是：
[
故选：A．

9．（5分）函数y=﹣x+x+2的图象大致为（ ）
42
，]=[2，6]．
A． B． C．
D．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）=﹣4x+2x=﹣2x（2x﹣1），
由f′（x）＞0得2x（2x﹣1）＜0，
得x＜﹣
故选：D．

或0＜x＜，此时函数单调递增，排除C，
2
32
10．（5分）已知双曲 线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．2
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得
大全
=，即：，解得a=b，

标准文案
双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，
点（4，0）到C的渐近线的距离为：
故选：D．

=2．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为
A． B． C． D．
，则C=（ ）
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为∴S
△ABC
=
∴sinC=
∵0＜C＜π，∴C=
故选：C．

12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三 角形且面积为9
（ ）
A．12 B．18 C．24 D．54
，可得，解得AB=6，
，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为
=
=cosC，
．
，
，
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C==，OO′==2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：
故选：B．
=18．


二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
大全

标准文案
13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ= ．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），
∴=（4，2），
∵=（1，λ），∥（2+），
∴
解得λ=
，
．
． 故答案为：

14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差 异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择
的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系 统抽样，则最合适的抽样方法是 分层抽样 ．
【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，
为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
则最合适的抽样方法是分层抽样．
故答案为：分层抽样．

15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是 3 ．
【解答】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域如图：由解得A（2，3）．
z=x+y变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线，
当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大，
最大值为2+3×
故答案为：3．
=3，
大全

标准文案


16．（5分）已知函数f（x）=ln（
【解答】解：函数g（x）=ln（
﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）= ﹣2 ．
﹣x）
满足g（﹣x）=ln（+x）==﹣ln（﹣x）=﹣g（x），
所以g（x）是奇函数．
函数f（x）=ln（
可得f（a）=4=ln（
则f（﹣a）=﹣ln（
故答案为：﹣2．

三、解答题：共70分。解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为
选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）等比数列{a
n
}中，a
1
=1，a
5
=4a
3
．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）记S
n
为{an
}的前n项和．若S
m
=63，求m．
【解答】解：（1）∵等比数 列{a
n
}中，a
1
=1，a
5
=4a
3
．
∴1×q=4×（1×q），
解得q=±2，
当q=2时，a
n
=2，
当q=﹣2时，a
n
=（﹣2）
n﹣1
n﹣1
42
﹣x）+1，f（a）=4，
﹣a）+1，可得ln（
﹣a）+1=﹣3+1=﹣2．
﹣a）=3，
，
n﹣1
∴{a
n
}的通项公式为，a
n
=2，或a
n
=（﹣2）
（2）记S
n
为{a
n
}的前n项和．
大全
n﹣1
．

标准文案
当a
1
=1，q=﹣2时，S
n
===，
由S
m
=63，得S
m
==63，m∈N，无解；
当a
1
=1，q=2时，S
n
===2﹣1，
n
由S
m
=63，得S
m
=2﹣1=63，m∈N，
解得m=6．

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提 出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，
选取40名工人，将他们随机 分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
m

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产 任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式
第二种生产方式
超过m


不超过m


（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K=
P（K≥k）
k
2
2
，
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在70～92之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～90之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=
由此填写列联表如下；
超过m 不超过m 总计
=80；
大全

标准文案
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
（3）根据（2）中的列联表，计算
K=
2
15
5
20
5
15
20
20
20
40
==10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC ；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦
∴CM⊥AD，
M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CD⊥平面AMD，CD⊂平面CMB，
所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦所在平面，CM⊂半圆弦所在平面，
∴平面AMD⊥平面BMC；
（2）解：存在P是AM的中点，
理由：
连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，
所以MC∥平面PBD．


20．（12分）已知斜率为k的直线l与 椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且
【解答】解：（1）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
大全
++=，证明：2||=||+||．

标准文案
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x
1
+x
2
=2， y
1
+y
2
=2m
将A，B代入椭圆C：+=1中，可得
，
两式相减可得，3（x
1
+x
2
）（x
1﹣x
2
）+4（y
1
+y
2
）（y
1
﹣y
2
）=0，
即6（x
1
﹣x
2
）+8m（y
1
﹣y
2
）=0，
∴k==﹣=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即
解得0＜m
∴

．
， （2）证明：设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y2
），P（x
3
，y
3
），
可得x
1
+x
2
=2
∵++=，F（1，0），∴x1
﹣1+x
2
﹣1+x
3
﹣1=0，
∴x
3
=1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex
1
=2﹣
则|FA|+|FB|=4﹣
∴|FA|+|FB|=2|FP|，

，
x
1
，|FB|=2﹣x
2
，|FP|=2﹣x
3
=．
21．（12分）已知函数f（x）=．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．
【解答】解：（1）=﹣．
∴f′（0）=﹣2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=﹣2，
∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=﹣2x．
即2x+y+1=0为所求．
（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，
大全

标准文案
可得=﹣．
令f′（x）=0，可得
当x
∴f（x）在（﹣
时，f′（x）＜0，x
，
时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．
，2）递增， ），（2，+ ∞）递减，在（﹣
2
注意到a≥1时，函数g（x）=ax+x﹣1在（2，+∞）单调递增， 且g（@）=4a+1＞0
函数g（x）的图象如下：

∵a≥1，∴，则≥﹣e，
∴f（x）≥﹣e，
∴当a≥1时，f（x）+e≥0．

（二）选考题：共10分。请考生在第22 、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10
分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为
于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
【解答】解：（ 1）∵⊙O的参数方程为
22
，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交
（θ为参数），
∴⊙O的普通方程为x+y=1，圆心为O（0，0），半径r=1， 当α=
当α≠
时，过点（0，﹣
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α的直线 l的方程为x=0，成立；
）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，
∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，
大全

标准文案
∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，
∴tanα＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，
∴或
，）．
），
，
2
综上α的取值范围是（
（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线 l的方程为x=m（y+
设A（x
1
，y
1
），（B（x
2
，y
2
），P（x
3
，y
3
），
联立，得（m+1）x+2
22
+2m﹣1=0，
2
，
=﹣+2，
=，=﹣，
∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
大全

标准文案

【解答】解：（1）当x≤﹣
当﹣
时， f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，
＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，
当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，
则f（x）=对应的图象为：
画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，
即a+b的最小值为5．
大全

标准文案




大全