2020中考数学专题1 几何模型之双子型
小学生日记50字-十八大精神
2020 中考专题
1——几何模型之双子型
班级
【模型解析】
姓名 .
◆
条件：△OAB,△OCD
均为等腰三角形，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD
◆
结论：①△OAC≌△OBD；②AC=BD；③∠AEB=∠AOB；④OE 平分∠AED(或
∠AED 的外角）；⑤点 E 在△OAB 的外接圆上.
◆
条件：CD∥AB(△OCD∽△OAB)，将△OCD 旋转至右图位置
◆
结论：右图中①△OCD∽△OAB
△OAC∽△OBD； ②延长 AC 交
BD 于点 E
，
必有∠AEB=∠AOB；
③点 E 在△OAB 的外接圆上.
【例题分析】
例 1.如图 1，直角坐标系中，点 A
的坐标为(1,0),以线段 OA 为边在第四象限内作等边△AOB,点 C 为
x
正半轴上一动点(OC＞1),连接 BC，以线段 BC 为边在第四象限内作等边△CBD,直线 DA 交
y 轴于
点 E．
(1)
△OBC 与△ABD 全等吗？判断并证明你的结论；
(2)
着点 C 位置的变化，点 E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点 E
的坐标；若有变化，
请说明理由．
图 1
1
5
例 2.如图 2-1，在 Rt△ABC
中，∠B＝90°,cosC＝
,点
D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接
DE，
6
AE
将△EDC 绕点 C
按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当 0°≤θ＜360°时,
BD
的大小有无变化？请
仅就图 2-2 的情况给出证明．
图 2-1
图 2-2
例 3．如图 3 所示，在四边形 ABCD
中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则 BD 的长
为 ．
图 3 图 4
例 4.如图 4，在△ABC
中,∠ABC＝60°,AB＝
2
3
，BC＝8，以 AC 为腰，点 A
为顶点作等腰△ACD,
且∠DAC＝120°,则 BD 的长为 .
【巩固练习】
1.
如图 1,△ABC 和△ADE
都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O 为 AC 中点，
若点 D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，线段 OE
的最小值是为（
1
A B．
2
C．1
D． 2
．
2 2
）
图 1 图 2
2.
如图 2,△ABC 为等边三角形,AB＝2,点 D 为 BC 边上的动点,连接 AD,以
AD 为一边向右作等边△
ADE,连接 CE. (1)在点 D 从点 B 运动到点
C 的过程中,点 E 运动的路径长为
(2)在点 D
的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出 BD 的长,若不存在,请说明理由.
(3)取 AC 中点 P,连接 PE,在点 D 的运动过程中,求 PE 的最小值.
2
3.
在锐角△ABC
中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC 绕点 B
按逆时针方向旋转，得到△A
1
BC
1
．
（1）
如图 3-1，当点 C
1
在线段
CA
的延长线上时，求∠CC
1
A
1
的度数；
（2）
如图 3-2，连接
AA
1
,CC
1
．若△A
1
BA
1
的面积为 4，求△CBC
1
的面积；
图 3-1
4.
【提出问题】
图 3-2
（1）
如图
4-1，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM，以 AM
为边作等边△AMN,连结 CN．求证：BM＝CN．
【类比探究】
（2）
如图 4-2，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点
C），其它条件不变,(1)
中结论 BM＝CN 还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）
如图 4-3，在等腰△ABC 中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点 M 是
BC 上的任意一点（不含端点 B、
C），连结 AM，以 AM
为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结 CN．试探究 BM 与 CN
的数
量关系，并说明理由．
图 4-1 图 4-2 图 4-3
3
5.
如图 5，正方形 ABCD、BGFE
边长分别为 2、1，正方形 BGFE 绕点 B 旋转，直线 AE、GC 相交
于点
H．（1）在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中,∠AHC 的大小是否始终为
90°,请说明理由；
（2）连接 DH、BH，在正方形 BGFE 绕点 B
旋转过程中，求 DH 的最大值；
图 5 备用图
6.
如图 6-1，已知点 A(0,－3)和
x 轴上的动点 C(m,0),△AOB 和△BCD 都是等边三角形．
（1）
在 C 点运动的过程中，始终有两点的距离等于 OC 的长度，请将它找出来，并说明理由．
（2）
如图 6-2，将△BCD 沿 CD 翻折得△ECD,当点 C 在 x
轴上运动时，设点 E(x,y),请你用 m 来表
示点 E 的坐标并求出点 E
运动时所在图象的解析式．
（3）
在 C 点运动的过程中，当
m
3
时，直接写出△ABD 是等腰三角形时 E 点的坐标．
图 1 图 2
4
7.
【问题探究】（1）如图 7-1，锐角△ABC 中分别以 AB、AC
为边向外作等腰△ABE 和等腰
△ACD,使 AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接
BD,CE,试猜想 BD 与 CE 的大小关系，并说明理
由．
【深入探究】
（2）
如图 7-2，四边形 ABCD
中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求 BD 的长．
（3）
如图 7-3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD
的长．
图 7-1 图 7-2 图 7-3
8.(1)如图 8-1，已知△ABC,以
AB、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE,连接
BE、
CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；
（2）
如图 8-2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形 ABCD
中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠
ACB＝∠ADB＝45°,求 BD 的长；
（3）
如图 8-3，四边形 ABCD 中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝<
br>α
,tanα＝,
BD
＝5,AD＝12，求 BD
4
3
的长．
图 8-1 图 8-2 图 8-3
5
2020 中考专题 1——几何模型之双子型 参考答案
例 1.解：①全等．
理由：∵△AOB 和△CBD 是等边三角形，
∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC， 即 ∠OBC＝∠ABD，
在△OBC
和△ABD 中，
∵ ，∴△OBC≌△ABD（SAS）．
②不变．
理由：∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，
∴Rt△OEA 中，AE＝2OA＝2，∴OE＝，
）． ∴点 E
的位置不会发生变化，E 的坐标为 E（0，
例 2.当
0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，
又∵ ＝ ＝ ，∴△ECA∽△DCB，∴ ＝ ＝ ；
例 3．解：作
AD′⊥AD，AD′＝AD，连接 CD′，DD′，如图：
∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD， 即 ∠BAD＝∠CAD′，
在△BAD
与△CAD′中，
，∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD＝CD′，∠DAD′＝90°，
由勾股定理得 DD′＝
由勾股定理得
CD′＝
＝3
＝
，∠D′DA＋∠ADC＝90°，
，
∴BD＝CD′＝ ．故答案为： ．
例 4.解：以 A 为旋转中心，把△BAC
逆时针旋转 120°，得到△EAD，连接 BE，作 AP⊥BE 于
P，则∠BAE＝120°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，
∴BE＝2BP＝6，
在 Rt△BED 中，BD＝
故答案为：10．
【巩固训练】
6
＝10，
1.
解：设 Q 是 AB
的中点，连接 DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣
∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝2，O 为 AC 中点，∴AQ＝AO，
在△AQD 和△AOE 中，
，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD＝OE，
∵点 D 在直线 BC
上运动，∴当 QD⊥BC 时，QD 最小，
∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，∴△QBD 是等腰直角三角形，∴QD＝QB，
∵QB＝
AB＝1，∴QD＝ ，∴线段 OE 的最小值是为．故选：B．
2.
解：(1)△ABD≌△ACE 可得 BD=CE,E 的运动路径的长即 D
的运动路径长，
BC=2.
(2)
∠DEC＝60°相当于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此时点 D 与点 B
重
合.因此不存在.
(3)
∠ACE=60°,当 PE⊥CE
时取最小值.PE=PCcos60°=
1
.
2
3.
解：（1）由旋转的性质可得：∠A
1
C
1
B＝∠ACB＝45°，BC＝
BC
1
，
∴∠CC
1
B＝∠C
1
CB＝45°，
∴∠CC
1
A
1
＝∠CC
1
B＋∠A
1
C
1
B＝45°＋45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A
1
BC
1
，
∴BA＝B
A
1
，BC＝BC
1
，∠ABC＝∠A
1
BC
1<
br>，
∴ ，∠ABC＋∠ABC
1
＝∠A
1
BC
1
＋∠ABC
1
，
∴∠ABA
1
＝∠CBC
1
，∴△ABA
1
∽△CBC
1
．<
br>
∴ ，
∵S
△
ABA1
＝4，∴S
△
CBC1
＝
；
4.（1）证明：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM 和△CAN 中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（2）
解：结论∠ABC＝∠ACN 仍成立；
理由如下：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，
7
∵在△BAM 和△CAN 中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．
（3）
解：∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，
∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，
∴ ＝
，又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN．
5.
解：（1）是，理由如下：
如图，由旋转知，∠ABE＝CBG，
在正方形
ABCD，BGFE 中，
AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴△ABE≌△CBG，∴∠BAE＝∠BCG，
记 AH 与 BC 的交点为点 P，
∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°
∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，
∴∠AHC＝∠ABC＝90°，
（2）DH≤DE+EG=BD=2 2
6.
解：（1）连接
AD，如图 1 所示．
A、D 两点间的距离始终等于 OC 的长度．理由如下：
∵△AOB 和△BCD 都是等边三角形，
∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，
∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，
∴∠ABD＝∠OBC．
在△ABD 和△OBC 中，有 ，
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD＝OC．
（2）过 D 作 DF⊥y
轴于 F，连接 BE，如图 2 所
示． 由（1）可知△ABD≌△OBC，
∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°
∴DF＝AD•sin∠DAF＝ m，AF＝AD•cos∠DAF＝
∵A（0，﹣3），
∴D（m，m﹣3）．
m，
∵将△BCD 沿 CD 翻折得△ECD
且△BCD 是等边三角形，
∴四边形 BCED 是菱形，
∴BE、CD 互相平分．
8
∵△AOB 是等边三角形，且点
O（0，0），点 A（0，﹣3），
∴点 B（
∵
，﹣），∴E（m﹣
（m﹣
，m﹣）．
x 上运动．
m﹣3），
＝ ，
m﹣＝），∴点 E 在图形 y＝
（3）∵点 A（0，﹣3），点 B（ ，﹣ ），点
D（ m，
∴AB＝3，AD＝m，BD＝
△ABD
为等腰三角形分三种情况：
①当 AB＝AD 时，有 3＝m，
此时点 E
的坐标为（﹣
②当 AB＝BD 时，有 3＝
解得：m＝0（舍去），或
m＝3
此时点 E 的坐标为（3，3）；
， ③当 AD＝BD 时，有
m＝
解得：m＝（舍去）．
时，
， ﹣）或（3 ，3）．
，
， ﹣）；
，
综上可知：在 C 点运动的过程中，当 m＞
△ABD
是等腰三角形时 E 点的坐标为（﹣
7.解：（1）BD＝CE．
理由是：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC， 即
∠EAC＝∠BAD，
在△EAC 和△BAD 中，
，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；
（2）
如图
2，在△ABC 的外部，以 A
为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，
连接 EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC， 即 ∠EAC＝∠BAD，
在△EAC
和△BAD 中，
，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝ ＝7 ，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，
9
∴EC＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝CE＝
．
（3）
如图 3，在线段 AC 的右侧过点 A 作 AE⊥AB 于点 A，交
BC 的延长线于点 E，连接 BE．
∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，
又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，
∴AE＝AB＝7，BE＝ ＝7 ，
又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°，
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC， 即 ∠EAC＝∠BAD，
在△EAC
和△BAD 中，
，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，
∵BC＝3，∴BD＝CE＝（7 ﹣3）cm．
8.解：（1）如图
1，分别以点 A、B 为圆心，以 AB 为半径画弧，交于点 D，连接 AD、BD，再分
别以
A、C 为圆心，以 AC 为半径画弧，交于点 E，连接 AE、CE
则△ABD、△ACE
就是所求作的等边三角形；
证明：如图 1，∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；
（2）
如图
2，过 A 作 AE⊥AD，使 AD＝AE＝3，连接 DE、CE，
由勾股定理得：DE＝
＝3 ，∴∠EDA＝45°，
∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°，
∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△DAB≌△EAC（SAS），∴EC＝BD，
在 Rt△DCE 中，EC＝
∴BD＝EC＝ ；
＝ ＝ ，
（3）
如图 3，作直角三角形 DAE，使得∠DAE＝90°，
∠DEA＝∠ACB，连接 EC，
容易得到△DAE∽△BAC，
∴ ，即 ，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
10
∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC∽△DAB，
∴ ，
在△DCE 中，∠ADC＝∠ACB，
∠EDA＝∠ABC，
∴∠EDC＝90°，
∵ ，AD＝12，
∴AE＝9，∠DAE＝90°，
∴DE＝ ＝15，CE＝ ＝5
BD＝
，
． 由△EAC∽△DAB，∴
11