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江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题
2019．5

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） < br>1．已知集合A＝
x0x2
，B＝
xx1
，则A
IB＝ ．
答案：(1，2)
考点：集合的运算
解析：∵
0x2
，
x1

∴
1x2

∴A
I
B＝(1，2)
2．设i是虚数单位，复数
z
答案：
3

考点：虚数
解析：
z

ai
的模为1，则正数a的值为 ．
2i
ai1a
i
，因为复数z的模为1，
2i22
1a
2
1
，求得a＝
3
． 所以

44
3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出 了如图所示的
频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为1 2，则全
团共抽取人数为 ．

答案：48
考点：频率分布直方图
解析：
15(0.03750.0125)0.75


12(0.75)
＝48
4．执行如图所示的程序框图，输出的k的值为 ．
2
6

答案：7
考点：算法初步
解析：s取值由3→9→45，与之对应的k为3→5→7，所以输出k是7．
5．设
x
[﹣1，1]，
y
[﹣2，2]，记“以(x，y)为坐标的点落在不等式< br>xy1
所表示的平面区域
内”为事件A，则事件A发生的概率为 ．
答案：1﹣
22


8
8


＝1﹣．
88
sinAcosC

，则A＝ ．
ab
考点：几何概型
解析：设事件A发生的概率为P，P＝
6．已知△AB C的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＞b且
答案：


2
考点：三角函数与解三角形
sinAcosCsinAcosC
，所以，则sinB＝cosC，由a＞b，则B，C都是锐角，则
absinAsinB

B＋C＝，所以A＝．
22
1
7．已知等比数列

a
n

满足
a
1

，且
a
2
a
4
4(a
3
1)
，则
a
5
＝ ．
2
解析：因为
答案：8
考点：等比中项
解析：∵
a
2
a
4
4(a
3
1)
2

∴
a
3
4(a
3
1)
，则
a
3
＝2

2
a
3
2
2
8
． ∴
a
5

1
a
1
2

2
x
 2，x1
8．已知函数
f(x)

，若
f[f(0)]2，则实数a的值是 ．
log(x1)，x1

a
答案：
2

考点：分段函数
解析：∵
f(0)223

∴
f[f(0)]f(3)log
a
2

∵
f[f(0)]2

∴
log
a
22
，解得a＝
2
．
9．如图，在 一个圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面
半径相同）后， 水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm．
0

答案：4
考点：圆柱、球的体积
解析：设此圆柱底面的半径是r cm．
得：
3
4
3

r8

r
2


r
2
6r

3
解得：r＝4
x
2
y
2
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点 A，F分别为椭圆C：
2

2
1
(a＞b＞0)的右顶点和右焦< br>ab
点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共 线，
则椭圆C的离心率为 ．
答案：
1

3
1
BQ
2
考点：椭圆的离心率
解析：设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝

∴
1ac
AMAF

，则


BQBF
2ac
1
．
3
求得a＝3c，即 e＝
11．设函数
f(x)sin(2x
答案：(

3
)
，若
x
1
x
2
0
，且
f(x
1
)f(x
2
)0
，则
x
2
x
1< br>的取值范围是 ．

，

)
3
考点：三角函数的图像与性质
解析：不妨设
x
1
0 x
2
，则
x
2
x
1
x
2
x
1
，由图可知
x
2
x
1
0(
< br>3
)

3
．

22
(x1)(y4)10
上存在两点A，12．已知圆C：B，P为直线x＝5上的一个动点 ，且满足AP⊥BP，
则点P的纵坐标取值范围是 ．
答案：[2，6]
考点：圆的方程
解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当P A切圆C于点A，PB切圆C
于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA ≥
22
CA
，即≥，设点
22
CP
P(5，
y0
)，则
10
16(y
0
4)
2
≥
2
，解得2≤
y
0
≤6．
2
uuuruuuruuur uuur

13．如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，
AB 2BC
，则
PCPA
的最小
3
值为 ．

答案：5﹣
213

考点：平面向量数量积
uuuruuuruuuruuuruuur
2
1
uuur
2
uuur
2
9
解析：取AC中点M，由极化恒等式得
PCPAPMACPM
， 要使
PCPA
取最小值，
44
uuuruuur
13
就是 PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM有最小值为2﹣，代入求得
PCPA
2

的最小值为5﹣
213
．
14．已知实数a，b，c满足
e
是 ．
答案：
a c22
e
2bc1
a2b1
（e为自然对数的底数），则
ab
的最小值
1

5
xx
考点：函数与导数
解析：设
u(x)e(x1)
，则
u

(x)e1
，可知
u(x)u(0)0
，即
ex1
；
可知
e
即
e
ac
x
e
2bc 1
ac12bca2b1
，当且仅当
ac2bc10时取等；
ac
e
2bc1
a2b1
，
ac2bc10
．
222
(c1)
2
5
2< br>c11
1
c
，当且仅当
c
时，取等号． 解得
abc
44245
5
二、解答题（本大题共6小题，共计90分， 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
rr
已知向量
a
＝(sin

，cos

﹣2sin

)，
b
＝(1，2)．
rr
sin

cos

（1）若
a
∥< br>b
，求的值；
2
13cos

rr
（2）若ab
，0＜

＜

，求

的值．

16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥 P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA⊥
PC，C D⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．
（1）求证：OM∥平面PAD；
（2）求证：OM⊥平面PCD．



17．（本小题满分14分）
1
x
2
y
2
已知椭 圆C：
2

2
1(ab0)
的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，离心率为，P是椭圆C上
ab
2
的一个动点，且△ PF
1
F
2
面积的最大值为
3
．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率不为零的直线PF
2
与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0，
1
)，求直线 PQ的斜率．
8


18．（本小题满分16分）
如图为一块边 长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，
计划从BC的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，
在该区域内种上草 坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝

．
（1）当

＝60°时，求绿化面积；
（2）试求地块的绿化面积
S(

)
的取值范围．

19．（本小题满分16分）
数列

a
n

的前 n项和记为A
n
，且A
n
＝
n(a
1
a
n
)
，数列

b
n

是公比为q的等比数列，它的 前n
2
项和记为B
n
．若
a
1
b
10
，且存在不小于3的正整数k，m，使
a
k
b
m
．
（1）若
a
1
1
，
a
3
5
，求
a
2
；
（2）证明：数列

a
n

为等差数列；
（3） 若q＝2，是否存在整数m，k，使A
k
＝86B
m
，若存在，求出m，k的 值；若不存在，说明理
由．

20．（本小题满分16分）
若函数
f(x)g(x)
和f(x)g(x)
同时在x＝t处取得极小值，则称
f(x)
和
g(x )
为一对“
P(t)
函
数”．
（1）试判断
f(x)x
与
g(x)xaxb
是否是一对“
P(1)
函数”；
（2）若
f(x)e
与
g(x)xax1
是一对“
P(t )
函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若
对于任意
x
[1，
 
)，恒有
f(x)g(x)mf(x)g(x)
，求实数m的取值范围．
x2
2

附加题
21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，
则按
作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A选修4-2：矩阵与变换

变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩

阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.
B.选
修4-4:极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴，建立
极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距< br>离的最大值.

C.选
修4-5:不等式选讲
已知函数若存在实数x，使不等式
成立，求实数m的最小值，

【必做
题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时 应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）
在四棱锥
△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.

(1)求二面角P-EC-D的余弦值；
(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线 DM和PE所成的角的余弦值
为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.

23.（本小题满分10分）
已知非空集合M满足MN*若存在非负整数
使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为
（1)求的值；

(2)求的表达式.