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云南省玉溪一中高一数学下学期期末考试试题
高一数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1、已知直线
l
,
m
，平面

，

，下列命题正确的是（ ）
A．
l


,
l






B．
l


,
m


,
l


,
m







C．
l

m
,
l


,
m






D．
l


,
m


,
l


,
m


,
l

m
=M





2 、在等差数列{
a
n
}中，已知
a
1
+
a
2
=4，
a
2
+
a
3
=8，则
a
7
等于（ ）
A．7 B．10 C．13 D．19
3、如果
a
＜
b
＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．－
11
＜－
ab
B．
ab
＜
b

2
C．－
ab
＜－
a

2
D．|
a
|＜|
b
|
4、已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线
l
过点P(1, 1)且与线段AB相交，则直线
l
的斜率
k
的取值范围是（ ）
A．
k
≥2或
k
≤
3

4
B．
3
≤
k
≤2
4
C．
k
≥
3

4
D．
k
≤2

4x5y8

5、若变量
x
,
y
满足约束条件

1x3
，则
z
=3
x
+2y
的最小值为（ ）

0y2

A．4 B．
23

5
C．6 D．
31

5
6、过点P(1, 3)，且与
x
轴，
y
轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（ ）
A．3
x
+
y
－6=0 B．
x
+3
y
－10=0 C．3
x
－
y
=0 D．
x
－3
y
+8=0
7、若某圆台的一个底面周长是另一个底面 周长的3倍，母线长为3，侧面积为84

，则该圆
台较小底面的半径为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
8、在△ABC中，
a
=2
bcos
C，则这个三角形一定是（ ）
- 1 -

A．等腰三角形
角三角形
B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直
9、在等比数列{
a< br>n
}中，若
a
1
+
a
2
+…+
a< br>n
=2－1，则
a
1
+
a
2
+…+
a
2
n
=（ ）
n
22
A．(2－1)
n
2
B．
1
n
(4－1)
3
C．
1
n
(2－1)
3
D．4－1
n
10 、关于
x
的不等式
ax
－
b
＞0的解集是(1, +∞)， 则关于
x
的不等式(
ax
+
b
)(
x
－3 )＞0的解
集是（ ）
A．(－1, 3)

B．(1, 3) C．(－∞, 1)∪(3, +∞)
D．(－∞, －1)∪(3, +∞)
11、方程 (
x
+
y
－1)
x
2
y
2
4
=0所表示的曲线是（ ）

A B C D
12、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角 三角形，则
xy
的最大值为（ ）

A．32 B．32
7
C．64 D．64
7

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13、圆
x
+
y
+2
x
=0关于
y
轴对称的圆的一般方程是.
14、设△ABC的内角A, B, C的对边分别为
a
,
b
,
c
，且
cos
A=
22
3
5
，
cos
B=，
b
=3， 则
c
=.
5
13
15、如图所示，正三棱锥S－ABC中，侧棱与 底面边长相等，若E、F分别为SC、
AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于.
1 6、设S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和，且
a
1
=－1，
a
n
+1
=S
n
S
n
+1
，则S
n
=.
- 2 -

三 、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（10分）某直线过直线
l
1
:
x
－2
y
+3=0与直线
l
2
: 2
x
+3
y
－8=0的交点，且点P(0, 4)到
该直线的距离为2，求该直线的方程.






18、（12分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°.
（1）求BC的长；
（2）求
sin
2C的值.






19、（12分）如图所示，三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，CA=CB，AB=AA
1
，∠BA A
1
=60°.
（1）证明：AB⊥A
1
C；
（2）若 AB=CB=2，A
1
C=
6
，求三棱柱ABC－A
1
B< br>1
C
1
的体积.






20、（12分）某镇计划建造一个室内面积为800
m
的矩形蔬菜温室， 在温室内，沿左、右两侧
与后侧内墙各保留1
m
宽的通道，沿前侧内墙保留3
m
宽的空地。当矩形温室的边长各为
2
- 3 -

多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？






21、（12分）已知数列{
a
n
}的前< br>n
项和为S
n
，
a
1
=2，S
n
=
（1）求数列{
a
n
}的通项公式；
（2）求数列





22、（12分）圆C的 半径为3，圆心在直线2
x
+
y
=0上且在
x
轴下方，x
轴被圆C截得的弦长为
2
5
.
（1）求圆C的方程； （2）是否存在斜率为1的直线
l
，使得以
l
被圆截得的弦为直径的圆过 原点？若存在，求出
直线
l
的方程；若不存在，说明理由.






玉溪一中2014—2015学年下学期期末考试
高一数学答案
一、选择题
1

n2
a
n
（
n

N
*
）. < br>3

1


的前
n
项和T
n
.

a
n

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
- 4 -

D C A A B A A A B D D C
二、填空题
13．
x
+
y
－2
x
=0
22
14．
14

5
15．45° 16．－
1

n
三、 解答题
17．解：设l
1
与l
2
交点为A
x
－2
y
+3=0
由 解得A（1，2）
2
x
+3
y
－8=0
若此直线斜率不存在，则方程为
x
=1
不满足P（0，4）到该直线距离为2.
若此直线斜率存在，设直线方程为
y
－2=k（
x
－1）
即k
x
－
y
+2－k=0
P（0，4）到此直线距离d=
k2
k1
2
2
< br>解得k=0或
4

直线方程为
y
=2或4
x
－3
y
+2=0
3
222
18．解：（1）由余弦定理知，BC= AB+AC－2AB·AC·cosA=4+9－2×2×3×
所以BC=
7
．
1
=7.
2
21
ABBC
AB
2sin60

（2）由正弦定理知，，所以sinC=·sinA==．

7
BC
sinCsinA
7
因为AB＜BC，所以 C为锐角，则cosC=
1-sin
2
C
=
1
327．

77
因此sin2C=2sinC·cosC=2×
212743

．
777
19．解：（1）证明：取AB的中点O，连接OC，OA
1
，A
1
B．
因为CA=CB，所以OC

AB．
由于AB=A A
1
，∠BAA
1
＝60°，故△AA
1
B为等边三角形， 所以OA
1

AB．
因为OC

OA
1＝O，所以AB

平面OA
1
C．
又A
1
C

平面OA
1
C，故AB

A
1
C．
（2）由题设知△ABC与△AA
1
B都是边长为2的等边三角形，
所以OC=OA
1
=
3
．
222
又A
1
C＝
6
，则A
1
C＝OC＋OA
1
，故OA
1

OC．
因为OC

AB＝O，
所以OA
1

平面ABC，OA
1
为三棱柱ABC－Ａ
1
B
1
C
1
的高．
又△ABC的面积S
△ABC
＝
3
，
- 5 -

故三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的体积 V＝S
△ABC
·OA
1
＝3．
2
20．解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积为S m，则ab=800．
所以S=（a－4）（b－2）=ab－4b－2a+8=808－2 （a+2b）≤808－4
2ab
=648．
当且仅当a=2b，即a=40，b=20时等号成立，则S
最大值
=648．
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植
2
面积为648m．
21．解：（1）由题意得当n≥2时，S
n－1
=
n 1
a
n－1
,
3

a
n
=S
n
－S
n－1
=

a
n
=
n2n1a
n
－a
n－1
，
33
n1
a
n-1
，
n1
5
4n 1

a
2
=3a
1
,a
3
=a
2
，a
4
=a
3
……，a
n
=a
n－1，
3
2n1
n（n1）
以上各式相乘得a
n
=a
1
=n（n+1），
2
当n=1时，a
1
=2也适合上式，

a
n
=n(n+1)(n

N
*
).
（2）由（1）得a
n
=n(n+1)，

1
111
=，

a
n
n（n1）nn1

T
n
=
111

…+
a
1
a
2
a
n
1

1

11


11



+



+…+


12
nn1
23




=


=
n
.
n1
2
22、解：（1 ）设C（
x
0
，
y
0
），则2
x
0
+
y
0
=0(
y
0
＜0)，
2
又
3y
0
=
5
，得
y
0
=－2，
x
0
=1，则C（1，－2）.
所以圆C的方程为(
x
－1)+(
y
+2)=9，
即
x< br>2
+
y
2
－2
x
+4
y
－4=0.
（2）设这样的直线
l
存在，其方程为
y
=
x
+b ，它与圆C的交点设为A(
x
1
，
y
1
)，B(
x
2
,
y
2
)，
22
x
+
y－2
x
+4
y
－4=0，
22
则由 得2
x
+2(b+1)
x
+b+4b－4=0，
y
=
x
+b，
22
b
2
4b4所以
x
1
+
x
2
=－(b+1)，
x
1
x
2
=.
2
所以
y
1
y
2< br>=(
x
1
+b)(
x
2
+b)=
x
1
x
2
+b(
x
1
+
x
2
)+b .
由OA

OB得
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0，
- 6 -
2

即b+4b－4－b(b+1)+b=0，b+3b－4=0，解得b=1或b=－4.
22
容易验证b=1或b=－4，方程2
x
+2(b+1)
x
+b+4b－4= 0有实根.
故存在这样的直线
l
有两条，其方程是
y
=
x
+1或
y
=
x
－4.

222




















- 7 -