江南贡院-河南师范大学录取分数线

江南十校2019届高三第二次大联考
数学（文科）
一、选择题 ：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求 的.
1.已知
i
是虚数单位，则化简
(
1i
2018)
的结果为（ ）
1i
A.
i
B.
i
C. -1 D. 1

2.已知集合
A{x|x
A.
AB{x|1
3.若
,1}
，
B{x|2
x
1}
，则有（ ）
xx1
D.
AB

x0}
B.
ABR
C.
AB
”是“
sin
R
，则“
sin
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走 ，遇店添一倍，逢友饮
一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒”用程序框图表达如图 所示，即最终输出的
x
则一开始输入的
x
值为（ ）
0
，

A.
153731

B. C. D.
164832
10
，
a
3
4
，则
a
19
（ ）

5.在递增等比数列
a
n
中，
a
1
a
5
A.
2
19
B.
2
20
C.
2
9
D.
2
10

6.已知直线
l
1
:mx 3y60
，
l
2
:4x3my120
，若
l
1l
2
，则
l
1
,l
2
之间的距离为（ ）
A.
1213
813913
B. C. D.
13

13
1313
7.已知
sin(
4< br>)
2
，则
sin2
3
（ ）

A.
4545
11

B. C. D.
99
99
8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧 视图和俯视图为直
角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）

A.
3466
B. 52 C.
3493
D.
34122

9.在
ABC
中，三个内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且
a
A.
bcosC3csinB
，则
B
（ ）

2
B. C. D.

3346
sin(2x
3
)
，
C
2
:ycosx
，要想由
C
2
得到< br>C
1
，下面结论正确的是（ ）
6
个单位
个单位
10.已知曲线
C
1
:y
A. 把
C
2
上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
B. 把
C
2
上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
C. 把
C
2
上各点的横坐标伸长为原来的
12
1
倍（纵坐标不变 ），再向右平移个单位
26
1
D. 把
C
2
上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
212
11.设
x,y
为负实数且
2
x
A.
3y
3
y
，则下列说法正确的是（ ）
2x
B.
3y2x
C.
2x3y
D. 以上都不对

12.设
f'(x)
是定义在
(,0)(0,)
上的偶函数
f(x)
的导函数，且
f()0
，当
x(0,)
时，不等式
2
f'(x)sinx
是（ ）
A.
c
f(x) cosx0
恒成立，若
a2f()
，
b2f()
，
c
66
2f()
，则
a,b,c
的大小关系
4
ab
B.
bac
C.
acb
D.
bca

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.如图所示，在矩形
ABCD
中，
AB
锥
D
2AD2
，沿对角线
AC
将其折成直二面角，连结
BD
，则该三棱
ABC
的体积为_____ _____．


x
2
y
2
1
14.设< br>x,y
满足约束条件，则
z3x2y
的最小值为__________．

xy0
15.已知扇形
OAB
的圆心角为
AOB
最大值 为__________．

16.已知定义在
(1,
90
0
，半径为2，
C
是其弧上一点，若
OCOAOB
，则
·
的
)
的两个函数
f(x)m
2e
和
g(x)lnx
（
e
是自然对数的底），若在
f(x)g(x)1
的
x
解集内 有且只有两个整数，则实数
m
的范围是__________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在
A BC
中，三内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知向量m
函数
f(x)
(2sinx,cos2x)
，
n(3cosx ,1)
，
m?n
且
f(B)1
.

（1）求角
B
的值；
（2）若
BABC23
且
a ,b,c
成等差数列，求
b
.

n
2
n
， 等比数列
b
n
的前
n
项和
T
n
，且
T
n
2
n
m
.

18.若数列
a
n
的前
n
项和
S
n
，且
S
n
（ 1）求
a
n
和
b
n
的通项；
（2）求数列
a
n
·b
n
的前
n
项和.

19.已知两个定点
A(1,0)
，
B(2,0)
， 动点
P(x,y)
到点
A
的距离是它到点
B
距离的2倍.
（1）求
P
点的轨迹
E
；

（2）若过点
C(1,1)
作轨迹
E
的切线，求此切线的方程. < br>20.已知函数
f(x)
1
3
1a
2
xxax
（
a
为常数，
a
32
R
）.

（1）求函数
f(x)
的单调递增区间；
（2）若函数
f(x)< br>在
(3a1,2a)
上单调递减，求
a
的取值范围.
21. 一幅标准的三角板如图（1）中，
ABC
为直角，
A60
0
，
DEF
为直角，
D45
0
，且
BCDF
，
把BC
与
DF
拼齐使两块三角板不共面，连结
AE
如图（2）.
（1）若
M
是
AC
的中点，求证：
EMBC
；
三棱锥
ABECa
，（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱 锥为“鳖臑”，若图（2）中
AB
的体积为
1
3
a
，则图（ 2）是否为鳖臑说明理由.
4

22.已知函数
f(x)
（1）当
a
a(x1)lnxx1
.

3
时，求
f(x)
在
(1,f(1))
处的切线方程；
0
在
(1,)
上恒成立，求实数
a
的取值范围. （2）若
f(x)



江南十校2019届高三第二次大联考
数学（文科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四 个选项中，只有一

项是符合题目要求的.
1.已知
i
是虚数 单位，则化简
(
1i
2018
)
的结果为（ ）
1i
A.
i
B.
i
C. -1 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】
< br>先用复数的除法运算，化简
1i
，然后再利用
i
n
的周期性求 得最终化简的结果.

1i
【详解】依题意
1i
1i
1i1 i
1i1i
2i
2
i
，
i
2018
i20162
i
45042
i
2
1
.故选C.

【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是
i
n
是一个
周期出现的量，
i
1
i,i
2
1,i
3
i,i
4
1,i
5
i,
以此类推
i
4k1
i,i
4k2
1,i
4k3
i,i
4k
1
.复数的除
法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.

2.已知集合
A{x|x
A.
AB{x|1
【答案】A

【解析】

【分析】

解绝对值不等式求得集合A中
x的范围，解指数不等式求得集合B中
x
的范围，再根据选项逐一判断正误.
【详解】由
x
1}
，
B{x|2
x
1}
，则有 （ ）
xx1
D.
AB

x0}
B.
ABR
C.
AB
1
解得
1x1
， 故集合
A1,1
，由
2
x
12
0
解得
x0
，故集合
B
,1
，故B,C选项错误.所以选A.

,0< br>.故
AB1,0
，A选项正确，D选项错误，
AB
【点睛】本小题主要 考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属
于基础题.含有单 个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即
fx
来计算.
3.若
,
afxa
或
fxa
，
fxaafxa
.指数不等式的解法主要是化为同底
R
，则“”是“
sinsin
”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】B

【解析】

【分析】

两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定 不相等——由此判断出正确选
项.

【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如
sin60
个角必定不相等，故“”是“
sin
sin120
；如果 两个角的正弦值不相等，那么两
sin
”的必要不充分条件.故选B.
【点睛】本小 题主要考查充要条件的判断.如果
pq
，则
p
是
q
的充分条 件，
q
是
p
的必要条件；否则，
q
和
p
不 是
q
的充分条件，
q
不是
p
的必要条件.在判断具体问题时 ，可以采用互推的方法，进行
p
qp
各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件 .还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围
的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件 .如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含
关系，则为既不充分也不必要条件.
4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮< br>一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x
则一开始输入的
x
值为（ ）
0
，

A.
153731

B. C. D.
164832

【答案】A

【解析】

【分析】

运行程序，当
i5
时退出循环，令输出的值为零，解方程 求得输入的
x
的值.

2x1,i2
，判断否，
x22x1
【详解】运行程序，输入
x
，
i1
，
x
14x3, i3
，判断否，
x24x3
可知
16x15
18x7,i4
，判断否，
x28x7116x15,i5
，判断是，退出循环.依题意
0
， 解得
x
15
.故选A.

16
【点睛】本小题主要考查程序 框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.

5.在递增等比数列a
n
中，
a
1
a
5
10
，
a
3
4
，则
a
19
（ ）

A.
2
19
B.
2
20
C.
2
9
D.
2
10

【答案】D

【解析】

【分析】

将已知条件转化为
a
1,q
的形式，解方程组求得
a
1
,q
的值，从而求得任意一项的 值.

【详解】由于数列为等比数列，故
9
a
1
a
1
q
4
10
a
1
q
2
4
，由于数 列是递增的数列，故解得
q
2
2,a
1
2
，故
a< br>19
a
1
q
18
2q
2
22
92
10
，故选D.

【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题.

6.已知直线
l
1
:mx3y60
，
l
2
:4x3my120
，若
l
1
l
2
，则
l
1
,l
2
之间的距离为（ ）
A.
1213
813913
B. C. D.
13

13
1313
【答案】A

【解析】

【分析】

根据两直线平行，求得
m
的 值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离.

【详解】由于两条 直线平行，属于
m3m340
，解得
m2
，当
m2
时，两直 线方程都是
2x3y60
故两直线重合，不符合题意.当
m
平行直线的距离为
2
时，
l
1
:2x3y60
，
l
2
:2x3y60
，故两
66
2
2
3
2
1213< br>.故选A.

13
【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行 直线间的距离公式，属于基础题.

7.已知
sin(
4
)
2
，则
sin2
3
（ ）

A.
4545
11

B. C. D.
99
99
【答案】B

【解析】

【分析】

将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.

【详解】依题意
sin
π
4
2
sin
2
c os
1
2
，两边平方得
1sin2
2
3
4
，解得
sin2
9
1
.

9
【点睛】本小题主要考 查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基
础题.
8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直
角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）

A.
3466
B. 52 C.
3493
D.
34122

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直
角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.
5
个面面积相加得到棱台的 表面积.

【详解】两个直角三角形的面积之和为
为
2
11
224410
.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和
22
下底为
4
2
4
2
22
，
2
24
424
.右侧梯形 上底为
2
2
2
2
2
腰长为
4
2
2
2
42
，
25
，
为等腰梯形，故高为
25
2
4222
2
32
，故面积为
2242
2
3218
.故表面积为
10241852
，故选B.

【点睛】本小题主要考 查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面
积的计算.属于基础题 .

9.在
ABC
中，三个内角
A,B,C
的对边分别为< br>a,b,c
，且
a
A.
bcosC3csinB
，则
B
（ ）

2
B. C. D.

3346
【答案】D

【解析】

【分析】

利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形 式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化
简，由此求得
B
的大小.< br>
【详解】由正弦定理得
sinAsinBcosC
sinBcosC
3sinCsinB
，即
sinBCsinBcosC3sinCsinB
，
3
，故
3
即
sinBcosCcosBsinC3sinCsinB
，化简得
3sinBcosB
，故
tanB
B
π
.所以选D .

6
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两 角和的正弦公式，属于基
础题.

10.已知曲线
C
1
:y sin(2x
3
)
，
C
2
:ycosx
，要想由< br>C
2
得到
C
1
，下面结论正确的是（ ）
6
个单位 A. 把
C
2
上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标 不变），再向左平移

B. 把
C
2
上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
C. 把
C
2
上各点的横坐标伸长为原来的
12
个单位
1
倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
26
1
D. 把
C
2
上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
212
【答案】D

【解析】

【分析】

先将
C
2
转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换， 得出正确的选项.

【详解】依题意
ycosxsinx
ππ
1，横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）得到
sin2x
，然
22
2后再向右平移
12
个单位，得到
sin2x
π
12
π< br>2
sin2x
π
.故选D.
3
【点睛】本小题主要考查三角 函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.

11.设
x,y
为负实数且
2
x
A.
3y
3
y
，则下列说法正确的是（ ）
2x
B.
3y2x
C.
2x3y
D. 以上都不对
【答案】C

【解析】

【分析】

令
2
x
3
y
z
，指数式化为对数式，用
z
来表示
x,y
，然后利用换底公式比较
2x
和
3y
的大小，由此得出正确选项.

【详解】令
2
x
3
y
z
，则
xlog
2
z,2x2log
2
z
1
2
6
lnz
ln2
1
2
，
ylog
3
z, 3y3log
3
z
1
2
1
3
lnz
ln3
1
3
.由于
x,y
为
负实数，故
0z1
， 所以
lnz0
.由于
2
，两边乘以
lnz
得
8,3
1
3
6
9
，所以
2
3y
.故选C.

3
，所以
0ln2
1
2
ln3
1
3< br>，所
以
1
ln2
1
2
1
ln3
1< br>3
lnz
ln2
1
2
lnz
ln3
1
3
，即
2x
【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数 函数的单调性比较大小.属于中档

题.

12.设
f'(x)
是定义在
(,0)(0,)
上的偶函数
f(x)
的导函数，且
f()0
，当
x(0,)
时，不等式
2
f'(x)sinx
是（ ）
A.
c
f(x)cosx0
恒成立，若
a2f ()
，
b2f()
，
c
66
2f()
，则
a,b,c
的大小关系
4
ab
B.
bac
C.
acb
D.
bca

【答案】D

【解析】

【分析】

构造函数
Fx
fx
sinx
，根据函数
fx
的奇偶性求得
Fx
的奇偶性，再根据函数< br>Fx
的导数确定单
调性，由此比较
a,b,c
三个数的大小.

【详解】构造函数
Fx
fx
sinx
，由于
fx
是 偶函数，故
Fx
是奇函数.由于
Fx
fxsinx
2
fxc osx
sinx
0
，故函数
Fx
在
0,π
上递增. 由于
f
π
2
0,F
π
2
0
，故当
x0,
π
时，
Fx
2
0
，当
x
π
,π
时，
Fx
2
f
0
.所以
a
sinπ
6
π
6
F
π
6
F
π
60
，
b2f
π
6
f
π
6
π
s in
6
F
π
6
0
，
c2f
π
4< br>f
π
4
π
sin
4
F
π
4
0
，根据
Fx
单调性有
F
π
4
F
ππ.故
F
66
0F
π
4
F
π
，即
acb
，故选D.

6
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函 数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属
于中档题.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.如图所示，在矩形
ABCD
中，
AB2AD2
，沿对角线
AC
将其折成直二面角，连 结
BD
，则该三棱

锥
DABC
的体积为______ ____．


【答案】
25

15
【解析】

【分析】

利用等面积法求得直角三角形< br>ACD
的边
AC
上的高，也即三棱锥
D
积.

【详解】依题意，
AC
ABC
的高，由此计算出三棱锥的体
AD
2
CD
2
，解得
5
，设直角三角形
ACD
的边
AC
上的高为
h
，根据等面积有
h
2
5
，故三棱 锥的体积为
1
ACh
2
V
D
1
ADCD
2
ABC
11
ABBCh
32
11
21
32
2
5
25
.

15
【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查 三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.

x
2
y< br>2
1
14.设
x,y
满足约束条件，则
z3x2y
的 最小值为__________．

xy0
【答案】
【解析】

【分析】

画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线
3x2y
最小值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，
z
取得最小值， 此时直线方程为
13

0
到可行域边界位置，由此求得目标函数的
3 x2yz0
，由点到直线的距离公式得
z
3
2
z
2
2
13
1
，
z
，即
z
的最小值为
13（取负值）

13
.

【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，
xa
2
yb
2
半径为
r
的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数
r
2
表示的是圆心为
a,b
，
z3x2y
，由于< br>2y3xz
，当直线截距最大时，
z
取得最小值，这个在解题过程中要特别注意 .

15.已知扇形
OAB
的圆心角为
AOB
最大值为__ ________．

【答案】
【解析】

【分析】
以
OA,OB
为基底，表示
OC
，这是一个正交的基底，故
由基 本不等式求得的最大值.

90
0
，半径为2，
C
是其弧上 一点，若
OCOAOB
，则
·
的
1

2
O A
2
OB
2
4
2
4
2
OC
24
，再
【详解】以
O
为坐标原点，
OB,OA
分别为< br>x,y
轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于
OA,OB
相互垂直 ，以
OA,OB
为基底，这是一个正交的基底，表示
OC
，根据图像可知

OA
2
OB
2
4
2
4
2
OC
2
22
4
，即
1
.

2
2 2
1
，故
2
1
，当且仅当
2
2
时，等号成 立.故
2


的最大值为
【点睛】本小题考查平面向量的基本
定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得
ab2 ab
这个基本的形式，还要注意它的变形
ab
16.已知定义在
(1,
ab
2
2
a
2
b
2
.

2)
的两个函数
f(x)m
2e
和
g(x)lnx
（e
是自然对数的底），若在
f(x)g(x)1
的
x
解集内有且 只有两个整数，则实数
m
的范围是__________．

【答案】
(
【解析】

【分析】

12e1
,
ln33ln4
e
]

2

2elnx2elnx
，即左边函数
ymlnx
在右边函数
y1< br>图
xx
2elnx
像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出
y 1
的图像，结合图像列出不等式组，解不等
x
化简不等式
fxgx1
，变为
mlnx1
式组求得
m
的取值范围.

【详解】化简 不等式
fx
需要满足
hx
gx
得
mlnx1
1，
mlnx
图像在
nx
2e
2elnx2elnx
，构 造函数
hx
，
m
mlnx
和
y1
xx
2e lnx
图像上方的点的横坐标有且只有两个整
1
x
1
2elnx在
1,e
上递减，在
e,
x
上递增，且当
x
2 elnx
数.
1
x
'
lnx1
，故函数
nx
2
x
e
时，函数值小于零.当
m0
时，
hx
1< br>mlnx
在
1,
上递增，画出图像如下图所示，由图可知
hxmlnx
图像在
nx
2elnx
图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.

x

h2
当
m
n2
n3
，即
n4
0
时，显然不符合题意.当
m0
时，画出图像如下图所示，由图可知
h3
h4

2eln2
2
2eln3
12
，解 得
mln31
em
ln33
3
2eln4
mln41
4
mln21
1
ln4
121
e
.即
m
的取值范围是
e,
ln33ln4
2
e
.

2【点睛】本小题
主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考 查了利用导数研究函
数图像与性质.对于题目给定的
fxgx1
，转为两个函数的图像 来研究，这是化归与转化的数学思想
方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于 中档题.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在
A BC
中，三内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知向量m
函数
f(x)
(2sinx,cos2x)
，
n(3cosx ,1)
，
m?n
且
f(B)1
.

（1）求角
B
的值；
（2）若
BABC
【答案】（1）
B
【解析】

23
且
a,b,c
成等差数列，求
b
.

3
；（2）2

【分析】

（1）利用向量 的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简
fx
的表达式，利用
fB1
求得
B
的大
小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方 程可求得
b
的值.

【详解】（1）
fx
整理得：
fx
m·n23sinxcosxcos2x

，

3sin2xcos2x

2sin2x
6
∵
fB1
，

1

sin2B
；

∴
2sin2B
6
6
1
，

2
∵
B0,
，∴
B
3
（2）由
a,b,c
成等差数列， 得：
2b
由余弦定理得：
a
2
由
BABC
ac，

c
2
acb
2
，

23
，得：
a
2
c
2
ac12
，

三个等式联立解得：
b2
.

【点睛】本小题主要考查向量的数量积 运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理
解三角形，还考查了向量模的运算.属 于中档题.

18.若数列
a
n
的前
n
项和
S
n
，且
S
n
（1）求
a
n
和
b
n
的通项；
（2）求数列
a
n
·b
n
的前
n
项和.
【答案】（1）
a
n
【解析】

【分析】

（1）利用
a
n
n
2
n
，等比数列
b
n
的前
n
项和
T
n
，且
T
n
2n
m
.

2n

nN
*
；
b
n
2
n1
(2)
2n1?2
n1

S1
,n1
S
n
S
n1
,n2
，求得数列
a
n
的通项公式.同理也求得
b
n
的通项公式.（2）利用错位相 减
求和法求得前
n
项和.

【详解】（1）由
S
n
得：
S
n1
n
2
n
，

n1
2
n1n
2
n
，

a
n∵
a
1
S
n
S
n1
2nn2

S
1
1
2
12
符合公式，
a
n
2
n
m
，

2n

nN
*

同理 ：由
T
n
推得：
b
n
2
n1
n2
，
b
1
2m

∵
b
n
是等比数列，
∴
b
1
1

m
a
n
·b
n
1

b
n
2
n1

（2）设
c
n
∵< br>Q
n
∴
2Q
n
n·2
n
，
Q
n
是其前
n
项和，
n?2
n

12
1
22
2
32
3
12
2
22
3
32
4
22
2
2
3
n1?2
n
n?2
n1

2
n
n?2
n1
两式相减得：
Q
n
∴
Q
n
2n1?2
n1

n·2
n
n1?2
n1
n2?2
n
，

n1?2
n1
n2?2
n

另解：∵
c
n
∴
Q
n
0?2
2
1?2
1
1?2
3
0?2
2
2?2
4
1?2
3
2n1?2
n1

【点睛】本小题主要考查已知
S
n
求
a
n< br>得方法，考查错位相减求和法. 已知
S
n
求
a
n
得 方法是利用
a
n
S
1
,n1
S
n
S
n1
,n2
来求数列的通项公式.属于中档题.

19.已知两个定点A(1,0)
，
B(2,0)
，动点
P(x,y)
到点
A
的距离是它到点
B
距离的2倍.
（1）求
P
点的轨迹
E
；

（2）若过点
C(1,1)
作轨迹
E
的切线，求此切线的方程.

【答案】（1）见解析；（2）
x1
或
3x4y10

【解析】

【分析】

（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后 可求得轨迹
E
的方程.（2）由于轨迹
E
是圆，故设切线方程为
点斜 式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，
由此求得题目所求的切线方程，有两条.

【详解】（1）设动点
Px,y
， 则
PA
坐标代入得：
化简得：
x3
2PB
，

2
x1
2
2
y
2
4

2x2y
2
，

y
2
所以动点
P
的轨迹
E
是以
3,0
为圆心，以2为半径的圆；
（2）设
l:y1kx1
是圆
E
的切线，则有：
2k1
k
2
1
2k
3

，
4当
k
不存在时，
l:x1
恰好与圆
E
切于
1, 0
点，
综合得：切线方程为：
x1
或
3x4y10
.

【 点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求
动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为
x,y
，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的 长度关系式，
然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.

20.已知函数
f(x)
1
3
1a
2
xxax
（< br>a
为常数，
a
32
R
）.

（1）求函数
f(x)
的单调递增区间；
（2）若函数
f(x)< br>在
(3a1,2a)
上单调递减，求
a
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】

【分析】

1

2

（1）对函数求导后，对
a
分成a1,a1,a1
三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求
得
a
的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得
a
的取值范围.

【详解】（1）∵
f'x
所以，当
a1
时，
f'x
x
2
a1xa
x1
；

2
x1xa
，

0
，

fx
递增 区间为
当
a1
时，
f'x
∴
fx
递增区间为
当
a1
时，
f'x
∴
fx
递增区间为
,
x1xa
,1
和
a,
x1xa
,a
和
1,
0

；

xa
或
x1
，

0

；

x1
或
xa
，

（2）∵
3a12a
， ∴
a1
，

当
a1
时，
f'xx1xa0

ax1
，

即
fx
的递减区间为
a,1
，

∴
3a1,2aa,1

3a1a

2a1
a
1
.

2
【点睛】本小题主要考查利用导 数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参
数的问题.导数在研究函数中， 主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数
为负数的区间，函数是单调递 减的.本小题属于中档题.

21.一幅标准的三角板如图（1）中，
ABC
为直角，
A60
0
，
DEF
为直角，
D45
0，且
BCDF
，
把
BC
与
DF
拼齐使两块三角 板不共面，连结
AE
如图（2）.
（1）若
M
是
AC的中点，求证：
EMBC
；

三棱锥
ABECa
，（2 ）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中
AB
的体积 为
1
3
a
，则图（2）是否为鳖臑说明理由.
4

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】

【分析】

（1）取
BC
的中点
N
，连接
MN,EN
，通过证明直线
BC
平面
MNE，证得直线
BCBM
.（2）根据
AB
的长度，求得
BC,BE ,CE
的长度，求得三角形
BEC
的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为
a
，
由此证得
AB
平面
BEC
，进而证得四个三角形都是直 角三角形.
【详解】（1）证明：设
BC
中点为
N
，连结
MN,EN
，


∵
AB
∴
MN
∵
BE
∴
EN
∵
MN
∴
BC
故
ME
BC
，
MNAB
，

BC
，

EC
，
BEEC
，
BNCN
，

BC

ENN
，

平面
MNE
，

BC
；

（2）此时三棱锥
ABEC
时鳖臑

∵
ABa

BC3a
，
BECE
6
a

2
S
BEC
3
2
a

4
又三棱锥 的体积
V
所以
AB
1
3
a
4
高
h a
，

平面
BEC
，

那么，在三棱锥
ABEC
中，
ABC,ABE,BEC
显然是直角，
∵
CEBE
，
CEAB
，
ABEBBCE
平面ABE

CEAE

AEC
也是直角
那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.
【点睛】本小题主要考查空间两条 直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线
面垂直的证明，属于中档题.
22.已知函数
f(x)
（1）当
a
a(x1)lnxx1< br>.

3
时，求
f(x)
在
(1,f(1))
处的切线方程；
0
在
(1,)
上恒成立，求实数
a
的取值范围. （2）若
f(x)
【答案】（1）
5x
【解析】

【分析】

（1）当
a
1
（2）
a[,
y 50
；
2
)

3
时，求得切点和斜率，由此求出切线方程. （2）求出函数的导数后，对
a
分成
1
,a
2
1
三 类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得
a
的取值范围.

2
a 0,0a
【详解】（1）
a
∵
f1
3fx3x1lnxx1

f'15
，

0
，∴所求切线方程为
y5x1
，

y50
；

即所求切线方程是
5x
（2）
f'xa lnx
ax1
x
1alnx1
1
x
1

若
a0
，∵
x1f'x0fx
单调递减，

∵
f10
在
1,
上，
fx0
，不合题意；
1

f''x
ax1
x
2
若
a0
，由
f'x
∵
x1
由于
f'1
那么，
0
a lnx
ax1
x
，

f''x0f'x
单调递增，
2a1
，

a
1
时，
f'1
2
1
a
2a10
，

f'e
1
a
1aae
1
a
10

则
x
0
1,e
，
f'x
0
0
< br>那么在
1,x
0
上，
f'x
∵
f1
若
a
0
，
fx
单调递减，
0
，不合题意；
0< br>，∴在
1,x
0
上，
fx
f''x
f'x
0
0
1
，
x1
2
f'x
单调递增，
fx
单调递增，
0
，符合题意.
f'1
∵
f1
2a10
0
，∴
x1
，
fx
1
,
2
.

综合上述得：
a
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像 的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难
题.