党的根本宗旨-联想柳传志

目 录

一、分数乘法——找准数量关系……………1
二、找规律（一）……………………………5
三、找规律（二）……………………………9
四、量率对应…………………………………13
五、趣味探索…………………………………17
六、组合图形巧求面积（一）………………21
七、组合图形巧求面积（二）………………25
八、工程问题…………………………………29
九、分数、百分数的应用1…………………33
十、分数、百分数的应用2…………………37
十一、商业中的数学…………………………41
十二、有趣的数学故事………………………45
十三、有趣的数学题…………………………49
十四、分数乘法——举例列举法……………53
十五、分数乘法——倒数的进一步认识……57

分数乘法——找准数量关系
学习导航
1、会找单位“1”，明确分数的意义，从而准确找出数量关系。
2、比谁多，比谁少的问 题是一个难点，根据学生的思维水平，让
学生跳一跳摘到桃子，进一步深化对单位“1”的理解，激发学 生学习的
欲望和兴趣。
3、拓展练习、培养能力，实际的应用才能巩固学生解决这类问题的能力，在练习层次的设计上，使学生掌握解决问题的方法。
一、快乐对对碰
3

实验小学去年有24个班级，今年扩大规模，班级数比去年增加。
8
你能提出什么问题？
二、趣味探索
今年增加了多少个班级？


3
表示的意义是…… 单位“1” 是……
8

3

数量关系是：去年的班级数×=今年比去年增加
8
的班级数。
我会列算式：24×=9（个）。
3
8

试一试
×
今年有多少个班级？




三、大显身手
1、先说说各个分数的意义，再把数量关系式补充完整。
2
。
5
2
（ ）的个数×=（ ）的个数
5
1
（2）实际用水量比原计划节约。
10
1
（ ）用水量×=（ ）用水量
10
2
2、一件上衣，原价63元，现在的价钱比原来降低了。降价多少元？
7
3
3、小红有28张邮票，小明的邮票比小红多。小明比小红多多少张
4
（1）皮球的个数比篮球多
邮票？

四、数学万花筒
分数的由来 < br>200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7
米长的一根绳子分成三等份 是不可能的，因为找不到一个合适的数来表
示它．如果我们把它分成三等份，每份是
我们把它叫 做分数。
为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特
征．例如，一只西瓜 四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这
个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要—— 除法运算的需要
而产生的。
最早使用分数的国家是中国。我国古代有许多关于分数的记载。
《九章算术》是我国1800多年前的一本数学专著，其中第一章《方
田》里就讲了分数四则算 法。
在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年．所以说中国有
着悠久的历史，灿烂的文化。
77
米．像 就是一种新的数，
33
猪八戒分桃子
一天，八戒去花 果山找悟空，可偏偏不巧，大圣不在家。小猴子们
热情的招待八戒，采了山中最好吃的山桃整整100个 ，八戒高兴的说，
“大家一起吃，大家一起吃！”可怎样吃呢，数了数共30只猴子，八戒
找个 树枝在地上左画右画，列起了算式，100÷30＝3.....1
（我笨，把100和30同 时划去一个0），八戒指着上面的3，大方
的说，“你们一个人吃3个山桃吧，瞧，我就吃那剩下的1个 吧！”小
猴子们很感激八戒，纷纷道谢，然后每人拿了各自的一份，从旁吃去了。
悟 空回来后，小猴子们对悟空讲今天八戒如何大方，如何自已只
吃一个山桃，悟空看了八戒的列式，大叫， “好个呆子，多吃了山桃竟

然还嘴硬，我去找他！”
哈哈，你知道八戒吃了几个山桃？

找规律（一）
学习导航
1.使学生通过观察、推理等活动，发现数字的变化规律。
2.培养学生初步的观察、推理能力，培养学生发现和欣赏数学美的 意识。
引导学生发现规律，帮助学生理解和掌握找数字排列规律 的一般方
法。
3. 让学生在探索规律的活动中获得成功的体验,增强对数学学习的兴趣
和信心;在他人的帮助下,能及时调 整自己的探索策略。
一、快乐对对碰
1. 1，6，11，16……第10个数是（）
42
1
1
，，，（），，（）
55
5
20
13
9
27
3. ，，，，（），（）
24
8
16
1
2484
4. , ,,( ), ,( )
3
2438127
2.
二、趣味探索
1. 1，6，11，16……第10个数是（）
点拔：首先看这道题要是按顺序那第一项 和第二项，第二项和第三项很
难看出他们两者之间有什么关系，那么你会发现1和11,6和16感觉< br>上有点规律，那么就尝试看看第一项和第三项，第二项和第四项，也
就分开找规律，奇数项的规律 和偶数项的规律，你会发现第一项与第
三项差10，第二项和第四项也差10，也就是说第一、三、五、 七、九
项在1的基础上后一项比前一项多10，同理第二、四、六、八、十项
在6的基础上后一 项比前一项也多10。
解答：题目当中要求的是第10项，那么第十项是偶数项里面的，从第2

项到第10项要多多少个10？应该怎样思考？要考虑偶数和奇数都是
一半所以首先应 该10

2=5，偶数有五个分别是2、4、6、8、10，联
想到植树问题里五个数 有四个空，那就是在第一个数的基础上加四个
10，就是6+10+10+10+10=46第十项是4 6.
2.
42
1
1
，，，（），，（）
55
5
20
1
。
2
点拔：首先看分数的分母不变，分子都是除以２。也 就是每一前面项除
以2就是后面项，但是为了简便运算最好是每一前面的项乘
这样就不会出现运 算错误。
1
11111

=

＝
5
21020240
13
9
27
3. ，，，，（），（）
24
8
16
解答：
点拔：首先你会发现分母在 前一项的基础上乘２，分子在前一项的基础
3
等于后面的项。
2
27381813243

＝

＝解答：
1623232264
1
1684
4. ，,,( ), ,( )，（ ）
3
2438127
上乘３.也就是每一前面 的项乘
点拔：首先你会发现这是分子分母分别依次减小，那么就是分母是在前
一项的基础上除以 3，而分子是在前一项的基础上除以2.那要是这样计
算算到的后一项的时候学生会容易出现计算错误分 子1除以2，分母3
除以3，学生会不知道除以的这个2应该写在什么地方，到底是分子还
是放 在分母上。那么下一个数就会一连错下去，所以比较容易理解的分
母除以2就是乘
在前一项乘< br>1
3
1
，那分母除以3就是乘3，所以你不难发现后一项是
2
3
后得到的。用乘法来计算学生容易接受。
2

3
可得后面的项.
2
1
31432133

＝

＝

= 解答：
3
222729224
所以：每一前面的项乘
三、大显身手
1. 1,2,3,4,9,8,( ) ,( ) ,81,32
18622
,,,( ), ,( )
77763
239
3. ,1, ，，（ ），（ ）
324
3
1
11
4. ，，，，（ ），（ ）
8
4
69
2.
5. 观察分析下面这串分数的变化规律：
1121
1
2
3
2
1
12343
，，，， ，，，，，，，，，
1222
3
3
3
3
3
4444 4
21
，，……
44
7
求：是第几个分数？
10
，
四、数学万花筒
贝勃定律
有人做过一个实验：一个人右手举着300克重的砝码，这时在他
的左手放上305 克的砝码，他并不会觉得有多少差别。直到左手砝码的
重量加至306克时，才会觉得有些重。如果右手 举着600克砝码，这时
左手上的重量要达到612克才能感觉到重了。也就是说，原来的砝码越
重，后来就必须加更大的量才能感觉到差别。这种现象称为“贝勃定律”
“贝勃定律”在生活中到处 可见。比如，5角钱一份的晚报突然涨
了50元钱，你会觉的不可思议，无法接受。但是，如果原本50 0万元的
房产也涨了50元钱，甚至500元钱，你都会觉得价钱根本没有变化。
精明的人会利用“贝勃定律”为自己减轻做事的阻力。

一些商家调整产品的价 格时，他们会先小幅度上涨价格，在人们
都接受了以后再大幅加价。
有经验的谈判专家，都会 在谈判临近结束时才提出一些棘手的条
件。二对方被一开始的优厚条件所诱惑，常常就不怎么在意之后才 提出
的那些条件了。

















学习导航
找规律（二）

1、学生通过观察、猜测、实验、推理等活 动使学生发现数字的循环排列
规律。
2、通过教学活动初步发展学生的想象力，培养学生的创新意识、观察、
操作及归纳推理能力。
3、培养学生发现和欣赏数学美的意识，运用数学去创造美的意识；使学
生知道生活中事物有规 律的排列隐含着数学知识。
一、快乐对对碰
1.
8888
9999
+和

+和


3535
2727
发现什么规律？
2. 根据

11111
1
1
1
=-和

=-算 出
12122
3
2
3
111
11
111

+

+

+……+


12233
499100
8888
9999
+和

+和


3535
2727
二、趣味探索
1.
发现什么规律？
点拔：首先你会发现都是
99
和这两个数，而且这两 个数的分子都相同
27
并且这两个数的分母加起来等于他们的分子（2+7=9）不同的是前面 是
这两个数的和而后面是这两个数的乘积。这样要找规律怎么办？只能
按照题目中给出的要加就 加算出接过来：
要乘就乘出接过来
9981
+= 2714
9981

=，那么这样你会发现原来规律是这样的：
2714
两个分数分子相同，两个分数的分母之和等于分子，那么这样的两个
分数之和与这两个分数之积 的结果是相等的。
同样
88
和这两个数也是分子相同，这两个分数的分母相加等于分 子
35

（3+5=8），计算出两分数的和：
88
64
+= 两分数的积：
35
15
88
64

=。规律也是这样的：
35
15
解答：两分数的分子相等且等于两分母之和那这两个分数相加等于这两
个分数相乘 。
2. 根据

11111
1
1
1
=-和

=-算出
12122
3
2
3
111
11111

+

+

+……+


122
33
499100
1
1
1
1111111
1
1
点拔：根据已知

=-，

=-，你会 写出

=-
3
4
3
412122
32
3
1111

=-
9910099100
那么
11
111111

+++……+ 就等于
33
122499100
111
11
1111
-+-+-+……+-你会发现中间的减掉一个又
122
33
4991002
11
1
加了一个，同样的减掉一个又加了一个，那后面也是减掉一
33
2
1111
个后面肯定是加上一个，同样加的前面是减掉一个所以
449999中间的这些数你会发现都可以抵消掉。那么就剩下第一项和最后一
11
，这样就容易计算了 。
1100
111
11
1111199
解答：-+-+-+……+ -=-=
122
33
4991001100100
项了，就是-
三、大显身手
1
1
1
1
=（ ）

= ( )
3
4
3
4
1
1
1
1
-= ( )

=（ ）
6
7
6
7
1. -
1. 先计算，再观察每组数的得数，你发现什么规律？

2. 你还能再写几组算式吗？
2.
3939

3= +3= ,
2222
416416


4= +4= ，
3333
525525

5= +5=
4444
1
111111
1
==- ==- 6
232
3
21212
1
1
111111
+++++++=
2
6
2
你发现什么规律？再试着写几组。
3. 根据
四、数学万花筒
微软的面试题
全球最大规模的电脑软件公司微软在招聘员工的考试中常常会出一
些看似简单，却很难回 答的问题。下面是一道微软公司的面试题，你会
给出怎样的答案？
为什么下水道的盖子是圆形的而不是正方形的？
应聘者的回答可说是五花八门。
有人诙谐地回答：下水道的洞口是圆形的，盖子当然也应该是圆的？
应聘者回答：因为圆形的洞比正方形的洞好挖。
还有人给出这样的答案：在进行短距离搬运时 ，圆形的盖子可以很
方便地通过滚动的方法来搬运，而正方形的盖子就不容易搬运，你需要
借助 手推车或者由两个人抬着走。再有一点就是，用圆形盖子盖住洞口
时，不需要怎么调整就可以与洞口严丝 合缝。
主考官认为最好的回答是：正方形的盖子容易掉到洞里去。
想一想，如果盖子真的掉 进下水道的话，那么。不是发生伤害施工
人员的事故，就是盖子掉到水里，很难打捞。

为什么正方形的盖子容易掉下去呢？这是因为正方形的对角线比它
的边长要长一些。如果把一个 正方形的盖子垂直地立起来，稍微一转，
它就会很容易掉到下水道里去。与此相反，圆的直径都是等长的 ，这使
它很难掉到洞里去。
这个问题是微软最为有名的面试题。由于“曝光率”太高，微软在
面试中已经停止使用这道题了。












量率对应
学习导航 1.在解答分数，百分数应用题时，首先要弄清单位“1”，其次要分析具
体数量与单位“1”之间 的关系。再根据具体数量和实际分率的对应关系，
求得所求问题。
2.使学生理解和掌握求一 个数是另一个数的几分之几的应用题的解题思

路和方法。
理解分数的含义，掌握有关分率的计算方法。
3.依据分数与百分数应用题的内在联系，培养 学生的迁移类推能力。是
本节课的教学重点。正确分析题里的数量关系，正确列式
一、快乐对对碰
4
1.王师傅计划做一批零件，第一天做了计划的
7
，第二天又做了余下
3
的
5
，这时还剩42个零件没做，王师傅计划做多少个零件？
2 发电厂去年计划发电70万千瓦时，结果上半年完成计划的
年完成计划的，去年超额发电多少万千瓦时？
3
，下半
7
3
5
二、趣味探索
1.点拔：首先你可以通过画图来分析这个题目，这样更一目了然.请自己
作图。
把 计划做的零件总数看作单位“1”，解题关键是找到与剩下42个零件对
4
应分率。第一天做了
7
，是把计划做的零件总数看作单位“1”，第二天
3
又做了余下的
5
，而这是把余下的零件看做是单位“1”，那么余下了多
443
少？就用总共的单位 1减掉第一天做的
7
即（1-
7
=
7
），那第二天做的33
333
就是余下单位“1”的
7
，在
7
中又做了< br>5
，就是余下了
7
的
5
即

3247

5
=
9
,第一天做了
7
，又做了
9
，做了两次后还剩下计划做的零
3535
4
9
件总数的几分之几， 也就是用单位1减去第一天做的
7
再减去又做的
35
46
9
35
就是剩下的1-
7
-= 那剩下的 42个没做就是要找42对应35
6
的分率，就是看做了两次后还剩下了几分之几，因此42个与计划的
35< br>相
6
对应。也就是计划做的零件总数的
35
是42个，那这样由部分求 整体用
除法，就是具体的量除以这具体量所对应整体的几分之几。也就是用
6
42
35
.
3
4
解答：42

【（1-
7
）

（1-
5
）】
326
=42< br>
【
7

5
】=42

35
=24 5（个）
答：王师傅计划做245个零件。
2.点拔: 求超额发电多少万千瓦时，需先求 超额完成了计划的几分之几，
根据上半年、下半年完成的分率，可知全年超额完成了计划的
3< br>3
1
+-1=，根据超额完成的分率可以求出超额完成的具体千瓦时。
7
5
35
3
3
1
【解答】 70

（+-1）=70

=2（万千瓦时）
7
5
35
答：去年超额发电2万千瓦时。
三、大显身手

1 一瓶油第一次吃去，第二次吃去余下的
这瓶油原来有油多少千克？
1
5
1
3
，这时瓶内还有千克，
5
4
5
8
1
5
2 张明看一本故事书，每天看30页，3天后还剩全书的没有看。这本
故事书共有多少页？
3第 一桶汽油，第一次取出12千克，第二次取出剩下的，第三次取出
全桶油的
1
，正好取 完，第二次取出多少千克？
2
4 把一批面粉分给三个工厂，甲厂先分得这批面粉的
的
2
，乙厂分得余下
5
2
，最后丙厂分得14.4吨，这批面粉重多 少吨？
5
四、数学万花筒
谁 是 凶 手
A、B、C3个探险家在沙漠中偶遇。A和B都认识C，并且都跟C有仇。
A决定借机谋杀C，他偷偷在C地水壶里下了剧毒。
B也想杀害C，但他不知道A已经有所行动。 B趁C没留神，在C地水
壶底凿了个洞。不一会儿，里面的水就漏光了。
因为缺水，当天晚上，C死在了离营地只有1英里的沙漠里。
看了上面这个故事后，你认为谁是杀害C的凶手？
你也许会说，A是凶手。可是，C是渴死的，跟A下的毒药无关。
如果你断定B是凶手，也许有人 站出来为B辩解：B把毒水从C的水
壶里排掉，延长了他的生命。要是没有B，C一喝下含有剧毒的水， 很快
就会死亡，而不可能坚持到晚上。如果C早点儿赶到营地，他就不会死，
那B就成了他的救 命恩人。虽然C最后没有及时赶到营地，但那不是B
造成的。
我们从伦理道德的角度看， A和B心怀歹意，都犯了不可推卸的道德

罪。但从法律的角度考虑，不同的法官将会得出 截然不同的结论。看问
题的角度不同，得出的结论就不同。














趣味探索
学习导航
1．使学生理解“平均数”的含义，掌握简单求平均数的方法的 同时会求
复杂的求平均数的方法．再求平均数的过程中加强理解比例与分数的联
系
2．培养学生分析、综合的能力和操作能力．
3．使学生感悟到数学知识与生活联系紧密，增强对数学的兴趣．
一、快乐对对碰

3
9
1. A、B、C3个数的平均数是
5
， A、B、C、D4个数的平均数是
16
。
D是多少？
1
2. 甲、乙两数相差75，甲数除以乙数的商是
4
，甲、乙两数各是多
少？
二、趣味探索
3
1. A、B、C 3个数的平均数是
5
，根据平均数的定义可以写成
ABC
3
9
3
=
5
.再由A、B、C、D4个数的平均数是
16
，根据平均数的定
ABCD9
4
义可以写成=
16
。
要求D是多少，不可能把A、B、C 都求出来，但是可以把A、B、C的和
ABC
3
3
看成是一个整体，那么 根据=
5
，等式的左右两边同时乘3可
39
ABCD
9
4
以算出A+B+C=
5

3=
5
。再由=
16
，登时左右两边同时乘
9
99
9
4可以写成A+B+C+D=
16

4=
4
，那么把A+B+C=
5
带入到A+B+C +D=
4
，
9
9
也就是把用我们学习的替换策略，A+B+C+D=
4
把A+B+C替换成
5
，就变
9999
9
9< br>9
成了
5
+D=
4
，等式的左右两边都减
5
即：
5
+D -
5
=
4
-
5

9
D=
20

1
2. 甲、乙两数相差75，可得甲-乙 =75，甲数除以乙数的商是
4
，甲
1

乙=
4
=1:4，也可以理解为乙数是甲数的4倍。那么可以解：设甲数为
x ，乙数为4x.
根据甲-乙 =75，4x-x=75,3x=75,x=25，4x=100。
所以甲数是25，乙数是100.
三、大显身手
1.小军，小明，小红三人的平均体重是a，小军和小明的平均体重是b,
小红的体重是（ ）
2.甲数与乙、丙2数的平均数的比是7:13，甲数与甲、乙、丙3数的平
均数的比是（ ）。
3.甲、乙、丙三个数的平均数是20.甲、乙、丙三个数的比是3:2:1。甲、
乙、 丙三个数分别是多少？
4.盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是2:3，红球个数与白球个数的比是4:5.已知三种颜色的球共175个，红、黄、白球各有
多少个？
四、数学万花筒
减法

数学课上，数学教师对一位学生说：“你怎么 连减法都不会？例如，你
家里有十个苹果，被你吃了四个，结果是多少呢？”这个学生沮丧地说
道：“结果是挨了十下屁股！”
五百只鸭子
一位男数学教师对两个吵闹不休的女学生说：“两个女人的声音，犹如
一千只鸭子的叫声。”
一会儿，数学教师的妻子来看望他。其中一个女学生赶来报告。“老师，
门外有五百只鸭子来看 您。”
数学家谈恋爱
数学家同女朋友在公园漫步。女朋友问他：“我满脸雀斑，你真的不介
意？”
数学家温柔地回答：“绝对不！我生来最爱跟小数点打交道。”
谁最吝啬
“你说，世界上谁最吝啬？”

“当然是数学家。”
“为什么？”
“他们是毫厘必争呀！”











组合图形巧求面积（一）
学习导航
1、认识组合图形,会把组合图形分解成已学过的平面图形。
2、通过找一找、分一分、拼一 拼,培养学生识图的能力和综合运用有关
知识的能力,能合理地运用“割”、“补”等方法来计算组合图 形的面
积。
3、培养学生的观察能力和动手操作的技能,发展空间观念,提高思维的

灵活性。
4、通过拼组图形,使学生感受数学与现实生活的密切联系,体会数学带
给大家的生活美。
一、快乐对对碰
1.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是
（ ）平方厘米。



2.图中扇形的半径OA=OB=6厘米.
AOB45
, AC垂直OB于C,那么图
中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
(

3.14)





二、趣味探索
1.由图示可知,由右图是一个直角等腰三角形可知最上面的角是90度，等腰三角形两底角相等所以由三角形内角和可得其中一底角为45度。由
（180－90）

2＝45。 你可以仔细观察与圆和扇形联系可见这个图可
以看成是组合图形，图是由两个 圆心角为45度的扇形重合而成。图中阴
影部分面积为两个圆心角为
45
的扇形面积减 去直角三角形的面积.
即
3.142
2

451
2 221.14
3602
(平方厘米)。

2. 三角形ACO是 一个等腰直角三角形,将AO看作底边,AO边上的高为
1
639
AO26 23
(厘米),故三角形ACO的面积为
2
(平方厘
3.146
2

45
14.13
360
(平方厘米),从而阴影部分面米) .而扇形面积为
积为14.13-9=5.13(平方厘米)。
三、大显身手
1.如图,阴影部分的面积是 .






2.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平方
厘米).





四、数学万花筒
八岁的高斯发现了数学定理

德国著名大科学家高斯(1777～1855)出 生在一个贫穷的家庭。高斯
在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱
时，还纠正父亲计算的错误。长大后他成为当代最杰出的天文学家、数
学家。
他八岁时进入 乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，
觉得在一个穷乡僻壤教几个小孩子读书，真是大材小 用。经常出难题找
机会处罚孩子。
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算 不出来就罚他
不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在
椅子上看去 了。
还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不
是这样？” 老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他想
不可能这么快就会有答案了。
可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是
对的。”
数学 老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：
5050，他惊奇起来，因为他自己曾经 算过，得到的数也是5050，这个8
岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？
高斯解释他 发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计
算级数1+2+3+…+n的方法。高斯的发 现使老师觉得羞愧，觉得自己以前
目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来 ，
并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高
斯以后便在数学上作了 一些重要的研究了。

组合图形巧求面积（二）
学习导航

1、让学生结合具体情境认识组合图形的特征，并能准确掌握和计算 其他
一些简单组合图形的面积。
2、通过自主合作，培养学生独立思维、合作探究的意识。
3、让学生在解决实际问题的过程中，感受平面图形的学习价值，提高数
学学习的兴趣和学好数 学的自信心。
一、快乐对对碰
求图中阴影部分的面积（长度单位：厘米）


二、趣味探索
1.思路点拨：这个图形不是我们学过的简单图形，是个组合图形。 是由
一个扇形和一个直角梯形合并而成的。求阴影部分的面积就是求扇形面
积和梯形面积的和， 扇形圆心角的度数是整个圆的圆心角的度数剪掉直
角梯形的90度（360－90＝270）所以扇形圆 心角的度数是270度，直角
梯形的上底和高是扇形的半径，都是4厘米。
（1）扇形的面积：
270
2
3.14

4
< br>360
=37.68（平方厘米）
（2）直角梯形的面积：
（4+6）

4

2=20（平方厘米）
阴影部分的面积：

37.68+20=57.68（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57.68平方厘米。
2.思路点拔：这个图形是由一个直径是5厘米 的半圆，和直径是3厘米
的半圆与直径2厘米的半圆组成的，阴影部分是直径是5厘米的半圆的
面积减去直径是3厘米的半圆的面积减去直径2厘米的半圆的面积。
（1）直径5里面的半圆的面积：
1
3.14

5
2

2
=39.25（平 方厘米）
（2）直径3里面的半圆的面积：
1
3.14

32

2
=14.13（平方厘米）
（3）直径3里面的半圆的面积：
1
3.14

2
2

2
=6.28（平方 厘米）
阴影部分的面积：
39.25-14.13-6.28=18.84（平方厘米）
答：阴影部分的面积是18.84平方厘米。
三、大显身手
计算下面各图中阴影部分的面积（单位：厘米）



（温馨提示：首先要找出来是哪些
四、数学万花筒
聪明青年智当女婿
） 图形的组合。

在一个古代的欧洲国家里，有一位非常漂亮的公主。国< br>王在王宫前的广场上举行了隆重的选女婿仪式。前来参加竞争的是l00
名已被精心挑选过的青年 。一位大臣向大家宣布了规则：
竞选人以公主为首排成一个横列。在国王下达报数令后，由公主开始报
数，每报数一次，所有的偶数退列。经过多次报数后，谁能够唯一地留
在公主的身边，谁就是被 选的女婿。
竞选来始了！那100名青年随着公主整整齐齐地排成一
个横列 。国王一声令下：“报数！”成千上万双眼睛都紧紧地注视着他
们。一批竞选人落选了，又一批竞选人落 选了......经过6次报数后，
一个从小就喜爱数学的青年赢得了胜利，被选为女婿。
这位聪明的青年人获胜的秘诀在哪里呢？
要能够最后唯一地留在公主身边，关键在于 第一次排队时所选
的位置。确定这个位置并不难。一个办法是从1写到101，一次一次地
将排 列顺序中的偶数部分划去，即
（1）1、2、3、4、5、••••••100、101；
（2）1、3、5、7、9、••••••99、101；
（3）1、5、9、13、17••••••97、101；
（4）1、9、17、25、33••••••89、97；
（5）1、17、33、49、65、81、97；
（6）1、33、65、97．
我们不难知道被选女婿第一次排队时的位置的应是65。

工程问题
学习导航
1、抓住学生思维的热点，让学生主动参与，感知知 识的形成过程，
调动学生原有的知识和生活经验，初步感知相遇，经过师生共同对知识

< br>的梳理，进一步深化对相遇问题的理解激发学生创新的欲望和兴趣。
2、拓展练习、培养能力， 实际的应用才能巩固学生解决这类问题
的能力，在练习层次的设计上，使学生掌握问题的方法。
一、快乐对对碰
甲乙两队开挖一条水渠，甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12< br>天完成。现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的工程明天挖完。
问：乙队挖了多少天？
二、趣味探索

乙队挖的天数，就是甲、
乙合作挖的天数。



甲乙合作的工作量除以甲乙的
工作效率之和，就得到甲乙合作
的 天数，也就是乙挖的天数。





甲乙合做的工作总量等于工
作总量单位1减去甲后3天做
的工作总量。


三、大显身手

加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做 30天可以完工。现
两人合作来完成这个任务，合作中甲休息了2.5天，乙休息了若干天，
做 好14天完工，乙休息了几天？

我是这样想的，14天完工，
其中甲休息了2.5天，那么
甲做了11.5天






单位“1”减去11.5天做的工作 总量
就是乙做的工作总量，用乙做的工作
总量除以乙的工作效率就是乙做的
天数。
四、数学万花筒
列表也能解决问题
甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞 赛中得了前五名。发奖
前老师要他们猜一猜各人所得的名次。甲猜：乙第三名，丙第五名；乙
猜 ：戊第四名，丁第五名；丙猜测：甲第一名，戊第四名；丁猜：丙第
一名；戊猜：甲第三名，丁第四名。 老师说：每个名次都有人猜对了。
试问：获得第四名的是谁？
读完题目，你一定会感到头绪太多，无从下手。为了理出头绪，让
我们把五位同学猜测的结果用表格列出

甲 猜
乙 猜
丙 猜
丁 猜
戊 猜
第一名


甲
丙

第二名



乙

第三名
乙



甲
第四名

戊
戊

丁
第五名
丙
丁



这时 ，注意到老师所说的“每个名次都有人猜对。”我们从表格中意外的
发现：只有丁猜的“乙是第二名”这 个结果是唯一的，立即可知乙一定
是第二名。乙是第二名，就不会是第三名，所以甲一定是第三名。从而 ，
甲不是第一名，则丙一定是第一名。由此又推得，丙不是第五名，丁是
第五名。因为丁不可能 是第四名，故第四名只能是戊。
当然，列出表格以后，根据老师所说的话，也可以从第四名是戊或
丁入手。经分析，如果丁是第四名，则将引出矛盾，从而确定只能是戊
获得第四名。
由此可知，有些问题，各种量之间关系复杂，并列出现的情况多，
常会使你觉得难以入手。解题时，如果 我们能选用合适的方法（包括画
图、列表等），把有关的数据（或相互之间的关系）整理出来，则量与< br>量之间的关系立刻跃然纸上，问题也就迎刃而解了。

分数、百分数应用1
学习导航
拓展练习、培养能力，实际的 应用才能巩固学生解决这类问题的能
力，在练习层次的设计上，使学生掌握问题的方法。
一、 快乐对对碰
一篓苹果分给甲、乙、丙三人，甲分得全部苹果的加5个苹果，乙分
得全部苹果的
1
5
11
加7个苹果，丙分得其余苹果的，最后剩下的苹果正
42< /p>

好等于一娄苹果的.这篓苹果有多少个？
1
8
二、趣味探索









把一篓苹果的总个数看做单位“1”，
运用倒推法，由“丙分得其余苹果的
1
，最后剩 下的苹果正好等于一篓苹
2
1
果的”可知，丙分得的正好是一篓
8
1
我可以用线段图表示：
苹果的。
8
从线段图上看出5个与7个的和就相当 于
1
1
1
一篓苹果（1---×2）
5
4
8


二、 大显身手
1
，乙数是 甲数、丙数、丁数之和
2
1
1
的，丙数是甲数、乙数、丁数之和的。已知丁数 是260，求甲数、
3
4
甲数是乙数、丙数、丁数之和的
乙数、丙数、丁数之 和。





甲数是乙数、丙数、丁数之和的
1
，是把乙数、丙数、丁数之和
2
看做单位“1”。

乙数是甲数、 丙数、丁数之和
1
的，是把甲数、丙数、丁数
3
之和看做单位“1”。

丙数是甲数、乙数、丁数之和的
1
，是把甲数、乙数、丙数、丁
4
数之和看做单位“1”。

四、数学万花筒
对联中的数学
(一)
花甲重开，外加三七岁月；
古稀双庆，内多一个春秋．
这副对联是由清代乾隆皇帝 出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪
晓岚对下联，联中也隐含这个数．即上述下联．
上联的算式：2×60＋3×7=141，
下联的算式：2×70＋1=141．
(二)
三强韩赵魏．九章勾股弦．

上联为数学家华罗庚1953年随中国科学院出国考察途中所作．团长
为钱三强，团员有大气物 理学家赵九章教授等十余人，途中闲暇，为增
添旅行乐趣，华罗庚便出上联“三强韩赵魏”求对．片刻， 人皆摇头，
无以对出．他只好自对下联“九章勾股弦”．此联全用“双联”修辞格．”
“三强” 一指钱三强，二指战国时韩赵魏三大强国；“九章”，既指赵九
章，又指我国古代数学名著《九章算术》 ．该书首次记载了我国数学家发
现的勾股定理．全联数字相对，平仄相应，古今相连，总分结合．
(三)
四川一座乡村中学，一对数学教师结合夫妇，在元旦结婚之日，工
会赠一副贺联云：
世事再纷繁，加减乘除算尽；
宇宙虽广大，点线面体包完．
(四)
某地一对新人，男的当会计，女的做医生，完婚之日，有人赠贺联
一副：
会计合数检验误差重合数；
医生开方已知病根再开方．
嵌入“合数”、“开方”等数学名词，天衣无缝。
(五)

某市一对数学教师，几经波折，终于结为秦晋之好，同事撰一联相
贺，联云：
爱倩如几何曲线；
幸福似小数循环．
“几何曲线”形象地表述了这对数学教师爱情 历经坎坷曲折；“小数
循环”是一个无穷无尽的数值，借此祝贺新人的美满幸福，天长地久，
实 在是神来之笔．


分数、百分数应用2
学习导航
解答分数、百分数应用题时，关键要通过分析数量关系，弄清楚每
道题把什 么看单位1，找到解题的数量关系式，再根据分数与除法的关
系或一个数乘以分数的意义列式解答。
一、 快乐对对碰
一个布袋有红、黄两种颜色的小球共1400个，拿出红球的
1< br>，再
4
拿出7个黄球，剩下的红球和黄球正好一样多。原来红球和黄球各有多
少 个？
二、趣味探索


1
，可以把红球看做单
4
位1，剩下的红球占红球总数的1
13
—=。
44

拿出红球的

因为拿出7个黄球后，剩下的红
球和黄球一样多，所以剩下的黄
3
球也占红球总数的。
4
二、 大显身手
金放在水里称，重量减轻
11
；银放在水里称， 重量减轻,一块合
1910
金重770克，放在水里称，共减轻了50克。这块合金含金含银各 多少克？









1
的和
19
11
银重量的共重50克，金重量的和
1019
1
银重量的是770×110=77（克）。
10
根据题意，可以知道：金 重量
把引得重量消去，77克与50
1
克的差就是金重量的（—
10
1
）
19



我是这样想的：（770×
50）÷（
11
—）
1019
1
—
10

我是这么想的：设这块铝合金
中，金有x克，银有（770—x）
克。
11
x+×(770—x)=50
1910
四、数学万花筒
一瓶香瓶酒
今天是妈妈的生日。小明从山上为妈妈采来一束鲜花，爸爸从城里
买回一瓶香槟酒。
妈妈 非常高兴地收下了小明为她献上的鲜花，但是却认为爸爸花钱
买香槟酒太浪费了。于是，妈妈给爸爸出了 一个难题，妈妈对爸爸说：
“你要是能在不把木塞拔出来，也不把木塞和瓶子弄坏的情况下把酒倒出来，我才喝你买的这瓶香槟酒。”
爸爸一听可为了难，不把木塞拔出来，怎么可能把酒倒出 来呢？看着
桌上的酒瓶，爸爸一点办法也想不出来。
这时，小明在爸爸耳边悄悄说了一句话。 爸爸一听不由笑着喊道“真
是好主意！”说完，立即采取行动。
不一会儿，妈妈怀子里斟满了香气四溢的香槟酒，妈妈非常高兴地举起
了酒杯。
那么，小明想出了什么好办法呢？

原来，小明是这么想的：
通过把 木塞拔出来、在木塞上打个孔、把木塞弄碎或者把酒瓶的嘴儿
敲掉都可以把酒从瓶里倒出来。
而以上四种方法都只是为了达到把相互隔绝的瓶内、瓶外这两个空
间“接通”的目的。
妈妈提出的条件只是不让采取上面的四种办法，但并不是不让“接
通”两个空间。
因此，只需再找到一种可以“接通”的办法就行了。
办法很简单：
既然界于两个空 间之间的木墓被拔到“瓶外空间”可以使两个空间
“接通”，那么，沿着相反的方向，把木塞捅到“瓶内 空间”不是也可以
同样起到“打开一条通道”的目的吗！
──问题的解决就这么简单，小明让爸爸把木塞捅到瓶里去！

商业中的数学
学习导航
1.激发学习的兴趣，引导学生仔细观察信息窗，理清信息窗中索包涵
的信息，在此基础上，再引导学生根据这些信息，提出并解决有关百分
数的实际问题。
2.拓展练习、培养能力，实际的应用才能巩固学生解决这类问题的能
力，在练习层次的设计上，使学生 掌握问题的方法。
一、 快乐对对碰
某旅游景点的门票价格及优惠办法如下表：

人数
每人票价

现有两个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费1 166元，如果两
个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需付门票880元。这个旅游团
分别 有多少人？
1~49人
12元
50~99人
10元
100人以上
8元

< br>1166既不是12的倍数，也不是10的倍数，
而且880<1166，可知总人数一定超过1 00
人，而且一个团人数少于50人，另一个团
的人数超过50人。




那么，总人数是880÷8=110人。



二、趣味探索
小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价
3元5个。新年优惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱。
问：小明共买了多少个球？





3
2
元，每个白球
5
3
元，优惠后，红、白球各买一个
2
3
少花+=4、15(元)
3
5
原价每个红球
所以，8÷


4
×2=60（个）
15
二、 大显身手

甲、乙 两个体户做生意，甲得利30%，乙损失20%，因此乙的资本仅是甲
的
1
.
2
现在已知两个让你共有资本14500元，两个人原有资本多少元？





把甲原有的资本看做“1”，获
1
得后有1+30% ×。乙原有资
2
1
本是（1+30%）×÷（1—20%）
2
13< br>=。
16
我是这么想的，
甲：
14500÷[1+(1+30%)÷（1—
20%）]=8000（元）。
乙：14500—8000=6500（元）。



四、数学万花筒

诺贝尔为什么没有设数学奖
诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能获得诺贝尔
奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”， 却得不到每年由瑞典科学院颁发的
诺贝尔奖，过去没有，将来也不会得到．因为瑞典著名化学家诺贝尔留
下的遗嘱中，没有提出设立数学奖．
事实上，遗嘱的第一稿中，曾经提出过要设立这项奖金． 为什么以
后又取消了呢？现在流传着两种说法．
第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔 同时期的瑞典著名数

学家米塔格·勒弗列尔，此人曾是俄国彼得堡科学院外籍院士，后来 又
是前苏联科学院外籍院上．米塔格·勒弗列尔曾侵犯过诺贝尔夫人．诺
贝尔对他非常厌恶．为 了对他所从事的数学研究进行报复，所以不设立
数学奖．
第二种是在瑞典本国流行的一种说法 ．在诺贝尔立遗嘱期间，瑞典
最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位数学家，而诺贝尔很不喜欢他．
数学这样一门重要学 科怎么能没有国际奖呢？第一个提出要改变长
期没有国际数学奖状况的是加拿大数学家约翰·菲尔兹．在 他担任国际
数学大会组织委员会主席期间，于1932年提出设立数学优秀发现国际
奖．当时为 了强调这项奖的国际性．决定不以过去任何一个伟大数学家
的名字命名．
1932年在苏黎世 召开的国际数学大会上，通过了菲尔兹的提议，但
菲尔兹本人在大会召开前一个月去世．为纪念他的功绩 ，大会决定以他
的名字命名这项数学奖．与诺贝尔奖不同的是，这项奖每隔四年只授予
年龄在4 0岁以下的数学家，获奖人应该是过去四年内被公认的优秀数学
家．

有趣的数学故事
学习导航
1.抓住学生思维的热点，让学生主动参与，感知知识的形成过程，
调动学 生原有的知识和生活经验，初步感知相遇，经过师生共同对知识
的梳理，进一步深化对相遇问题的理解激 发学生创新的欲望和兴趣。
2.拓展练习、培养能力，实际的应用才能巩固学生解决这类问题的
能力，在练习层次的设计上，使学生掌握问题的方法。
一、 快乐对对碰
有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子
打算把香蕉背会家，
每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最
多能背回家几根香蕉？
二、趣味探索

我想根据最多能背25根香蕉回家，
猴子可以先背50根到 25米处，这个
时候它吃了25根，还剩下25根，放
下这25根在25米处


回头再背剩下的50根，走到25米处时，
又吃了25根，还剩下25根，再背起地
上的25根，一共50根，继续背回家，
一共25米，要吃25根，那么最后还剩
25 根回家。

三、大显身手

饲养场的白兔是黑兔 的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只
白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍，原来白兔、黑兔各 有多少只？








卖掉10只黑兔，也应卖掉50只白兔，
这样白兔只数正是黑兔的5倍，而现在
却买回20只白 兔，相关20+50=70只，
现在白兔是黑兔的7倍，相关7-5=2倍。
卖掉10只黑兔 ，也应卖掉50只白兔，
这样白兔只数正是黑兔的5倍，而现在
却买回20只白兔，相关20+ 50=70只，
现在白兔是黑兔的7倍，相关7-5=2倍。


四、数学万花筒
灵感与数学灵感
数学灵感是人脑对数学 对象结构关系的一种突发性的领悟．在解答
数学难题时，通常会遇到这样的情况：尽管从多角度、用各种 方法去进
行探索，但百思不得其解．可正在“山穷水尽疑无路”之际，灵感出现
了，从而创造了 “柳暗花明又一村”的美的境界．

灵感与创造思维、灵感与数学发现究竟有何联系？我 们可看看下面
几位数学家的数学灵感与数学发现的情况．
法国数学家笛卡儿，早就有把相互独 立的代数与几何结合起来的愿
望，经过长时期的思考，但未找到合适的方法．1619年随军服务时他仍
在思考．11月9日，在多瑙河畔的诺伊堡，他几天来整日沉迷在思考之中
而不得其解，入睡后 连作数梦，梦中迷迷糊糊地想到引入直角坐标系的
方法．第二天，也即是11月10日清晨，醒后立即将 梦中所得加以整理，
终于创造了解析几何学，笛卡尔获得了成功，但他酝酿时间为1617～1619< br>年，约为两年的时间．
法国著名数学家庞加莱在谈到他发现富克斯函数的变换方法时回
忆说：“1880年有一次我离开当时居住的卡昂去作一次由矿业学校主办
的地质考察旅行．旅途的奔波 使我忘掉了我的数学工作，抵达库特塞斯
后，我们乘公共马车到各处去转转，正当我跨上踏板的瞬间，脑 子里突
然出现了一个想法，即我曾用来定义富克斯函数的诸变换跟非欧几何中
的诸变换是一致的 ．”庞加莱回到住址后，马上把这一结果加以证明．这
是在长时间紧张工作之后，思想放松时灵感的突然 闪现，是经过了约一
年时间的苦思之后才获得成功的．
被称为数学王子的高斯为证 明某一算术定理，曾苦思冥想达两年之
久，后来突然得到一个想法，使他获得成功．高斯回忆说：“终于 在两

天前我成功了……像闪电一样，谜一下解开了．我自己也说不清楚是什
么导 线把原先的知识和我成功的东西连接起来．”尽管解开这个谜的想
法是突然来的，但高斯本人经过两年的 艰苦努力才为这个成功的到来做
好了准备．
由以上对三位数学家数学灵感的出现而导致数学发 现的描述，可以
看出这种在长时期持续劳动后的某时刻出现的“突然领悟”是一种非逻
辑的高层 次的创造活动，亦即灵感思维活动．
灵感是不能靠偶然的机遇、守株待兔式的消极等待可以得到的 ．必
须是执著追求、锲而不舍、百折不挠，才能有成功的一天．所谓“触景
生情”“灵机一动” “眉头一皱，计上心来”，都是经过长期坚持不懈
地创造性劳动而“偶然得之”的．巴斯加说：“机遇只 偏爱有准备的头
脑．”恰恰道出了此中的真谛．









有趣的数学题

学习导航
抓住学生思维的热点，让学生主动参与，感知知识的形成过程，调动 学
生原有的知识和生活经验，初步感知相遇，经过师生共同对知识的梳理，
进一步深化对相遇问 题的理解激发学生创新的欲望和兴趣。
一、 快乐对对碰
一只船从甲地开往乙地，逆水航行 ，每小时行24千米，到达乙地后，
又从乙地返回甲地，比逆水航行提前2. 5小时到达。已知水流速度是每
小时3千米，甲、乙两地间的距离是多少千米？
分析：
二、趣味探索


逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，
那么顺水速度是每小时 24＋3×2＝30（千
米），比逆水提前2. 5小时，若行逆水那么多
时间，就可多行 30×2. 5＝75（千米）


每小时多行3×2＝6（千米），几
小时才多行75千米，这就是逆水
时间。




我是这样想的，
24＋3×2＝30（千米）
24× [ 30×2. 5÷（3×2）]
＝24× [ 30×2. 5÷6 ]

＝24×12. 5
＝300（千米）

三、大显身手

1. 一游客划着小船逆流而上，船上一只皮球掉入河里，2分钟后游 客发
现，立即掉头追皮球，问游客几分钟追上皮球？



2分钟游客与皮球的距离为：（球速+游
客速度）×2=（水速+船速-水速）×2=2
个船速追的时间2个船速÷（顺速-水
速）=2个船速÷船速=2分钟即游客2
分钟追上皮球 。



四、数学万花筒
第一位女教授──苏菲娅·柯瓦列夫斯卡娅
苏菲娅出生在沙皇俄国立陶宛边界的一座贵族庄园里，他父 亲是退
役的炮兵团团长。她很小就对数学很痴迷，经常对着墙壁上的数学公式
和符号，一看就是 好半天，原来，她房间里的糊墙纸是用高等数学的讲
义做成的。苏菲娅14岁时便能够独立推导出三角公 式，被称为“新巴斯
卡”。
随着时间的流逝，苏菲娅逐渐长大成人，她对数学的兴趣也与 日俱
增。但那时正处于沙皇时代，妇女是不允许注册高等学校学习的。而她
的父亲又一心想让她 像别的贵族姑娘一样，步人社交界，对她想学数学
的心愿横加阻拦。于是，苏菲娅不顾父母的反对，与年 轻的古生物学家

柯瓦列夫斯基“假结婚”，来到德国的海德尔堡。但在那里，妇女听课要
有一个专门的委员会认可才行。经过努力，她被允许旁听基础课。在此
期间，她勤奋好学，掌握 了深奥的数学知识，轰动了整个海德尔堡，成
为人们谈论的话题。可她只被允许听了三个学期的课，便不 得不离开了
那里。
苏菲娅深造心切，又慕名前往柏林工学院，打算去听著名数学家维
尔斯特拉斯的课。苏菲娅在维尔斯特拉斯的悉心指导下学习了4年。她回
忆这段经历时说：“这样的学习 ，对我整个数学生涯影响至深，它最终决
定了我以后的科学研究方向。”
苏菲娅得到了维 尔斯特拉斯的鼓励和指点。更加有了攀登科学高峰
的勇气。她经过了4年的刻苦努力。写出了三篇出色的 论文，引起了强烈
的反响。这是史无前例的开创性工作。1874年，在维尔斯特拉斯的推荐
下 ，24岁的苏菲娅荣获了德国第一流学府──哥廷根大学博士学位，成
为世界上首屈一指的女数学家。
获得博士学位的苏菲娅，怀若一颗赤子之心回到了祖国，可俄国还
是同她出国之前一样黑暗。她 在祖国无法立足，只好又回到柏林。她根
据维尔斯特拉斯的建议，研究光线在晶体中的折线问题。在18 83年奥德
赛科学大会上，她以出色的研究成果作了报告。
1891年，苏菲娅患肺 炎因误诊导致病情恶化，与世长辞。她为争取

妇女的自由斗争做出了艰苦努力，是妇女攀 登科学高峰的光辉榜样。















分数乘法——举例列举法
学习导航
1、会用举例列举法解决有关分数乘法的问题。
2、培养学生主动迁移，仔细读题的良好习惯。
3、让学生在解决问题中体验探索的乐趣。热爱学习数学。
一、快乐对对碰

22

两根同样长的钢管，第一根用去米，第二根用去。
55
你能提出什么问题？

二、趣味探索
哪一根用去的长一些？


不知道钢管原来的长度，怎么解决呢？



可以用举例子的方法：钢管原来的长度分别举1
米，2米……再计算。
可以以特殊的数1米为分界线，举例
举计算。
1
米，1米，5米分别列
2
2
米。
5
12
1
第二根用去×=（米）。
25
5
1
2
因为 米＞米
5
5
第一种情况：第一根用去
所以第一根用去的长。
第二种情况：第一根用去
2
米。
5

第二根用去1×
因为
22
=（米）。
55
1
2
米=米
5
5
所以两根用去的一样长。
第三种情况：第一根用去
2
米。
5
2
第二根用去5×=2（米）。
5
2
因为 米＜2米
5
所以第二根用去的长。
三、大显身手
32
吨煤，用去一部分后还剩。还剩多少吨？
45
32
（2）食堂有吨煤，用去吨，还剩多少吨？
45
55
2、有两堆同样多的稻谷，第一 堆运走吨，第二堆运走。两堆稻
66
1、（1）食堂有
谷剩下的同样重吗？为什么？
四、数学万花筒
生活中的分数
生活中，常常要用数学，特别是购物时，用数学是最 多的。今天我
们学完了分数的乘法，我本以为分数乘分数是考试才考的，生活中不会
用，可今天 一上街，才知道它的用处有多大。 今天我和妈妈来到一家商
店买衣服，忽然见到一件衣服原价900元 ，现在打了9折，心想打了9
折就是除以9，900÷9＝100（元），只要100元，而且做工精美 太划算
了，我便对妈妈嚷到：“妈妈，这件好，只要100元！”妈妈闻声赶来，
见那件衣服原 价900元，以为看错了，便问我：“哪一件？”“那件，
打9折的，”我答到。“怎么是100元，明 明是810元嘛！”我听了妈

妈的话，一脸迷惑，问：“9折不是除以9吗？”“不，” 妈妈说到，
“要知道，打9折并不是除以9，而是乘以它的十分之九呀！”我听了
妈妈的话，恍 然大悟，用新学的分数乘法算了算，900×
9
，900和10
10
约分是9 0，90×9＝810，810

1＝810。“真的是810元，原来打折是这
样呀 ！看来数学和生活是分不开的，无论什么都和数学有关系！”我不
禁叹到。
农夫分牛
今天，老师给我们讲了一个故事，我听了后，深有感悟。 这故事是
这样的：有一个农夫，快要 死了，决定是时候分财产了，便指着田里的
19头牛，说：“老大就要这些牛的二分之一，老二就要五分 之一，老三
就四分之一吧。”说完，三兄弟一算，发现这不好分，这2、4、5都不
是19的因 数，这时，一位老农来了，说：“我来牵一头牛给你们分吧！”
旁人说：“这已经很乱了，你再加一头， 不更乱了吗？”老农没理会，
让三兄弟分去，分完后，才发现老大牵走10头，老二牵走4头，老三牵< br>走5头，刚好19头，老农又把自己的一头牛牵走了。 这故事在很早很
早以前便有了，人们听了这则故事后，都觉得这位老农很聪明。 可到了
有一天，一位科学家指正这观点是错误的，因为单位“1”发生了改变。
但是在革命期间那几年里，又有一位科学家指正这是对的，那是因为他
用比来解决的。 看来，如果遇到了某些难题，用比这种方法是很好、很
容易的。

分数乘法——倒数的进一步认识
学习导航
1、会求一个数的倒数，并能总结出不同数的倒数的特征，从而进
一步认识倒数。
2、培养学生主动迁移，分析归纳的能力。
3、让学生在解决问题中体验探索的乐趣。热爱学习数学。
一、快乐对对碰
先找出每组中各数的倒数，再看看你能发现什么？
9
327713
（2）
5
45926
111
（3） （3）3 8 15
21012
2
二、趣味探索的
5
（1）
34579
的倒数是，倒数是，的倒数是。
43297
我发现：真分数的倒数是假分数，而且都大于1。

5
1372
9
6
的倒数是，的倒数是，的倒数是。
9
27
5
613
我发现：大于1的假分数的倒数是真分数，而且都小于
1。

111
的倒数是2，的倒数是10，的倒数是12。
21012
我发现：几分之一的倒数是整数。

11


3的倒数是，8的倒数是，15的倒
38
1
数是。
15
我发现：整数的倒数是几分之一。
怎样求小数的倒数呢?例如：怎样求0.2的倒数？
可以先把0.2化成最简分数，0.2=
就是5。
1
，0.2的倒数
5
三、大显身手
1、求出下列各数的倒数。
1
7121732
4
6
87162310
2、求出下列各数的倒数。
0.25 0.8 0.9 4.5 3.25 1.25
四、数学万花筒
奇趣万花筒
一、猜迷语：五四三二一（打一数学名词）．

二、假钞问题
一人拿一张百元钞票到商店买了25元的东西（这25元的东西
进价 是15元），店主由于手头没有零钱，便拿这张百元钞票到
隔壁的小摊贩那里换了100元零钱，并找回 了那人75元钱。
那人拿着25元的东西和75元零钱走了。
过了一会儿，隔壁小摊贩找到 店主，说刚才店主拿来换零的百
元钞票为假币。店主仔细一看，果然是假钞。店主只好又找了
一 张真的百元钞票给小摊贩。
问：在整个过程中，店主一共亏了多少钱财？

数眼看世界
现今发射火箭，几乎无一例外地采用“……3、2、1、发射”
这种倒数 计时的程序。有趣的是，这种程序还是科学家跟导演学
来的呢。
1926年3月16日， 世界上第一枚液体火箭在美国的麻萨诸塞
州发射成功，激起人们对航天技术的兴趣。翌年，航天科技的爱
好者们会聚德国，成立了“太空航行协会”。还出版了《宇宙飞船》
杂志，在杂志的创刊号上， 画有一环绕地球运行的宇宙飞船，并
题名“一小时半绕地球一周”。34年后，世界上第一艘宇宙飞船“ 东
方——1号”由苏联发射成功。德国的乌发电影公司拍摄了描写太
空旅行的科幻片——《月球 少女》。该片导演弗里兹·朗格在火箭
发射的镜头中设计了“……3、2、1、发射!”的倒数发射程序 。
这一程序引起火箭专家们的兴趣，他们认为该程序十分科学。它

简单明了，清 楚准确，突出地表示了火箭发射的准备时间逐渐减
少，使人们思想集中，产生准备时间即将完毕、发射就 要开始的
紧迫感。此后，倒数计时发射程序被普遍采用了。