浙江省计算机二级考试-十年后的家乡

2020年中考数学三轮易错复习：专题15最短路径问题
【例1】（2019·河南 南阳一模）如图，已知一次函数
y
=
比例函数
y
=
1
x
+2的图象与
x
轴、
y
轴交于点
A
、
C
，与反
2
k
的图象在第一象限内交于点
P
，过点
P
作
PB
⊥
x
轴，垂足为
B
，且△
ABP
的面积为9.
x
，点
C
的坐标为 ，点
P
的坐标为 ； （1）点
A
的坐标为
（2）已知点Q
在反比例函数
y
=
最小，求出点
M
的坐标.
k
的图象上，其横坐标为6，在
x
轴上确定一点
M
，是的△
PQM
的周长
x

【变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线y
=
ax
+
bx
+2经过
A
（﹣1，0），< br>B
（2，0），
C
三点．直线
y
=
mx
+< br>2
1
交抛物线于
A
，
Q
两点，点
P
是抛物线上直线
AQ
上方的一个动点，作
PF
⊥
x
轴，垂足 为
F
，交
AQ
于点
N
．
2

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点
P
运动到什么位置时，线段
PN
=2
NF
，求出此时点
P
的坐标；
（3）如 图②，线段
AC
的垂直平分线交
x
轴于点
E
，垂足为
D
，点
M
为抛物线的顶点，在直线
DE
上是
否存在一点< br>G
，使△
CMG
的周长最小？若存在，请求出点
G
的坐标；若 不存在，请说明理由．
【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△
ABC
是边 长为4的等边三角形，边
AB
在射线
OM
上，且
OA
＝6，
点
D
是射线
OM
上的动点，当点
D
不与点
A
重合时，将△
ACD
绕点
C
逆时针方向旋转60°得到△
BCE
，连接
DE
，设
OD
＝
m
．
（1）问题发现
如图1，△
CDE
的形状是 三角形．

（2）探究证明
如图2，当6＜
m
＜10时，△
B DE
的周长是否存在最小值？若存在，求出△
BDE
周长的最小值；若不存在，
请说明理由．

图1 图2
强化精炼：
1.（2018·焦作一模）如图1，已知抛物线
y
=﹣
x
+
bx
+
c
交
y
轴于点
A
（ 0，4），交
x
轴于点
B
（4，0），
点
P
是抛物 线上一动点，过点
P
作
x
轴的垂线
PQ
，过点
A< br>作
AQ
⊥
PQ
于点
Q
，连接
AP
．
（1）填空：抛物线的解析式为 ，点
C
的坐标 ；
（2）点
P
在抛物线上运动，若△
AQP
∽△
AOC< br>，求点
P
的坐标；
（3）如图2，当点
P
位于抛物线的对称 轴的右侧，若将△
APQ
沿
AP
对折，点
Q
的对应点为点< br>Q
'，请直
接写出当点
Q
'落在坐标轴上时点
P
的坐 标．
2

图1 图2 < br>2.（2019·中原名校大联考）如图，直线
y
＝﹣
x
+5与
x
轴交于点
B
，与
y
轴交于点
C
，抛物线
y
＝﹣
x
+
bx
+
c
与直线
y
＝﹣
x
+5交于
B
，
C
两点，已知点
D
的 坐标为（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
M
，
N< br>分别是直线
BC
和
x
轴上的动点，则当△
DMN
的周 长最小时，求点
M
，
N
的坐标．
2

3.（2017·预测卷）已知，在平面直角从标系中，
A
点坐标为（0，4），
B
点坐标为（2，0），
C
（
m
，6）
为反比例函数
y
123
图象上一点．将△
AOB
绕
B
点旋转至△A
′
O
′
B
处．
x
（1）求
m
的值；
（2）求当
AO
′最短和最长时
A
′点的坐标．

4.（2017·郑州一模）如图，⊙
O
的半径为2，点
O
到直线
l
距离为3，点
P
是直线
l
上的一个动点，
PQ
切 ⊙
O
于点
Q
，则
PQ
的最小值为（ ）

A
．
5

B
．
13

C
．2
D
．3
5.（2019·许昌月考）如图，在菱形ABCD
中，∠
ABC
=60°，
AB
=2，点
P是这个菱形内部或边上的一点，
若以点
P
、
B
、
C为顶点的三角形是等腰三角形，则
P
、
D
（
P
、
D
两点不重合）两点间的最短距离为 ．

6.（2019·郑州 外国语模拟）在平面直角坐标系中，抛物线
y
=-
x
+
bx
+
c
经过点
A
、
B
、
C
，已知
A
(-1,0)，
2

C
(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线的顶点为
E
，
EF
⊥
x
轴于
F
，
N
是直线
EF
上一 动点，
M
(
m
，0)是
x
轴上一个动点，请
直接写 出
CN
+
MN
+
1
MB
的最小值.
2

7.（2019·郑州实验中学模拟）如图，已知抛物线
y
＝﹣
x
+
bx
+
c
与一直线相交于
A
（1，0 ）、
C
（﹣2，
3）两点，与
y
轴交于点
N
，其顶 点为
D
．
（1）求抛物线及直线
AC
的函数关系式；
（ 2）若
P
是抛物线上位于直线
AC
上方的一个动点，求△
APC的面积的最大值；
（3）在对称轴上是否存在一点
M
，使△
ANM的周长最小．若存在，请求出△
ANM
周长的最小值；若不存
在，请说明理由．
2

8.（2018·郑州预测卷）如图，抛物线
y
=-
x
2+
bx
+
c
与
x
轴交于
A
、< br>B
两点，与
y
轴交于点
C
，点
O
为坐
标原点，点
D
为抛物线的顶点，点
E
在抛物线上，点
F
在
x
轴上，四边形
OCEF
为矩形，且
OF
=2，
E F
=3.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接
CB
交
EF
于点
M
，连接
AM
交
OC
于点
R，连接
AC
，求△
ACR
的周长；
（3）设
G
(4，－5)在该抛物线上，
P
是
y
轴上一动点，过点
P
作
PH
⊥
EF
于点
H
，连接
AP
，
GH
，问
AP
＋
PH
＋
HG
是否有最小值？如果 有，求出点
P
的坐标；如果没有，请说明理由．

9. （ 2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
82
2
422
与
x
轴交于
A
，
x82x
55
C
（
A
在
C
的左侧），点
B
在抛物线上，其横坐 标为1，连接
BC
，
BO
，点
F
为
OB
中 点．

（1）求直线
BC
的函数表达式；
（2）若点
D
为抛物线第四象限上的一个动点，连接
BD
，
CD
，点
E< br>为
x
轴上一动点，当△
BCD
的面积的
最大时，求点
D
的坐标，及|
FE
﹣
DE
|的最大值.
10.（201 9·三门峡一模）反比例函数
y
k
（
k
为常数，且
k≠0）的图象经过点
A
(1，3)，
B
(3，
m
)．
x
（1）求反比例函数的解析式及点
B
的坐标；
（2）在
x
轴上找一点
P
，使
PA
+
PB
的值最小，求满足 条件的点
P
的坐标．
y
A
B
O
x

2020年中考数学三轮易错复习：专题15最短路径问题 【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知一次函数
y
=
比例函数
y
=
1
x
+2的图象与
x
轴、
y
轴交于点
A
、
C
，与反
2
k
的图象在第一象限内交于点P
，过点
P
作
PB
⊥
x
轴，垂足为
B
，且△
ABP
的面积为9.
x
，点
C
的坐标为 ，点
P
的坐标为 ； （1）点
A
的坐标为
（2）已知点Q
在反比例函数
y
=
最小，求出点
M
的坐标.
k
的图象上，其横坐标为6，在
x
轴上确定一点
M
，是的△
PQM
的周长
x

【分析】（1）根据一次函数的解析式求得
A< br>、
C
坐标，由
S
△
ABP
=
11
·
AB
·
BP
=9，设
P
点坐标为（
m
，< br>m
+2），
22
代入得到点
P
坐标；（2）先根据反比例函数 解析式求得
Q
点坐标，作
Q
点（或
P
点）关于
x< br>轴的对称点
Q
’
（
P
’），连接
PQ
’（< br>QP
’）与
x
轴的交点即为点
M
，用待定系数法求出直线PQ
’（
QP
’的解析式）.
【解析】解：（1）在
y
=
1
x
+2中，当
x
=0时，
y
=2；
y
=0时，
x
=－4，
2
∴
A
点坐标为（－4,0），
C
点坐标为（0,2），
设
P
点坐标为（
m
，
则
AB
=
m
+4，
BP
=
∵
S
△
ABP
=
1
m
+2），
m
>0，
2
1
m
+2,
2
1
·
AB
·
BP
=9，
2
11
即×（
m
+4）（
m
+2）=9，
22
解得：
m
=2或
m
=－10（舍），
∴点
P
的坐标为（2,3）；
（2）如图，作点
Q
关于< br>x
轴的对称点
Q
’，连接
PQ
’交
x
轴于点
M
，此时，△
PQM
的周长最小，

y
P
Q
x
O
M
Q'

由（1）知，
P
(2,3)在反比例函数图象上，
∴
k
=6，
点
Q
的坐标为（6,1），点
Q
’的坐标为（6，－1），
设直线
PQ
’的解析式为：
y
=
mx
+
b
，
得：


2mb3
，
6mb1


m1
解得：

，
b5

即直线
PQ
’的解析式为：
y
=－
x< br>+5，
当
y
=0时，
x
=5，即
M
点坐标为（5,0），
∴当△
PQM
的周长最小时，
M
点坐标为（5,0）.
【 变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线
y
=
ax
+
bx< br>+2经过
A
（﹣1，0），
B
（2，0），
C
三点． 直线
y
=
mx
+
2
1
交抛物线于
A
，
Q
两点，点
P
是抛物线上直线
AQ
上方的一个动点，作
PF
⊥
x
轴，垂足为
F
，交
AQ
于点N
．
2

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点< br>P
运动到什么位置时，线段
PN
=2
NF
，求出此时点
P
的坐标；

（3）如图②，线段
AC
的垂直平分线交x
轴于点
E
，垂足为
D
，点
M
为抛物线的顶点 ，在直线
DE
上是
否存在一点
G
，使△
CMG
的周 长最小？若存在，请求出点
G
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵抛物线
y
=
ax
+
bx
+2 经过
A
（﹣1，0），
B
（2，0），
∴

2

ab20
，
4a2b20

解得
a
=﹣1，
b
=1，
∴抛物线的解析式为
y
=﹣
x
+
x
+2．
2
1
交抛物线与
A
、
Q
两点，
2
1
将
A
（﹣1，0）代入得：
m
=，
2
11
∴直线
AQ
的解析式为
y
=
x
+．
22
（2）直线
y
=
mx
+
设点
P
的横坐标为
n
，则
P
（
n
，﹣
n
+n
+2），
N
（
n
，
∴
PN
=﹣n
+
n
+2﹣（
=﹣
n
+
2
2
2
11
n
+），
F
（
n
，0），
22
11
n
+）
22
13
n
+，
22
11
NF
=
n
+，
22
∵
PN
=2
NF
，即﹣
n
+
解得：
n
=﹣1 或
2
1311
n
+=2×（
n
+），
2222
1
．
2
当
n
=﹣1时，点
P< br>与点
A
重合，舍去．
故点
P
的坐标为（
2
19
，）．
24
1
2
9
）+，
24
（3）∵
y=﹣
x
+
x
+2，=﹣（
x
﹣
∴
M< br>（
19
，）．
24
∵
A
、
C
关于直线
DE
对称， ∴连接
AM
交直线
DE
与点
G
，连接
CG、
CM
，此时，△
CMG
的周长最小，

设直线
AM
的函数解析式为
y
=
kx
+
b，
将
A
（﹣1，0），
M
（
19
，）代入并解得：
24
33
k
=，
b
=，
22
∴直线AM
的函数解析式为
y
=
∵
D
为
AC
的中点，
∴
D
（﹣
33
x
+，
22
1
，1）．
2
13
x
+．
24< br>可得直线
AC
的解析式为：
y
=2
x
+2，直线DE
的解析式为
y
=﹣
1333
x
+与
y=
x
+联立，
2422
315
解得：
x
=﹣，
y
=．
16
8
将
y
=﹣
∴在直线
DE
上存在点
G
，使△
CMG
的周长最小，
G
（﹣
315
，）．
8
16
【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△
ABC
是边 长为4的等边三角形，边
AB
在射线
OM
上，且
OA
＝6，
点
D
是射线
OM
上的动点，当点
D
不与点
A
重合时，将△
ACD
绕点
C
逆时针方向旋转60°得到△
BCE
，连接
DE
，设
OD
＝
m
．
（1）问题发现
如图1，△
CDE
的形状是 三角形．
（2）探究证明
如图2，当6＜
m
＜10时，△
BDE
的 周长是否存在最小值？若存在，求出△
BDE
周长的最小值；若不存在，
请说明理由．

图1 图2
【答案】见解析．
【解析】解：（1）证明：
由旋转性质，得：∠
DCE
＝60°，
DC
＝
EC
，
∴△
CDE
是等边三角形；
故答案为：等边；
（2）存在，当6＜
t
＜10时，
由旋转的性质得，
BE
＝
AD
，
∴
C
△
DBE
＝
BE
+
DB
+
DE

＝
AB
+
DE

＝4+
DE
，
由（1）知，△
CDE
是等边三角形，
∴
DE
＝
CD
，
∴
C
△
DBE
＝
CD
+4，
由垂线段最 短可知，当
CD
⊥
AB
时，△
BDE
的周长最小，
此时，
CD
＝2
3
，
∴△
BDE
的周长最小值为：2
3
+4.
强化精炼： < br>1.（2018·焦作一模）如图1，已知抛物线
y
=﹣
x
+
bx
+
c
交
y
轴于点
A
（0，4），交
x
轴于点
B
（4，0），
点
P
是抛物线上一动点，过点
P
作
x
轴的垂线
PQ
，过点
A
作
AQ< br>⊥
PQ
于点
Q
，连接
AP
．
（1）填空：抛物线的解析式为 ，点
C
的坐标 ；
（2）点
P
在抛物线上运动，若△
AQP
∽△
AOC< br>，求点
P
的坐标；
（3）如图2，当点
P
位于抛物线的对称 轴的右侧，若将△
APQ
沿
AP
对折，点
Q
的对应点为点< br>Q
'，请直
接写出当点
Q
'落在坐标轴上时点
P
的坐 标．
2

图1 图2
【答案】（1）
y
=﹣
x
+3
x
+4，（﹣ 1，0）；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线
y
=﹣
x< br>+
bx
+
c
交
y
轴于点
A
（0，4 ），交
x
轴于点
B
（4，0），
∴-16
a
+4
b
+
c
=0，
c
=4，
解得:
b
=3，
c
=4，
∴抛物线解析式为
y
=﹣
x
+3
x
+4，
当
y
=0时，﹣
x
+3
x
+4=0，解得
x=﹣1，
x
=4，
即
C
（﹣1，0）；
答案为：
y
=﹣
x
+3
x
+4；（﹣1，0）；
（2）∵△
AQP
∽△
AOC
，
∴
2
2
2
2
2
AQAO

=4，
PQCO
即
AQ
=4
PQ
，
设
P
（
m
，﹣
m
+3
m
+4），则
PQ
=| 4﹣（﹣
m
+3
m
+4|=|
m
﹣3
m
| ，
∴4|
m
﹣3
m
|=
m
，
2
222
1311
，
m
3
=，
44
13511175
∴
P
点坐标为（，）或（，）.
4 164
16
解得：
m
1
=0（舍去），
m
2
=
（3）设
P
（
m
，﹣
m
+3
m
+4），
∵抛物线对称轴为：
x
=
∴
m
＞
2< br>3
，
2
3
，
2
①当点
Q
′落在
x
轴上时，延长
QP
交
x
轴于
H
，

则
PQ
=
m
﹣3
m
，
由折叠性质知：∠
AQ
′
P
=∠
AQP
=90°，
AQ
′=
AQ
=
m
，
PQ
′=
P Q
=
m
﹣3
m
，
∵∠
AQ
′
O
=∠
Q
′
PH
，
∴△
AOQ
′∽△
Q
′
HP
，
∴
2
2
OAAQ'

，
Q'BPQ'
4 m

2
，得：
Q
′
B
=4
m
﹣1 2，
Q'Bm3m
即
∴
OQ
′=12﹣3
m
，
在
Rt
△
AOQ
′中，由勾股定理得：4+（12﹣3
m< br>）=
m
，
解得：
m
1
=4，
m
2
=5，
即
P
点坐标为（4，0），（5，﹣6）；
②当点
Q
′落在
y
轴上，
此时以点
A
、
Q
′、
P
、
Q
所组成的四边形为正方形，
∴
PQ
=
PQ
′，
即|
m
﹣3
m
|=
m
，
得
m< br>1
=0（舍去），
m
2
=4，
m
3
=2，
P
点坐标为（4，0），（2，6），
综上所述，点
P
的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）.
2.（ 2019·中原名校大联考）如图，直线
y
＝﹣
x
+5与
x
轴交于点
B
，与
y
轴交于点
C
，抛物线
y
＝﹣
x
+
bx
+
c
与直线
y
＝﹣
x
+5交于
B
，
C
两点，已知点
D
的坐标为（0， 3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
M
，
N
分别是 直线
BC
和
x
轴上的动点，则当△
DMN
的周长最小时，求 点
M
，
N
的坐标．
2
2
222

【答案】见解析.
【解析】 解：（1）在
y
＝﹣
x
+5中，当
x
＝0，
y
＝5，当
y
＝0，
x
＝5，
点
B
、
C
的坐标分别为（5，0）、（0，5），
将（5 ，0）、（0，5），代入
y
＝﹣
x
+
bx
+
c< br>，并解得：
b
=4，
c
=5
即二次函数表达式为：
y
＝﹣
x
+
bx
+5. < br>（2）在
y
＝﹣
x
+
bx
+5中，当
y＝0时，
x
＝﹣1或5，
∴
A
（﹣1，0），
OB
＝
OC
＝2，
∴∠
OCB
＝45°；
过点
D
分别作
x
轴和直线
BC
的对称点
D
′（0，﹣3）、
D
″，
2
2
2

∵∠
OCB
＝45°，
∴
CD
″∥
x
轴，点
D
″（2，5），
连接
D
′
D
″交
x
轴、直线
BC
于点N
、
M
，此时△
DMN
的周长最小，
设直线
D
’
D
’’的解析式为：
y
＝
mx
+
n< br>
将
D
′（0，﹣3），
D
″（2，5），代入解得：
m
=4，
n
=－3，
直线
D
’
D
’’ 的解析式为：
y
＝4
x
﹣3，
∴
N
(
3
，0).
4
817
，
y
=，
55
联立
y
＝4
x
﹣3，
y
＝﹣
x
+5得：
x
=

即
M
(
817
，).
55
3.（20 17·预测卷）已知，在平面直角从标系中，
A
点坐标为（0，4），
B
点坐 标为（2，0），
C
（
m
，6）
为反比例函数
y
123
图象上一点．将△
AOB
绕
B
点旋转至△
A
′
O
′
B
处．
x
（1）求
m
的值；
（2）求当
AO
′最短和最长时
A
′点的坐标．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵
C
（
m
，6）为 反比例函数
y
∴
m
=2
3
；
123
图象上一点，
x
（2）当
AO
′最短时
A
′点的坐标（2+
65856585
，），当
AO
′最长时
A
′点的坐标（2﹣，﹣）．
5555
①当点
O
′在线段
AB
上时，
AO
′最短，
过点
O
′作
O
′
N
⊥
x
轴于
N
，过点
A
′作
A
′
M
⊥
O
′
N
于
M
，

∵
O
′
N
∥
OA
，
BNO'NO'B
，

OBOAAB
BNO'N2

即
24
25
∴

∴
BN
=
2545
，
O
′
N
=．
55
由∠
A
′
MO
′=∠A
′
O
′
B
=∠
O
′
NB
= 90°，得：∠
MA
′
O
′=∠
NO
′
B
，
∴△
A
′
MO
′∽△
O
′
NB
，
∴
A'MO'M
2
，
O'NBN
∴
A
′
M
=
8545
，
O
′
M
=，
55
6585
，）；
55
即
A
’（2+
②当点
O
′在线段
AB
延长线上时，
AO
′最长，
同理可得：（2－
6585
，－）．
55
4.（2017·郑州一 模）如图，⊙
O
的半径为2，点
O
到直线
l
距离为3，点< br>P
是直线
l
上的一个动点，
PQ
切⊙
O
于点
Q
，则
PQ
的最小值为（ ）

A
．
5

B
．
13

C
．2
D
．3
【答案】
A
．
【解 析】解：由垂线段最短知，当
OP
⊥
l
时，
OP
取最小值，
而由
PQ
=
OP
2
2
2
可知，此时，< br>PQ
取最小值，
过点
O
作
OP
⊥
l
于
P
，过
P
作⊙
O
的切线
PQ
，切点为
Q
，连接
OQ
，

则
OP
=3，
OQ
=2，
∵
PQ
切⊙
O
于点
Q
，

∴∠
OQP
=90°，
由勾股定理得：
PQ
=
5
，
即
PQ
的最小值为
5
，
故答案为：
A
．
5.（2019·许昌月考）如图，在菱形
ABCD
中，∠
ABC
= 60°，
AB
=2，点
P
是这个菱形内部或边上的一点，
若以点P
、
B
、
C
为顶点的三角形是等腰三角形，则
P
、
D
（
P
、
D
两点不重合）两点间的最短距离为 ．

【答案】2
3
﹣2.
【解析】解：（1）
BC为腰，且∠
PCB
为顶角时，以
C
为圆心，以
BC
为半 径画弧，点
P
在弧上，由题意
知，点
P
在菱形外或与
A、
D
重合，不符合题意；
（2）以
BC
为腰，且∠
PBC
为顶角时，
点
P
在以
B
为圆心，以
AB
为半径的圆上， 则
PD
的最小值为：
BD
－
BC
=
3

BC
－
BC
=2
3
﹣2；
（3）
BC< br>为底时，则点
P
在线段
BC
的垂直平分线上，
由垂线段最短知，
PD
最小为：1+1=2；
∵2
3
﹣2<2，
∴
PD
的最小值为：2
3
﹣2.
6.（2019·郑州 外国语模拟）在平面直角坐标系中，抛物线
y
=-
x
+
bx
+
c
经过点
A
、
B
、
C
，已知
A
(-1,0)，
2
C
(0,3).
(1)求抛物线的解析式； < br>（2）如图，抛物线的顶点为
E
，
EF
⊥
x
轴于F
，
N
是直线
EF
上一动点，
M
(
m
，0)是
x
轴上一个动点，请
直接写出
CN
+
MN
+
1
MB
的最小值.
2

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将
A
(-1,0)，
C(0,3)代入
y
=-
x
+
bx
+
c
得：
2

1bc0

b2
，解得：

，

c3
c3


即抛物线的解析式为：< br>y
=-
x
+2
x
+3；
（2）首先构造出
2
11
MB
，将
AB
绕点
B
顺时针旋转30°，交
y
轴于
H
，过
M
作
MG
⊥
BH< br>于
G
，则
MG
=
MB
，
22
< br>1
CN
+
MN
+
MB
的最小值即
CN
+
MN
+
MG
的最小值，
2
由图可知，当
C< br>、
N
、
M
、
G
共线，且
CG
⊥BH
时，取得最小值，
即∠
HCG
=30°，
∵
OB
=3，∠
ABH
=30°，
∴
AH
=
3
，即
H
（0，
3
），
∴
CH
=3+
3
，
333
，
2333
1
即
CN
+
MN
+
MB
的最 小值为.
2
2
∴
CG
=
CH
·
cos< br>30°=
7.（2019·郑州实验中学模拟）如图，已知抛物线
y
＝﹣
x
+
bx
+
c
与一直线相交于
A
（1，0）、< br>C
（﹣2，
3）两点，与
y
轴交于点
N
，其顶点为< br>D
．
（1）求抛物线及直线
AC
的函数关系式；
（2）若
P
是抛物线上位于直线
AC
上方的一个动点，求△
APC
的 面积的最大值；
（3）在对称轴上是否存在一点
M
，使△
ANM
的 周长最小．若存在，请求出△
ANM
周长的最小值；若不存
2

在，请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将
A
（1，0），
C
（﹣2，3）代入
y
＝﹣
x
+
bx
+
c
，得：
2

1bc0

b 2
，解得：

，

c3
42bc3


∴抛物线的函数解析式为：
y
＝﹣
x
﹣2
x
+3；
设直线
AC
的解析式为：
y
＝
kx
+
n
，
将
A
（1，0），
C
（﹣2，3）代入
y
＝
kx
+
n
，得：
2
k
+< br>n
=0，-2
k
+
n
=3，解得：
k
=-1 ，
n
=1，
即直线
AC
的解析式为
y
＝﹣
x
+1．
（2）过点
P
作
PF
∥
y
轴交直线
AC
于 点
F
，

设点
P
（
x
，﹣
x< br>﹣2
x
+3），则点
F
（
x
，﹣
x
+1），（﹣2＜
x
＜1）
∴
PF
＝﹣
x
﹣2< br>x
+3﹣（﹣
x
+1）＝﹣
x
﹣
x
+2．
∴
S
△
APC
＝
22
2
1
(x
A
－
x
C
)•
PF

2
3
2
3
＝﹣
x
﹣
x
+3
22
31
2
27
＝﹣（
x
+）+．
22
8

∴当
x
＝﹣
127
时，△
APC
的面积取最大值，最大值为．
2
8
2
（3）当
x
＝0时，
y
＝﹣
x
﹣2
x
+3＝3，
∴点
N
的坐标为（0，3）．
由
y
＝﹣
x
﹣2
x
+3＝﹣（
x
+1）+4，
得：抛物线的对称轴为
x
＝﹣1．
∴点
C
，
N
关于抛物线的对称轴对称，
设直线
AC
与抛物线的对称轴的交点为点
M
，
22

∴
MN
＝
CM
，
∴
AM
+
MN
＝
AM
+
MC
＝
AC
，
此时△
ANM
周长有最小值．
由勾股定理得：
AC
＝32
，
AN
＝
10
，
∴
C
△
ANM
＝
AM
+
MN
+
AN
＝
AC+
AN
＝
32
+
10
．
∴△
ANM
周长的最小值为
32
+
10
．
8.（2018·郑州预测卷）如图，抛物线
y
=-
x
2+
bx< br>+
c
与
x
轴交于
A
、
B
两点，与< br>y
轴交于点
C
，点
O
为坐
标原点，点
D为抛物线的顶点，点
E
在抛物线上，点
F
在
x
轴上，四 边形
OCEF
为矩形，且
OF
=2，
EF
=3.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接
CB
交
EF
于点< br>M
，连接
AM
交
OC
于点
R
，连接
AC
，求△
ACR
的周长；
（3）设
G
(4，－5)在该 抛物线上，
P
是
y
轴上一动点，过点
P
作
PH⊥
EF
于点
H
，连接
AP
，
GH
，问
AP
＋
PH
＋
HG
是否有最小值？如果有，求出点
P
的坐标；如果没有，请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵四边形
OCEF
为矩形，
OF
＝2，
EF＝3，
∴
C
(0，3)，
E
(2，3)．
将
C
(0，3)，
E
(2，3)代入
y
＝－
x
＋
bx
＋
c
得：
2
b
=2，
c
=3，
∴抛物线的解析式为：
y
＝－
x
＋2
x
＋3； < br>(2)在
y
＝－
x
＋2
x
＋3中，当
y＝0时，
x
1
＝－1，
x
2
＝3，
∴
A
(－1，0)，
B
(3，0)，
∵
AO
＝1，
CO
＝3，
∴在
Rt
△< br>AOC
中，由勾股定理得：
AC
=
10
，
∵
CO
＝
BO
＝3，
∴∠
OBC
＝∠
OCB
＝45°，
∴
FM
＝
BF
＝1，
∵
RO
∥
MF
，∠
RAO
＝∠
MAF
，
∴△
ARO
∽△
AMF
，
∴
2
2
ROAO
1
，得
RO
＝，

3
MFAF
∴
CR
＝
OC
－
OR＝3－
10
18
＝，
AR
＝，
3
33
8410
；
3
∴△
ACR
的周 长为：
AC
＋
CR
＋
AR
＝
（3）取
OF
中点
A
′，连接
A
′
G
交直线
EF
的延长线于点
H
，过点
H
作
HP
′⊥
y
轴于点
P
′，连接
AP
′，

当
P
在
P
′处时，
AP
＋
PH
＋
HG
最小，
A
′(1，0)，
设直线
A
′
G
的解析 式为：
y
＝
kx
＋
m
，
将
G
(4，－5)，
A
′(1，0)代入得：
55
k
=

，
b
=，
3
355
∴直线
A
′
G
的解析式为：
y
＝

x
＋.
3
3
5
当
x
＝2时，
y
＝

，
3
5
即点
H
的坐标为(2，

)，
3
5
∴符合题意的点
P
的坐标为(0，

)．
3
9. （2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝< br>82
2
422
x82x
与
x
轴交于
A< br>，
55
C
（
A
在
C
的左侧），点
B
在抛物线上，其横坐标为1，连接
BC
，
BO
，点
F
为
OB
中点．

（1）求直线
BC
的函数表达式； < br>（2）若点
D
为抛物线第四象限上的一个动点，连接
BD
，
C D
，点
E
为
x
轴上一动点，当△
BCD
的面积的< br>最大时，求点
D
的坐标，及|
FE
﹣
DE
|的最大值 .
【答案】见解析.
【解析】解：（1）在
y
＝
82
2
422
37
x82x
中，当
y
＝0，解得：
x
1
＝，
x
2
＝，
55
22

∴
A
（
37
，0），
C
（，0）
22
当
x
＝1时，
y
＝2
2

即
B
（1，2
2
），
设直线
BC
的解析 式为
y
＝
kx
+
b


42
< br>kb22
k



5
， 得：
< br>7
，解得


kb0

b
142
2

5

42142
x
+.
55
82
2
422
42142
（2）设点
D
（
m
，），则点
H
（
m
，

m
+）
m82m
55
55
直线
BC
的解析式为
y
＝

过点
D
作
DH
⊥
x
轴交
BC< br>于点
H
，

HD
＝

82
2422
42142
m82m
m
+﹣（）
55
55
2
82

9

52
m
＝
，


5

4

2
1
S
△
BCD
=×
DH
×（
x
C
－
x
B
）
2
5
=
DH
，
4
9∴当
m
＝时，
HD
取最大值，此时
S
△
BCD
的面积取最大值．
4
此时
D
（
32
9
，﹣）.
2
4
作
D
关于
x
轴的对称点
D
′
则
D
′（
9
32
，），
2
4