江西赣江学院-思考者

欧立培训学校
第一讲 分数乘法（一）

目标导学
目标点睛 重难点
理解他数乘整数
1、结合具体情境，借助示意图理解分
数 乘整数的意义，渗透数形结合思想。
2、借助转化的方法理解分数乘整数的
算理，并能正确地进行计算，提高计算
能力。
3、在探索与交流活动中培养观察、推
理的能力。

难点
重点
的意义，掌握分数
乘整数的计算方
法。


理解分数乘整数
的计算方法。


嚼碎教材
知识点
1

分数乘整数的意义：分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算。
思考问题：

3
×7 表示7个（ ）相加。
4
知识点2

1、 分数乘整数的计算方法：分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变。
能先约分的可以先约分，再 计算，结果相同。
2、一个数乘几分之几，表示求这个数的几分之几是多少。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即：这个数×几分之几。注意：一个数包括分数、小数、
整数。
1

欧立培训学校
思考问题：

333
表示求7的是多少？反之：7的是多少？就用：（ ）；再如：2.8
444
333
×表示求2.8的是多少？反之：2.8的是多少？就用：（ ）。
444
7×
课上小练习

2225
×10= ×8= ×3= ×6=
457936

课堂练习
过关练习：

一、细心填写：
2221111
1、＋＋=（ ）×（ ）=（ ） ＋＋＋=（ ）×（ ）=（ ）
7776666
=（ ）
2、

120个
55555
＋＋＋＋……＋=（ ）×（ ）=（ ）=（ ）
1212121212
2
3、×4表示（ ）。
5
32
8
4、平方米=（ ）平方分米 时=（ ）分 千米=（ ）
45
25
米
5、（ ）与整数乘法的意义相同。
二、准确计算：
23
×5= ×6=
1319


4
×5=
11
155
×10= ×8= ×12=
6126

15个

2
27
的和是多少？ 的9倍是多少？
518

欧立培训学校

三、解决问题：
1、一个正方形边长


2、一种胡麻每千克约含油


3、一批大米，每天吃去


4、一批大米，每天吃去

5
分米，它的周长多少分米？
12
8
千克，1吨胡麻约含油多少千克？
25
1
吨，3天一共吃去多少吨？
6
1
，3天一共吃去几分之几？
6
3

欧立培训学校
第二讲 分数乘法（二）
目标导学
目标点睛
1、理解分数乘分数的意义，掌握分数
乘分数的计算法则，学会分数乘分数的重点
简便计算。
2、通过迁移、类推、归纳、交流
等数学活动，培养学生的类推、归纳能
力。
3 、通过分数乘分数的应用的广泛
事例，对学生进行学习目的性教育，激
发学生学习动机和兴趣。


难点
理解一个数乘分
数的意义
重难点
理解一个数乘分
数的意义，掌握其
计算法则
知识点1

1. 分数乘分数的表示意义：分数乘分数的表示意义与一个数乘几分之几的表示
意义相同，即 表示求第一个分数的几分之几是多少。
2. 分数乘分数的计算方法：分数乘分数，用分子乘分子的积作分子，用分母乘
分母的积作分母。
思考问题：

1
×
7
149
=
1
6
×
1
=
2
课上小练习：

1
×
1
=
1
×
1
=
1
×
5
3355
27
=

知识点2

分数乘法的简便计算
为了计算简便，可以先约分再乘结果为最简分数。
思考问题：
4

欧立培训学校
5
×
3
-1
35


1
×
2
+
1
256

4
×
2
×
5


574
课上小练习：

4
×
5
96
×
9
（
4
1
1
+）×15
15
5
（
5
+
2
）×18
9
3





知识点3

分数乘小数
分数乘小数，可以 把分数化成小数再乘，也可以把小数化成分数再乘，但一般采
用把小数化成分数再乘，因为有些分数化不 成有限小数。
思考问题：
下列哪些分数不能化成有限小数？
2473153
、、、、、
2

5399205

课上小练习：

2
×4.5=
9
2.5×
1
=
6
1
×0.8=
4
9
×0.5=
14


知识点4

分数混合运算
1、分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同，即：有括号的，先算括号
里面的，再算括号外面的。没有括号的，先算乘法，再算加减法。如果只有加减
法的，按从左往 右的顺序计算。
2、利用运算定律计算分数混合运算
整数乘法的交换律、结合律、分配律。对于分数乘法也适用。
5

欧立培训学校
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
用字母表示：a×b=b×a。
乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积
不变。
用字母表示：a×b×c= （a×b）×c= a×（b×c）
乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把它们分别与这个数相乘，再加，
结果不变。
用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c

课堂练习
一、口算。
2
×2.8＝
3
×
5
＝
5
×8 ＝
4
×0.25＝
8
6785
9
×
5
＝
16
×4.2＝
8
×
7
＝
9
×
7
＝
2121161418
206
2
×5=
13
×
11
=
3
×1.2=
16
×
7
=
152112
22264
二、在○里填上“﹥”、“﹤”或“=”。
1
×
2

1

3
×
1

3

5
×
6

5

232424656
7
× 0
7

6
×
6

6

4
×
3

1

121215810
757
三 、填空。
1、计算
2
－
1
×
3
时，应该先 算（ ）法，再算（ ）法，
7
3
5
结果是（ ）。
2、（10＋
5
）×
4
=（ ）×（ ）＋（ ）×（ ），
65
6

欧立培训学校
应用了 （ ）律。
3、
5
×25×
6
=（ ）×（ ）×25，应用了 （ ）律。
65
四、算一算，能简便的要简便。
3
×（
2
×19）
9
×43＋57×
9

23
＋
23
×24
19
3





52×
5
8
－44×
5
8


1010

2
5
×14＋
2
5

2525
24×（
12
5
＋
7
8
）
7

欧立培训学校
第三讲 分数乘法（三）
目标导学
目标点睛
1、能根据一个数乘分数的意义，
理解“求一个数的几分之几是多少”的< br>问题的数量关系。
2、会用线段图分析分数乘法一步
应用题的数量关系。
3、经历分析数量关系的过程，提
高学生分析能力与解决问题的能力。


教学ppt
掌握“求一个
难点 数的几分之几是
多少“的解答方法。
重点
多少”的问题的数
量关系分析过程。
重难点
经历“求一个
数的几分之几是

课堂练习
过关练习
一、解决问题。
1、育民小学有男同学840人，女同学人数是男同学的
少人？
关系式：


2、教师公寓有三居室180套，二居室的套数是三居室的
1
居 室的。教师公寓有一居室多少套？
4
2
，一居室的套数是二
3
4< br>，这个学校有女同学多
7

8

欧立培训学校

3、阳光小学有男生750人，女生人数是男生的


4、李庄共有小麦地320公亩，水稻地比小麦地多
1
，水稻地有多少公亩？
4
4
，一共有学生多少人？
5
要求水稻地有多少公亩？必须先求（ ）。


5、修一条公路，长1000米，甲队已经修了这条路的
修多少米？
要求乙队修多少米？必须先求（ ）。



2
，剩下的由乙队修，乙队
5
31
米，宽米，用铝合金给它嵌边，需要多少米长的
53
铝合金？如果给它配一块玻璃，需要多少平 方米的玻璃？




3
7、一只长颈鹿高4米，一只山羊的身高比长颈鹿矮，山羊的身高是多少米？
4




2
8、鸵鸟是世界上最大的鸟，它每约 跑72千米，非洲野狗的时速比鸵鸟慢。非
9
洲野狗每小时能跑多少千米？



6、
一个长方形的画框，长
9

欧立培训学校

1
9、一台电脑原价4800元，现在降价出售，现在是多少元？
8




10、某农场有鸡300只，鸭的只数是鸡的





54
，鹅的只数是鸭的，鹅有多少只？
65
11、工程队修一条1200米的路，已修了400米，再修多少米就修好这条路的





4
？
5
3
12、一个三角形的底是12厘米，高是底的 ,这个三角形的面积是多少平方厘米？
4




3
13、学校有篮球72个，排球的个数比篮球少 ，学校有排球多少个？
8







10

欧立培训学校
第四讲 分数除法（一）
目标导学
目标点睛 重难点

1.通过分析、比较、讨论发现分数除法的
重点
意义与整数除法的意义相同，知道分数除
法分数乘法的逆运算。
2.掌握分数除以整数的计算方法，并能利
难点
用法则准确的进行计算。
3.渗透联系和发展的辨证唯物注意观点，
培养学生的迁移、抽象、概括的能力。


嚼碎教材
知识点
1

倒数

1、倒数的特征及意义。
乘积是1的两个数互为倒数。倒数是两个数之间的一种特 殊关系，互为倒
数的两个数是互相依存的，因此必须说一个数是另一个数的倒数，不能孤立地说
某个数是倒数。
2、求倒数的方法。
把这个数的分子和分母调换位置。
3、1的倒数仍是1；0没有倒数。0没有倒数，是因为在分数中，0不能做分母。
4、求整数、带分数和小数的倒数的方法：
（1）求整数（0除外）的倒数，要先把整数化成 分母是1的假分数，再交换分
子、分母的位置。
（2）求带分数的倒数，要先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置。
（3）求小数的倒数，要先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置。
知识点2

分数除法的意义
分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因
数，求另一个因数的运算。除法是乘法的逆运算。
11

欧立培训学校
31
3
3
的意义是：已知两个因 数的积是，其中一个因数是3，求另一个因
1010
10
数是多少。
思考问题：

9
13
÷8的意义是( )。

课上小练习：

5551
÷5表示把 平均分成( )份，求( )份是多少，就是求 的
8885
是多少。所
55
以,
8
÷5=
8
×( )。
知识点3

分数除以整数的计算方法
把一个数平均分成整数份，求其中的几份就是求这个数的几分之几是多少。
分数除以整数（0 除外）的计算方法：（1）用分子和整数相除的商做分子，分母
不变。（2）分数除以整数，等于分数乘 这个整数的倒数。
思考问题：

33
35
÷22=
2
÷2=
5
23
÷46=
22
课上小练习：
36
÷4=( )×( )=( ) ÷5=( )×( )=( )
47
课堂练习
过关练习：

一、填空。
9
1．
13
÷8的意义是( )。
2
2．
9
÷2这个算式表示( )。
5551
3．
8
÷5表示把
8
平均分成( )份，求( )份是多少，就是求
8
的
5
是多少。
55
所以,
8
÷5=
8
×( )。
12

欧立培训学校
8
4．把
9
米平均分成2份，每份是( )。
6
5．把
10
米的铁丝平均分成3段，每段的长是全长的( )，每段长( )
米。
7
6．已知两个因数的积是
10
，其中一个因数是14,求另一个因数是( )
8
7．一个正方形的周长是
11
米，它的边长是( )米,面积是( )平方米。
4
8．明明骑自行车8分钟行
5
千米，他l小时可行（ ）千米。
11
9．修一段公路，第一天修全路的 多2千米，第二天修余下的 少1千米，还
22
剩下20米没有修参完。求公路的全长（ ）。
15
10．一列火车从甲站开往乙站，6
4
小时行驶500千米，行了全程的
8
，照这样
速度，再行驶（ ）小时到达乙站。
87
11、
9
÷4=( )×( )=( )
10
÷5=( )×( )=( )
8( )÷( )8( )
÷4= = ×( )=
151515( )

二.在○里填上“＞”“＜”或“=”。
554433
÷1 ÷4 ÷22
12129955
×
557374
÷5 63÷ ÷98
889141821
÷
三、计算
33712391
÷22= 17× = ÷4 = ÷7=
35341358
×
2
=



56822
÷5= ÷3= ÷4 = ÷6= 2=
879543
÷


四．列式计算。
20
(1)
24
米平均分成5份，每份是多少?


9
(2)6和哪个数相乘的积是
10
?

○○○
○○○
13

欧立培训学校

9
(3)一个数的9倍等于
20
,这个数是多少?



五、解决问题。
7
1、一个长方形面积是
10
平方米，长是3米，宽是多少米?




5
2、某工程队要完成一项工程，10天完成它的
7
，平均每天完成这项工程的几分
之几?





15
3、一辆汽车行5 km用汽油
16
升。平均每千米用汽油多少升?





5
4、李林7天读了一本书的
9
。平均每天读这本书的几分之几?





33
5、两条同样长的彩带。第一条用去
10
m，第二条用去它的
10
。哪一条剩下的
部分长一些?




6、一个正方形的周长是
8
米，它的边长是多少米?面积是多少平方米?
11
14

欧立培训学校
7、明明骑自行车8分钟行





15219
8、有甲、乙、丙三种饮料，质量分别是
4
千克、
5
千克、
2
千克，现在要分
别装入小瓶而无剩余，而且每瓶重量都相等。照这样装法最少要装多少瓶?
4
千米，他l小时可行多少千米?
5



15

欧立培训学校
第五讲 分数除法（二）
目标导学
目标点睛
1、通过解决问题发现分数除法混
合运算的计算顺序与以前掌握的运算顺序完全相同，能够根据运算顺序正确
的进行计算。
2、能够利用分数除法解决较复杂
的应用题。
3、培养学生认真仔细的学习习惯，
难点
提高学生的计算能力。



重点

重难点
嚼碎教材
知识点
1

分数除法的混合运算
1、分数除加、除减的运算顺序
除加、除减混合运算，如果没有括号，先算除法，后算加减。
2、连除的计算方法
分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分
的要约分。
3、不含括号的分数混合运算的运算顺序
在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运 算，按照从左到右的顺序计
算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。
4、含有括号的分数混和运算的运算顺序
在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面
16

欧立培训学校
的，再算中括号里面的。
5、整数的运算定律在分数混和运算中的运用
在进行分数的混和运算中，可以利用加法、减法、 乘法、除法的运算定律或运
算性质，使计算简便。
思考问题：

8÷-4=
2214
÷÷=
9715
2
3

课堂练习
过关练习：

一、直接写结果。
12515511
÷ ＝ ×8＋8× ＝ ÷ ＝ 1－ －
93447623
＝
56773
×（18＋ ）＝ ÷14＝ 12× ＝ 9＝
6251185
÷
二、计算。（能简算的要简算）
2357313434
15
（1－
3
× ）× ÷ ＋ ÷ ÷ + ÷3 12÷（1+-）
568888727
3
6




11
1
223333102
(1--)÷ ×4÷×4 －÷3＋ 5-×-
5
24
8
55442217






三、解方程。
315133132
x= x÷9= ÷x= x－
41631001045
=
5



17

欧立培训学校
1
321511

3

xx

x

1

2

4x

10
436623

8



x
5
9
57516259
x

xx

x
x-=
1687275610
8
10



四、在○里填上＞、＜或=
552231344

6
×4
6
9× ×9 × ÷3
3382855

22
5、比35的
7
多9的数是（ ）。 甲数是30，比乙数少
5
，乙数是（ ）
23232
6、
3
米的
4
是（ ）；（ ）米是
3
米的
4
；
3
米是（ ）
○○○○
33223
米的
4
；
4
米比（ ）米少
3
米 ；比
3
米多
4
是（ ）米
3
7、“小羊只数是大羊只数的
8
”，（ ）是单位“1”。
1
8、今年的产量比去年少
10
，今年的产量就相当于去年的（ ）。
11
9、12×（
4
＋
3
）=3＋4=7，这是根据（ ）计算的。
99
10.小梅将
10
米的丝带平均截成3段，每段是
10
米的（ ），每段长（ ）
米。
711
11.一根绳子长
8
米，第一次用去
4
，第二次用去
4
米。第（ ）次用去的
多。
5
12.小明用
6
分的时间写了10个字，平均写一个字用（ ）分，平均每分
钟写（ ）个字。
五、解决问题
13.一台彩电，原价1800元，现在的价钱比原来降低了



1
，现在的售价是多少元？
6
18

欧立培训学校
14.一台彩电，现价1800元，比原来降低了



11
15.筑路队修一条10千米的公路．第一天修了全长的
2
，第二天修了
2
米，还有
多少千米没有修？


16.六年级同学给灾区的小朋友捐款。六（1）班捐了500元，六（2）班捐的是
49
六（1）班的
5
，六（3）班捐的是六（2）班的
8
。六（3）班捐款多少元？



2
17.一桶油，第一次用去， 第二次比第一次多2千克，桶里还剩下3千克。这
5
桶油原来有多少千克？
1
，原来的售价是多少元？
6

提升练习
1、一位老人 养了17只羊，临终立下遗嘱：大儿子分
11
，二儿子分，三儿子分
23
1< br>，并且分羊时不许宰杀。老人临终后，三个儿子犯了愁，这怎么分呢？你能帮
9
助他们解 决问题吗？





2、老妇卖鸡蛋，有趣又大方，见 人卖一半，还送半盒蛋，见了4个人，卖光箱
中蛋，请问箱中蛋几盒？
19

欧立培训学校
第六讲 分数除法（三）

目标导学
重难点
找准单位“1”，找
重点 出等量关系．

能正确的分析数
难点 量关系并列方程
解答应用题．
目标点睛
1．会列方程解答“已知一个数的几
分之几是多少，求这个数”的实际问
题。
2．培养学生分析问题、解答问题能
力，以及认真审题的良好习惯．


知识点
1

1、已知一个数的几分之几是多少，求这个数的应用题解法
列方程解题的关键：找出题中数量间的等量关系。
用算术法解除法应用题的关键：找准已知数量对应的单位“1”的几分之几。
解简单的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的解题方法：
方程解法：（1）找出单 位“1”，设未知量为x；（2）找出题中的数量关系式；（3）
列出方程。
算术法：（1） 找出单位“1”；（2）找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几；
（3）列除法算式。即已知量÷ 已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。
2、分数连除应用题的解题方法
（1）分数连除应用题的结构特点：题中有3个数量，两个单位“1”，都是未知
的。
（2）分数连除应用题的解题方法：①方程解法：设所求单位“1”的量为x，根
bd
据等量 关系列方程解答。即x××=已知量。
ac
②算术解法：用已知量连续除以它们所对应的单位 “1”的几分之几。即已知量
÷
db
÷=另一个单位“1”的量。
ca
（3）解题关键：找准单位“1”，求出中间量。
3、稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的解法
20

欧立培训学校
（1）稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的 应用题的结构特
征：单位“1”是未知的，已知的比较量与所给的几分之几不对应。
（2）解 题方法：①用方程解：找到题中数量间的等量关系，设未知量为x，列
出方程。②算术法解：找到题中单 位“1”，计算出已知量占单位“1”的几分之
几，利用已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位 “1”的量（标准量）列
式解答。
（3）解题关键：找准单位“1”，弄清谁是谁的几分之几 ，谁比谁多几分之几，
计算出已知量是单位“1”的几分之几。
思考问题：
1、妈 妈给小林一些钱买衣服，小林买毛衣花了90元，买裤子花了
60元，买这两样衣物花的钱是妈妈给小林 钱数的，妈妈给小林多少
钱？




3
42、赵老师的讲桌上有红粉笔16支，白粉笔的支数是红粉笔的，又
是蓝粉笔的
10
。蓝粉笔有多少支？

11
5
4

课堂练习

1、（1）池塘里有12只鸭和4只鹅，鹅的只数是鸭的几分之几？



1
（2）池塘里有12只鸭，鹅的只数是鸭的。池塘里有多少只鸭？
3



21

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1
（3）池塘里有4只鹅，正好是鸭的只数的。池塘里有多少只鸭？
3



2、学校买来100千克白菜，吃了




3、小亮的储蓄箱中有18元，小华储蓄的钱是小亮的
储蓄了多少元？




4、一个儿童体内所含的水分有28千克，占体重的




5、一条裤子的价格是75元，是一件上衣的




6、光明小学航模组人数是生物组的
有多少人？




7、商店运来一些水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的
橘子多少筐？





15
3
8、一台榨油机，小时榨油吨，照这样计算，1小时可以榨油多少吨？
4
16

22
4
，吃了多少千克？
5
52
，小新储蓄的钱是小华的。小新
63
4
。这个儿童体重多少千克？
5
2
。一件上衣多少元？
3
1
4
，生物组人数是 美术组的。航模组有8人，美术组
3
5
3
3
，同时又是橘子的。运来
5
4

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1
9、光明汽车厂四月份生产轿车1260辆，超过原计划的，原计划生产轿车多少辆？
5





4
10、两地相距13千米 ，甲乙二人从两地同时出发相向而行，经过小时相遇。甲每小时
3
行5千米，乙每小时行多少千 米？






11、一个水果店运来一批水 果，第一次运了50千克，第二次运了70千克，两次正好运了
1
这批水果的。这批水果有多少 千克？
4





1
12、饲养小组 养的白兔和黑兔共有18只，其中黑兔的只数是白兔的。白兔和黑兔各有多
5
少只？




1
13、国家一级保护动物野生丹顶鹤，2001年全世界约 有2000只，我国占其中的，其他
4
国家约有多少只？





14、人的心脏跳动的次数随年龄而变化。青少年每分钟约跳75次，婴儿每分钟 心跳的次
4
数比青少年多。婴儿每分钟心跳多少次？
5


23

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提升练习
1、一个自然数与他的倒数的和是5.2，这个自然数是多少？






12
2、一杯糖水，糖占糖水的，再加入10克糖后，糖占糖 水的，原来糖水有
1011
多少克？




2
3、一个两位数，已知它的十位数字是各位数字的。如果把这个两位数的十位
3
数字与 个位数字交换位置，那么所得的新数比原数大27，求这个两位数是多少？

24

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第七讲 圆的认识
目标导学
目标点睛 重难点
感知并了解圆的
1、学生从圆中初步去感知，掌握圆的
各部分名称及特征，
2、理解同圆或等圆中直径与半径的关
系。
3、会使用工具正确规范画圆，培养学
生的作图能力．
4、培养学生观察、分析、综合、概括
及动手操作能力。
重点
基本特征，认识圆
的各部分名称

理解直径与半径
难点
的关系，熟练掌握
画圆的方法。


嚼碎教材
知识点
1

1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、 圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆
心。如下图中，中心的一点O 。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离
都相等．
（画圆切忌别忘记标圆心0）
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。如下
图红色线。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。如
下图蓝色线。
直径是一个圆内最长的线段。
25

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8
知识点2

1、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。如果已知的是直径，我们 要把直径
除以2换成半径,确定圆心，然后才开始画圆。（画圆给出半径标半径r=?，给出
直 径标直径d=?）
要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
2、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。同圆中所有的半径、直径
都相等。
1
3、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的
2
。
d
用字母表示为：d = 2r或r =
2
或r=d÷2
4、轴 对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，
这个图形是轴对称图形。折痕所 在的这条直线叫做对称轴。
5、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
6、常见图形的对称轴:
只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是：长方形 只有3条对称轴的图形是：等边三角
形
只有4条对称轴的图形是：正方形;
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。圆是轴对称图形，有无数条对称轴，
对称轴就是直径所在的直线。
7、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径；
圆的面积=78.5%正方形的面积
画法：（1）画出正方形的两条对角线；
26

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（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
8、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径
画法：（1）画出长方形的两条对角线；
（2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。
9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。
10、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。
每分前进米数（速度）＝车轮的周长×转数
11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653……
我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.14
12、如果用C表示圆的周长，那么
C＝πd或C = 2πr
13、求圆的半径或直径的方法：d = C÷π r = C÷ π÷2= C÷2π
14、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。
C半圆= πr＋2r=5.14r C半圆= πd÷2＋d=2.57d
15、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长（如图）
思考问题：

课堂练习
过关练习：

一、填空：
1、画圆时，圆规两脚之间的距离为4厘米，那么这个圆的直径是（ ）厘米，
周长是（ ）厘米.。
2、圆的周长是它的直径的（ ）倍多一些，这个倍数是一个固定的数，我
们把它叫（ ），常用字母（ ）表示。它是一个（ ）小数，取
两位小数是（ ）。
3、圆是（ ）图形，有（ ）条对称轴。半圆有（ ）条对
称轴。长方形有( )条对称轴。正方形有( )条对称轴，等腰三角形
有( )条对称轴，圆的对称轴在（ ）上。
4、在一个边长为4分米的正方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径为
27

欧立培训学校
( )分米，半径为( )分米，周长为( )分米 。
5、用一根长18.84分米的铁丝围成一个圆圈，所围成的圆圈的半径是（ ）
分米，这根铁丝就是圆的（ ）
6、在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆，圆的周长是
（ ）分米。
7、( )确定圆的大小，（ ）确定圆的位置。已知圆的周长求半径的公式
是（ ），已知圆的半径求周长的公式是（ ），半径5厘米，直
径是（ ）厘米。
8、如果把一个圆的半径扩大到原来的2倍，则周长就会扩大到原来的（ ）
1
倍。半径缩小到原来的，周长就会（ ）。大圆的半径是小圆的6倍，大
5
圆直径是小圆的 ( )，大圆周长是小圆的 ( )。
二、判断：
1、直径总比半径长。（ ）
2、半圆的周长就是用圆的周长除以2。（ ）
3、圆的对称轴就是直径所在的直线。（ ）
4、圆的周长是直径的3.14倍。（ ）
5、一个圆的周长是它半径的2π倍。（ ）
6、 通过圆心的线段，叫做直径。（ ）
三、选择题。把正确答案的序号填在（ ）里。10分
1、两个圆的周长不相等，是因为（ ）
A、圆周率大小不同 B、圆心的位置不同 C、半径大小不同。
2、两个圆的周长相等，那么这两个圆的直径（ ）。
A、无法确定 B、一定不相等 C、一定相等
3.一个挂钟的时针长2.5厘米,一昼夜这根时针的尖端走了（ ）
A.15.7厘米 B. 31.4厘米 C.78.5厘米
4、下边图形中对称轴最少的是（ ）
A、圆 B、正方形 C、长方形
D、等边三角形
28

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5、通过圆心并且两端都在圆上的（ ）叫做圆的直径。
A、射线 B、线段 C、直线
四、操作题。
1、画一个直径为3厘米的圆。并且用字母表示出半径、直径、圆心。


五、计算出下列图形的周长。
（1）求长方形的周长 （2）求跑道的周长
So0o 4444444


六、应用题。
1、轧路机前轮直径1.2米,每分钟滚动6周,每分钟能前进多少米?

2、一只大钟，它的时针长40厘米。当从中午12时到13时，这根时针的尖端所
走的路程是多少厘米 ？


3、一个圆形的玻璃桌面，直径为80厘米，如果给这块圆形玻璃镶上钢制 边框,
边框长多少厘米？

4、花园里有一个半径为1８米的圆形花坛，如果绕着花园走一圈，一共要走多少
米？

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5、一个半圆形池塘，它的直径是30米，求它的周长。

6、．小明骑一辆车轮直 径是0.6米的自行车，通过一座1884米的桥，车轮一共要
转多少圈？如果每分钟转50圈，一共要 花多少分钟？








30

欧立培训学校
第八讲 圆的面积

目标导学
目标点睛
1、让学生进一步体会“转化”的数学
思想方法，培养 运用已有知识解决新问
题的能力，增强空间观念，渗透极限数
学思想，发展数学思维。
2、通过小组合作交流，培养学生合作
探究精神和创新意识，提高学生动手实
践和数学交流能 力，体验数学探究的乐
趣。
情感与态度：培养学生能积极主动地参
与各种探索和操作 活动，进一步体会
“转化”方法的价值；培养运用已有知
识解决新问题的能力，发展空间观念和
初步的推理能力。

难点
引导学生进一步
体会“转化”的数学思想,利用已有
知识并结合渗透
“极限”的思想推
导圆的面积计算
公式 。
重点
重难点
推导圆的面积计
算公式并能正确
地应用圆面积的
计算公式进行圆
面积的计算。
嚼碎教材
知识点
1

1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S（大写）表示。
1
2
上图中阴影部分就是该圆的面积。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的
角叫做圆心角。

3、圆的面积推导：
圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等（即S长方形＝S圆）；
31

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长方形的宽是圆的半径（即b＝r）；
长方形的长是圆周长的一半（即a＝C÷2=πr）。

即：S长方形＝ a × b
↓ ↓
S圆＝ πr × r
＝ πr
2
所以，S圆 ＝ π r
2
注意：切拼后的长方形的周长比圆的
周长多了两条半径。C长方形＝2πr＋2r =C圆＋d

圆面积公式
圆的面积公式： S
圆
=πr
2
；变形可得到： r
2
= S ÷ π
11
22
圆的面积公式： S =πr÷2或S =
22
πr
11
2 2
圆的面积公式： S =πr÷4 或S =
44
πr
注：已经圆的面积可以用变形公式求出圆的半径。
知识点2

1、环形的面积：（环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差）
4 5
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）
环形的面积公式：S
环
= πR²－πｒ² 或S
环

= π（R²－ｒ²）。
如：上图中大圆的半径R=6cm，小圆半径r=2cm，阴影部分（圆环）的面积
得： S
环

= π（6²－2²）cm²=32π（cm²）
注意：求环形的 面积，一定要先想法分别求出外圆的半径（R）和内圆的半径（r），
再代入公式计算。一步一步的来， 这样不容易错误。
注意用公式S
环

= π（R²－ｒ²）计算时，要先算出2个平方数，再相减。
切忌相减后再平方。
n
2、扇形的面积计算公式：S
扇

= πr
2
×（n表示扇形圆心角的度数）
360
注：扇形公式其实很好理解的，S=πr
2
是圆的面积，圆一周是360°，旋转一度得
1n
到的面积是：S=πr
2
，如果是n度，自然是S
扇

= πr
2
×。注意n是圆心角，
360360
如上图。

32

欧立培训学校

3、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和 周长也扩大或缩小相同的倍数。而
面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，
而面积扩大9倍。
4、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
如：两个圆的半径比即：r ：r =2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是
2∶3，而面积比是4∶9。
5、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
圆的周长是直径的π倍，圆的周长与直径的比是π：1
圆的周长是半径的2π倍，圆的周长与半径的比是2π：1
6、当长方形，正方形，圆的周长 相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面
积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居 中，圆周长最短。
7、确定起跑线
（1）每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。
（2）每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。
（因此起跑线不同）
（3）每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度
（4）当一个圆的半径增加ａ厘 米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直
径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。

课堂练习
过关练习：

1.C =( ) = ( ) S＝ ( )
2.已知圆的周长，求d= ( ),求
r=( ) 。
3.圆的半径扩大2倍，直径就扩大( )倍，周长就扩大
( )倍，面积就扩大( )倍。
4.环形面积S＝( )。
5.用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是
( )厘米，画出的这个圆的面积是( )平方厘米。
6、大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，
33

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大圆面积是小圆面积的( )倍。小圆面积是大圆面积的( )。
7、圆的半径增加14，圆的周长增加( )，圆的面积增加
( )。
8、一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的面积是( )平方
分米。
9、将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方
形的周长比原来圆周长长10厘 米，这个长方形的面积是( )
平方厘米。
10、在一个面积是24平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆
的面积是( )平方厘米；再在这个圆内画一个最大的正方形，
正方形的面积是( )平方厘米。

11、大圆半径是小圆半径的3倍，大圆面积是84.78平方厘米，则小
圆面积为 多少平方厘米？


12、大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多1 2平方厘
米，小圆面积是多少平方厘米？


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欧立培训学校
13.求圆的周长。
(1)r =4分米 (2)d＝6厘米


14.求圆的面积。
(1)r＝3分米 (2)d＝8厘米

(3)c＝12.56米 (4)
c
半圆
＝15.42米

15.判断(对的打“√”，错的打“×”)
(1)通过圆心的线段，叫做圆的直径。 ( )
(2)周长是所在圆直径的3.14倍。…( )
(3)半径是直径的一半。…………( )
(4)任何圆的圆周率都是3.14。………( )
(5)半圆的周长等于圆的周长的12 加直径的长，所以半个圆的面积
等于圆面积的12加直径的长度。 ( )

16.一个环形的外圆半径是8分米，内圆半径5分米，求环形的面积。


17.环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面
积。
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欧立培训学校


18.校园圆形花池的半径是6 米，在花池的周围修一条1米宽的水泥
路，求水泥路的面积是多少平方米？


19.压路机前轮直径1.2米，每分钟滚动6周。1小时能前进多少米？

< br>20.自行车轮胎外直径71厘米，每分钟滚动100圈。通过一座1000
米的大桥约需几分钟 ？



21.求右图阴影部分的
周长和面积。(单位:cm)



8
8



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