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无限循环小数如何化为分数

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无限循环小数如何化为分数
由于小数部分位数是无限 的，所以不可能写成十分之几、百分之
几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无 限
小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百
倍或一千倍……使扩大后 的无限循环小数与原无限循环小数的“无
限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就 剪掉
了。
方法一：（代数法）
类型1：
纯循环
小数如何化为分数
例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数
例1： 0.33……×10＝3.33……
0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……
(10-1) ×0.33……=3
即9×0.33……=3
那么0.33……=39=13
例2：0.4747……×100＝47.4747……
0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－
0.4747……
(100－1)×0.4747……=47
即99×0.4747……=47
那么 0.4747……=479

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由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样 的
分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的
数；分子是纯循环小数中 一个循环节组成的数。

练习：

（1）0.3……=3（10-1）＝13
（2）0.31 31……=31（100-1）＝3199。
（3）0.312 312……=
类型2：混循环小数如何化为分数
例题：把0.4777……和0.325656……化成分数
例3： 0.4777……×10=4.777……①
0.4777……×100=47.77……②
用②－①即得:
0.4777……×90=47－4
所以：0.4777……=4390
例4： 0.325656……×100=32.5656……①
0.325656……×10000=3256.56……②
用②－①即得:
0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……
0.325656……×9900=3256－32
所以： 0.325656……=32249900
练习：
（1）0.366……=

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（2）1.25858……=
（3）6.23898989……=
可见，无限循环小数是有理数，是有理数就可以化成分数。

方法二：（方程法）用一元一次方程求解
1.把0.232323... 化成分数 。
设X=0.232323...
因为0.232323... == 0.23 + 0.002323...
所以 X = 0.23 + 0.01X
解得：X = 2399
2.把0.41234...化成分数 。
解：设X=0.41234...
因为0.41234... == 0.1234 + 0....
所以X = 0.1234 + 0.0001X
解得：X = 12349999
3.把0.56787878...化成分数，
因为0.56787878...= 0.56 + 0.01 * 0.787878...
所以设X=0.787878...则X=0.78 + 0.01X
所以X = 7899
所以原小数0.56787878...=0.56+ 0.01X = 0.56 + 0.07899 =
28114950
其它无限循环小数，请仿照上述例题去作

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方法三：任意一个无限循环小数都可以看成一个有限小数加上一个等
比数列的极限和
比如说0.233333333...就可以看成0.2加上一个首项为0.03，公比
为0.1的等比 数列。那么问题就很简单了
0.233333333...=0.2+0.03(1-0.1)=15+ 130=730。

也就是说任意一个有限循环小数化成分数有如下方法：
首 先找出选环节，如上面的例子就是3，然后计算选环节的单位长度，
如上题就是1，如0.232323 ...就是2，0.123123123...就是3，这里
记为q，然后写出不是循环节的部分，如上 题就是0.2，这里记为a，
再写出第一个循环节，如上题就是0.03，如0....就是
0 .00789，这里记为b，分数的形式就是a+b(1-1(10^q))，这里的
a,b,q都是有 限小数，可方便化为分数。

在高中学完了数列、极限以后，就会知道下面的方法：
一，纯循环小数化分数：循环节的数字除以循环节的位数个9组成的
整数。例如：
0.3333……=39=13；
0.285714285714……=285714999999＝27.
二，混循环小数 ：（例如：0.24333333……）不循环部分和循环节构
成的的数减去不循环部分的差，再除以循 环节位数个9添上不循环部
分的位数个0。例如：

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0.24333333…………=(243-24)900=73300
0.9545454…………=(954-9)990=945990=2122

1位循环 0.X X X X …… = X9
2位循环 XY XY…… = XY99
3位循环 XYZ …… = XYZ999
……
N 位循环0.a1a2a3…an a1a2a3…an……=a1a2a3…an9999…9(n个
9)

推理依据：
0.X X X X ……
= 0.X + 0.0X + 0.00X + 0.000X + ……
= X *（0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ……）
= X * 0.1（1-0.1） [无限等比数列和Sn=a1(1-q) 首项（1-公
比）]
= X * 19

XY XY ……
= + 0.00XY + 0.0000XY + ……
= XY *（0.01 + 0.0001 + 0.000001 + ……）
= XY * 0.01（1-0.01）

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= XY * 199

XYZ XYZ……
= + 0.000XYZ + 0.000000XYZ + ……
= XYZ *（0.001 + 0.000001 + 0.000000001 + ……）
= XYZ * 0.001（1-0.001）
= XYZ * 1999

0.a1a2a3…an a1a2a3…an……
= 0.a1a2a3…an+0.000…0a1a2a3…an(n个0) + ……
= a1a2a3…an * 0.00…01(n-1个0)(1-0.00…01)
= a1a2a3…an * 19999…9(n个9)

用幂的形式也可。 0.00…01(n-1个0) 表示为 110^n


x = 0.333333....
10x = 3.33333....
10x - x = 3
x = 13
纯循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个9,分子是循环
节的数字

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混循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个9,循环 节前到小
数点间有几位数字,分母9后面就有几个0,分子是混循环数字减去
循环节前数字的差
或者用极限解,还有就是楼上的楼上的方法

我们可以将无限小数按照小数部分是否 循环分成两类：即无限循环小
数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，而无限循环小
数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由
于它的小数部分位数是无限的，显 然不可能写成十分之几、百分之几、
千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数 。
所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略
就是用扩大倍数的方法， 把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……
使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相 同，然
后这两个数相减，这样就把循化的部分去掉了,我们的目的就达到了,
我们来看两个例子 ：

例1 把0.4747……和0.33……化成分数。

解法1： 0.4747……×100=47.4747……

0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……


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(100－1)×0.4747……=47

即99×0.4747…… =47

那么 0.4747……=4799

解法2： 0.33……×10＝3.33……

0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33……

(10-1) ×0.33……=3

即9×0.33……=3

那么0.33……=39=13

由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成 这样的分数：
纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分
子是纯循环小 数中一个循环节组成的数。

⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。


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想1：0.4777……×10=4.777……①

0.4777……×100=47.77……②

用②－①即得:

0.4777……×90=47－4

所以, 0.4777……=4390



想2：0.325656……×100=32.5656……①

0.325656……×10000=3256.56……②

用②－①即得:

0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……

0.325656……×9900=3256－32


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所以, 0.325656……=32249900


由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这
个分 数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分
中不循环部分组成的数的差，分母的头几位 数是9，末几位是0。9
的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

从上面例题可知，一个纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分
数的分子是一个 循环节表示的数，分母的各位数都是9，9的个数与
循环节的个数相同.最后能约分再约分。

把无限循环小数化为分数
给定一个无限循环小数，我们是否能把它化为分数呢？其实方法也 很
简单，其关键在于利用「无限循环」这一点。例如，给定小数
0.272727...，如何 把它化为分数呢？我们可以先把它写成

1 x 0.272727... = 0.272727... (1)
由于这个小数包含两个循环数字，我们把它乘以100：

100 x 0.272727... = 27.2727... (2)
接着用(2)减(1)，利用无限循环的特点，把小数点后的数字全部去掉，

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得

99 x 0.272727... = 27 (3)
接着把(3)化简，得

0.272727... = 311
当循环数字并非包括小数点后所有数字时，我们便需 要多一点工夫。
例如要把小数0.11345345...化为分数，可以这样做：

100 x 0.11345345... = 11.345345...
100000 x 0.11345345... = 11345.345...
99900 x 0.11345345... = 11334
0.11345345... = 1133499900 = 188916650
利用上述方法，我们还可以获得某些意想不到的结果。试把0.99...
化为分数：

1 x 0.99... = 0.99...
10 x 0.99... = 9.99
9 x 0.99... = 9
0.99... = 1
于 是，我们得到1的无限循环小数表达式除了是1.00...外，还可以
是0.99...。事实上，我 们可以证明，凡是「除得尽」的分数，除可

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表达为以无限个0结尾的循环小数外，还可表达为以无限个9结尾的
循环小数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母
各位数字都是9，9的个数与循 环节中的数字的个数相同.
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连
成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几
位数字是9，末几位数字是0，9 的个数跟循环节的数位相同，0的个
数跟不循环部分的数位相同.


无限 循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其
展开为一等比数列、求出前n项和、取极限 、化简。
例如：0.333333……
循环节为3
则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……
前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))(1-0.1)
当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0
因此0.3333……=0.30.9=13
注意：m^n的意义为m的n次方。
方法二：设零点三，三循环为x，可知10x-x=三点三，三循环

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-零点三，三循环
9x=3
x=13
第二种：如，将3.3.................（3050为
循环节）化为分数。
解：
设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a
10000a-a=3053
9999a=3053
a=30539999
算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。再把
整数部分乘分母加进去就是
（3×9999+3053）9999
=330509999
还有混循环小数转分数
如0.1555.....
循环节有一位，分母写个9，非循环节有一位，在9后添个0
分子为非循环节+循环节（连接）-非循环节+15-1=14
1490
约分后为745



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