八年级上册地理试卷-个人述职

1
利用方程知识化无限循环小数为分数(1)
三门县亭旁镇初级中学 郑永强
数学离不开数，对数的研究是数学教学重要的 内容。在小学里，我们已经学过分数（正）
可以化为有限小数或者无限循环小数；反过来，小数化分数却 没有很好完全解决，其中只解
决了有限小数化分数这部分内容，而无限循环小数化分数却没有完全解决， 而无限不循环小
数就是无理数了，不能化成分数。而无限循环小数化分数这部分内容要想彻底解决，只有 在
学了高中内容的数列、极限、无穷递缩等比数列求和公式等知识后，才可能彻底理解一般计
算 公式。这部分内容的学习时间跨度是小学到高中。
下面，就遵循从具体例子到一般结论的研究方 法（归纳法），用解方程的知识，研究一下
循环小数化分数这部分内容：
1. 例一：化下列无限循环小数为分数：
0.9
=0.9999999.......
在 解决这个问题前，我们可以先向学生提问
0.9
与1这两个数谁大，是否相等？估计初一大部分学生回答不等，或者1>
0.9
,【这个提问，我在上高一数学时候也向一个班55个 同学调
查过，其中53个同学回答是1>
0.9
,只有两个同学猜想回答说1=
0.9
。】那么它们到底那个
大呢？从而激起学生的学习兴趣，进而怎么解决这个问题上来。 我们用解方程的知识研究一
下
0.9
这个数到底是一个怎样的数？
解：设x=
0.9
=0.99999.....
则10x=
0.9
=9.99999.....
把（2）-（1）得
9x=9







(1)
(2)

x=1,即
0.9
=1
所以，
0.9
这个数实际上就是数1.
练习：把下列这些循环小数化为分数 ：
0.1
，
0.2
，
0.3
，
0.4
，
0.5
，
0.6
，
0.7
，
0.8
，
要求：分四小组，每小组两个，用上面的方法，化一下上面八个无限循环小数为分数。其中
四个 同学到黑板上面来书写演练，每人计算两个，其中一个规范书写，另外一个简单书写。

通过上面例子及练习，我们看到这些循环小数化为分数后，具有一定的规律性。即
 
1234567
0.1
=，
0.2
=，
0.3
= ，
0.4
=，
0.5
=，
0.6
=，
0.7
=，
9999999

89
0.8
=，
0.9
==1，
99




注意：老师重新 写一遍结论，书写时候尽量写整齐，有利于学生记忆。这个结论很好记，希
望同学们记住，及时记住，快 速记住!这些就是循环节是1的纯循环小数化分数的公式。在

2
化循环小数为分数时候，这些公式是最基本的。
可以统一成这样记忆：
0.a
=

8、9这十个数字，】


注意：以后无论什么课，只要是需要记忆的东西，就要及时地记住，这个也是高效学习的要< br>点。记忆是学习的必然要求！没有必要的记忆，学习就失去效率。

运用：化下列无限循环小数为分数【循环节是1的混循环小数化分数】
1.
2.
3.
4.
5.
a
【注意：这里的字母a、b是表示0、1、2 、3、4、5、6、7、
9
0.12

0.34

0.56




0.78

0.89




解：【选择一个讲解，其他让四个同学到黑板上来演练。】
设x=
0.12
,
则10x=
1.2
，即10x=1+
0.2
,


2

10x=1+，
9
11

x=,
90

11

0.12
=
90

等其他四个同学做好后，把结果放在一起，观察他们有没有规律性，【鼓励学生要要大
胆猜测，下面第 二个等号暂时不写出来，等学生发现规律后再写出来】
11121
=
90
90

31343

0.34
==
90
90

51565

0.56
==
90
90
0.12
=


71787
=
90
90

81898

0.89
==
90
90

0.78
=


3

注意：猜测结论，要进行适当引导，目光要对数字敏感，要大胆猜测。为以后一般性的< br>结论【公式】证明留下悬念。

再举例练习验证：化下列无限循环小数为分数【循环节是1的混循环小数化分数】

19118184876727
1.
0.19
==== 02，
0.84
==，
0.72
=【本组起巩固、解惑
909090 90
90
5

作用，因为一部分学生心中必定还有疑惑，慢、稳、正确，稳扎 稳打，实际上就是高效
课堂的一种】

123124564578978
2.
0.123
=，
0.456
=，
0.789
=
900900900


12341235678567
3.
0.1234
=，
0.5678
=
90009000


同学们观察上面式子的结论，看看能发现什么规律？大胆猜一猜结论形式也可以。一般地，
小 结：循环节是1的循环小数化成分数后，分母9的个数是1个，分母是9或者90，或者
900，或者9 000.....等
例：
0.123456789
=

12345 6789111111
=
900000
至于循环小数化分数后是否是最简分数，这是约分的内容，这里不研究。
同学们课外可以随便举几个例子，写出结论后再验证。
以上研究的是循环节是1的循环小数化 分数的方法，下面就研究循环节是2的循环小数化分
数的方法【两者类似}
例二：化下列无限循环小数为分数
1.
2.
3.
4.
5.
0.12

0.34

0.56

0.78

0.98







解：（取第一个，其余作为四个小组练习用）
设x=
0.12
=0.121212......,
则100x=12.121212......
把(2)-(1)得99x=12,
(1)
(2)

x=

12

99
34

99
同学们同理可以得到
0.34
=

4
56

99

78
0.78
=
99

98

0.98
=
99
0.56
=

同学们看看，循环节是2的纯循环小数化分数有什么规律？
一般地，循环节是2的纯循环小数化分数的公式是：

=
ab


99
【注意：这里的字母a、b只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十 个数字，这里ab
也不是表示a与b的积】

运用：化下列无限循环小数为分数（稍有 变化，但是循环节
仍然是2，是循环节是2的混循环小数）
1.
2.
3.
0.123

0.456

0.789




解1：（选一个，其他两个让学生练习)
设x=
0.123

则10x=
1.23

即10x=1+
0.23

也即10x=1+




23

99


x=
122

990

即
0.123
=

122
，
990
再看同学们的计算结果：
0.456
=


4524564
=，

990
990

782 7899
0.789
==

990
990
观察一下上面三个结论，同学们能发现什么计算规律吗？
< br>练习：化下列无限循环小数为分数，猜猜下面计算结果（同学们可以课外验证），化成分数

5
后，分子形式怎样，分母形式又怎样？
1.
2.
3.
4.
0.1234

0.5678

0.12345

0.56789





一般地：
小结：循环节是2的循环小数 化分数，分母9的个是2个，分母是99，或者990，或者9900，
或者99000，……等等。
例如：
0.1234567
=

12345672
< br>
99
至于分子的规律性，从上面的例子可以看到，可以看出，待下面一般形式的无限循 环小数化
化分数的公式证明后，再看就更清楚了。下面部分就不对初中学生讲了，但是可以要求他们记住计算公式。
事实上，上面的所有例子的计算，都是无穷递缩等比数列：
a,ar,ar……ar……
求和公式的应用，即
a+ar+ar+……+ar+ ……=

2n-1
2n-1
(
r
<1)
a

1r
(
r
<1)
例如：
0.1
=0.111111……=0.1+0.01+0.001+0.0001+……=
事实上，
纯循环小数S=
a
1
a
2
a
3

a
n
，就等于


0.1
1
=
10. 1
9
a
1
a
2
a

a
n
n
10
S=
1
1
n
10

=a
1
a
2
a
3
a
n
a
1< br>a
2
a
3

a
n
=
n
1 01
999


999

n个9


【注意这里的字母a
1
,a
2
,a
3,…a
n
只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，】
< br>混循环小数S=
0.b
1
b
2

b
m
a
1
a
2
a
3

a
n
，就等于

a
1
a
2
a
3

an
mn
b
1
b
2
b
m
a
1
a
2
a
3
a
n
b
1
b
2

b
m
10
S==

mn

1
10
m
10(101)
10
m
1
n
10
=
b
1
b
2
b
3
b
m< br>a
1
a
2
a
3
a
n
b
1
b
2
b
m
b
1
b
2
b
3
b
m
a
1
a
2
a
3
a< br>n
b
1
b
2
b
m
=
mn
mn
10(101)
10(101)

6
【注意这里的字母不b
1
,b
2
,b
3
…b
m
也只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，
b
1
b
2
b
3
…b
m
也不表示是字母和字母的乘积，每个字母也 只代表0、1、2、3、4、5、6、7、8、
9这十个数字】
这样，我们就有了上面无限循 环小数化分数的两个基本公式。这也就证明了小学算术中没有
解决也不可能解决的循环小数化分数的两个 公式的证明。