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平方根的练习题

知识回顾
1、无理数的概念
（这是重 点）无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.带根号的
数不一定是无理数,如< br>9
;无理数也不一定带根号,如圆周率.
2、算术平方根
2
（这是重点）如果一个数x的平方等于a即
xa
，那么这个正数x就叫做a 的算术
2
平方根，记作“
a”，读作根号“a”；规定0的算术平方根即
0
=0，如
24
，那么2 叫
做4的算术平方根。
3、平方根
2
（这是重、难点）平方根：如果一个 数x的平方等于a，即
xa
，那么这个数x就叫
做a的平方根（也叫做二次方根）； ①平方根的意义：一个正数有两个平方根，它们互为相
反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有 平方根；②开方：求一个数a的平方根的
运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

【典型例题】
考点一：无理数的概念
例1. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的AC、BD相交于O，试说明边
长AB、BC、CD、AD和对角线AC、BD的长度哪些是有理数，哪些不是有理数。

【思路分析】从图上看AC、BD、AB是有理数，因此BC、CD、AD的长度不是有理
数．
解：AC=7，BD=5是有理数，而AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理
AB
2
=3
2
+4=25,AB=5是有理数，而BC
2
= 3
2
+3
2
=18,CD
2
=3
2
+2< br>2
=13,AD
2
=4
2
+2
2
=20,因 此BC 、
CD、 AD 的长度不是有理数。
方法与规律:利用网格的特点进行分析，并借 助勾股定理及数的平方来判定什么是有理数，
什么不是有理数。

例2 如图，在△ABC中，AC＝b,CD=5，高AD可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有
理数吗?

【思路分析】找出直角三角形,利用勾股定理计算AD的平方是b
2
-25 ，由于b的取值不
同,结果不一样，不妨试一试
1

解：可能是整数，可能是分数，也可能是无理数.
方法与规律：根据有理数的特点，只要这个数是整数或分数则属于有理数，否则，不是有理
数。

考点二：算术平方根
例3. 求下列各数的算术平方根。
2
257
()
2
1
（1）225 （2）
121
（3）
9
（4）
3

【思路分析 】求一个正数的算术平方根，只要先找出一个正数的平方等于这个数，不必
考虑负数平方等于这个数；如 果一个数为带分数，一般先化成假分数，再求其算术平方根。
解：（1）因为15
2
=225，所以225的算术平方根是15，即
225
=15。
25
55< br>25
5
2
25
)
（2）因为
11
=
121
，所以
121
的算术平方根是
11
，即
121
=
11
。
(
7
7164167411
(1)
9
=1
3
。（3）1
9
=
9
，因为（
3< br>）
2
=
9
，所以1
9
的算术平方根是
3（或1
3
），即
22
22
22
()
2()
2
3
的算术平方根是
3
，即
3
=
3
（4）因为（－
3
）
2
=（
3
）
2
，所以
方法与规律:根据算术平方根的定义，首先确定哪个数的平方等于这个数，然后求出这< br>个数的算术平方根。

考点三：平方根
例4：求下列各数的平方根。
(1)0.36 (2) (-1.3)(3)
【思路分析】求一个正数的平方根，先找出平 方等于这个正数的数，这样的数有两个，
互为相反数，不能只考虑正数而把负数遗漏了；如果一个数为带 分数则一般先化为假分数；
如果这个正数a不能写成有理数的平方形式，则可以将a的平方根表示成±< br>a
。
2
解：（1）因为（±0.6）=0.36，所以0.36的平方根是± 0.6，即±
0.36
=±0.6。
2
22
（2）因为
( 1.3)(1.3)
，所以
(1.3)
的平方根是±1.3，即±
( 1.3)
=±1.3。
2
2
46
49
(4) 31 < br>2
46
414412
2
2
4949
，因为（±7
）
2
=
49
，所以
49
的平方根是±
7
，即±
49
=±
7
。（3）
（4）31的平方根是±
31
。
方法与规律:掌握平方根的定义，首先确定 哪个数的平方等于这个数，然后求出这个数
的平方根，注意书写。

考点四：平方根与算术平方根的应用
例5：已知一个数的两个平方根分别是2x+1与3-x，求这个数。
【思路分析】根据平方 根的性质，若一个数有两个平方根，它们互为相反数，所以2x+1
与3-x互为相反数，即（2x+1 ）+(3-x)=0.
解：根据题意,得（2x+1）+(3-x)=0,
2

解这个方程,得x=-4
当x=-4时, 2x+1=-7,3-x=7,所以这个数是49.
友情提示：本题是逆用平方根的性质.
例6：借助计算器计算下列各题:
22
(1)
43
=_____ _;(2)
4433_____;
(3)
22
444
2
333
2
_____;

(4)
4444
2
3333
2
_____;

2
444....3
2

4

333
...

2009个2009个
仔细观察上面几道题及其计算的 结果,试猜想:=______.
【思路分析】仔细观察可得,猜想题是(1)—(4)的拓展,用计 算器得出(1)—(4)的结果后,便
可发现规律:被开方数是两个正整数的平方和,这两个数分别是由 4和3组成的,且数字4的个
数和3的个数相等,因此当被开方数是2009个4组成的数与2009个 3组成的数的平方和时,
所得结果应为2009个5组成的数。
解: (1)5 (2)55 (3)555 (4)5555
猜想:
555...5
2009个
方法与规律总结:本题是探索题,也就是找规律,因此要认真分析,找出题目中的共同点,从
而发现 规律。

例7：自由下落物体的高度（h）与下落时间t(秒)的关系为
h4.9 t
，有一铁球从80
米高的建筑物上自由下落到地面需要多少时间？（精确到1秒）
【思路分析】把h=80代入已知的公式中便可得出一个关于t的方程，利用平方根的概
念求解即可，注 意把不符合题意的解舍去。
解：把h=80代入
h4.9t
中，得
80 4.9t
，所以
22
2
t
2

80
16 .33,
4.9
则
t16.334,
因为t表示时间只能取正值，所以t=-4舍去，因此t=4.
答：这一铁球从80米高的建筑物上自由下落到地面需要4秒。

【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲了无理数、平方根及算术平方根。在利用平方根或 算术平方根的概念解题
时要注意把问题转化成方程的问题求解，也就是利用了方程的数学思想。


1.下列说法正确的是（ ）
A.一个数总大于它的立方根；
B.非负数才有立方根；
C.任何数和它的立方根的符号相同；
D.任何数都有两个立方根。
2.

3
x3
，则x的值是（ ）
3

A.-9 B.27 C.±27 D.-27
3．-8的立方根与4的算术平方根的和是（ ）
A.0 B.4 C.-4 D.0或4
4．不用计算器，估计
54
的大小应在（ ）
A、6~7之间 B、7~7.5之间
C、7.5~8之间 D、8~9之间
5．通过估算判断：
52___0,
103___0

6．绝对值小于
7
的整数有______.
51
3
7．
2
与
4
的大小关系是______.



【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、认认真真选(每小题4分,共40分)
1. 下列关于数的说法正确的是（ ）
A. 有理数都是有限小数
B. 无限小数都是无理数
C. 无理数都是无限小数
D. 有限小数是无理数
2. 数351.021021021…是（ ）
A. 无理数 B. 有理数
C. 有限小数 D. 以上都有可能
3. 下列各式中正确的是( )
25
=±5 B.
(3)
2
=-3
C. ±
36
=±6 D.
100
=10
3
2
4. 当x=-
4
时,
x
的值为( )
A.
333
2
a1

444
A. B.- C.± D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A.
4
的平方根是±
2

B. -a
2
一定没有平方根
C. 0.9的平方根是±0.3
D. a
2
-1一定有平方根
6. 已知正方形的边长为a，面积为S，则（ ）
A. S=
a
B. S的平方根是a C. a是S的算术平方根 D. a=±
S

*7. 下列说法： ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③a的算
术平方根是a；④（π-4）的 算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。其中，不正
确的有（ ）
4

2
2

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
8. 已知
x5
，则x为（ ）
A. 5 B. -5 C. ±5 D. 以上都不对
2
9. 当
x
≤
0
时，
x
的值为（ ）
2
A. 0 B.
x
C.
x
D.
x

10. 16的算术平方根和25的平方根的和是（ ）
A. 9 B. -1 C. 9或-1 D. -9或1

二、仔仔细细填(每小题4分,共32分)
2
11. 下列各数：①3.141 ②0.33333… ③π ④－
3
⑤0.3…（相邻两个3之间
0的个数逐次增加2） ⑥0.
4
0
1
.其中是有理数的有_________；是无理数的有__________.
（填序号）
12. 一个正数的平方根有 ，它们的和为 。
••
136
*13. 0.0036的平方根是 ，1
225
的算术平方根是 ，
81
的算术平方根是 。
14
2
)
25
14. ±=_______.
15. 若
x
+
x
=0，则x= 。
16. 若
a
的平方根为±3，则a= 。
(2
*17. 如果一个正数的平方根是a+3与2a-15,则这个正数是______.
2
(ab)______
.
a2b30
18. 已知，则

三、平心静气做(共28分)
19. (本题8分)设面积为5π的圆的半径为y，请回答下列问题：
（1）y是有理数吗？请说明你的理由；
（2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.
20. (本题10分)求下列各数的平方根和算术平方根：
2
（1）7 （2）
7
（3）
(ab)

2
2
2
－1
3
2－14
2
－1
**21. (本题10分)用计算器计算
2－1
，
3－1
，
4－1
，…，根据你发现的规律，
2
n
2
－1（n
+
1）－1
）－1
(n为大于１的自然数)的值的大小关 系为（ ） 判断P=
n－1
与Q=
（n
+
1
A. P＜Q B.P=Q C.P＞Q D.与n的取值有关


5

【试题答案】
一、1．C 【思路分析】无理数是指无限不循环小数,也就是说无理数都是无限小数.
2.B 【思路分析】数351.021021021…是一个无限循环小数,即该数是一个有理数.
3.C 【思路分析】A选项,
选项,负数没有算术平方根.
2
4.A 【思路分析】
x
是指
x
的算术平方根,故本题答案是A.
2
25
是指求25的算术平方根,故
25
=5;B选项,
(3)
=3;D
2
5.A 【思路分析】A.
4
=2,求
4
的平方根,即是求2的平方根,是±
2
;B选项,当a=0时, -a2
310

有平方根;C选项,0.9的平方根是±
10
;D选 项,当a
2
-1是负数时,没有平方根.
6.C 【思路分析】根据算术平方根的概念,可知本题答案是C.
7.C【思路分析】①, 负数没有算术平方根;②,0的算术平方根是0; ③,a可能是负数,如果是
负数,则不成立; ④π-4是负数,一个非负数的算术平方根是非负数;均不正确.
8.C【思路分析】
x的算术平方根是5,故
x
=25,25的平方根有两个, ±5.
2
2
9.B【思路分析】
x
意为求
x
的算术平方根,其平方根±x,其中 正的平方根是其算术平方
22
根, x<0,-x>0,所以其算术平方根是-x.
10.C【思路分析】16的算术平方根是4,25的平方根是±5,故本题答案是C.

二、11. ①②④⑥, ③⑤【思路分析】分数和无限循环小数都是有理数;无限不循环小数是无
理数.
12.两个,0【思路分析】一个正数的平方根有两个,这两个平方根互为相反数,故和为0.
19
13. ±0.06,
15
,3 【思路分析】求一个带分数的算术平方根时,先化成假分数.
求9的算术平方根.
81
=9,即是
64
14. ±
25
【思路分析】根据平方根的概念求解.

x0

15.0【思路分析】只有非负数才有算术平方根,故

x0
,解得x=0.
2
16. 81【思路分析】
(3)9,则a9,即a81
. 17.49【思路分析】由一个正数的两个平方根互为相反数知a+3+2a-15=0,解得a=4,所以 这两
个平方根是±7,这个正数是49.
_
18.25【思路分析】根据算术平方 根的非负性知a-2=0,且b+3=0,解得a=2,b=-3,代入
(ab)
即
可求解.

三、19.（1）由题意得πy
2
=5π,即 y
2
=5.没一个整数或分数的平方等于5,故y是无理数.
(2)2.2 【思路分析】先根据面积公式得到关于y的方程,然后进行判断;问题(2),用计算器
进行估计.
20.（1）7的平方根为
7
，7的算术平方根为
7
；
（2）
7
的平方根为±7，
7
的算术平方根为7 ；
（3）
(ab)
的平方根为±（a+b）.
6

2
22
2


ab(ab0)

(ab )
2
的算术平方根为

(ab)(ab0)

【思路分析】一个正数有两个平方根，其中正的平方根是它的算术平方根。
2
2－13
2
－1
4
2
－1
21. C【思路分析】用计算 器计算可知
2－1
>
3－1
>
4－1
,可以判断P>Q。

7